Quadratisch Funktionen/Gleichungen

Quadratisch Funktionen/Gleichungen
Sport- und Freizeitgelände
Ein Sport- und Freizeitgelände für Skater ist kreisförmig angelegt und hat einen Flächeninhalt von
1250 m².
a) Überprüfe, ob das kreisförmige Gelände einen Durchmesser von ungefähr 40 m hat.
b) Nach innen hin wird eine 3 m breite Rundlaufbahn eingerichtet. Wie groß ist der Flächeninhalt,
der im Innern des Geländes für weitere Freizeitaktivitäten zur Verfügung steht
Um den Innenraum des Sportgeländes zu gestalten wurde ein Wettbewerb veranstaltet. Der Jury
liegen mehrere Vorschläge für Skaterbahnen vor.
c) Vorschlag 1
Der Querschnitt dieser Skaterbahn wird annähernd durch eine Parabel mit der Gleichung
y = 0,36·x² beschrieben. Die Höhe der Bahn ist mit 3 Metern angegeben. Berechne ihre
Spannweite.
Skizze (nicht maßstabsgetreu)
d) Vorschlag 2
Diese Skaterbahn hat die gleiche Höhe wie der Vorschlag 1, aber eine geringere Spannweite. Wie
muss sich der Wert für a im Vergleich 1. Vorschlag ändern, wenn auch die Form dieser Bahn mit
einer Gleichung y = a·x² beschrieben werden kann Nur Antwortsatz erforderlich. Rechnen natürlich erlaubt!
e) Vorschlag 3
Diese Skaterbahn besteht aus zwei aneinander gehängten Bahnen mit gleichem parabelförmigen
Querschnitt, der mit der Gleichung y = 0,3·x² beschrieben werden kann.
Wie viel Meter beansprucht eine solche Bahn in der Länge
1 m 1 m
1 m
Skizze (nicht maßstabsgetreu)
f ) Vorschlag 4
13 m
Der Konstrukteur dieser Bahn hat seine Bahn sogar ein Koordinatenkreuz gezeichnet. Gib für
beide Parabeln die Funktionsgleichung an.

Lösung:
Sport- und Freizeitgelände
Ein Sport- und Freizeitgelände für Skater ist kreisförmig angelegt und hat einen Flächeninhalt von 1250 m².
a) Überprüfe, ob das kreisförmige Gelände einen Durchmesser von ungefähr 40 m hat.
Die Angabe ist richtig!
b) Nach innen hin wird eine 3 m breite Rundlaufbahn eingerichtet. Wie groß ist der Flächeninhalt,
der im Innern des Geländes für weitere Freizeitaktivitäten zur Verfügung steht
Es kann auch mit r = 17 m gerechnet werden. r i = 16,9471 m
Das Gelände hat einen Flächeninhalt von 902,28 m².
Um den Innenraum des Sportgeländes zu gestalten wurde ein Wettbewerb veranstaltet.
Der Jury liegen mehrere Vorschläge für Skaterbahnen vor.
c) Vorschlag 1
Der Querschnitt dieser Skaterbahn wird annähernd durch eine Parabel mit der Gleichung
y = 0,36·x² beschrieben. Die Höhe der Bahn ist mit 3 Metern angegeben. Berechne ihre Spannweite.
Skizze (nicht maßstabsgetreu)
Für y = 0,36·x² müssen die x - Werte bestimmt werden für die y = 3 ist.
3 = 0,36·x²
x 1 = 0 2,8868 und x 2 = – 2,8868
Die Spannweite beträgt 2 mal 2,8868 m, also 5,77 m.
d) Vorschlag 2
Diese Skaterbahn hat die gleiche Höhe wie der Vorschlag 1, aber eine größere Spannweite. Wie muss sich
der Wert a im Vergleich 1. Vorschlag ändern, wenn auch die Form dieser Bahn mit einer Gleichung y = a·x²
beschrieben werden kann Nur Antwortsatz erforderlich. Rechnen natürlich erlaubt! Der Wert für
a muss kleiner als 0,36 sein.
e) Vorschlag 3
Diese Skaterbahn besteht aus zwei aneinander gehängten Bahnen mit gleichem parabelförmigen
Querschnitt, der mit der Gleichung y = 0,3·x² beschrieben werden kann. (Siehe Abbildung)
Wie viel Meter beansprucht eine solche Bahn in der Länge
1 m 1 m
1 m Skizze (nicht maßstabsgetreu)
f) Vorschlag 4
13 m
Die Spannweite jeder
Parabel beträgt 12 m.
Also insgesamt: 2 · 12 + 3 = 27 m
Der Konstrukteur dieser Bahn hat seine Bahn sogar ein Koordinatenkreuz gezeichnet. Gib für beide
Parabeln die Funktionsgleichung an.
Der Faktor a ist für jede Parabel gleich.
1. Scheitelpunkt S( 0 | 0 ) und P ( 2 | 1 )
y = a·x²
1 = a·2² | : 2² = 4 I II
a = 1 / 4 y = 0,25·x² ( zu I )
2. Scheitelpunkt S( 7 | 0 ) d = 7 ; e = 0
y = a·(x + d)² + e
y = 0,25·(x – 7)² + 0
y = 0,25·(x – 7)² ( zu II )