Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

UNIVERSITÄT
JOHANNES KEPLER
LINZ
JKU
Technisch-Naturwissenschaftliche
Fakultät
Kurven im Mathematikunterricht
DIPLOMARBEIT
zur Erlangung des akademischen Grades
Magister der Naturwissenschaften
im Diplomstudium
Lehramt für Mathematik und Physik
Eingereicht von:
Florian Wakolbinger, Bakk.techn.
Angefertigt am:
Institut für Didaktik der Mathematik
Beurteilung:
Univ. Prof. DI Mag. Dr. Markus Hohenwarter
Mitwirkung:
Mag. Sandra Reichenberger, MSc
Linz, Jänner 2013

Eidesstattliche Erklärung
Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig
und ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel
nicht benutzt bzw. die wörtlich oder sinngemäÿ entnommenen Stellen als
solche kenntlich gemacht habe.
Die vorliegende Diplomarbeit ist mit dem elektronisch übermittelten Textdokument
identisch.
Linz, Jänner 2013
2

Danksagung
Ich möchte mich bei allen bedanken, die mich im Laufe des Studiums unterstützt
haben und mir immer mit Rat und Tat zur Seite standen. Zugleich hoe
ich, dass niemand enttäuscht ist, nicht namentlich erwähnt worden zu sein.
Es war eine schöne Zeit. Danke!
3

Überblick
Nachdem ich mir das Thema meiner Diplomarbeit selbst wählen durfte, el
meine Wahl auf die analytische Geometrie, da mich dieses Gebiet der Mathematik
bereits zu Schulzeiten am meisten interessiert hatte. Nach Absprache mit
meinem Betreuer grenzten wir das Thema auf Kurven ein, was prinzipiell noch
immer ein sehr groÿer Themenblock war. Im Laufe der Recherchen entschied
ich mich dann für einige ausgewählte Kurven, die ich im Rahmen dieser Arbeit
behandeln sollte.
Die Arbeit ist in zwei Teile aufgeteilt. Im ersten Teil geht es um die mathematischen
Eigenschaften, der von mir ausgewählten Kurven und im zweiten
Teil wird dargelegt wie diese Kurven im Mathematikunterricht eingesetzt werden
könnten.
Behandelt werden drei groÿe Gruppen von Kurven:
ˆ
Zykloide, Hypozykloiden (Deltoide, Astroide) und Epizykloiden (Kardioide,
Nephroide),
ˆ
ˆ
Evoluten und
Kaustiken.
Die drei Kapitel des ersten Teils beinhalten jeweils kurze geschichtliche Anmerkungen
zu sämtlichen vorkommenden Kurven. Zu Beginn wird gezeigt, wie
die Zykloide und oben genannte Hypo- und Epizykloiden als Rollkurven entstehen
und wie man sie per Hand konstruieren kann. Auÿerdem wird für diese
Kurven die Parameterdarstellung hergeleitet. Im nachfolgenden Kapitel wird
zunächst erklärt, was Evoluten sind. Danach wird auch hier die Parametergleichung
hergeleitet und für die Beispiele Ellipse und Kardioide angewendet. Das
letzte Kapitel des ersten Teils befasst sich mit dem physikalischen Phänomen
von Kaustiken. Es wird erläutert, worum es sich dabei handelt und die Katakaustik
des Kreises wird detailliert betrachtet. Während der Spezialfall der sogenannten
Kaeetassen-Katakaustik durchgerechnet wird, werden kompliziertere
Katakaustiken ausschlieÿlich geometrisch behandelt.
4

ÜBERBLICK 5
Im zweiten Teil geht es um den Einsatz von Kurven im Mathematikunterricht.
Es wird begründet, warum Kurven im Mathematikunterricht vorkommen
sollten und welche möglichen Zugänge sich anbieten würden. Auÿerdem werden
Probleme der momentan gängigen Herangehensweise an die Kurvendiskussion
in der siebenten Klasse aufgezeigt. Weiters werden Ideen gesammelt, welche
Kurven in welchen Schulstufen behandelt werden könnten und welche fächerübergreifenden
Möglichkeiten sich bieten. Zum Abschluss dieses Kapitels wird
noch die Dynamische Geometrie-Software thematisiert.
Im letzten Kapitel dieser Arbeit wurden drei Unterrichtsvorschläge für den
vertiefenden Wahlpichtgegenstand ausgearbeitet. In jedem dieser Vorschläge
spielt die Dynamische Geometrie-Software GeoGebra eine wesentliche Rolle.
Zuerst eine Gruppenarbeit zu Rollkurven: Die Schüler sollen hier mit Hilfestellungen
die Parameterdarstellung der Zykloide und der ausgewählten Hypound
Epizykloiden herleiten. Aufgrund der mathematischen Schwierigkeit konzentriert
sich der zweite Vorschlag nicht auf Evoluten, sondern nur auf eine
Vorstufe davon, nämlich auf die Krümmung. Sie wird hier eingeführt und später
wird als Anwendung der Krümmung die Verbindung zweier Bahngleise modelliert.
Bei der dritten Einheit wird in einer Partnerarbeit der Einfall der Sonnenstrahlen
auf die Innenseite einer Kaeetasse mit GeoGebra simuliert es
entsteht dabei die Kaeetassen-Katakaustik.
Eine Sammlung aller GeoGebra-Konstruktionen dieser Arbeit kann unter
http://ggbtu.be/c2781/m28718/nlyy aufgerufen werden.

Inhaltsverzeichnis
I Mathematische Eigenschaften ausgewählter Kurven 8
Einleitung 9
1 Zykloide, Hypo- und Epizykloiden 10
1.1 Die Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Konstruktion einer Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2 Parametergleichung der Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Die Deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Konstruktion einer Deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Parametergleichung der Deltoide . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Die Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Konstruktion einer Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Parametergleichung der Astroide . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Die Kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Konstruktion einer Kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Parametergleichung der Kardioide . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Die Nephroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Konstruktion einer Nephroide . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2 Parametergleichung der Nephroide . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Evoluten 25
2.1 Herleitung der Parameterdarstellung der Evolute . . . . . . . . . . 26
2.2 Evolute der Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Evolute der Kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Kaustiken 34
3.1 Katakaustik des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Beispiel Kaeetassen-Katakaustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Unterschiedliche Positionen der Lichtquelle . . . . . . . . . . . . . 38
6

INHALTSVERZEICHNIS 7
II Didaktische Analyse zum Thema Kurven 41
Einleitung 42
4 Kurven im Unterricht 43
4.1 Warum sollten Kurven im Mathematikunterricht vorkommen . . 43
4.2 Verschiedene Zugänge zu Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Kurven- vs. Funktionsdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Einordnung in Schulstufen und fächerübergreifende Möglichkeiten 49
4.4.1 Einordnung im Fach Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.2 Fächerübergreifende Möglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Dynamische Geometrie-Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5.1 Beweisen mit DGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5.2 Vorbehalte und Probleme bezüglich DGS . . . . . . . . . . 55
5 Vorschläge für Unterrichtseinheiten 58
5.1 Rollkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Mathematik in der Kaeetasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Zusammenfassung 84
A Arbeitsblätter 87
Abbildungsverzeichnis 96
Literaturverzeichnis 98

Teil I
Mathematische Eigenschaften
ausgewählter Kurven
8

Einleitung
In diesem Teil der Arbeit werden ebene, parametrisierte Kurven behandelt. Unter
einer Unmenge solcher Kurven, die sich in der Literatur nden, wurden hier
jene ausgewählt, die sich für mein Dafürhalten am besten für den Einsatz im
Mathematikunterricht eignen. Eine Ausarbeitung dazu ndet sich im zweiten
Teil der Arbeit hier werden zunächst die mathematischen Eigenschaften dieser
Kurven betrachtet.
In Kapitel 1 geht es darum, wie die Zykloide, Hypozykloiden (Deltoide, Astroide)
und Epizykloiden (Kardioide, Nephroide) als Rollkurven entstehen können.
In weiterer Folge wird erklärt, wie man diese Kurven händisch konstruieren kann
und wie deren Parameterdarstellung hergeleitet wird.
Was Evoluten sind wird in Kapitel 2 erklärt. Dort wird für parametrisierte
Kurven die Parameterdarstellung der Evoluten hergeleitet und im Anschluss an
den Beispielen Ellipse und Kardioide demonstriert.
Das physikalische Phänomen von Kaustiken wird in Kapitel 3 erläutert.
Die Katakaustik des Kreises wird allgemein betrachtet und für den Spezialfall
der Kaeetassen-Katakaustik durchgerechnet. Kompliziertere Kaustiken werden
zum Abschluss geometrisch behandelt.
9

Kapitel 1
Zykloide, Hypo- und
Epizykloiden
Rollt ein Kreis ohne zu gleiten auf einer Geraden, so beschreibt ein xierter
Punkt am Kreis eine Zykloide (Abb. 1.2). Die Frage von wem und wann diese
Kurve das erste Mal betrachtet wurde, ist schwer zu beantworten. Da die
Zykloide bereits bei der Bewegung eines Wagenrads beobachtet werden kann,
liegt die Vermutung nahe, dass sie schon zu Zeiten der Griechen bekannt war.
Dennoch nden sich keine eindeutigen Hinweise auf die Kenntnis der Griechen
dieser Kurve. Als gesichert gilt, dass Karl von Bouvelles 1501 die Zykloide beim
Problem der Quadratur des Kreises bemerkte und Galileo Galilei etwa 100 Jahre
später bei weiteren Betrachtungen ihr den Namen gab (vgl. Loria, 1902). Im
17. Jahrhundert gewann die Zykloide durch Entdeckung einiger verblüender
Eigenschaften an Berühmtheit. So ist beispielsweise die Bogenlänge zwischen
zwei Spitzen einer Zykloide gleich dem Vierfachen des Durchmessers des erzeugenden
Kreises oder die Fläche zwischen der Abrollgeraden und dem von zwei
Spitzen begrenzten Bogen ist gleich dem Dreifachen der Fläche des rollenden
Kreises (Abb. 1.1). Viele führende Geometer dieser Zeit (z. B. Blaise Pascal,
René Descartes, Pierre de Fermat oder Gilles P. de Roberval) beschäftigten sich
in der einen oder anderen Weise mit ihr. Pascal hatte sogar einen öentlichen
Wettbewerb zur Findung weiterer Eigenschaften ausgeschrieben.
Eine zweite Phase der Untersuchung der Zykloide begann nach der Erndung
der Innitesimalrechnung und wurde in erster Linie von Christiaan Huygens,
Gottfried W. Leibniz und Johann Bernoulli betrieben (vgl. Loria, 1902).
Huygens bewies, dass die Zykloide, wenn sie auf den Kopf gestellt wird und
damit die Form einer Schüssel hat, die Eigenschaft hat, dass reibungsfrei gleitende
Gegenstände immer in derselben Zeit den tiefsten Punkt erreichen, egal
10

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 11
Abbildung 1.1: Eigenschaften einer Zykloide
von welcher Position sie gestartet waren. Die Zykloide ist also eine Tautchrone
(griech.: dieselbe Zeit). Später wurde von Isaac Newton auch noch gezeigt, dass
die Zykloide eine Brachistochrone (griech.: kürzeste Zeit) ist: Gleitet ein Gegenstand
reibungsfrei unter Einwirkung der Schwerkraft vom oberen zum unteren
Punkt einer vertikalen Ebene, so ist jene Kurve, auf der er am schnellsten unten
ankommt, eine Zykloide (vgl. Stubhaug, 2003).
Rollt der Kreis nicht auf einer Geraden, sondern im Inneren eines weiteren
Kreis, so beschreibt ein Punkt am rollenden Kreis eine Hypozykloide (Abb.
1.5 und 1.9). Rollt der Kreis auÿen auf einem weiteren Kreis, so entsteht eine
Epizykloide (Abb. 1.12 und 1.15). Die Idee die Rollbewegung eines Kreises
auf einem festen Kreis zu betrachten geht zumindest auf die Zeit Ptolemäus'
(etwa 100 n. Chr.) zurück, der versuchte die Planetenbewegungen im geozentrischen
Weltbild so darzustellen. Albrecht Dürer betrachtete Epizykloiden bereits
zu Beginn des 16. Jahrhunderts, dennoch dauerte es etwa hundert Jahre bis
ein Mathematiker, der Franzose Philippe de La Hire, methodische Abhandlungen
(bzgl. Tangenten, Bogenlänge und Quadratur) schrieb. Bereits einige Jahre
davor stieÿ ein weiterer Franzose, Gérard Desargues, bei der Behandlung der
Mechanik der Zahnräder auf Kurven dieser Art. Generell galt Frankreich im
17. Jahrhundert als das Zentrum dieser Kurven. Um die Mitte dieses Jahrhunderts
waren dort Epizykloiden und ihre wichtigsten Anwendungen bekannt (vgl.
Loria, 1902; Tietze u. a., 2000).
1.1 Die Zykloide
Wie bereits erwähnt entsteht eine Zykloide, wenn ein Kreis auf einer Geraden
rollt und dabei ein spezieller Punkt des Kreises Punkt P in Abbildung 1.2
betrachtet wird. Im Alltag würde beispielsweise das Ventil eines Fahrradreifens
eine solche Bahn beschreiben.

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 12
Abbildung 1.2: Entstehung einer Zykloide
(Konstruktion aufrufbar unter http://www.geogebratube.org/student/m28718)
1.1.1 Konstruktion einer Zykloide
Um eine Zykloide auf Papier zu konstruieren geht man wie folgt vor (vgl. Lockwood,
1971). Man nimmt das Papier im Querformat und zeichnet zwei waagrechte
Linien mit Abstand a über die gesamte Breite des Papiers (siehe Abb.
1.3). Anschlieÿend zeichnet man eine Folge von senkrechten Linien, die beide
horizontalen Linien schneiden, mit einem Abstand von jeweils 2πa/18. So
entstehen 19 senkrechte Linien. Die Schnittpunkte der senkrechten Linien mit
der oberen horizontalen Linie werden mit 0, 1, 2, ..., 18 bezeichnet. Mit diesen
Schnittpunkten als Mittelpunkte sind Kreise mit Radius a zu zeichnen. Diese
Kreise repräsentieren die Positionen, die der auf der unteren horizontalen Linie
rollende Kreis einnimmt. Die Intervalle entsprechen Drehungen um 20 °. Von
den Punkten 0, 1, 2, ..., 18 zeichnet man die Radien der einzelnen Kreise unter
einem Winkel von 0°, 20°, 40°, ..., 360° zu den senkrechten Linien. Rollt der
Kreis nach rechts, so sind die Winkel im Uhrzeigersinn zu messen (siehe Abb.
1.3). Die Schnittpunkte der Radien mit den Kreisen (rote Punkte in Abb. 1.3)
stellen aufeinanderfolgende Positionen eines, auf dem rollenden Kreis xierten
Punktes, dar. Sie bilden die Zykloide.
1.1.2 Parametergleichung der Zykloide
Die Parametergleichung der Zykloide ist verglichen mit Hypo- oder Epizykloiden
besonders leicht herzuleiten. Die Position des Punktes P in Abbildung 1.4
ist dafür in Abhängigkeit des Winkels t und des Radius r zu bestimmen (vgl.
Thomas, 2010).
Für die x-Koordinate gilt: x = OQ−P P ′ . Da der Kreis rollt, ist die Länge des
Bogens QP gleich der Länge OQ. Über den Winkel t lässt sich die Bogenlänge
QP berechnen: QP = r t. Die Länge von P P ′ kann über das Dreieck P P ′ M

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 13
Abbildung 1.3: Konstruktion einer Zykloide

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 14
Abbildung 1.4: Zykloide mit Details (Thomas, 2010)
bestimmt werden: P P ′ = r sin(t). Es ergibt sich also:
x = r t − r sin(t).
Ähnlich berechnet sich die y-Koordinate: y = P ′ Q = r − MP ′ . MP ′ kann
erneut über das Dreieck P P ′ M bestimmt werden: MP ′ = r cos(t). Daher:
y = r − r cos(t).
1.2 Die Deltoide
Die Deltoide ist eine spezielle Hypozykloide mit einem Verhältnis der Radien
von 3:1. Sie entsteht also wenn ein Kreis im Inneren eines festen Kreises rollt
(Abb. 1.5).
1.2.1 Konstruktion einer Deltoide
Bei der Konstruktion einer Deltoide beginnt man mit einem Kreis in der Mitte
des Papiers (siehe Abb. 1.6). Der Radius des Kreises darf dabei maximal ein
Fünftel der kürzeren Seite des Papiers sein. Anschlieÿend wird der Durchmesser
parallel zu einer Seitenkante eingezeichnet und der rechte Schnittpunkt mit 0 ge-

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 15
Abbildung 1.5: Entstehung einer Deltoide
(Konstruktion aufrufbar unter http://www.geogebratube.org/student/m28720)
kennzeichnet. Beginnend bei Punkt 0 sind nun Punkte am Kreis in 5 °-Intervallen
einzuzeichnen. Diese 72 Punkte werden von 0 bis 71 gegen den Uhrzeigersinn
durchnummeriert. Danach werden immer zwei Punkte miteinander verbunden
und zwar in folgender Art und Weise: Der zu Beginn gezeichnete Durchmesser
verbindet jetzt die Punkte 0 und 36 und ist damit die erste Verbindung. Auf
einer Seite werden Einerschritte zum nächsten Punkt gemacht, auf der anderen
Seite Zweierschritte, also 10°-Schritte diese beiden Punkte werden wieder
miteinander verbunden. Es werden also 0 mit 36, 1 mit 34, 2 mit 32 usw. verbunden
(siehe Abb. 1.6). An jenem Ende der Verbindung wo der Einerschritt
Abbildung 1.6: Konstruktion einer Deltoide

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 16
gemacht wurde, ist die Linie nach auÿerhalb des Kreises so weit zu verlängern
bis sie von anderen Linien geschnitten wird. Diese Vorgehensweise wird so lange
wiederholt bis man mit den Einerschritten wieder bei 0 ankommt, also 72-mal.
Die Einhüllende dieser Linien, eigentlich Strahlen, ergibt die Deltoide (Abb. 1.7;
vgl. Lockwood, 1971).
Abbildung 1.7: Deltoide als Hüllkurve
1.2.2 Parametergleichung der Deltoide
Die Herleitung der Parametergleichung der Deltoide ist nun deutlich aufwendiger
als jene der Zykloide. Zu bestimmen ist wieder die Position des Punktes P (Abb.
1.8) in Abhängigkeit des Winkels t und der Radien R und r (vgl. Thomas, 2010).
Die x-Koordinate setzt sich zusammen aus den beiden Teilstrecken OQ und
QP ′ . Die Berechnung von OQ gestaltet sich einfach: Man muss dazu nur das
Dreieck OQM betrachten:
OQ = (R − r) cos(t).
QP ′ ist gleich lang wie die Strecke P ′′ P, welche über das Dreieck MP ′′ P berechnet
werden kann:
QP ′ = P ′′ P = r sin(α). (1.1)
Nun ist noch der Winkel α durch den Winkel t auszudrücken. Betrachtet man

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 17
Abbildung 1.8: Deltoide mit Details (Thomas, 2010)
dazu den 180°-Winkel OMB, so sieht man, dass π = π − t + α + β, also:
2
α = π 2 + t − β.
Da der Kreis rollt, sind die beiden Bögen AB und P B gleich lang. Es gilt daher
r β = R t. α kann damit geschrieben werden als
α = π 2 + t − R r t = π 2 − (R r
− 1) t. (1.2)
Einsetzen von α in Gleichung (1.1): QP ′ = r sin ( π 2 − ( R − 1) t). Unter Verwendung
der trigonometrischen Identität sin( π − ϕ) = cos(ϕ) vereinfacht sich der
r
2
Term zu QP ′ = r cos (( R − 1) t). Der Ausdruck für die x-Koordinate ist daher:
r
x = OQ + QP ′ = (R − r) cos(t) + r cos (( R r
− 1) t) . (1.3)
Zur Berechnung der y-Koordintate: y = P P ′ = P ′′ Q = MQ − MP ′′ . Die
Strecke MQ kann über das Dreieck OQM berechnet werden:
MQ = (R − r) sin(t).

