Komplexaufgabe: Straßenbau

Komplexaufgabe:
Straßenbau
Von einer geraden Straße s (siehe Skizze) zweigt im Ort A eine Straße unter einem Winkel von
48° nach links zum 12 km entfernten Ort C ab. Fährt man auf der Straße s von A aus 6 km
weiter bis zum Ort B, trifft man auf eine nach rechts unter einem Winkel von 32° abzweigende
Straße, die zu dem Ort D führt, der 18 km von B entfernt ist.
a) Vervollständige schrittweise eine eigene Skizze und beschrifte diese geeignet!
b) Von B führt ein geradliniger Wanderweg nach C. Wie lang ist der
c) Unter welchem Winkel trifft er in C auf die Straße AC
d) Die Orte C und D sollen durch eine geradlinige Straße verbunden werden. Wie lang wird
diese Straße
e) Für die Straßenbauarbeiten von D von C stehen zunächst 4 schwere Baumaschinen zur
Verfügung. Mit diesen 4 Maschinen könnte man die geplante Straße in 96 Tagen fertig
stellen. Um wie viele Tage würde sich die Bauzeit verlängern, wenn nur 3 Maschinen
eingesetzt werden können
f) Für 1 km Straße veranschlagen die Planer 100 000 €. Skeptiker dieser Finanzplanung
gehen davon aus, dass die Fertigstellungskosten wenigstens 30 % höher ausfallen. Sie
behaupten, die für den Straßenbau bereitgestellten 3 Millionen Euro reichen dann nicht
mehr aus. Haben sie recht
g) Berechne den Flächeninhalt der Teildreiecke ABC und BDC.
Skizze nicht maßstabsgetreu!

Komplexaufgabe: Lösung – Straßenbau
geg.: α = 48° ges.: Seite x a) vervollständigte Skizze :
ß = 32°
Winkel γ
C
a = 12 km
Seite y
b = 18 km
Arbeitszeitdifferenz d
γ
c = 6 km
Kostengrenze ja/nein a
Preis = 100 000 €/km
x
p = 30 % q = 1,30
y
ß 1
α φ
A
ß 2
c B ß
s
b
b) Berechnung der Weglänge x im Teildreieck ABC:
C
D
α wird von den Seiten a und c eingeschlossen Kosinussatz
a
γ
x² = a² + c² – 2·a·c·cosα
12
2
+ 6
x =
x = 9,145774581 km
x = 9,148 km
2
− 2⋅12⋅6⋅cos48
o
A
α
c
φ
B
x
ß 1
ß 2
ß
b
y
s
c) Berechnung des Winkels γ im Dreieck ABC:
Im Dreieck ABC sind 3 Seiten und 1 Winkel (α) bekannt Sinussatz
sin γ sin α
=
c x |·c
sin α⋅c
sin γ = x
sin 48 ⋅ 6
sin γ = 9,14577..
o
| shift sin | arc sin –1
A
α
a
c
φ
B
C
γ
x
ß 1
ß 2
ß
y
D
s
γ = 29,17857598° γ = 29,18°
b
D
d) Berechnung der Straßenlänge y im Teildreieck BDC:
Es findet wieder der Kosinussatz Anwendung. Der Winkel ß 2 wird von
den Seiten x und b eingeschlossen.
Von ß 2 ist nur der Teilwinkel ß bekannt. ß 1 fehlt. ß 1 errechnet man mit
Hilfe von Winkelsummen.
a
γ
C
Zuerst φ: Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:
φ = 180° – α – γ
φ = 180° – 48° – 29,1785...°
φ = 102,821424°
A
α
c
φ
B
x
ß 1
ß 2
ß
b
y
s
D

Dann ß 1 : Straße s verläuft geradlinig durch A und B gestreckter Winkel = 180°
ß 1 = 180° – φ
ß 1 = 180° – 102,821424°
ß 1 = 77, 17857598°
ß 2 = ß 1 + ß
ß 2 = 77, 178...° + 32°
ß 2 = 109,17857598°
y² = x² + b² – 2·x·b·cos ß 2
y =
9,145...
2
+ 18
y = 22,71139732 km
y = 22,711 km
2
− 2⋅9,145...
⋅18⋅cos
o
109,178...
e) Arbeitszeitdifferenz d:
f ) Kosten:
Masch. - Tage Die Zeit
4 - 96 verlängert
1 - 384 sich um
3 - 128 32 Tage!
128 – 96 = 32
Kosten +30% = 22,711 km · 100 000 €/km · 1,30
= 2 952 481,651 €
ca. 2,95 Millionen €
Ja, das bereitgestellte Geld reicht auch bei einer
Kostensteigerung von 30 % !
g) Fläche:
C
Beliebiges Dreieck mit zwei Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel.
Flächeninhalt des Dreiecks ABC:
A = 21 ·a·c·sin α
A
a
α
c
φ
B
γ
x
ß 1
ß 2
ß
y
s
A = 21 ·12·6·sin 48°
A = 26,75321371 km²
A = 26,753 km²
Flächeinhalt des Dreiecks BDC:
a
C
γ
b
D
A = 21 ·x·b·sin ß 2
A = 21 ·9,145…·18·sin 109,178…°
A = 77,74359709 km²
A = 77,744 km²
A
α
c
φ
B
x
ß 1
ß 2
ß
b
y
s
D