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 18
Analog kann MP ′′ über das Dreieck MP ′′ P berechnet werden:
MP ′′ = r cos(α).
Unter Verwendung von α (Gleichung (1.2)) und der oben bereits verwendeten
trigonometrischen Identität ergibt sich für die y-Koordinate folgender Ausdruck:
y = MQ − MP ′′ = (R − r) sin(t) − r sin (( R r
− 1) t) . (1.4)
Zusätzlich gilt bei der Deltoide, dass das Verhältnis der Radien 3:1 ist, also
R = 3r. Eingesetzt in (1.3) bzw. (1.4) ergibt das die fertige Parameterdarstellung
der Deltoide:
⎛ x ⎞
⎝ y ⎠ = ⎛ 2r cos(t) + r cos(2t) ⎞
⎝ 2r sin(t) − r sin(2t) ⎠ .
1.3 Die Astroide
Die Astroide entsteht im Wesentlichen genauso wie die Deltoide. Einzig das
Verhältnis der Radien muss hier 4:1 sein.
Abbildung 1.9: Entstehung einer Astroide
(Konstruktion aufrufbar unter http://www.geogebratube.org/student/m28721)
1.3.1 Konstruktion einer Astroide
Auch bei der Konstruktion geht man analog zur Deltoide vor. Es werden genauso
72 Punkte in 5°-Intervallen auf einem Kreis eingezeichnet. Der Unterschied
besteht beim Verbinden dieser Punkte. Im Falle der Astroide werden auf einer

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 19
Seite des Durchmessers (Verbindung der Punkte 0 und 36) Dreierschritte, also
15°-Schritte gemacht, während auf der anderen Seite wieder Einerschritte gemacht
werden (Abb. 1.10). Das heiÿt, es werden die Punkte 0 und 36, 1 und 33,
2 und 30 usw. miteinander verbunden. Alles Weitere geschieht wieder analog
zur Deltoide.
Abbildung 1.10: Konstruktion einer Astroide
Abbildung 1.11: Astroide als Hüllkurve

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 20
1.3.2 Parametergleichung der Astroide
Die Herleitung der Parametergleichung der Astroide ist identisch mit jener der
Deltoide (siehe Abschnitt 1.2.2) eine detaillierte Abbildung bendet sich im
Anhang (Abb. A.3). In diesem Fall gilt allerdings R ∶ r = 4 ∶ 1 . Einsetzen dieses
Radiusverhältnisses in (1.3) bzw. (1.4) ergibt die Parametergleichung
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ = ⎛ ⎝
3r cos(t) + r cos(3t)
3r sin(t) − r sin(3t)
⎞
⎠ .
1.4 Die Kardioide
Die Kardioide entsteht, wenn ein Kreis auÿen auf einem festen Kreis mit gleichem
Radius rollt (Abb. 1.12). Sie ist also ein Epizykloide.
Abbildung 1.12: Entstehung einer Kardioide
(Konstruktion aufrufbar unter http://www.geogebratube.org/student/m28722)
1.4.1 Konstruktion einer Kardioide
In die Mitte des Papiers ist ein Kreis zu zeichnen (siehe Abb. 1.13). Der Radius
dieses Kreises sollte etwa ein Sechstel der kürzeren Seite des Papiers sein.
Anschlieÿend markiert man einen Punkt A auf dem Kreis und zeichnet weitere
n Punkte Q 1 bis Q n in äquidistanten Abständen am Kreis ein. Der Wert für n
sollte nicht kleiner sein als 15. Nun sind n weitere Kreise mit den Mittelpunkten
Q 1 bis Q n und den Radien Q 1 A bis Q n A zu zeichnen. Die Einhüllende all dieser
Kreise ist die Kardioide (Abb. 1.13). Die Spitze der Kardioide ist im Punkt A
(vgl. Lockwood, 1971).

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 21
Abbildung 1.13: Konstruktion einer Kardioide als Hüllkurve
1.4.2 Parametergleichung der Kardioide
In Abbildung 1.14 ist die Position des Punktes P in Abhängigkeit des Winkels
t und der Radien R und r zu bestimmen (vgl. Thomas, 2010).
Die x-Koordinate kann berechnet werden über die Länge der beiden Strecken
OM ′ und P ′ M ′ : x = OM ′ − P ′ M ′ . Die Strecke OM ′ wird über das Dreieck
OM ′ M bestimmt:
OM ′ = (R + r) cos(t).
P ′ M ′ ist gleich lang wie die Strecke P P ′′ , welche über das Dreieck P P ′′ M
bestimmt werden kann:
P ′ M ′ = P P ′′ = r cos(α). (1.5)
Es bleibt also der Winkel α zu berechnen. Aufgrund des Rollen des Kreises,
sind die beiden Kreisbögen BQ und BP gleich lang. Folglich gilt R t = r γ, also
γ = R t. Betrachtet man nun das Dreieck OAM, so sieht man β = π − t − γ =
r

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 22
Abbildung 1.14: Kardioide mit Details (Thomas, 2010)
π − (1 + R ) t. Da die beiden Winkel α und β supplementär sind, gilt:
r
α = (1 + R ) t. (1.6)
r
Nun setzt man α in Gleichung (1.5) ein und erhält die x-Koordinate der Kardioide:
x = OM ′ − P ′ M ′ = (R + r) cos(t) − r cos ((1 + R ) t) . (1.7)
r
Die Vorgehensweise für die y-Koordinate ist sehr ähnlich: y = P P ′ = P ′′ M ′ =
MM ′ −MP ′′ . MM ′ kann über das Dreieck OM ′ M berechnet werden und MP ′′
über das Dreieck P P ′′ M:
MM ′ = (R + r) sin(t),
MP ′′ = r sin(α).
Unter Verwendung von (1.6) ergibt sich die y-Koordinate zu
y = MM ′ − MP ′′ = (R + r) sin(t) − r sin ((1 + R ) t) . (1.8)
r
Da die Radien des festen und des rollenden Kreises bei der Kardioide gleich

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 23
sein müssen, sieht die endgültige Form wie folgt aus:
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ = ⎛ ⎝
2r cos(t) − r cos(2t)
2r sin(t) − r sin(2t)
⎞
⎠ .
1.5 Die Nephroide
Die Nephroide ist ebenfalls eine Epizykloide. Sie entsteht wenn ein Kreis auf
einem festen Kreis mit doppeltem Radius rollt (Abb. 1.15). Der Unterschied zur
Kardioide ist also wiederum nur das Verhältnis der Radien.
Abbildung 1.15: Entstehung einer Nephroide
(Konstruktion aufrufbar unter http://www.geogebratube.org/student/m28724)
1.5.1 Konstruktion einer Nephroide
Man nimmt das Papier im Hochformat und zeichnet in die Mitte eine waagrechte
Linie quer über das Blatt. Mit der Mitte dieser Linie als Mittelpunkt ist ein Kreis
zu zeichnen. Der Radius dieses Kreises darf maximal ein Drittel der kürzeren
Seitenlänge betragen. Auf diesem Kreis sind gleichverteilt etwa 20 Punkte zu
markieren. Jeder dieser 20 Punkte ist der Mittelpunkt eines weiteren Kreises.
Diese 20 Kreise sind so zu zeichnen, dass sie die eingangs gezeichnete waagrechte
Linie berühren (Abb. 1.16). Die Einhüllende dieser Kreise ist die Nephroide (vgl.
Lockwood, 1971).

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 24
Abbildung 1.16: Konstruktion einer Nephroide als Hüllkurve
1.5.2 Parametergleichung der Nephroide
Da die Nephroide ebenfalls eine Epizykloide ist, ist die Vorgehensweise bei der
Herleitung der Parametergleichung analog zu jener der Kardioiden (siehe Abschnitt
1.4.2) eine detaillierte Abbildung bendet sich wieder im Anhang (Abb.
A.5). Der Radius des festen Kreises ist hier allerdings doppelt so groÿ wie der
des rollenden Kreises. Man muss also in die x- bzw. y-Koordinate der Kardioide
((1.7) bzw. (1.8)) R = 2r einsetzen und erhält
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ = ⎛ ⎝
3r cos(t) − r cos(3t)
3r sin(t) − r sin(3t)
⎞
⎠ .

Kapitel 2
Evoluten
In jedem Punkt einer Kurve, in dem die Krümmung ungleich Null ist, kann ein
Krümmungskreis erstellt werden. Der Krümmungskreis schmiegt sich in einem
kleinen Bereich um diesen Punkt der Kurve an die Tangenten stimmen dort
überein. Die Mittelpunkte dieser Kreise beschreiben dann eine neue Kurve: die
Evolute. Die Evolute einer Kurve ist also die Bahn des Krümmungsmittelpunktes
(Abb. 2.1). Die Ursprungskurve, aus der eine Evolute entsteht, nennt man
Evolvente.
Abbildung 2.1: Parabel mit Krümmungskreisen und Evolute
Die Idee neue Kurven auf diese Art und Weise aus anderen Kurven abzuleiten
stammt ursprünglich von Huygens, der sich in der zweiten Hälfte des 17.
25

KAPITEL 2. EVOLUTEN 26
Jahrhunderts bei seinen Arbeiten zur Ausbreitung von Licht damit beschäftigte.
Ein ähnliches Konzept kann allerdings bereits in den Büchern über Kegelschnitte
von Apollonius (etwa 200 v. Chr.) entdeckt werden (vgl. Yates, 1947).
2.1 Herleitung der Parameterdarstellung der Evolute
Um die Parameterdarstellung der Evolute angeben zu können, müssen Krümmung
und Krümmungsmittelpunkt hergeleitet werden (vgl. Lawrence, 1972).
Zwischen zwei Punkten einer Kurve sei die Bogenlänge ∆s. Die Tangenten
an die Kurve in den beiden Punkten schlieÿen mit der x-Achse im Allgemeinen
unterschiedliche Winkel ein: Deren Dierenz sei ∆φ. Die Krümmung ist nun
deniert als das Verhältnis ∆φ/∆s. Lässt man den Abstand zwischen den beiden
Punkten gegen Null gehen, so erhält man die Krümmung einer Kurve in einem
Punkt
∆φ
κ = lim
∆s→0 ∆s = dφ
ds . (2.1)
Entsprechend ist der Krümmungsradius der Kehrwert der Krümmung
ρ = ds
dφ = 1 κ . (2.2)
Unter Verwendung der Kettenregel gilt für die Krümmung
κ = dφ
dx ⋅ dx
ds . (2.3)
Ist die Kurve in der Form y = f(x) gegeben und ist φ der Winkel der Tangente
mit der x-Achse (Abb. 2.2), so gilt tan(φ) = dy
dx = y′ . Folglich ergibt sich
dφ
dx = d
1
dx (arctan(y′ )) =
1 + (y ′ ) 2 ⋅ y′′ . (2.4)
Für ein innitesimal kleines Stück der Bogenlänge gilt
(ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2
( ds
dx ) 2
= 1 + ( dy
dx ) 2
ds
dx = √
1 + (y ′ ) 2 . (2.5)

KAPITEL 2. EVOLUTEN 27
Setzt man (2.4) und (2.5) in (2.3) ein, so ergibt sich für die Krümmung
κ =
1
1 + (y ′ ) 2 ⋅ y′′ ⋅
Der Krümmungsradius folgt aus (2.2):
1
√ = y ′′
. (2.6)
1 + (y ′ ) 2 (1 + (y ′ ) 2 ) 3 /2
ρ = (1 + (y′ ) 2 ) 3 /2
y ′′ . (2.7)
Da Kurven häug in der Parameterform x = x(t) und y = y(t) gegeben sind,
werden obige Terme noch umgeschrieben. Mit dx
dy
= ẋ und = ẏ, gilt
dt dt
y ′′ = d ( ẏ
ẋ )
dx
y ′ = dy
dx = ẏ
ẋ , (2.8)
= d ( ẏ
ẋ )
⋅ dt ẋÿ − ẍẏ
= ⋅ 1 ẋÿ − ẍẏ
= . (2.9)
dt dx ẋ 2 ẋ ẋ 3
Die Krümmung in Parameterform sieht dann folgendermaÿen aus (Einsetzen
von (2.8) und (2.9) in (2.6)):
ẋÿ−ẍẏ
ẋ 3
κ =
= ẋÿ − ẍẏ
= ẋÿ − ẍẏ
(1 + ( ẏ
3/2
ẋ )2 ) ẋ 3 ( ẋ2 +ẏ 2
) 3 /2
(ẋ 2 + ẏ 2 ) . (2.10)
3 /2
ẋ 2
Für den Krümmungsradius in Parameterform gilt entsprechend (siehe (2.2)):
ρ = (ẋ2 + ẏ 2 ) 3 /2
. (2.11)
ẋÿ − ẍẏ
In weiterer Folge muss der Krümmungsmittelpunkt hergeleitet werden. Abbildung
2.2 ist zu entnehmen, dass
Auÿerdem sieht man sofort (Pythagoras)
sin(φ) =
y
√
x2 + y 2 =
cos(φ) =
α = x − ρ sin(φ), (2.12)
β = y + ρ cos(φ). (2.13)
y
x
√ = y ′
1 + (
√1 , (2.14)
y x )2 + (y ′ ) 2
x
√
x2 + y 2 = 1
√1 + (y ′ ) 2 . (2.15)

KAPITEL 2. EVOLUTEN 28
Abbildung 2.2: Krümmungsmittelpunkt (Yates, 1947)
Setzt man nun (2.14), (2.15) und (2.7) in (2.12) und (2.13) ein, so erhält man
die Koordinaten des Mittelpunkts des Krümmungskreises:
α = x − (1 + (y′ ) 2 ) 3 /2
y ′
⋅
y ′′ √ = x − y′ (1 + (y ′ ) 2 )
,
1 + (y ′ ) 2 y ′′
β = y + (1 + (y′ ) 2 ) 3 /2
1
⋅
y ′′ √ = y + 1 + (y′ ) 2
.
1 + (y ′ ) 2 y ′′
Um dasselbe auch in Parameterdarstellung angeben zu können, müssen die Winkelfunktionen
in Abhängigkeit von t angegeben werden (einsetzen von (2.8) in
(2.14) bzw. (2.15))
ẏ
sin(φ) = √ẋ2
+ ẏ , (2.16)
2
cos(φ) =
ẋ
√ẋ2
+ ẏ 2 . (2.17)
Die Parameterdarstellung der Evoluten ergibt sich nun, indem man (2.16), (2.17)
und (2.11) in (2.12) und (2.13) einsetzt:
α = x − (ẋ2 + ẏ 2 ) 3 /2
ẋÿ − ẍẏ
⋅
ẏ
√ẋ2
+ ẏ = x − ẏ ⋅ ẋ2 + ẏ 2
2 ẋÿ − ẍẏ , (2.18)
β = y + (ẋ2 + ẏ 2 ) 3 /2
ẋÿ − ẍẏ
⋅
ẋ
√ẋ2
+ ẏ 2 = y + ẋ ⋅ ẋ2 + ẏ 2
ẋÿ − ẍẏ . (2.19)

KAPITEL 2. EVOLUTEN 29
2.2 Evolute der Ellipse
In diesem Abschnitt wird behandelt, wie die Evolute einer konkreten Kurve,
nämlich einer Ellipse aussieht. In Abbildung 2.3 kann man die Form der Kurve
bereits erahnen.
Abbildung 2.3: Ellipse mit Krümmungskreisen
Die Parametergleichung der Ellipse lautet
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ = ⎛ ⎝
a cos(t)
b sin(t)
⎞
⎠ .

KAPITEL 2. EVOLUTEN 30
Folglich sind die Ableitungen nach t:
ẋ = −a sin(t) ẍ = −a cos(t)
ẏ = b cos(t) ÿ = −b sin(t) .
Eingesetzt in (2.18) bzw. (2.19) ergibt das die Evolute der Ellipse:
α = a cos(t) − b cos(t) ⋅
(−a sin(t)) 2 + (b cos(t)) 2
(−a sin(t)) (−b sin(t)) − (−a cos(t)) b cos(t)
= a cos(t) − b cos(t) ⋅ a2 (1 − cos 2 (t)) + b 2 cos 2 (t)
ab sin 2 (t) + ab cos 2 (t)
= a cos(t) − b cos(t) ⋅ a2 + (−a 2 + b 2 ) cos 2 (t)
ab
= a cos(t) − a cos(t) − (−a2 + b 2 ) cos 3 (t)
a
a 2 − b 2
= ⋅ cos 3 (t)
a
β = b sin(t) − a sin(t) ⋅
(−a sin(t)) 2 + (b cos(t)) 2
(−a sin(t)) (−b sin(t)) − (−a cos(t)) b cos(t)
= b sin(t) − a sin(t) ⋅ a2 sin 2 (t) + b 2 (1 − sin 2 (t))
ab sin 2 (t) + ab cos 2 (t)
= b sin(t) − a sin(t) ⋅ b2 + (a 2 − b 2 ) sin 2 (t)
ab
= b sin(t) − b sin(t) − (a2 − b 2 ) sin 3 (t)
b
b 2 − a 2
= ⋅ sin 3 (t)
b
Die Evolute der Ellipse hat daher folgende Parametrisierung
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ = ⎛ ⎝
a 2 −b 2
a
b 2 −a 2
b
⋅ cos 3 (t)
⋅ sin 3 (t)
⎞
⎠ .
Für den Fall, dass für die Koezienten a = 5 und b = 3 gewählt wurde, ist in
Abbildung 2.4 die Ellipse und ihre Evolute gezeichnet. Die Evolute einer Ellipse
ist also eine Astroide.

KAPITEL 2. EVOLUTEN 31
Abbildung 2.4: Ellipse und ihre Evolute
2.3 Evolute der Kardioide
Als ein weiteres Beispiel zu Evoluten wird hier noch die Kardioide besprochen.
Die Parametergleichung der Kardioide lautet
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ = ⎛ ⎝
2 cos(t) − cos(2t)
2 sin(t) − sin(2t)
⎞
⎠ .
Folglich sind die Ableitungen nach t:
ẋ = −2 sin(t) + 2 sin(2t) ẍ = −2 cos(t) + 4 cos(2t)
ẏ = 2 cos(t) − 2 cos(2t) ÿ = −2 sin(t) + 4 sin(2t) .
Eingesetzt in (2.18) ergibt das die erste Komponente der Evolute der Kardioide:
α = 2 cos(t) − cos(2t) − (2 cos(t) − 2 cos(2t)) ⋅
(−2 sin(t) + 2 sin(2t)) 2 + (2 cos(t) − 2 cos(2t)) 2
(−2 sin(t) + 2 sin(2t)) (−2 sin(t) + 4 sin(2t)) − (−2 cos(t) + 4 cos(2t)) (2 cos(t) − 2 cos(2t))

KAPITEL 2. EVOLUTEN 32
Abbildung 2.5: Kardioide mit Krümmungskreisen
α = 2 cos(t) − cos(2t) − (2 cos(t) − 2 cos(2t)) ⋅
4 sin 2 (t) − 8 sin(t) sin(2t) + 4 sin 2 (2t) + 4 cos 2 (t) − 8 cos(t) cos(2t) + 4 cos 2 (2t)
4 sin 2 (t) − 12 sin(t) sin(2t) + 8 sin 2 (2t) + 4 cos 2 (t) − 12 cos(t) cos(2t) + 8 cos 2 (2t)
α = 2 cos(t) − cos(2t) − (2 cos(t) − 2 cos(2t)) ⋅
8 (− sin(t) sin(2t) − cos(t) cos(2t) + 1)
12 (− sin(t) sin(2t) − cos(t) cos(2t) + 1)
α = 2 cos(t) − cos(2t) − 4 3 cos(t) + 4 3 cos(2t)
Völlig analog berechnet sich β:
α = 2 3 cos(t) + 1 3 cos(2t)
β = 2 3 sin(t) + 1 3 sin(2t).

KAPITEL 2. EVOLUTEN 33
Die Parameterdarstellung der Evolute der Kardioide ist also
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ = ⎛ ⎝
2
3 cos(t) + 1 3 cos(2t) ⎞
2
3 sin(t) + 1 3 sin(2t) ⎠ .
Man sieht, dass die Evolute einer Kardioide wieder eine Kardioide ist (Abb.
2.6). Generell gilt, dass Evoluten von Hypo- oder Epizykloiden wieder Kurven
derselben Art sind (Yates, 1947).
Abbildung 2.6: Kardioide und ihre Evolute

Kapitel 3
Kaustiken
In der Optik beschreibt eine Kaustik die Einhüllende von Lichtstrahlen, die
entweder an einem runden Gegenstand gebrochen oder reektiert wurden. Beschreibt
man den runden Gegenstand durch die Kurve C, so spricht man von der
Kaustik der Kurve C. Die Kaustiken, die durch gebrochene Strahlen entstehen
nennt man Diakaustiken, jene, die durch reektierte Strahlen entstehen nennt
man Katakaustiken (vgl. Lawrence, 1972; Yates, 1947). In diesem Kapitel wird
ausschlieÿlich die Katakaustik des Kreises behandelt.
Im Alltag werden Kaustiken zum Beispiel dann wahrgenommen, wenn die
Sonne schräg auf eine groÿteils gefüllte Kaeetasse scheint. Die an der Innenseite
der Tasse reektierten Strahlen erzeugen die sogenannte Kaeetassen-
Katakaustik (Abb. 3.1).
Geschichtlich wurde diese Art von Kurven erstmals 1681 von Ehrenfried W.
von Tschirnhausen in einem Brief an Leibniz erwähnt. Beide beschäftigten sich
in den Folgejahren mit dem Phänomen der Kaustik. Neben ihnen hat auch noch
Bernoulli diese Theorie mit gröÿerem Erfolg bearbeitet (vgl. Loria, 1902).
3.1 Katakaustik des Kreises
Ein (Licht-)Strahl hat in Parameterdarstellung die Form
s(t) = Q + t ⋅ a,
wobei Q die Lichtquelle (also ein Punkt) und a ein Vektor im R 2 ist.
Ist c(λ) die Parameterdarstellung des Kreises, so gilt c(λ) = ⎛ cos(λ) ⎞
⎝ sin(λ) ⎠ mit
0 ≤ λ ≤ 2π. Für jeden Punkt am Kreis, also für jedes λ zwischen 0 und 2π, gibt
34

KAPITEL 3. KAUSTIKEN 35
(a) Einfallende Strahlen (Ucke u. Engelhardt,
1996)
(b) Resultat (Wikipedia, a)
Abbildung 3.1: Kaeetassen-Katakaustik
es genau einen einfallenden Strahl (Abb. 3.2)
s e (t) = Q + t ⋅ v,
wobei v = c(λ) − Q, der Richtungsvektor von s e .
Der Einfallswinkel θ ist der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und
dem Lot, also der Normalen auf die Tangente von c an der Stelle λ:
θ = ∡ (v, n ⋅ ċ(λ)) ,
mit der Drehmatrix n = ⎛ 0 −1 ⎞
⎝ 1 0 ⎠ .
Der Strahl wird im Punkt c(λ) reektiert das entspricht einer Drehung des
einfallenden Strahls um 2θ + π (Abb. 3.2). Für den reektierten Strahl ergibt
sich daher schlussendlich
s r (t) = c(λ) + t ⋅ v ′ ,
mit v ′ = ⎛ cos(2θ + π) − sin(2θ + π) ⎞
⋅ v. Die Hüllkurve dieser reektierten
⎝ sin(2θ + π) cos(2θ + π) ⎠
Strahlen heiÿt Katakaustik (vgl. Thomas, 2010).
Zur Berechnung dieser Hüllkurven: Die reektierten Strahlen s r hängen von
den Parametern λ und t ab. Sie können also geschrieben werden als C(λ, t) =
(C 1 (λ, t), C 2 (λ, t)) . Zur Berechnung benötigt man die Jacobimatrix von C(λ, t),
also
J(C) = ⎛ ∂
∂λ C ∂
1(λ, t)
∂t C 1(λ, t) ⎞
∂
⎝
∂λ C ∂
2(λ, t)
∂t C 2(λ, t) ⎠ . (3.1)
Die Hüllkurve ergibt sich nun durch Nullsetzen der Determinante dieser Jacobimatrix
(eine Herleitung ndet sich in Thomas (2010); ein Beispiel dazu im

KAPITEL 3. KAUSTIKEN 36
Abbildung 3.2: Entstehung einer Katakaustik (Thomas, 2010)
folgenden Abschnitt).
Für den Fall von Sonnenstrahlen, also für den Fall von parallel einfallenden
Strahlen vereinfachen sich die Formeln für s e und s r . Der Richtungsvektor v ist
hier für alle einfallenden Strahlen ⎛ 1 ⎞
, als Aufpunkt wird jeweils der Punkt
⎝ 0 ⎠
der Reexion gewählt:
s e (t) = c(λ) + t ⋅ ⎛ 1 ⎞
⎝ 0 ⎠ , (3.2)
s r (t) = c(λ) + t ⋅ ⎛ ⎝
cos(2θ + π)
sin(2θ + π)
⎞
⎠ . (3.3)
3.2 Beispiel Kaeetassen-Katakaustik
Hierbei handelt es sich genau um den gerade zuvor erwähnten Fall der parallel
einfallenden Sonnenstrahlen. Die Kaeetasse wird durch einen Kreis simuliert.
Die Gleichung der einfallenden Strahlen (vgl. (3.2)) sieht daher folgendermaÿen
aus:
s e (t) = ⎛ cos(λ) ⎞
⎝ sin(λ) ⎠ + t ⋅ ⎛ 1 ⎞
⎝ 0 ⎠ .
Der Winkel θ zwischen einfallendem Strahl und Lot ist gleich λ, wie man

KAPITEL 3. KAUSTIKEN 37
Abbildung 3.3 entnehmen kann.
Abbildung 3.3: Parallel einfallender Strahl (Thomas, 2010)
Für den Richtungsvektor des reektierten Strahls (Gleichung (3.3)) benötigt
man den Winkel 2θ + π = 2λ + π:
s r (t) = ⎛ ⎝
cos(λ)
sin(λ)
⎞
⎠ + t ⋅ ⎛ ⎝
cos(2λ + π)
sin(2λ + π)
⎞
⎠ = ⎛ ⎝
cos(λ)
sin(λ)
⎞
⎠ + t ⋅ ⎛ ⎝
− cos(2λ)
− sin(2λ)
⎞
⎠ .
Berechnen der Jacobimatrix durch Einsetzen in Gleichung (3.1):
J(s r ) = ⎛ ⎝
− sin(λ) + 2t sin(2λ)
cos(λ) − 2t cos(2λ)
− cos(2λ)
− sin(2λ)
⎞
⎠ .
Die Determinante dieser Matrix ist
det (J(s r )) = sin(λ) sin(2λ) − 2t sin 2 (2λ) + cos(λ) cos(2λ) − 2t cos 2 (2λ).
Nullsetzen und Auösen nach t ergibt
det (J(s r )) = 0
sin(λ) sin(2λ) + cos(λ) cos(2λ) − 2t = 0
sin(λ) 2 sin(λ) cos(λ) + cos(λ) (cos 2 (λ) − sin 2 (λ)) = 2t
sin 2 (λ) cos(λ) + cos 3 (λ) = 2t
cos(λ) (sin 2 (λ) + cos 2 (λ)) = 2t
cos(λ)
2
= t

KAPITEL 3. KAUSTIKEN 38
Die Hüllkurve H(λ) hat also folgende Form:
H(λ) = ⎛ ⎝
= ⎛ ⎝
cos(λ)
sin(λ)
⎞
⎠ + cos(λ) ⋅ ⎛ 2 ⎝
− cos(2λ)
− sin(2λ)
cos(λ) − 1 cos(λ) cos(2λ) ⎞
2
sin(λ) − 1 2 cos(λ) sin(2λ) ⎠ . (3.4)
⎞
⎠
Abbildung 3.4: Hüllkurve der Sonnenstrahlen
Die Kurve in Abbildung 3.4 sieht aus wie eine Nephroide. Tatsächlich lässt
sich Gleichung (3.4) unter Verwendung von trigonometrischen Identitäten noch
umformen auf
H(λ) = 1 4 ⋅ ⎛ 3 cos(λ) − cos(3λ) ⎞
⎝ 3 sin(λ) − sin(3λ) ⎠
und hat damit dieselbe Form, wie die in Abschnitt 1.5 vorgestellte Nephroide!
In der Kaeetasse ist freilich nur eine Hälfte der Nephroide sichtbar.
3.3 Unterschiedliche Positionen der Lichtquelle
In Abschnitt 3.2 wurde der einfachste Fall, nämlich jener, wo sich die Lichtquelle
im Unendlichen bendet, behandelt. Die Lichtquelle kann drei weitere
unterschiedliche Positionen einnehmen: Sie kann sich innerhalb des Kreises, auÿerhalb
des Kreises oder genau auf dem Kreis benden. Mathematisch sind
diese drei Fälle deutlich aufwendiger als jener in Abschnitt 3.2, deshalb habe
ich die Hüllkurven der reektierten Strahlen nicht berechnet, sondern nur mit

KAPITEL 3. KAUSTIKEN 39
GeoGebra geometrisch konstruiert. 1
Der Punkt der Lichtquelle kann in dieser Konstruktion beliebig auf der positiven
x-Achse bewegt werden (aufgrund der Symmetrie sind diese möglichen
Positionen ausreichend). Die Lichtstrahlen und die entstehende Katakaustik ändern
sich dynamisch mit. Man hat die Möglichkeit nur die Strahlen, nur die
entstehende Kaustik oder beides einzublenden. Die Abbildungen 3.5 bis 3.7 zeigen
nun die Ergebnisse für die oben genannten Positionen der Lichtquelle (man
vergleiche die Abbildungen mit jenen von Yates (1947) auf Seite 16):
Abbildung 3.5: Lichtquelle auÿerhalb des Kreises
1 Konstruktion aufrufbar unter http://www.geogebratube.org/student/m28726

KAPITEL 3. KAUSTIKEN 40
Abbildung 3.6: Lichtquelle am Kreis
Abbildung 3.7: Lichtquelle innerhalb des Kreises

Teil II
Didaktische Analyse zum
Thema Kurven
41

Einleitung
In diesem Teil der Arbeit geht es um den Einsatz von Kurven im Mathematikunterricht.
In Kapitel 4 wird begründet, warum Kurven im Mathematikunterricht
vorkommen sollten und welche möglichen Zugänge sich anbieten würden.
Auÿerdem werden Probleme der momentan gängigen Herangehensweise an
die Kurvendiskussion in der siebenten Klasse aufgezeigt. Weiters werden Ideen
gesammelt, welche Kurven in welchen Schulstufen behandelt werden könnten
und welche fächerübergreifenden Möglichkeiten sich bieten. Zum Abschluss dieses
Kapitels werden noch die Chancen, die sich mit Dynamischer Geometrie-
Software auftun, aber auch Probleme damit, thematisiert.
In Kapitel 5 wurden drei Unterrichtsvorschläge für den vertiefenden Wahlpichtgegenstand
ausgearbeitet. In jedem dieser Vorschläge spielt die Dynamische
Geometrie-Software GeoGebra eine wesentliche Rolle. Zuerst wurde eine
Gruppenarbeit zu Rollkurven gestaltet: Die Schüler sollen hier mit Hilfestellungen
die Parameterdarstellung der Zykloide, Deltoide, Astroide, Kardioide oder
Nephroide herleiten. Der zweite Vorschlag behandelt die Krümmung von Kurven.
Sie wird hier eingeführt und über Krümmungskreise hergeleitet. Später wird
als Anwendung der Krümmung die Verbindung zweier Bahngleise modelliert. Bei
der dritten Einheit wird in einer Partnerarbeit der Einfall der Sonnenstrahlen
auf die Innenseite einer Kaeetasse mit GeoGebra simuliert es entsteht dabei
die Kaeetassen-Katakaustik.
42

Kapitel 4
Kurven im Unterricht
4.1 Warum sollten Kurven im Mathematikunterricht
vorkommen
Obwohl der Lehrplan für die AHS-Oberstufe in der siebenten Klasse explizit
das Beschreiben von ebenen Kurven durch Parameterdarstellungen (Bundesministerium
für Unterricht, Kunst und Kultur, 2010a) verlangt, wird die Parameterdarstellung
im Mathematikunterricht vorwiegend für Geraden verwendet.
Geraden sind zwar auch Kurven, allerdings nur ein Trivialfall davon. Wenn (gekrümmte)
Kurven im Unterricht behandelt werden, dann meist als Graphen von
Funktionen oder als Kegelschnitte. Verschiedenartige Parameterkurven, wie etwa
die Zykloide, werden selten unterrichtet, dennoch gibt es genügend Gründe,
warum solche Kurven im Unterricht behandelt werden sollten:
Kurven treten häug in der Technik und der Physik auf, so zum Beispiel als
Bahnen bestimmter Massenpunkte in Gelenken, Kurbeln oder Motoren. Während
Anwendungen aus Technik und Physik im Mathematikunterricht selten
Einzug halten, nden Zugänge aus der Kunst kaum Berücksichtigung. Gerade
dort treten Kurven in vielfältigen Variationen auf: als Umrisse, Schattenränder
oder andere kreative Gestaltungselemente (Abb. 4.1). Diese kunstvollen Gebilde
könnten Schüler ansprechen, für die der algorithmische Aspekt der Mathematik
allein schwerer zugänglich ist. Ebenso kommen Kurven scheinbar überall in der
Natur vor, beispielsweise die spiralförmige Muschel und würde es nicht den
Forscherdrang der Schüler wecken, wenn sie die Möglichkeit hätten, Erscheinungen
in der Natur, der Kunst oder der Technik mathematisch zu beschreiben
In Abschnitt 5.3 wird ein Beispiel gegeben, wie Schüler eine durch reektierte
Sonnenstrahlen entstandene Kurve mathematisch behandeln können. Das Aussehen
vieler Kurven ist faszinierend nicht umsonst wird im Zusammenhang
43

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 44
mit Kurven gerne von der Schönheit der Mathematik (Heitzer, 2005) gesprochen,
allerdings enthält deren Erzeugung, Beschreibung und Untersuchung auch
sehr viel Mathematik (vgl. Heitzer, 2005; Schupp, 1998).
Abbildung 4.1: Kurven in der Kunst
Des Weiteren haben Kurven in der gesamten Geschichte der Mathematik
eine wichtige Rolle gespielt. Bereits die griechischen Mathematiker untersuchten
Kurven im Zusammenhang mit der Lösung klassischer Probleme, wie etwa
der Kreisquadratur. Ebenfalls sehr früh befassten sich Menächmus, Euklid und
Apollonius mit Kegelschnitten (vgl. Schupp, 1998). Etwa 100 n. Chr. stellte Ptolemäus
seine Epizykeltheorie (Abb. 4.2) vor, in der er die Planetenbewegungen
beschreibt. Ausgehend vom geozentrischen Weltbild beschrieb Ptolemäus die
Bahnen der Planeten jeweils durch sich überlagernde Kreisbewegungen, denn
nur die gleichförmige Kreisbewegung war vollkommen genug um überirdische
Vorgänge zu beschreiben. Diese Theorie war derart präzise, dass sie sich bis zu
Keplers Zeiten (etwa 1500 Jahre später; in der katholischen Kirche freilich noch
länger) hielt. Eine detailliertere Beschreibung geben Tietze u. a. (2000).
Abbildung 4.2: Epizykeltheorie (Wikipedia, b)

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 45
Auch später waren Kurven in der Mathematik allgegenwärtig: Dürer verwendete
Epitrochoiden 1 in seinen Arbeiten, Descartes höhere algebraische Kurven
und Leibniz und Newton haben mittels Kurvenproblemen die Dierential- und
Integralrechnung vorangetrieben. Heute untersucht die algebraische Geometrie
Kurven als Nullstellenmengen in der komplexen Ebene (vgl. Schupp, 1998).
Kurven erlauben wie nur wenige andere Themengebiete objektorientierten
Unterricht. Im Mathematikunterricht stehen oft Methoden (Algorithmen) im
Vordergrund und Objekte werden nur danach ausgewählt, wie nützlich sie sind,
diese Methoden zu demonstrieren. So werden zum Beispiel in der siebenten Klasse
jene Funktionen, also Objekte, ausgewählt, die sich am besten dafür eignen
Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte etc. zu bestimmen. Man könnte allerdings
auch den umgekehrten Weg gehen und bestimmte mathematisch interessante
Kurven auswählen und sich erst anschlieÿend Gedanken machen, welche
Berechnungen bei dieser Kurve sinnvoll sind. Im Zentrum des Unterrichts könnte
also das Objekt Kurve stehen, das es näher zu erkunden gilt. Beginnend mit
oensichtlichen und leicht zu erklärenden Eigenschaften und später vordringend
zu schwierigeren Merkmalen und Beziehungen. Die Vorzüge dieser Herangehensweise
sind einerseits, dass automatisch oener Unterricht entsteht, da die Schüler
die Vorgehensweise bei der Erkundung selbst beeinussen und andererseits wirkt
es dem Schubladendenken entgegen, wonach die Schulmathematik in bestimmte
Kapitel aufgeteilt ist, die eigene Methoden und dazugehörige Objekte besitzen,
welche wenig miteinander zu tun haben (vgl. Schupp, 1998).
Bei der Behandlung von Kurven können wesentliche Schülertätigkeiten gefördert
werden (vgl. Schupp, 1998):
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
beobachten und registrieren: Welche Gestalt hat diese Kurve (Symmetrien,
Geschlossenheit, Spitzen, Schleifen etc.)
experimentieren: Software macht es möglich man sieht sofort die Auswirkungen,
wenn man beispielsweise am Konstruktionspunkt zieht oder
Parameter abändert.
vermuten: Was haben zwei bestimmte Kurven gemeinsam bzw. was unterscheidet
sie Wie groÿ sind Fläche und Umfang dieser Kurve Schneidet
sich diese Schleifenkurve rechtwinklig
reektieren: Kommen diese Kurven in der Wirklichkeit auch vor, oder
haben sie nur innermathematisches Interesse
In Abschnitt 4.5 wird erklärt warum das Thema Kurven in ganz besonderer
Weise von Dynamischer Geometrie-Software (DGS) und Computer-Algebra-
Systemen (CAS) protieren kann.
1 Eine Beschreibung und Denition dieser Kurven ndet man bei Yates (1947).

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 46
4.2 Verschiedene Zugänge zu Kurven
Kurven kann man sich im Unterricht auf unterschiedlichste Art und Weise nähern.
Die wohl gebräuchlichste aller Herangehensweisen ist der Funktionsgraph.
Geraden werden bereits in der Unterstufe in das Koordinatensystem gezeichnet
(Geraden parallel zur y-Achse stellen freilich keine Funktionen dar). In der
Oberstufe folgen meist Parabeln, trigonometrische Funktionen oder die Exponentialfunktion.
Explizite Funktionen mit kartesischen Koordinaten werden im
Mathematikunterricht häuger behandelt als Polarkoordinaten oder implizit gegebene
Funktionen. Dieser Zugang hat den Vorteil, dass er die Verbindung zur
Algebra schlägt, nämlich über den Zusammenhang zwischen Kurven und den
Lösungsmengen von Gleichungen (vgl. Heitzer, 2005).
Ein weiterer in der Schule beliebter Zugang ist über die Ortslinie, also eine
Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften. Dies wird in erster Linie
bei Kegelschnitten genutzt. So wird beispielsweise die Ellipse meist als Menge
von Punkten, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten, den
Brennpunkten, konstant ist, eingeführt. Ganz ähnlich führt man die Parabel
als die Menge von Punkten, die von einer gegebenen Gerade und einem festen
Punkt den gleichen Abstand haben, ein.
Abbildung 4.3: Denition Ellipse bzw. Parabel
Der Zugang über historische oder natürliche Vorbilder wäre zwar reizvoll, ist
aber eher unüblich, da bei der Modellierung oftmals schon an Grenzen gestoÿen
wird. Dabei gäbe es unzählige Vorbilder, die man im Unterricht einbauen könnte:
die Golden Gate Bridge als Parabel, die Kettenlinie, spiralförmige Tiermuster,
Ränder von Körpern, Flussläufe und viele andere mehr (vgl. Heitzer, 2005).
In Kombination mit dem Fach Physik bieten sich auch Bewegungsbahnen
oder andere physikalische Problemstellungen an. Man denke nur an die Kep-

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 47
lerschen Gesetze, also an die Bewegung der Planeten auf Ellipsenbahnen. Man
kann aber auch die Bahn des Fahrradventils während der Fahrt oder an den Ansatz
der Schubstange bei einer Dampokomotive beobachten in beiden Fällen
wird eine Zykloide beschreiben (eine detaillierte Ausarbeitung zum Thema Rollkurven
bendet sich in Abschnitt 5.1). Weitere physikalische Fragestellungen
könnten sein: Welche Form nimmt eine dünne Kette, die an zwei Punkten aufgehängt
ist, ein oder welche Bahn ist die schnellste Verbindung zweier Punkte,
wenn ein Gegenstand unter Einuss der Gravitation reibungsfrei gleitet
Eher spielerische Zugänge mittels DGS wären zum Beispiel Hüllkurven. Es ist
oft faszinierend welche Kurven sich aus Überlagerung anderer Kurven ergeben
und dieses Erstaunen könnte bei vielen Schülern durchaus Motivation sein sich
weiter mit diesem Thema zu beschäftigen.
Es ist klar, dass unterschiedliche Kurven einen unterschiedlichen Zugang
erfordern, denn nicht alle Zugänge sind didaktisch gleichwertig. Zu beachten
ist, dass den Schülern je nach Schulstufe unterschiedliche Mittel zur Verfügung
stehen und deshalb manche Zugänge oft von vornherein auszuschlieÿen sind.
Auÿerdem sollte der gewählte Zugang möglichst zwanglos zu den wesentlichen
Eigenschaften der Kurve führen. Im Mathematikunterricht wird üblicherweise
beim einfachsten Fall begonnen, zum Beispiel bei Geraden als Graphen linearer
Funktionen in der Geschichte der Mathematik war das meist genau umgekehrt:
Es wurde mit dem Faszinierenden, und dementsprechend Komplizierten begonnen.
In der Regel führt das von selbst auf die Untersuchung einfacherer Fälle
als Spezialfälle. Diese Herangehensweise könnte auch im Unterricht interessant
sein (vgl. Schupp, 1998; Heitzer, 2005).
4.3 Kurven- vs. Funktionsdiskussion
Kurven sind mehr als Graphen von Funktionen betitelte Günter Steinberg
(1996) einen Artikel in der Zeitschrift Der Mathematikunterricht. Einerseits befasst
sich die Mathematik seit über zwei Jahrtausenden mit Kurven 2 , aber noch
keine 400 Jahre mit Funktionsgraphen und andererseits sind Funktionsgraphen
nicht mehr als eine nachträgliche Visualisierung algebraischer Zusammenhänge,
während Kurven in vielfältigen Formen um uns herum ständig präsent sind (vgl.
Schupp, 1998).
Dieses Zitat weist aber auch auf ein Problem der schulischen Kurvendiskussion
3 hin, denn dort wird quasi ausschlieÿlich mit Funktionen gearbeitet.
Deshalb wird manchmal auch ehrlicherweise von einer Funktionsdiskussion gesprochen.
Die graphische Darstellung von Funktionen zu sein, ist allerdings nur
2 Eine Denition des Begris Kurve ndet man im Artikel von Johanna Heitzer (2005).
3 Eine Erklärung was unter Kurvendiskussion zu verstehen ist, geben Reichel u. a. (1999).

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 48
eine Eigenschaft von Kurven, wenn auch eine ganz fundamentale, da sie bei der
Untersuchung sehr hilfreich ist. Das didaktische Potential wird dadurch aber
bei weitem nicht ausgeschöpft, auch weil viele interessante Kurven keine Funktionsgraphen
sind. Im Mathematikunterricht wird seit jeher groÿer Wert auf den
Funktionsbegri gelegt der Begri der Kurve wird eher der Anschauung überlassen.
Dies führt allerdings dazu, dass die beiden Begrie in den Köpfen der
Schüler verfälscht werden. So halten viele Schüler, vielleicht sogar die meisten,
eine schräg ins Koordinatensystem gezeichnete Parabel, nicht für eine Parabel,
weil sie kein Funktionsgraph ist (vgl. Schupp, 1998; Heitzer, 2005).
Laut Hans Schupp (1998) ist die heutige Kurvendiskussion von einer monotonen
Behandlungsweise gekennzeichnet: Die Vielfalt der Typen, Zugänge,
Darstellungen, Merkmale und Einsichten ist reduziert auf einem Algorithmus,
der sich über alle noch behandelbaren Kurven stülpt. Sogar Lehrbücher (bspw.
Reichel u. a., 1999) schlagen ein durchnummeriertes Schema vor, das es ohne
zu hinterfragen abzuarbeiten gilt. Dadurch wird die Kurvendiskussion zu einem
Musterbeispiel von methodenorientierten und damit objektvernachlässigenden
Unterrichts. Sie verkommt so zu einem Imitationslernen: Bearbeite die vorgegebene
Funktion so wie im Musterbeispiel gesehen. Die Schüler sind hier nicht
wirklich herausgefordert und werden folglich nicht gefördert, denn ein kreativer
Umgang mit Kurven ist so ausgeschlossen (vgl. Schupp, 1998). Hans Schupp
(1998) formuliert es sarkastisch: Kurvendiskussionen unserer Tage zeichnen sich
dadurch aus, dass es nicht um Kurven geht, sondern um Funktionen, und dass
nicht diskutiert, sondern abgearbeitet wird.
Eine Folge dieser Herangehensweise ist, dass Schüler der Meinung sind, dass
Extremwerte und Wendepunkte von der gleichen Art sind, obwohl eine Drehung
der Kurve dies widerlegen würde aber bekanntlich kann man Funktionsgraphen
nicht drehen. Ebenso ist den Schülern die historische Bedeutung vieler
Kurven unbekannt, denn die Funktionsgraphen von heute sind artiziell und
ahistorisch (Schupp, 1998).
Die Entwicklung von Kurven hin zu Funktionen beginnt schon im 18. Jahrhundert
mit Euler, der in seinem Werk Introductio in analysin innitorum,
welches für Lehrbücher lange Zeit prägend war, Funktionen als der Analysis angepasster
bezeichnete und deshalb auf Kurven gröÿtenteils verzichtete. Die weitere
Reduzierung auf Eindeutigkeit und auf die kartesische Zuordnung y = f(x)
erfolgte in den sechziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts und vertrieb höhere
(parametrisierte) Kurven endgültig aus dem Schulalltag. Durch das schnelle
Visualisieren und Abrufen gewünschter Daten mittels DGS und CAS, muss
man sich überlegen wie in Zukunft eine Kurvendiskussion ausschauen soll. Hier
könnte eine Trendumkehr in Richtung Kurven vonstattengehen, allerdings muss
man im gleichen Atemzug befürchten, dass durch diese Möglichkeiten Lernenden

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 49
einfach nur kompliziertere Terme vorgesetzt werden (vgl. Schupp, 1998).
4.4 Einordnung in Schulstufen und fächerübergreifende
Möglichkeiten
4.4.1 Einordnung im Fach Mathematik
Sekundarstufe I
Beschränkt man sich auf das Bild und die geometrische Konstruktion, können
Schüler bereits ab Beginn der Sekundarstufe I mit Kurven arbeiten. Der
Lehrplan (Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur, 2010b) fordert
bereits in der ersten Klasse AHS das Skizzieren von Kreisen und das Verwenden
von Zeichengeräten zur Konstruktion von Kreisen. Dabei könnte bereits aufgezeigt
werden, was alles aus Kreisen entstehen kann, so lassen sich beispielsweise
Kardioiden relativ einfach als Hüllkurve von Kreisen zeichnen (vgl. Thomas,
2010). Wie das geschieht wird in Abschnitt 1.4.1 (Abb. 1.13) erklärt. Auch das
Erkennen von Symmetrien wird bereits in der ersten Klasse verlangt. Zum Suchen
und Finden von Symmetrieachsen eigenen sich Kurven besonders gut: etwa
die Sinuskurve, die Parabel oder aber auch Hypo- und Epizykloiden. Den Schülern
werden diese Kurven einfach zur Untersuchung bezüglich Symmetrieachsen
vorgelegt, ohne dass sie deren Namen oder Bedeutung kennen.
In der vierten Klasse kommt dann einiges an Kurven auf die Schüler zu:
Parabeln und Hyperbeln werden als Funktionsgraphen entdeckt und auÿerdem
werden einige Eigenschaften des Kreises besprochen. Die Formeln für den Umfang
und den Flächeninhalt von Kreisen und Kreisteilen müssen gelernt und
angewendet werden. Erst vier Jahre später sollten die Schüler erfahren woher
diese Formeln stammen.
Sekundarstufe II
Bei der Untersuchung nichtlinearer Funktionen kommen in der fünften Klasse
wiederum Kurven als Funktionsgraphen vor. Ähnlich wie im Jahr davor wird
meist mit Parabeln und Hyperbeln gearbeitet. Im Bereich der Gleichungssysteme
wird hier erstmals die geometrische Interpretation von Gleichungen ins
Spiel gebracht und damit die wichtige Brücke zwischen Algebra und Geometrie
geschlagen. Ebenfalls fordert der Lehrplan das Beschreiben von Geraden durch
die Parameterdarstellung.
Eine Vielzahl an Kurven als Funktionsgraphen werden in der sechsten Klasse
behandelt. Rationale, trigonometrische, exponentielle und logarithmische Funktionen
werden im Koordinatensystem gezeichnet hier würde es sich auch anbieten
die Kettenlinie einzuführen. Abgesehen von diesen Graphen kommen Kurven

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 50
in sechsten Klasse kaum vor.
In der siebenten Klasse werden unter dem Namen Kurvendiskussion verschiedene
Eigenschaften von Funktionen untersucht. Welche Probleme mit der
momentanen Art der Kurvendiskussion im Mathematikunterricht verbunden
sind, wurde in Abschnitt 4.3 erörtert. In diesem Themenbereich hätte man
aber durchaus die Möglichkeit sich eingehender mit der Krümmung von Kurven
zu beschäftigen und könnte im weiteren Verlauf auf Evoluten stoÿen. In dieser
Schulstufe werden auch Kegelschnitte eingehend behandelt. Meist eingeführt als
Ortslinien, werden sie durch Gleichungen beschrieben, mit Geraden geschnitten
oder Tangenten an sie gelegt. Die siebente Klasse wäre jene, in der Kurven
durch Parameterdarstellungen beschrieben werden sollten. Dies wäre der ideale
Zeitpunkt um beispielsweise Zykloiden oder Spiralen mathematisch einzuführen.
Im Maturajahr ist üblicherweise die Gauÿsche Glockenkurve der Normalverteilung
die einzige neue Kurve. Ansonsten werden vermutlich fast alle bereits
gelernten Kurven während der Vorbereitungszeit zur Matura noch einmal besprochen.
Unnötig zu erwähnen, dass sich das Thema Kurven mit ihrer Vielfältigkeit
bestens für eine vorwissenschaftliche Arbeit eignet.
4.4.2 Fächerübergreifende Möglichkeiten
Fächerverbindender und fächerübergreifender Unterricht wird im Lehrplan explizit
gefordert. Der Schule allgemein sind Aufgaben gestellt, die sich nicht
einem einzigen Unterrichtsgegenstand zuordnen lassen, sondern nur im Zusammenwirken
mehrerer Unterrichtsgegenstände zu bewältigen sind (Bundesministerium
für Unterricht, Kunst und Kultur, 2010c). Beim Thema Kurven würden
sich Verbindungen mit den Fächern Physik, Biologie, Geschichte, oder Bildnerische
Erziehung anbieten.
Physik
Die Zykloide hat zwei ganz interessante physikalische Eigenschaften: Sie ist einerseits
eine Brachistochrone (Abb. 4.4), das ist jene Kurve, die die schnellste
Verbindung zweier Punkte für einen reibungsfrei gleitenden Körper unter Ein-
uss der Gravitation darstellt, und andererseits ist sie eine Tautochrone (Abb.
4.5), das heiÿt ein (erneut reibungsfrei gleitender) Körper erreicht den tiefsten
Punkt der Kurve immer in derselben Zeit, egal von welchem Punkt der Kurve
er startet. In Abschnitt 5.3 wird eine Möglichkeit vorgestellt Kaustiken mittels
DGS im Mathematikunterricht zu behandeln. Diese Kaustiken entstehen als
Hüllkurven reektierter Lichtstrahlen, etwa in einer Kaeetasse, und sind somit
natürlich ein physikalisches Problem. Deswegen würde sich auch hier ein fächerübergreifender
Unterricht Mathematik-Physik anbieten. Des Weiteren könnte

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 51
die Evolventenverzahnung, eine Verzahnungsart im Maschinenbau, die beiden
Fächer verbinden (vgl. Thomas, 2010).
Abbildung 4.4: Brachistochrone
Die Zykloide (rot) ist die schnellste
Verbindung von A nach B.
Abbildung 4.5: Tautochrone
Die Punkte A, B und C erreichen den
tiefsten Punkt der Zykloide zur selben
Zeit.
Biologie
In der Natur sind Spiralen weitverbreitet, so kann zum Beispiel bei der Schale
des Nautilus (Abb. 4.6) die goldene Spirale, also jene, in deren Konstruktion der
Goldene Schnitt steckt, entdeckt werden (vgl. Thomas, 2010).
Abbildung 4.6: Die Schale des Nautilus (Podbregar, 2001)
Geschichte
Jede Kurve hat ihre Geschichte und so würde es sich anbieten, gemeinsam mit
dem Geschichtsunterricht ein Projekt zu starten, wo die Geschichte der einzelnen
Kurven aufgearbeitet wird. Eine herausragende Leistung der frühen Mathematik

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 52
darf in dieser Fächerverbindung keinesfalls fehlen: Die bereits erwähnte Epizykeltheorie
von Ptolemäus zur Beschreibung der Planetenbahnen (vgl. Thomas,
2010).
Bildnerische Erziehung
Kurven sind in unzähligen Bildern und Gemälden zu betrachten. Die Ästhetik
der Kurven in Bildern könnte auch in die Mathematik übertragen werden, etwa
in dem man mit Hilfe von Kreisen, Ellipsen, Hypo- oder Epizykloiden Mandalas
zeichnet (vgl. Thomas, 2010).
4.5 Dynamische Geometrie-Software
Mit Cabri wurde 1988 die erste Dynamische Geometrie-Software (DGS) vorgestellt
(vgl. Berger, 2008). Seither wurden etliche weitere Programme entwickelt
und vermarktet: etwa GeoGebra (Abb. 4.7), Geonext, Cinderella oder Euklid.
Die Möglichkeiten die sich dadurch bieten, könnten zu einer Renaissance von
Kurven im Mathematikunterricht führen, denn die Behandlung von Kurven,
auch parametrisierter Kurven, wird einfacher und eektiver. War ohne DGS eines
der Ziele der Kurvendiskussion, durch Bestimmung charakteristischer Punkte
die Form der Kurve herzuleiten, so kann dies mittlerweile recht leicht durch
Bedienung geeigneter Software erledigt werden und man kann sich folglich interessanten
weiterführenden Fragestellungen widmen. Generell gilt, dass Tä-
Abbildung 4.7: GeoGebra

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 53
tigkeiten die jahrelang den Mathematikunterricht dominiert haben, heute von
technischen Hilfsmitteln übernommen werden können und dadurch mehr Zeit
entsteht, sich mit gewissen Themen intensiver zu beschäftigen. Gleichzeitig muss
aber betont werden, dass das nicht bedeutet, dass Schüler keine Gleichungssysteme
lösen, nicht dierenzieren oder nicht integrieren können müssen. Nur
dadurch, dass nicht mehr alles per Hand gerechnet werden muss, entsteht eben
ein gewisser Freiraum und auÿerdem gibt es zweifellos genügend Aufgaben für
Schüler bei denen technische Hilfsmittel nicht weiterhelfen können (vgl. Thomas,
2010).
Zurück zum Thema Kurven: DGS ermöglicht interaktiv die geometrische
Erzeugung von Kurven als Ortslinien zwei Aspekte des Kurvenbegris werden
so besonders hervorgehoben (Gawlick, 2004):
ˆ
ˆ
Der relationale Aspekt: Kurven sind darstellbar als die Erfüllungsmenge
geometrischer Eigenschaften etwa die Kegelschnitte durch ihre Abstandseigenschaften.
Der konstruktive Aspekt: Mit DGS kann das mechanische Entstehen einer
Kurve simuliert werden. Dabei wird die Anwendung elementargeometrischer
Kenntnisse gefördert.
Erarbeitet man bestimmte Themen der Geometrie mit DGS, so können Schüler
durch Abwandeln, Analogisieren und Kombinieren von Konstruktionen von
den drei wesentlichen Charakteristika der DGS Gebrauch machen (vgl. Elschenbroich
u. a., 2001; Gawlick, 2004):
ˆ
ˆ
ˆ
Im Zugmodus kann das Verhalten von speziellen Punkten erkundet werden.
Hier wird dem Anwender ermöglicht eine erstellte Zeichnung zu verformen,
ohne die konstruktionsgemäÿ geltenden geometrischen Eigenschaften
zu verändern. Dadurch, dass mit dem Zugmodus eine ganze Klasse an
Zeichnungen erstellt werden kann, lassen sich geometrische Kongurationen
besser erkunden.
Die Ortslinien-Funktion oder der Spurmodus visualisiert jene Bahnkurve,
die beim Ziehen an einem Basispunkt ein von diesem abhängiger Punkt
beschreibt.
Mit Makros oder benutzerdenierten Werkzeugen lassen sich mehrere Konstruktionsschritte
zu einem einzigen Befehl zusammenfassen dadurch
werden gesamte Konstruktionen auf Knopfdruck abrufbar.
Verglichen mit CAS hat DGS den groÿen Vorteil, dass der Entstehungsprozess
einer Kurve visualisiert wird bzw. man die Möglichkeit hat, ihn visualisieren zu

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 54
lassen. Bei CAS wird man meist mit dem Plot-Befehl vor vollendete Tatsachen
gestellt, was für eine Erstbegegnung mit einer Kurve ungünstig ist. Beispielsweise
kann man mithilfe der GeoGebra-Dateien aus Abschnitt 5.1 sehr gut den
Entstehungsprozess von Rollkurven erkennen, während mit CAS nur die fertige
Lösung gezeichnet werden kann. Bei allen neuen DGS besteht ein dynamischer
Zusammenhang zwischen algebraischer Repräsentation und geometrischer Konstruktion
einer Kurve und der ist für Schüler besonders wichtig, denn so können
sie spielerisch dieses Zusammenspiel entdecken. Die Schüler sehen sofort, wie sich
beispielsweise ein Vorzeichenwechsel in der Gleichung auf den Graphen auswirkt
(vgl. Gawlick, 2004).
4.5.1 Beweisen mit DGS
Im Mathematikunterricht ist der Lehrer angehalten auch Beweise zu lehren. Die
Frage ist nur: wie Die zu frühe (bezüglich des Alters der Schüler) und zu formale
Behandlung drängte den Beweis im Unterricht ins Abseits, dadurch war
in den letzten Jahren ein deutlicher Rückgang des Beweisens in den Klassen zu
verzeichnen (vgl. Elschenbroich, 2001). Für den Erkenntnisprozess ist Anschauung
fundamental, allerdings hat über Jahrhunderte bei groÿen Mathematikern
die Vorstellung im Gehirn über das Sehen mit dem Auge dominiert. Sie hatten
ein derartig gutes Vorstellungsvermögen, dass eine graphische Darstellung
am Papier meist nicht notwendig war. Mit den visuellen Möglichkeiten eines
Computers könnte man sich zum Ziel setzen, hier wieder ein Gleichgewicht herzustellen.
Mit DGS entsteht auch die Tendenz zu weniger formalen Beweisen.
Bei diesen präformalen, computerunterstützten Beweisen stellt sich natürlich
immer die Frage nach der fachlichen Korrektheit bzw. der Allgemeingültigkeit
(vgl. Elschenbroich, 2001).
Ein klarer Vorteil der DGS ist, dass jene Handlungen die früher entweder
am realen Objekt oder nur in der Vorstellung abliefen, jetzt typischerweise im
Zugmodus am Bildschirm stattnden. Einerseits hat man dadurch mehr Möglichkeiten
der Veranschaulichung, da viele Handlungen am realen Objekt nur
eingeschränkt durchführbar sind und andererseits sind Bilder weniger abstrakt
als rein die Vorstellung. Gezeichnete Abbildungen geben den Schnappschuss einer
speziellen Einzellage wieder und könnten Schüler dazu veranlassen, zufällige
Umstände für wesentlich zu halten. Mit dem Zugmodus kann der Schüler die
Figuren selbstständig verändern und so erkennen, was wesentlich ist. Auch eigene
Vermutungen können Schüler so einfacher und schneller überprüfen (vgl.
Elschenbroich, 2001).
In seinem Artikel bezeichnet Hans-Jürgen Elschenbroich (2001) präformale
Beweise, die unter Einsatz von DGS zustande gekommen sind als visuell-

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 55
dynamisch. Visuell, weil sie anschaulich sind und sich auf eine Zeichnung beziehen
und dynamisch, weil sie nicht durch starre Bilder dargestellt werden,
sondern durch den Zugmodus von DGS lebendig geworden sind. Bei visuelldynamischen
Beweisen sollte die Figur Aussage und Begründung beinhalten.
Durch die Verknüpfung mit Bildern ist der Beweis besser einprägbar, was zum
Beispiel bei der binomischen Formel oensichtlich wird. Der verbreitete Fehler,
dass (a + b) 2 = a 2 + b 2 gilt, wird anhand der Veranschaulichung sofort entlarvt
(Abb. 4.8).
Abbildung 4.8: Binomische Formel
4.5.2 Vorbehalte und Probleme bezüglich DGS
Ähnlich wie bei der Einführung des Taschenrechners Ende der 70er Jahre, gibt
es auch beim Einsatz von DGS Bedenken. Die Argumente sind die gleichen
wie damals: Durch den Einsatz des Computers werden grundlegende mathematische
Fähigkeiten vernachlässigt und ganze Inhalte des Faches sind bedroht,
wenn der Computer das Problem auf Knopfdruck löst. Tatsächlich müssen neue
Aufgabenstellungen im Mathematikunterricht Einzug halten, wenn traditionell
zentrale Tätigkeiten, wie Terme umformen, Gleichungen lösen, Funktionsgraphen
zeichnen oder Konstruktionen durchführen von Programmen erledigt werden.
Vorbehalte wegen der Finanzierung von Notebooks für gesamte Klassen
können vermutlich auÿer Acht gelassen werden, da es sich angesichts der technischen
Entwicklung nur um ein zeitlich begrenztes Problem handelt (Barzel
u. a., 2005).

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 56
Hans-Jürgen Elschenbroich (2001) und Bärbel Barzel (2005) zählen einige
Probleme und Schwierigkeiten bei der Verwendung von DGS auf:
ˆ
ˆ
ˆ
Ein oft unterschätzter Teil der kognitiven Kapazität der Schüler wird für
die Handhabung des Programms benötigt und steht damit für die mathematische
Fragestellung nicht mehr zur Verfügung.
Es könnte vorkommen, dass Schüler mit dem Zugmodus eher spielen
und nur noch überprüfen ob etwas funktioniert oder nicht funktioniert.
Die Frage nach dem Warum kann dabei zu kurz kommen, oder anders formuliert:
Schüler würden häug blind die Versuch-Irrtum-Strategie wählen
anstatt zu reektieren.
Durch die mediale Überutung in unserer Zeit besteht die Gefahr des
Abstumpfens, dass also die Bilder und Animationen nur noch oberächlich
wahrgenommen werden.
ˆ
Die visuelle Evidenz kann Begründungen überüssig erscheinen lassen.
ˆ
Durch perfekt gestaltete interaktive Arbeitsmaterialien könnte passieren,
dass Schüler irrtümlich meinen, alles verstanden zu haben, weil es ja am
Computer so leicht ging, die Fragestellungen zu beantworten. Die dahinterliegende
Mathematik wird dadurch allerdings nicht einfacher und bleibt
möglicherweise verborgen.
Auÿerdem muss man sich bewusst sein, dass Visualisierungen (egal ob statisch
oder dynamisch) nur ein Modell sind obgleich ein sehr einprägsames. Aber
dadurch, dass Modelle die mathematische Wirklichkeit vereinfachen, können sie
zu Annahmen verleiten, die falsch sind. Der Beweis für 64 = 65 ist ein solches
Beispiel (Abb. 4.9): Schneidet man ein Quadrat mit 8 cm Seitenlänge entlang
der fett gezeichneten Linien durch und ordnet die Stücke neu, und zwar zu
einem langgestreckten Rechteck mit 13 bzw. 5 cm Seitenlänge, so wird man
feststellen, dass das Quadrat einen Flächeninhalt von 64 cm ² und das Rechteck
einen Flächeninhalt von 65 cm² hat. Also müsste gelten: 64 = 65 (vgl. Hanisch,
1985).
Modelle können aber auch den Blick auf Erweiterungen verwehren. Der Differentialquotient
ist beispielsweise mehr als nur die Steigung der Tangente, aber
die Geschwindigkeit ist nunmal schwer visualisierbar. Ebenso ist der Flächeninhalt
unter einer Kurve nur eine Anwendung der Integralrechnung. Diese visualisierbaren
Aspekte sind aber jene, die Personen, bei denen die Reifeprüfung
schon länger zurückliegt, vorwiegend behalten (Hanisch, 1985). Der Grund ist,
dass im Unterricht die Lehrer dazu tendieren, nicht visualisierbare, abstrakte
Aspekte zu vernachlässigen (vgl. Hanisch, 1985).

KAPITEL 4. KURVEN IM UNTERRICHT 57
Abbildung 4.9: 64 = 65
Abschlieÿend kann man sagen, dass durch DGS etliche neue Möglichkeiten
für den Mathematikunterricht entstanden sind, aber zugleich viele damit
verbundene Schwierigkeiten beachtet werden müssen. Bei den konkreten Unterrichtsvorschlägen
im folgenden Kapitel wird man einige Beispiele sehen, wie
man DGS beim Unterrichten von Kurven einsetzen kann.

Kapitel 5
Vorschläge für
Unterrichtseinheiten
Die drei folgenden Unterrichtsvorschläge wurden für den vertiefenden Wahlpichtgegenstand
konzipiert. Sie sind daher etwas anspruchsvoller als der Sto
des regulären Mathematikunterrichts.
5.1 Rollkurven
Die Idee und Struktur zu diesem Unterrichtsvorschlag stammen von Nora Thomas
(2010).
Ziel
Voraussetzung
Material
Zeitumfang
Arbeitsform
Herleitung der Parametergleichung von
verschiedenen Rollkurven
Trigonometrische Funktionen, Vertrautheit im
Umgang mit Parametern (etwa Parametrisierung
des Kreises), Bogenmaÿ, Umgang mit GeoGebra
Spirograph, Arbeitsblätter, GeoGebra,
GeoGebra-Dateien, Stift, Papier
4 Stunden
Gruppenarbeit
Überblick
Nachdem zum Einstieg mit Spirographen Kurven gezeichnet wurden, wird die
Klasse in Gruppen geteilt und jeder Gruppe eine unterschiedliche Rollkurve zugeteilt.
Die Schüler bekommen zunächst die GeoGebra-Dateien aller Rollkurven
und müssen herausnden bei welcher Rollvariante ihre Kurve entsteht. Anschlie-
58

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 59
ÿend werden sie mit Hilfestellungen die Parametrisierung der Kurve herleiten
und zum Abschluss wird jede Gruppe noch eine kurze Präsentation über ihre
Kurve vorbereiten.
Ausarbeitung
In der Vorstunde werden die Schüler gebeten für diese Einheit einen Spirographen
(Abb. 5.1) mitzubringen. Vermutlich werden sich einige Haushalte nden,
in denen dieses Spielzeug vorhanden ist. Um sicher zu gehen, dass im Unterricht
zumindest ein Spirograph vorhanden ist, nimmt in jedem Fall auch der Lehrer
einen mit. Einigen Schülern wird der Spirograph sicherlich aus Kinderzeiten ein
Begri sein und wissen, was damit gezeichnet werden kann, andere wiederum
werden dieses Spielzeug das erste Mal sehen. Deshalb haben alle Schüler zu Beginn
der Einheit einige Minuten Zeit sich spielerisch mit dem Gerät zu betätigen
und einige Kurven wahllos zu zeichnen. Die Schüler werden anschlieÿend aufgefordert
einen Radius des rollenden Kreises zu nden, bei dem eine geschlossene
Kurve entsteht. Alle Schüler sollten zumindest eine Form einer geschlossenen
Kurve gezeichnet bzw. gesehen haben. Die Aufgabe des Lehrers ist es dann den
Schülern klarzumachen, dass durch rollende Kreise verschiedene mathematisch
interessante Kurven entstehen können. Fünf, auf diese Art und Weise entstandene
Kurven, präsentiert der Lehrer den Schülern: die Zykloide, die Deltoide,
die Astroide, die Kardioide und die Nephroide (Abb. 5.2 bis 5.6).
Abbildung 5.1: Spirograph (Wikipedia, c)
Bei der anschlieÿenden Gruppenarbeit wird die Klasse in fünf Gruppen geteilt,
um die oben genannten fünf Rollkurven zu bearbeiten. Da die Bearbeitung
der Zykloide mathematisch deutlich einfacher ist als die Bearbeitung aller an-

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 60
deren Kurven, hat der Lehrer bei der Einteilung der Gruppen die Chance zur
Binnendierenzierung. Es könnte hier bewusst eine Gruppe leistungsschwächerer
Schüler zusammengestellt werden. Ansonsten könnte man jeden Schüler eine
Karte mit Name und Form einer Kurve ziehen lassen, so dass sich im Anschluss
all jene mit derselben Kurve zu einer Gruppe zusammennden. Wichtig ist, dass
die Schüler vor Beginn der Arbeit wissen wie ihre Kurve aussieht.
Der Lehrer hat für jede dieser Rollkurven eine GeoGebra-Datei erstellt, ohne
dass der Name der Datei die Kurve verrät. Alle Gruppen erhalten alle fünf
Dateien. Die Dateien sind so gestaltet, dass die Schüler mittels Zugmodus die
Möglichkeit haben einen Kreis auf einer Geraden, auÿen auf einem weiteren
Kreis oder innen in einem weiteren Kreis rollen zu lassen. Auf dem rollenden
Kreis ist ein Punkt eingezeichnet wählen die Schüler den Spurmodus dieses
Punktes aus, so sehen sie welche Kurve dieser Punkt beim Abrollen des Kreises
beschreibt und können so herausnden welche Datei für die jeweilige Gruppe
die richtige ist. Die Schüler wissen dann auf welche Art und Weise ihre Kurve
entsteht und welches Radiusverhältnis der beiden Kreise (auÿer im Fall der Zykloide)
nötig ist. Anhand dieser Dateien werden die Vorteile von DGS bei der
Behandlung von Kurven deutlich sichtbar. Es ergeben sich Unterrichtsmöglichkeiten,
die ohne DGS undenkbar wären.
Anschlieÿend bekommen die Gruppen den Arbeitsauftrag die Parametergleichung
ihrer Rollkurve herzuleiten. Dazu bekommt jede Gruppe ein Arbeitsblatt
(siehe Anhang A) mit einer Abbildung, in der alle relevanten Hilfslinien, Punkte
und Winkel eingezeichnet sind. Auÿerdem sind einige Hinweise und Erleichterungen
zur Herleitung angeführt. Hier hat der Lehrer erneut die Möglichkeit
zur Binnendierenzierung: Die Hinweise könnten bei Gruppen mit sehr guten
Schülern teilweise oder gänzlich weggelassen werden.
Im Folgenden werden die Kurven der einzelnen Gruppen besprochen. Die
detaillierten Herleitungen der Parametrisierungen benden sich in Kapitel 1.
Gruppe 1: Die Zykloide
Setzt man den Radius des Kreises gleich 1, so ergibt die Herleitung der Parametergleichung
für die Zykloide
Hinweise für die Schüler:
ˆ
x = t − sin(t),
y = 1 − cos(t).
Für die Parametergleichung der Zykloide müsst ihr den Punkt P in Abhängigkeit
vom Winkel t beschreiben.

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 61
Abbildung 5.2: Zykloide
ˆ
ˆ
ˆ
Um die auftretenden Formeln möglichst einfach zu halten, könnt ihr den
Radius des Kreises gleich 1 setzen.
Da der Kreis ohne zu gleiten rollt, hat welches Stück die gleiche Länge wie
OQ
Versucht die Länge der Strecken zwischen den Punkten durch t auszudrücken.
Abbildung 5.3: Deltoide
Gruppe 2: Die Deltoide
Die Herleitung der Parametrisierung ist vielschrittiger als bei der Zykloide. Die
Schüler werden also hier vermutlich etwas länger brauchen, sofern dem nicht
durch Dierenzierung im Vorfeld entgegengewirkt wurde. Für die Deltoide gilt:
R/r = 3. Setzt man den Radius des kleineren Kreises gleich 1, so erhält man

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 62
folgende Parametergleichung
Hinweise für die Schüler:
ˆ
ˆ
ˆ
x = 2 cos(t) + cos(2t),
y = 2 sin(t) − sin(2t).
Für die Parametergleichung der Deltoide müsst ihr den Punkt P in Abhängigkeit
vom Winkel t beschreiben.
Um die auftretenden Formeln möglichst einfach zu halten, könnt ihr den
Radius des kleineren Kreises gleich 1 setzen. Wie groÿ ist dann R
Aus welchen Strecken lassen sich die x- bzw. y-Koordinate zusammensetzen
Drückt die Länge dieser Strecken zunächst durch t und α aus.
ˆ
Es gilt α = π + t − β. Warum
2
ˆ
Da der Kreis ohne zu gleiten rollt, hat welcher Kreisbogen die gleiche
Länge wie AB
ˆ
Vereinfacht das Ergebnis durch sin( π − ϕ) = cos(ϕ).
2
Abbildung 5.4: Astroide
Gruppe 3: Die Astroide
Die Herleitung der Parametergleichung der Astroide funktioniert analog zu jener
der Deltoide. Einziger Unterschied: Hier ist das Verhältnis der Radien gleich 4.

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 63
Das Ergebnis lautet daher
x = 3 cos(t) + cos(3t),
y = 3 sin(t) − sin(3t).
Die Hinweise für die Schüler sind identisch mit jenen der zweiten Gruppe.
Abbildung 5.5: Kardioide
Gruppe 4: Die Kardioide
Der Schwierigkeitsgrad der Herleitung ist ähnlich dem der vorangegangenen
Hypozykloiden. In diesem Fall haben die Schüler herausgefunden, dass R ∶ r = 1
gilt. Mit R = r = 1 folgt
Hinweise für die Schüler:
ˆ
ˆ
ˆ
x = 2 cos(t) − cos(2t),
y = 2 sin(t) − sin(2t).
Für die Parametergleichung der Kardioide müsst ihr den Punkt P in Abhängigkeit
vom Winkel t beschreiben.
Um die auftretenden Formeln möglichst einfach zu halten, könnt ihr den
Radius des rollenden Kreises gleich 1 setzen. Wie groÿ ist dann R
Aus welchen Strecken lassen sich die x- bzw. y-Koordinate zusammensetzen
bzw. welche Strecken muss man dafür voneinander abziehen Drückt
die Länge dieser Strecken zunächst durch t und α aus.

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 64
ˆ
Da der Kreis ohne zu gleiten rollt, hat welcher Kreisbogen die gleiche
Länge wie BQ Was heiÿt das für den Winkel γ
ˆ
Es gilt α = 2t. Warum
Abbildung 5.6: Nephroide
Gruppe 5: Die Nephroide
Die Nephroide entsteht analog zur Kardioide, nur dass hier das Verhältnis Fixkreisradius
zu Rollkreisradius 2:1 ist. Das Ergebnis für die Parametergleichung
lautet (mit r = 1)
x = 3 cos(t) − cos(3t),
y = 3 sin(t) − sin(3t).
Die ersten Hinweise für die Schüler sind völlig gleich wie bei der Kardioide,
nur beim letzten muss es lauten: α = 3t.
Weiterer Verlauf
Nach Beendigung der Herleitung werden die Schüler aufgefordert nach weiteren
Informationen zu ihrer Kurve im Internet zu recherchieren. Mögliche Leitfragen
zur Suche im Internet könnten sein:
ˆ
Woher kommt der Name der Kurve
ˆ
Welche berühmten Mathematiker haben sich mit dieser Kurve beschäftigt
Warum taten sie das

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 65
ˆ
Hat diese Kurve weitere interessante Eigenschaften
Dieser Teil der Einheit kann auch dazu genutzt werden, um unterschiedliches
Arbeitstempo der Gruppen auszugleichen. Schnelleren Gruppen könnten mehr
dieser Fragen gestellt werden.
Im Anschluss sollen die Gruppen eine kurze Präsentation ihrer Kurve vorbereiten.
Einerseits soll das Ergebnis der Herleitung und die entscheidenden mathematischen
Zusammenhänge präsentiert werden und andererseits sollen die
Schüler über ihre Recherche im Internet berichten. Die Vorträge sollten etwa
fünf bis zehn Minuten dauern. Durch die Ähnlichkeit der Themen wird es den
Schülern möglich sein den anderen Gruppen zu folgen und dennoch könnten die
kleinen Unterschiede zwischen den Kurven für Interesse und damit für Aufmerksamkeit
sorgen.
Kompetenzen
Neben den sozialen Kompetenzen, die bei jeder Art von Gruppenarbeit gefördert
werden, der Schulung der Selbstpräsentation beim Vorstellen seiner Kurve und
den technischen Kompetenzen bei der Handhabung des Programms, werden
auch zentrale mathematische Kompetenzen in dieser Einheit erworben:
Darstellen, Modellbilden: Die den Schülern meist wenig vertraute Parameterdarstellung
wird geschult. Auÿerdem müssen sie anhand einer Abbildung
mathematische Zusammenhänge erkennen. Sie müssen Gleichungen aufstellen
und fallweise auch die Gleichheit von Winkeln erkennen.
Rechnen, Operieren: Das Umformen der Terme bis zum Endergebnis erfordert
mathematisches Geschick. Aufgaben müssen in kleinere Teilaufgaben
zerlegt werden so müssen etwa Strecken aus Teilstrecken zusammengesetzt
werden.
Argumentieren: Um aus der Abbildung die richtigen Schlüsse zu ziehen,
bedarf es durchaus komplexer Argumentationen. Erkennen die Schüler die Analogie
zwischen x- und y-Koordinate, wird ihnen der zweite Teil leichter fallen.
Bei der Präsentation am Ende müssen die Schüler so argumentieren, dass ihre
Kollegen problemlos folgen können. Dort sollten dann auch jene Hinweise,
die einer Begründung bedürfen etwa warum bei der Kardioide α = 2t gilt
begründet werden.

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 66
5.2 Krümmung
Ziel
Voraussetzung
Material
Zeitumfang
Arbeitsform
Einführung und Anwendung des Begris der
Krümmung
Funktionen, Steigung von Tangenten
(Dierenzenquotient), Parametrisierung von
Kurven, Umgang mit GeoGebra
Stift, Papier, GeoGebra
5 Stunden
Frontalunterricht, Fragend-entwickelnder
Unterricht
Überblick
Die Krümmung wird in dieser Einheit auf eine traditionelle, theoretische Art
und Weise eingeführt. Nach einer Motivation des Themas durch Straÿenkurven
wird die Krümmung von Funktionen über den Krümmungskreis im Frontalunterricht
hergeleitet und später auf parametrisierte Kurven erweitert. Als Beispiel
werden die Krümmungen der Ellipse im Haupt- und im Nebenscheitel verglichen.
Abschlieÿend wird die Rolle der Krümmung bei Übergängen von Bahngleisen
diskutiert. Gemeinsam mit dem Lehrer werden verschiedene Übergänge modelliert
und analysiert.
Ausarbeitung
Die Motivation zur Behandlung des Themas Krümmung wird durch die Kurvenfahrt
eines Autos gegeben. Jedem Schüler ist sicherlich bekannt, dass es auf
der Straÿe engere Kurven und weniger enge Kurven gibt. Das ist eine Frage der
Stärke der Krümmung einer Kurve.
Abbildung 5.7 soll die Einführung des Begris Krümmung unterstützen. Die
erste Kurve ist nicht gekrümmt, daher deniert man für die Krümmung einer
Geraden den Wert Null. Die beiden anderen Kurven sehen sehr ähnlich aus. Die
Schüler kennen den Begri der Steigung von Tangenten bereits und sehen, dass
die Änderung der Steigung vom Punkt P 0 zum Punkt P 1 bei der zweiten und
dritten Kurve gleich ist. Es wird also in beiden Kurven dieselbe Richtungsänderung
vorgenommen, dennoch hat die dritte Kurve eine gröÿere Krümmung als
die zweite. Der Grund ist, dass diese Richtungsänderung bei der letzten Kurve
auf einem kürzeren Kurvenstück erfolgt (vgl. Fetzer u. Fränkel, 2012).
Trotz dieses anschaulichen Einstiegs, wird die Krümmung nicht über ihre
Denition
∆φ
κ = lim
∆s→0 ∆s

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 67
Abbildung 5.7: Unterschiedliche Krümmungen (Fetzer u. Fränkel, 2012)
(∆φ... Richtungsänderung, ∆s... Bogenlänge) hergeleitet, stattdessen wird der
mathematisch einfachere Weg über die Krümmungskreise gewählt auch um
eine Analogie zur Herleitung der Steigung herzustellen (vgl. Steinberg, 1985).
Sucht man die Steigung einer Kurve in einem Punkt P, so erstellt man auch
zunächst die Sekante zu einem benachbarten Punkt Q und bildet anschlieÿend
den Grenzwert Q → P. Die Frage ist nun, ob man bei der Krümmung analog
dazu vorgehen kann. Die Schüler werden mit der Krümmung des Kreises konfrontiert.
Es müsste für alle Schüler nachvollziehbar sein, dass der Kreis überall
dieselbe Krümmung hat und auÿerdem wird die Krümmung gröÿer je kleiner
der Radius des Kreises wird. Dies lässt sich einerseits bereits aus den beiden
Kurven in Abbildung 5.7 erahnen und auÿerdem entspricht das auch der Alltagserfahrung.
Es macht also Sinn die Krümmung eines Kreises so anzusetzen:
κ Kreis = 1 ρ
(5.1)
(ρ... Kreisradius). Das ist auch konsistent mit der eingangs gewonnenen Erkenntnis,
dass Geraden (man betrachte sie als Kreise mit unendlichem Radius)
Krümmung Null haben. Ziel ist es jetzt einen Krümmungskreis zu nden, dessen
Krümmung in P gleich ist mit jener der betrachteten Kurve. Genauso wie die
Steigung der Tangente in einem Punkt, die Steigung der Kurve in diesem Punkt
repräsentiert.
Mit Hilfe einer Abbildung (in etwa so wie Abb. 5.8) müsste den Schülern
klar werden, dass der Mittelpunkt des Krümmungskreises auf n, der Normalen
der Tangente, liegen muss. Der Mittelpunkt des Krümmungskreises in P liegt
also auf n P und der Krümmungsmittelpunkt des Nachbarpunktes Q liegt auf
n Q . Sofern die Kurve eine Krümmung besitzt, also keine Gerade ist, schneiden
sich die beiden Normalen n P und n Q in einem Punkt M. Rückt man nun mit
dem Punkt Q gegen P, so wandert M an die endgültige Position, also jener des
Mittelpunktes des Krümmungskreises in P. Eventuell noch anschaulicher wird
dieses Vorgehen, wenn man anstatt des Nachbarpunktes Q einen linken Nachbarpunkt
L und einen rechten Nachbarpunkt R wählt (Abb. 5.9). Mann erhält

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 68
dann den Schnittpunkt S 1 durch Schneiden von n L und n P und den Schnittpunkt
S 2 durch Schneiden von n R und n P . Für den Grenzfall L → P und R → P,
fallen die beiden Schnittpunkte S 1 und S 2 zum gemeinsamen Grenzpunkt M
zusammen. Der Abstand MP ist der Radius des Krümmungskreises und entsprechend
ist die Krümmung der Kurve in P gegeben durch
κ = 1
MP .
Abbildung 5.8: 1 Nachbarpunkt
Abbildung 5.9: 2 Nachbarpunkte
Bei der Herleitung der Krümmung wird zunächst von Kurven, die explizit
durch y = f(x) gegeben sind, also von Funktionen, ausgegangen und erst im
Anschluss wird der Krümmungsterm auf allgemeinere Kurven in Parameterform
erweitert (vgl. Steinberg, 1985).
Gesucht wird nun also der Grenzpunkt M, der entsteht wenn man die Normalen
n P und n Q schneidet und Q gegen P gehen lässt. Ausgegangen wird daher
von den Punkten P = (x 0 , f(x 0 )) und Q = (x 0 + h, f(x 0 + h)). Die Steigung der
Tangenten in P ist f ′ (x 0 ), folglich ist die Steigung der Normalen n P gleich
− 1
f ′ (x 0)
. Setzt man den Punkt P und diese Steigung in die Geradengleichung
1
f ′ (x ⋅ x 0) 0. Die Geradengleichung von
y = k x + d ein, so erhält man d = f(x 0 ) +
n P ist damit gegeben durch
1
y = −
f ′ (x 0 ) ⋅ x + f(x 1
0) +
f ′ (x 0 ) ⋅ x 0
oder umgeformt
f ′ (x 0 ) (y − f(x 0 )) + x − x 0 = 0. (5.2)

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 69
Analog berechnet sich n Q :
f ′ (x 0 + h) (y − f(x 0 + h)) + x − x 0 − h = 0.
Der Schnitt der beiden Geraden ergibt
f ′ (x 0 ) (y − f(x 0 )) = f ′ (x 0 + h) (y − f(x 0 + h)) − h.
Durch Ausmultiplizieren und Umsortieren kann auch geschrieben werden
f ′ (x 0 + h) y − f ′ (x 0 ) y − f(x 0 + h) f ′ (x 0 + h) + f(x 0 ) f ′ (x 0 ) = h.
Soweit müsste es für Schüler des Wahlpichtgegenstands problemlos nachvollziehbar
sein. An dieser Stelle wird es allerdings ein wenig kniiger. Der nächste
Schritt ist eine Nulladdition, es wird also ein Term addiert und sofort wieder subtrahiert.
Manche Schüler haben diesen Trick im Laufe ihrer Schulbahn bereits
gesehen, dennoch ist dieses Vorgehen meist etwas rätselhaft. Die Begründung
dafür erschlieÿt sich erst später. In diesem Fall wird der Term f(x 0 + h) f ′ (x 0 )
addiert und subtrahiert:
f ′ (x 0 + h) y − f ′ (x 0 ) y − f(x 0 + h) f ′ (x 0 + h) + f(x 0 ) f ′ (x 0 )
+ f(x 0 + h) f ′ (x 0 ) − f(x 0 + h) f ′ (x 0 ) = h.
Division durch h und geschicktes Herausheben führen dazu, dass man den Differenzenquotienten
und damit die Ähnlichkeit zur der Herleitung der Tangentensteigung
bereits erkennen kann:
y⋅ f ′ (x 0 + h) − f ′ (x 0 )
h
Umformen nach y ergibt
y = (f(x 0 + h) ⋅ f ′ (x 0 + h) − f ′ (x 0 )
h
−f(x 0 +h)⋅ f ′ (x 0 + h) − f ′ (x 0 )
−f ′ (x 0 )⋅ f(x 0 + h) − f(x 0 )
= 1.
h
h
+ f ′ (x 0 ) ⋅ f(x 0 + h) − f(x 0 )
h
+ 1)⋅
1
f ′ (x 0+h)−f ′ (x 0)
h
Bildet man nun noch den Grenzwert h → 0, so erhält man die y-Koordinate des
Krümmungsmittelpunktes M:
y M = (f(x 0 ) f ′′ (x 0 ) + f ′ (x 0 ) f ′ (x 0 ) + 1) ⋅
= f(x 0 ) + 1 + (f ′ (x 0 )) 2
.
f ′′ (x 0 )
1
f ′′ (x 0 )
Durch Einsetzen in die Geradengleichung von n P (Gleichung (5.2)) erhält man
.

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 70
die x-Koordinate des Mittelpunkts:
x M = x 0 − f ′ (x 0 ) (y M − f(x 0 ))
= x 0 − f ′ (x 0 ) ⋅ 1 + (f ′ (x 0 )) 2
.
f ′′ (x 0 )
Der Radius ρ des Krümmungskreises lässt sich nun leicht mit Hilfe des Satzes
von Pythagoras berechnen:
ρ 2 = (x 0 − x M ) 2 + (f(x 0 ) − y M ) 2
= (f ′ (x 0 ) ⋅ 1 + (f ′ (x 0 )) 2 2
) + ( 1 + (f ′ (x 0 )) 2
)
f ′′ (x 0 )
f ′′ (x 0 )
= ( 1 + (f ′ (x 0 )) 2 2
) ⋅ (1 + (f ′ (x
f ′′ 0 )) 2 )
(x 0 )
=
(1 + (f ′ (x 0 )) 2 ) 3
(f ′′ (x 0 )) 2 ,
also
(1 + (f ′ (x 0 )) 2 ) 3 /2
ρ =
.
f ′′ (x 0 )
Entsprechend Gleichung (5.1) ist die Krümmung in Punkt P gegeben durch
2
f ′′ (x 0 )
κ(x 0 ) =
.
(1 + (f
′ (x 0 )) 2 ) 3 /2
Um zusätzlich zwischen Links- und Rechtskurven unterscheiden zu können, werden
auch negative Krümmungen zugelassen, sodass die endgültige Form der
Krümmung folgendermaÿen aussieht:
f ′′ (x)
κ(x) =
. (5.3)
(1 + (f ′ (x)) 2 ) 3 /2
Aus dieser Herleitung ergeben sich einige für den Mathematikunterricht relevante
Folgerungen. So sieht man zum Beispiel, dass die Krümmung stets dasselbe
Vorzeichen hat, wie die zweite Ableitung f ′′ (x) in diesem Punkt. Weiters
sehen Schüler, warum das Vorzeichen der zweiten Ableitung darüber entscheidet,
ob es sich bei einem Extremum um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
Aus Gleichung (5.3) sieht man, dass für Extrema (f ′ (x) = 0) sogar κ(x) = f ′′ (x)
gilt. Jetzt ist klar, dass eine positive zweite Ableitung eine positive Krümmung

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 71
und damit eine Linkskurve zur Folge hat. Wann Kurven positiv bzw. negativ
gekrümmt sind, wird in Abbildung 5.10 sehr anschaulich dargestellt. Der Lehrer
sollte die Schüler auch darauf aufmerksam machen, wie zwischen Links- und
Rechtskurven unterschieden wird: Um das entscheiden zu können, stellt man
sich am besten vor, man fährt in einem Auto auf der Kurve in Richtung der
positiven x-Achse und stellt sich nun die Frage, ob man nach links oder nach
rechts einschlagen müsste. Des Weiteren kann man Gleichung (5.3) entnehmen,
warum die zweite Ableitung in einem Wendepunkt Null sein muss. Denn genau
dann ist die Krümmung gleich Null und die Funktion nicht gekrümmt ähnelt
in diesem Punkt also einer Geraden. Bei Sattelpunkten, also Punkten in denen
die ersten beiden Ableitungen verschwinden (f ′ (x) = f ′′ (x) = 0), ist ebenfalls
die Krümmung Null. Auch hier entartet der Krümmungskreis zu einer Geraden,
sprich er existiert nicht (vgl. Geisreiter, 2004).
Abbildung 5.10: Positive bzw. negative Krümmung (Brand u. a., 2011)
Die zu Beginn gemachte Aussage über die Krümmung des Kreises (Gleichung
(5.1)) ist insofern noch abzuändern, als dass es sich beim oberen Halbkreis um
eine Rechtskurve handelt, also κ(x) = − 1 , und beim unteren Halbkreis um eine
ρ
Linkskurve, also κ(x) = 1.
ρ
Das Ziel ist es nun die Krümmung auch für allgemeinere Kurven, die in
Parameterdarstellung gegeben sind, herzuleiten. Für Schüler ist das eine sehr
fordernde Übung der Kettenregel. Für die betrachtete Kurve ist nun sowohl
die x- als auch die y-Komponente vom Parameter t abhängig. Es kann also
geschrieben werden: x = x(t) und f(x) = y(t). In Gleichung (5.3) sind f ′ (x) und
f ′′ (x) zu ersetzen:
f ′ (x) = d f(x)
dx
=
d y(t)
dt
d x(t)
dt
= y′ (t)
x ′ (t) .
Etwas anspruchsvoller ist die Berechnung der zweiten Ableitung:
f ′′ (x) =
=
d f ′ (x)
dx
= d ( y′ (t)
x ′ (t) )
=
dx
x ′ (t) y ′′ (t) − x ′′ (t) y ′ (t)
(x ′ (t)) 3 .
d( y′ (t)
x ′ (t) )
dt
d x(t)
dt
= x′ (t) y ′′ (t) − x ′′ (t) y ′ (t) 1
(x ′ (t)) 2 ⋅
x ′ (t)

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 72
Jetzt müssen die beiden Ableitungen nur noch eingesetzt werden. Das ist zwar
nicht mehr schwierig, erfordert aber dennoch ein wenig Rechengeschick bei der
Vereinfachung der Formel:
κ(t) =
=
x ′ (t) y ′′ (t)−x ′′ (t) y ′ (t)
(x ′ (t)) 3
3/2
(1 + ( y′ (t)
x ′ (t) )2 )
=
x ′ (t) y ′′ (t) − x ′′ (t) y ′ (t)
x ′ (t) y ′′ (t)−x ′′ (t) y ′ (t)
(x ′ (t)) 3
= x ′ (t) y ′′ (t) − x ′′ (t) y ′ (t)
( (x′ (t)) 2 +(y ′ (t)) 2 3/2
) ((x ′ (t)) 2 (x′ (t)) 2 +(y ′ (t)) 2
)
(x ′ (t)) 2 (x ′ (t)) 2
((x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 ) 3 /2
(5.4)
3/2
Beispiel
Als Beispiel zum eben Erarbeiteten wird die Krümmung der Ellipse in den
Scheiteln betrachtet. Die Ellipse ist in Parameterform gegeben:
ell ∶
x(t) = 5 cos(t)
y(t) = 3 sin(t) 0 ≤ t ≤ 2π.
Zunächst sind beide Komponenten zweimal nach t abzuleiten:
x ′ (t) = −5 sin(t)
y ′ (t) = 3 cos(t)
x ′′ (t) = −5 cos(t)
y ′′ (t) = −3 sin(t)
Diese Ergebnisse werden nun in die Krümmungsformel (5.4) eingesetzt:
κ(t) =
15 sin2 (t) + 15 cos 2 (t)
(25 sin 2 (t) + 9 cos 2 (t)) 3 /2 = 15
(25 sin 2 (t) + 9 cos 2 (t)) 3 /2 .
Interessant ist nun die Krümmung in Haupt- und Nebenscheitel zu vergleichen,
also für die Parameterwerte t = 0 und t = π/2:
15
κ(0) =
9 = 5 3 /2
9 ,
κ ( π 2 ) = 15
25 = 3
3 /2
25 .
Wie zu erwarten war, ist die Krümmung im Hauptscheitel gröÿer als die Krümmung
im Nebenscheitel: κ(0) > κ(π/2). Entsprechend ist der Krümmungsradius
(als Kehrwert der Krümmung) im Hauptscheitel kleiner (Abb. 5.11):
ρ(0) = 9 /5 = 1, 8 < 8, ¯3 = 25 /3 = ρ(π/2).
An dieser Stelle kann man den Schülern noch die Krümmung des Kreises
(x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t)) selbständig nachrechnen lassen. Sie werden
sehen, dass die Krümmung unabhängig vom Wert des Parameters t, stets 1/R
ist. Eine Bestätigung dafür, dass ein Kreis überall dieselbe Krümmung hat.

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 73
Abbildung 5.11: Krümmung einer Ellipse
Man sollte allerdings noch darauf eingehen, warum hier das Vorzeichen der
Krümmung stets positiv ist, also auch für den oberen Halbkreis. Der Grund
ist, dass der Kreis entsprechend der Parameterdarstellung im mathematisch
positiven Sinn durchlaufen wird, also auch der obere Halbkreis eine Linkskurve
darstellt (vgl. Fetzer u. Fränkel, 2012).
Anwendung
Als Abschluss dieser Unterrichtseinheit, soll der Begri der Krümmung noch
auf eine auÿermathematische Problemstellung angewendet werden. Die Schüler
werden sich mit der Krümmung von Bahngleisen beschäftigen. Die Idee zu dieser
Aufgabenstellung stammt von Günter Steinberg (1995) und soll als fragendentwickelnder
Unterricht umgesetzt werden.
Die Aufgabenstellung: Zwei Gleise sollen möglichst sanft miteinander verbunden
werden, so dass Züge auch mit höherer Geschwindigkeit problemlos
vom ersten auf das zweite Gleis wechseln können. Konkret sieht die Aufgabe
so aus wie in Abbildung 5.12: Vom Gleis g 1 soll eine Verbindung zum Gleis
g 2 geschaen werden, die nicht vor Ü1 beginnt und nicht nach Ü2 endet. Der
Horizontalabstand der beiden Punkte d und der Abstand der beiden Gleise h
sind vorgegeben.
Zuerst werden die Schüler nach einer sinnvollen Lage des Koordinatensystems
gefragt. Dass diese möglichst symmetrisch zur Problemstellung liegen soll,
liegt auf der Hand. Idealerweise legt man also die x-Achse in die Mitte zwischen
den beiden Gleisen und die y-Achse auf halben Weg von Ü1 nach Ü2. So sind
ausschlieÿlich Kurven, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind, gesucht. Den

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 74
Abbildung 5.12: Verbindung zweier Gleise (Steinberg, 1995)
Schülern sollen nun mögliche Lösungsvorschläge entlockt werden. Um diese Vorschläge
auch mit DGS einfach veranschaulichen zu können, werden für d und h
konkrete Werte verwendet: d = 8, h = 4.
Eine erste Idee könnte sein, die beiden Gleise mit zwei Viertelkreisbögen zu
verbinden: Für den ersten Kreis wäre der Mittelpunkt M 1 = (−2, 0) zu wählen;
für den zweiten Kreis M 2 = (2, 0). Die Radien wären jeweils 2 (Abb. 5.13). Die
Kreisgleichungen wären demnach (x + 2) 2 + y 2 = 4 bzw. (x − 2) 2 + y 2 = 4. Um
die beiden Viertelkreisbögen zu erhalten, muss nach y umgeformt werden und
je nach Lage des Bogens das richtige Vorzeichen gewählt werden:
⎧⎪
b 1 ∶ y = ⎨
⎪⎩
+ √ −x 2 − 4x
− √ −x 2 + 4x
−2 ≤ x ≤ 0
0 < x ≤ 2
In Abbildung 5.14 sieht man, dass bei dieser Lösung nicht einmal die gesamte
Übergangsweite d ausgenutzt wurde. Vermutlich ist das nicht die optimale
Lösung.
Abbildung 5.13: Verbindung mit Kreis- oder Ellipsenbögen
Dieses Problem könnte man beheben, indem man anstatt der Kreisbögen

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 75
Ellipsenbögen verwendet. Dazu muss man die Ellipsen so in das Koordinatensystem
legen, dass die Hauptscheitel im Ursprung sind und die Nebenscheitel
in Ü1 bzw. Ü 2 (Abb. 5.13). Ausgehend von der Ellipsengleichung in Hauptlage
x2
+ y2
= 1, muss die Ellipse um d/2 nach links bzw. rechts verschoben
a 2 b 2
werden. Für die Länge der groÿen bzw. kleinen Halbachse gilt in diesem Fall:
a = d/2, b = h/2. Die beiden Ellipsen haben dann die Form (x±4)2 + y2
16 4 = 1.
Analog zu den Kreisbögen wird nun wieder nach y umgeformt und das richtige
Vorzeichen gewählt:
⎧⎪
b 2 ∶ y = ⎨
⎪⎩
√
+ 4 − 1 (x + 4)2 −4 ≤ x ≤ 0
4
√
− 4 − 1 4 (x − 4)2 0 < x ≤ 4
Dieser Übergang sieht bereits deutlich sanfter aus, als der mit den Kreisbögen
(Abb. 5.14).
Man könnte die Schüler nun fragen, ob sie weitere Funktionen kennen, die
punktsymmetrisch zum Ursprung sind und sie so zur Sinus-Funktion führen,
sofern diese nicht ohnehin zuvor schon erwähnt wurde. Die Sinus-Funktion ist
so in das Koordinatensystem zu legen, dass sie durch die Punkte Ü1 und Ü2
geht und der Abstand d genau einer halben Periode entspricht. Man kann die
Sinus-Funktion zunächst allgemein ansetzen f(x) = p sin(qx) und dann p und q
bestimmen. Man weiÿ, dass die Funktion eine Periode von 2d hat, also
f(x) = f(x + 2d)
p sin(qx) = p sin(q(x + 2d))
sin(qx) = sin(qx + 2qd)).
Da die Sinus-Funktion bekanntlich eine Periode von 2π hat, muss gelten: 2qd =
2π, also q = π/d. Zusätzlich weiÿ man, dass die Funktion durch Ü1 gehen muss,
das heiÿt
f(−d/2) = h/2
p sin ( π d ⋅ −d
2 ) = h/2
p = −h/2.
Die dritte mögliche Verbindung der beiden Gleise hat daher die Form y =
− h 2 sin ( π x). Nach Einsetzen der Werte für d und h erhält man:
d
b 3 ∶ y = −2 sin ( π x) −4 ≤ x ≤ 4
8
Zweifellos wird unter den Schülern auch die Idee aufgekommen sein, die

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 76
Gleise mit Polynomfunktionen zu verbinden. Wichtig ist in diesem Fall darauf
hinzuweisen, dass nur jene Polynome in Frage kommen, die punktsymmetrisch
zum Ursprung sind, also nur ungerade Potenzen besitzen. Im einfachsten Fall
wäre das die Polynomfunktion f(x) = ax 3 + bx. Die Funktion muss durch Ü1
gehen und der Zuge sollte an dieser Stelle kein Eck fahren müssen, das heiÿt die
Tangente in Ü1 sollte mit dem Gleis vor Ü1 übereinstimmen, also waagrecht sein.
Damit hat man zwei Bedingungen um die Koezienten a und b zu bestimmen:
f(−d/2) = h/2,
f ′ (−d/2) = 0.
Ableiten der Funktion und Einsetzen der Werte führt auf folgende Gleichungen:
−64a − 4b = 2 und 48a + b = 0 und weiters auf die Koezienten a = 1/64 und
b = −3/4. Als vierte mögliche Lösung erhält man also
b 4 ∶ y = 1 64 x3 − 3 4 x −4 ≤ x ≤ 4
Abbildung 5.14: Verschiedene Lösungen (Steinberg, 1995)
Nun ist es ratsam die vier Lösungen in GeoGebra zu vergleichen (Abb. 5.14).
Als erstes überrascht, dass die Lösungen b 3 und b 4 praktisch identisch sind. Davon
konnte man nicht ausgehen, wenn man bedenkt, dass b 3 eine trigonometrische
und b 4 eine Polynomfunktion ist. Weiters ist zu erkennen, dass b 3 und b 4
einen deutlich sanfteren Übergang ermöglichen als b 1 und b 2 . Die Frage ist jetzt,
woran das liegen könnte. Sämtliche Lösungen starten mit einer waagrechten Tangente
und enden mit einer waagrechten Tangente, allerdings ist die Krümmung
der einzelnen Lösungen deutlich verschieden. Da im Vorfeld dieses Beispiels die
Krümmung ausführlich behandelt wurde, werden die Schüler vermutlich auf die
Idee kommen, dass die Sanftheit des Übergangs mit der Krümmung zu tun ha-

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 77
ben muss. Es kann also hilfreich sein, die Krümmung der Lösungen näher zu
untersuchen. Die vier Lösungen werden nun in die Krümmungsgleichung (5.3)
eingesetzt. Um diesen doch erheblichen Rechenaufwand zu umgehen, geschieht
das am besten mit dem CAS-Fenster in GeoGebra. Hat man zuerst die verschiedenen
Lösungen als b 1 bis b 4 deniert, kann man die Krümmung problemlos mit
dem Befehl
Ableitung[b_1,x,2]/(1+Ableitung[b_1,x]^2)^(3/2)
berechnen und anschlieÿend zeichnen. In Abbildung 5.15 kann man sofort erkennen,
wo das Problem der bisher berechneten Lösungen liegt: Bei allen vier
Lösungen hat die Krümmungsfunktion an den Übergangspunkten einen Sprung.
Die Krümmung der Kreis- bzw. Ellipsenlösung hat sogar auf halben Weg von g 1
zu g 2 einen Sprung. Eine möglichst sanfte Verbindung erreicht man, indem man
eine Funktion sucht, deren Krümmung einen stetigen Übergang mit den Gleisen
vor und nach der Verbindung ermöglicht, also in Ü1 und Ü2 verschwindet, und
deren Krümmung auch zwischen Ü1 und Ü2 stetig ist.
Abbildung 5.15: Krümmungen der Verbindungen (Steinberg, 1995)
Man hat nun also eine weitere Forderung, die man an die Funktion der
Gleisverbindung stellt: f ′′ (−d/2) = 0. Gemeinsam mit den Forderungen, dass sie
durch Ü1 geht und dort eine waagrechte Tangente besitzt, könnte man versuchen
eine Polynomfunktion fünften Grades zu verwenden. Aufgrund der geforderten
Punktsymmetrie zum Ursprung, hat diese Funktion drei unbekannte Koezien-

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 78
ten, die man mithilfe der drei Forderungen bestimmen kann:
f(x) = ax 5 + bx 3 + cx,
f(−d/2) = h/2,
f ′ (−d/2) = 0,
f ′′ (−d/2) = 0.
Der Rechenaufwand wird erneut durch GeoGebra eingespart. Nach Denition
der Funktion f(x) kann man die Koezienten mit folgendem Befehl berechnen
lassen
Löse[{f(-4)=2,f'(-4)=0,f(-4)=0},{a,b,c}].
Als Ergebnis erhält man a = − 3
4096 , b = 5
128 , c = − 15 . Die fünfte Lösung sieht also
16
so aus:
b 5 ∶ y = − 3
4096 x5 + 5
128 x3 − 15
16 x −4 ≤ x ≤ 4
Unter den betrachteten Kurven eignet sich b 5 am besten als Gleisverbindung.
Auch die Krümmung macht in diesem Fall keine Sprünge und ermöglicht so
einen besonders sanften Übergang (Abb. 5.16 und 5.17). Es ist aber nicht ausgeschlossen,
dass weitere (kompliziertere) Kurven existieren, die sich ähnlich gut
oder sogar noch besser eignen.
Abbildung 5.16: Beste Lösung

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 79
Abbildung 5.17: Funktion und Krümmung (Steinberg, 1995)
5.3 Mathematik in der Kaeetasse
Die Idee zu diesem Unterrichtsvorschlag stammt von Benno Grabinger (1997).
Ziel
Voraussetzung
Material
Zeitumfang
Arbeitsform
Simulation der sogenannten
Kaeetassen-Katakaustik mit GeoGebra
Trigonometrische Funktionen, Geradengleichung,
gute Kenntnisse in GeoGebra, Optik
Arbeitsblatt, GeoGebra, Stift, Papier
Doppelstunde
Partnerarbeit
Überblick
Fällt Sonnenlicht schräg in eine Kaeetasse mit glänzender Innenseite, so lässt
sich manchmal im Kaee eine herzförmige helle Linie beobachten (siehe Abb.
3.1b). Die Aufgabe der Schüler ist es in Partnerarbeit die Sonnenstrahlen mit
GeoGebra zu simulieren und am Ende die herzförmige Kurve als Schnittpunkte
der Strahlen darzustellen. Auf das prinzipielle Phänomen von Kaustiken, oder
auch auf den Term Katakaustik wird in dieser Einheit nicht eingegangen.
Ausarbeitung
Jeweils zwei Schüler erhalten ein Arbeitsblatt (siehe Anhang A) mit der Arbeitsanweisung,
einem Bild der Kaeetassen-Katakaustik, sowie drei GeoGebra-
Konstruktionen und sollen gemeinsam an einem Computer versuchen die Aufgabenstellung
in GeoGebra zu lösen. Die Schüler benötigen zur Bearbeitung der
Aufgabe fortgeschrittene Kenntnisse mit dem Programm, insbesondere werden
Befehle benötigt, die vermutlich über die Grundkenntnisse hinausgehen. Auÿerdem
wird Wissen aus der Optik vorausgesetzt, nämlich dass Einfalls- und

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 80
Reexionswinkel bei einer Spiegelung gleich sind und dass die Sonne parallele
Strahlen erzeugt.
Die Schüler sollen nun ein Modell bilden, bei dem man am Ende die herzförmige
Kurve in einem Kreis, der die Kaeetasse darstellen soll, erkennen kann.
Zur Hilfe benden sich drei Abbildungen (Abb. 5.18) auf dem Arbeitsblatt, wobei
die erste den Verlauf eines einzelnen Sonnenstrahls zeigt, die zweite eine
Vielzahl an Sonnenstrahlen und die letzte die Schnittpunkte der Strahlen, also
die Lösung.
Um einen einzelnen Sonnenstrahl zu beschreiben, müssen die Punkte P, Q
und S in Abhängigkeit vom Winkel α bestimmt werden (Abb. 5.18a). Der Einfachheit
halber wurde der Radius des Kreises gleich 1 gesetzt. Die x-Koordinate
des Punktes P ist nicht relevant, da die Strahlen aus −∞ kommen, naheliegenderweise
wird x P = −1 gewählt. Für die Punkte P und Q gilt also P =
(−1, sin(α)), Q = (cos(α), sin(α)). Deutlich anspruchsvoller ist die Bestimmung
der Koordinaten des Punktes S. Da das Dreieck SOQ gleichschenklig ist, gilt
(a)
(b)
(c)
Abbildung 5.18: Modellierung der Sonnenstrahlen (Grabinger, 1997)

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 81
β = π − 2α und folglich ϕ = β − α = π − 3α (Abb. 5.19). Für die Koordinaten von
S ergibt sich damit S = (cos(π − 3α), − sin(π − 3α)).
Abbildung 5.19: Bestimmung der Koordinaten der Punkte
Um anschlieÿend alle Sonnenstrahlen zu simulieren, eignen sich in GeoGebra
die Befehle Streckenzug[] und Folge[]. Es ist eine Folge von Streckenzügen
P QS in Abhängigkeit des Winkels α zu erzeugen. α bewegt sich zwischen −π/2
für den untersten Strahl und +π/2 für den obersten Strahl. Der endgültige Befehl
in GeoGebra lautet
Folge[Streckenzug[P, Q, S], α, −π/2, π/2, π/30].
π/30 als letztes Argument im Befehl Folge[] gibt die Schrittweite der Variablen
α an. In diesem Fall werden 30 (eigentlich 31) solcher Streckenzüge gezeichnet
diese Anzahl eignet sich gut, um den Eekt zu erkennen.
Beobachtet man nun die simulierten Sonnenstrahlen etwas genauer, so lässt
sich vermuten, dass die herzförmige Kurve durch die Schnittpunkte der reektierten
Strahlen entsteht. Das nächste Ziel ist also die Geradengleichungen für
die reektierten Strahlen aufzustellen. Um die Steigung zu berechnen, benötigt
man den Winkel ε in Abbildung 5.19. Der Supplementärwinkel von ε ist oensichtlich
π − 2α, also gilt ε = 2α. Für die Steigung k der Geraden gilt folglich
k = tan(2α). Setzt man nun den Punkt Q in die Geradengleichung y = k ⋅ x + d,
so erhält man
sin(α) = tan(2α) ⋅ cos(α) + d,
also d = sin(α) − tan(2α) ⋅ cos(α). Die endgültige Geradengleichung lautet demnach
y = tan(2α) ⋅ x + sin(α) − tan(2α) ⋅ cos(α).

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 82
Auch jetzt bietet es sich wieder an, mit dem Befehl Folge[] eine Liste der
reektierten Geraden zu erzeugen. Um später einfach auf diese Liste zugreifen
zu können, wird sie hier Geraden genannt und um am Ende möglichst viele
Schnittpunkte zu erhalten, werden 51 Geraden erzeugt:
Geraden = Folge[y = tan(2α) ⋅ x + sin(α) − tan(2α) ⋅ cos(α), α,
−π/2, π/2, π/50].
Es sollte an dieser Stelle klar sein, dass man jeweils zwei benachbarte Geraden
miteinander schneiden muss, um die Punkte auf der gesuchten Kurve zu erhalten.
Genau das wird aber vermutlich die gröÿte Schwierigkeit bei der Bedienung
von GeoGebra darstellen. Mit dem Befehl Element[ , ] kann auf jedes Element einer Liste zugegrien werden. Es ist also
eine Folge von Schnittpunkten zu erzeugen, wobei jeweils das k-te mit dem
(k + 1)-ten Element der Liste Geraden geschnitten werden muss. In GeoGebra
sieht das folgendermaÿen aus:
Folge[Schneide[Element[Geraden, k], Element[Geraden, k + 1]],
k, 1, 50, 1].
Wurden die Schnittpunkte richtig gezeichnet, sind die Schüler mit der Aufgabe
fertig.
Der Ablauf der Einheit ist so geplant, dass Zweiergruppen, die während der
Aufgabe nicht mehr weiter wissen, oder bereits zu Beginn nicht wissen wie sie
starten sollen, vom Lehrer einen schriftlichen Tipp (siehe Anhang A) abholen
können. Insgesamt gibt es acht solcher Tipps, die nacheinander in Anspruch
genommen werden können. Des Weiteren haben die Schüler zweimal die Möglichkeit
ein Zwischenergebnis einzusehen, um mit der Aufgabe fortfahren zu
können, obwohl sie es nicht bis zu diesem Punkt geschat haben. Ziel für die
Schüler ist es mit so wenigen Tipps bzw. Zwischenergebnissen wie möglich die
gesamt Aufgabe zu lösen. Um zu verhindern, dass abgeholte Tipps einfach an
andere Gruppen weiter gegeben werden, könnte man ein Wettkampfsituation
erzeugen, indem man den besten Gruppen, also jenen die mit den wenigsten
Tipps am schnellsten arbeiteten, gewisse Belohnungen verspricht.
Auch bei dieser Einheit sieht man sehr schön, welche Möglichkeiten für den
Unterricht sich durch den Einsatz von DGS ergeben!
Kompetenzen
Modellbilden: Das Simulieren von Ereignissen in der Natur fällt klassischerweise
unter die Kompetenz des Modellbildens. Es müssen Annahmen getroen
werden (Sonnenstrahlen fallen parallel ein), aber auch Idealisierungen vorgenommen
werden (der Kaeetassenquerschnitt als perfekter Kreis).

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 83
Rechnen, Operieren: Beim Berechnen der Koordinaten der Punkte P, Q
und S wird diese Kompetenz am ehesten geschult. Aber genauso muss bei der
Herleitung der Geradengleichung der reektierten Strahlen operiert werden.
Interpretieren: Betrachten die Schüler Abbildung 5.18b müssen sie die gezeichneten
Sonnenstrahlen als Streckenzüge interpretieren, um selbst die Konstruktion
zu erstellen.
Argumentieren: Diese Kompetenz wird bei dieser Einheit kaum erworben,
da die Schüler ihre Vorgehensweise nicht begründen müssen.

Zusammenfassung
Nachdem das Thema meiner Diplomarbeit auf Kurven eingegrenzt wurde, war
für mich die zentrale Fragestellung, welche Kurven sich am besten für den Schulunterricht
eignen. Ausgiebige Recherche in Zeitschriften zur Didaktik der Mathematik,
wie Der Mathematikunterricht, mathematik lehren oder Praxis der
Mathematik in der Schule, gab mir einen guten Überblick über Kurven, die im
Unterricht behandelt werden könnten. Obwohl sich auch Kegelschnitte, Spiralen
oder schleifenförmige Kurven, wie die Lemniskate (sie hat die Form eines
Unendlich-Zeichens), gut geeignet hätten, el meine Wahl in dieser Arbeit auf
die Zykloide, Hypo- und Epizykloiden, Evoluten und Kaustiken.
Der erste Teil der Arbeit befasste sich hauptsächlich mit den mathematischen
Eigenschaften dieser Kurven. In erster Linie wurden Gleichungen dieser
Kurven hergeleitet und Möglichkeiten zur Konstruktion angegeben. Auÿerdem
wurden zu sämtlichen Kurven historische Anmerkungen gemacht. Auf didaktische
Aspekte bin ich hier noch nicht eingegangen das geschah im zweiten
Teil.
Im ersten Kapitel des didaktischen Teils Kurven im Unterricht ging es allgemein
um die Bedeutung von ebenen Kurven im Mathematikunterricht. Zunächst
habe ich Gründe für die Verwendung von Kurven gesucht und dabei
einige Lebensbereiche erwähnt, in denen Kurven auftreten. Dabei wurde bereits
ersichtlich, dass Kurven eigentlich allgegenwärtig sind. Weiters habe ich Schülertätigkeiten
aufgezählt, die bei der Behandlung von Kurven gefördert werden
können. Die verschiedenen Zugänge, die sich einem Lehrer beim Unterrichten
dieses Themas bieten, habe ich ebenfalls erwähnt: beginnend mit traditionellen
Zugängen, wie dem Funktionsgraph oder Ortslinien, bis hin zu historischen oder
physikalischen Zugängen. Im folgenden Abschnitt wurden Probleme der Kurvendiskussion
erörtert, nämlich dass meist nicht Kurven, sondern Funktionen im
Mittelpunkt stehen und dass nicht diskutiert, sondern abgearbeitet wird. Auÿerdem
wurden Ideen gesammelt, welche Kurven in welchen Schulstufen behandelt
werden könnten. Dabei sieht man, dass Kurven bereits in der Sekundarstufe I
eine Rolle spielen könnten in der Sekundarstufe II bieten sich allerdings deut-
84

ZUSAMMENFASSUNG 85
lich mehr Möglichkeiten. Fächerübergreifender Unterricht zum Thema Kurven
ist mit Physik, Biologie, Geschichte oder Bildnerischer Erziehung ebenfalls möglich.
Der letzte Abschnitt dieses Kapitels widmete sich dynamischer Geometrie-
Software (DGS). Hier wurde erklärt, welche Chancen sich allgemein, aber auch
in Bezug auf Kurven, damit auftun. So habe ich zum Beispiel die binomische
Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 mit DGS veranschaulicht. Zugleich habe ich aber
auch versucht Probleme und Vorbehalte bezüglich DGS anzuführen.
Das letzte Kapitel meiner Diplomarbeit ist das praxisnahste. Dort habe ich
konkrete Unterrichtseinheiten ausgearbeitet. Das Thema der ersten Einheit waren
Rollkurven und das Ziel war die Herleitung der Parameterdarstellung eben
dieser Kurven. Um den Schülern klarzumachen, dass es sich bei Rollkurven nicht
um ein innermathematisches Problem handelt, werden die Schüler zu Beginn
aufgefordert, Kurven dieser Art mit dem Spirographen zu zeichnen. Nachdem
die Klasse in fünf Gruppen geteilt wird, bekommen die Gruppen entweder die
Zykloide, die Deltoide, die Astroide, die Kardioide oder die Nephroide zugewiesen.
Um die Aufgabe etwas zu erleichtern, sind Hilfestellungen direkt am Arbeitsblatt.
Damit die Schüler ihre Vorgehensweise auch erklären müssen, schlieÿt
eine kurze Präsentation diese Einheit ab.
Um erkennen zu können, wie die verschiedenen Kurven als Rollkurven entstehen,
erhalten die Gruppen im Laufe der Einheit GeoGebra-Dateien. Hier besteht
die Möglichkeit, die Einheit noch zu erweitern, indem die Schüler bei den
Hypo- und Epizykloiden die Radien der Kreise verändern können und man sie
beobachten lässt, was dann mit den Rollkurven passiert. Bei nicht-ganzzahligen
Verhältnissen der Radien entstehen nämlich keine geschlossenen Kurven mehr.
Ich hatte zunächst geplant, auch eine Einheit zu Evoluten zu entwerfen. Da
aber die recht komplizierte Mathematik ein vermutlich unüberwindliches Hindernis
für die Schüler dargestellt hätte, besann ich mich darauf, die Einheit nur
zu einer Vorstufe der Evoluten, nämlich der Krümmung, zu gestalten. Dabei
wird die Krümmung als Lehrervortrag eingeführt und zuerst für Funktionen
hergeleitet. Später wird sie auf allgemeinere Kurven erweitert. Der wichtigste
Teil dieser Einheit ist zweifellos die Anwendung der Krümmung bei der Verbindung
von Bahngleisen. Hier können die Schüler sehen, wie entscheidend die
Krümmung bei Fragestellungen aus der Technik sein kann.
Der dritte und letzte Unterrichtsvorschlag behandelt das physikalische Phänomen
von Kaustiken. Dabei geht es darum, wie Sonnenstrahlen eine herzförmige
Kurve in einer Kaeetasse entstehen lassen eine realitätsnahe Anwendung,
die sicherlich auch für Schüler sehr interessant sein könnte. Jeweils zwei Schüler
bekommen ein Arbeitsblatt mit der Anweisung die Sonnenstrahlen mit GeoGebra
zu simulieren. Auf dem Arbeitsblatt sind auÿerdem noch Abbildungen, die
den Schülern Anhaltspunkte geben sollen, wie das Problem zu lösen ist. Für

ZUSAMMENFASSUNG 86
mein Empnden sind die schriftlichen Tipps, die sich die Schüler beim Lehrer
abholen können, sehr wichtig für einen erfolgreichen Unterrichtsverlauf, da sich
dadurch vermutlich die Situation vermeiden lässt, dass Schüler bereits bei den
ersten Schwierigkeiten aufgeben.
Diese Diplomarbeit sollte Lehrern die Möglichkeit geben, fertige Einheiten
zum Thema Kurven in ihrem Unterricht einzusetzen, oder aber zumindest Ideen
für den eigenen Unterricht geben.

Anhang A
Arbeitsblätter
Die folgenden Arbeitsblätter können als Kopiervorlage verwendet werden.
87

ANHANG A. ARBEITSBLÄTTER 88
Die Zykloide
Abbildung A.1: Entstehung der Zykloide (Thomas, 2010)
Versucht anhand dieser Abbildung die Parametergleichung der Zykloide herzuleiten.
Hinweise:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Für die Parametergleichung der Zykloide müsst ihr den Punkt P in Abhängigkeit
vom Winkel t beschreiben.
Um die auftretenden Formeln möglichst einfach zu halten, könnt ihr den
Radius des Kreises gleich 1 setzen.
Da der Kreis ohne zu gleiten rollt, hat welches Stück die gleiche Länge wie
OQ
Versucht die Länge der Strecken zwischen den Punkten durch t auszudrücken.

ANHANG A. ARBEITSBLÄTTER 89
Die Deltoide
Abbildung A.2: Entstehung der Deltoide (Thomas, 2010)
Versucht anhand dieser Abbildung die Parametergleichung der Deltoide herzuleiten.
Hinweise:
ˆ
ˆ
ˆ
Für die Parametergleichung der Zykloide müsst ihr den Punkt P in Abhängigkeit
vom Winkel t beschreiben.
Um die auftretenden Formeln möglichst einfach zu halten, könnt ihr den
Radius des kleineren Kreises gleich 1 setzen. Wie groÿ ist dann R
Aus welchen Strecken lassen sich die x- bzw. y-Koordinate zusammensetzen
Drückt die Länge dieser Strecken zunächst durch t und α aus.
ˆ
Es gilt α = π + t − β. Warum
2
ˆ
Da der Kreis ohne zu gleiten rollt, hat welcher Kreisbogen die gleiche
Länge wie AB
ˆ
Vereinfacht das Ergebnis durch sin( π − ϕ) = cos(ϕ).
2

ANHANG A. ARBEITSBLÄTTER 90
Die Astroide
Abbildung A.3: Entstehung der Astroide (Thomas, 2010)
Versucht anhand dieser Abbildung die Parametergleichung der Astroide herzuleiten.
Hinweise:
ˆ
ˆ
ˆ
Für die Parametergleichung der Astroide müsst ihr den Punkt P in Abhängigkeit
vom Winkel t beschreiben.
Um die auftretenden Formeln möglichst einfach zu halten, könnt ihr den
Radius des kleineren Kreises gleich 1 setzen. Wie groÿ ist dann R
Aus welchen Strecken lassen sich die x- bzw. y-Koordinate zusammensetzen
Drückt die Länge dieser Strecken zunächst durch t und α aus.
ˆ
Es gilt α = π + t − β. Warum
2
ˆ
Da der Kreis ohne zu gleiten rollt, hat welcher Kreisbogen die gleiche
Länge wie AB
ˆ
Vereinfacht das Ergebnis durch sin( π − ϕ) = cos(ϕ).
2

ANHANG A. ARBEITSBLÄTTER 91
Die Kardioide
Abbildung A.4: Entstehung der Kardioide (Thomas, 2010)
Versucht anhand dieser Abbildung die Parametergleichung der Kardioide
herzuleiten.
Hinweise:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Für die Parametergleichung der Kardioide müsst ihr den Punkt P in Abhängigkeit
vom Winkel t beschreiben.
Um die auftretenden Formeln möglichst einfach zu halten, könnt ihr den
Radius des rollenden Kreises gleich 1 setzen. Wie groÿ ist dann R
Aus welchen Strecken lassen sich die x- bzw. y-Koordinate zusammensetzen
bzw. welche Strecken muss man dafür voneinander abziehen Drückt
die Länge dieser Strecken zunächst durch t und α aus.
Da der Kreis ohne zu gleiten rollt, hat welcher Kreisbogen die gleiche
Länge wie BQ Was heiÿt das für den Winkel γ
Es gilt α = 2t. Warum

ANHANG A. ARBEITSBLÄTTER 92
Die Nephroide
Abbildung A.5: Entstehung der Nephroide (Thomas, 2010)
Versucht anhand dieser Abbildung die Parametergleichung der Nephroide
herzuleiten.
Hinweise:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Für die Parametergleichung der Nephroide müsst ihr den Punkt P in Abhängigkeit
vom Winkel t beschreiben.
Um die auftretenden Formeln möglichst einfach zu halten, könnt ihr den
Radius des rollenden Kreises gleich 1 setzen. Wie groÿ ist dann R
Aus welchen Strecken lassen sich die x- bzw. y-Koordinate zusammensetzen
bzw. welche Strecken muss man dafür voneinander abziehen Drückt
die Länge dieser Strecken zunächst durch t und α aus.
Da der Kreis ohne zu gleiten rollt, hat welcher Kreisbogen die gleiche
Länge wie BQ Was heiÿt das für den Winkel γ
Es gilt α = 3t. Warum

ANHANG A. ARBEITSBLÄTTER 93
Mathematik in der Kaeetasse
Scheint die Sonne im richtigen Winkel in eine Kaeetasse, so kann man eine
Kurve im Kaee erkennen (Abb. A.6a). Sie entsteht durch die Reexion der
Strahlen an der Innenseite der Tasse.
Versucht nun zu zweit die Sonnenstrahlen mit GeoGebra zu simulieren. Abbildung
A.6b kann dazu sehr hilfreich sein. Das Ziel dieser Aufgabe ist es möglichst
viele Punkte auf der Kurve zu bestimmen, so dass die Form deutlich
erkennbar ist (Abb. A.6d).
Wenn ihr an einem Punkt anlangt, wo ihr nicht mehr weiter wisst, könnt ihr
beim Lehrer einen Tipp bzw. ein Zwischenergebnis einholen.
(a) Herzförmige Kurve in der Kaeetasse
(Wikipedia, a)
(b) Einzelner Strahl
(c) Simulation der Sonnenstrahlen
(d) Punkte auf der Kurve
Abbildung A.6

ANHANG A. ARBEITSBLÄTTER 94
Mathematik in der Kaeetasse
Tipps für die Schüler:
TIPP 1: Bestimmt die Koordinaten der Punkte P, Q und S in Abhängigkeit
vom Winkel α.
TIPP 2: Bedenkt zunächst wo sin(α) und cos(α) im Einheitskreis einzuzeichnen
sind und versucht dadurch auf die Koordinaten der Punkte P und Q zu schlieÿen.
Die x-Koordinate von P spielt keine entscheidende Rolle, wählt x P = −1.
Zur Bestimmung von S betrachtet folgende Abbildung: Das Dreieck SOQ ist
gleichschenklig. Was bedeutet das für den Winkel β und folglich für ϕ
ZWISCHENERGEBNIS 1: P = (−1, sin(α)), Q = (cos(α), sin(α)), S = (cos(π −
3α), − sin(π − 3α))
TIPP 3: Verwendet die Befehle Folge[] und Streckenzug[] um die Sonnenstrahlen
zu simulieren. In welchem Intervall bendet sich der Winkel α Betrachtet
die Grenzfälle.
TIPP 4: Versucht die Geradengleichung der reektierten Strahlen aufzustellen.
Dazu benötigt ihr den Winkel, den die Geraden mit der x-Achse einschlieÿen.
TIPP 5: Verwendet die Abbildung aus TIPP 2 um den Winkel ε zu bestimmen:
Das Dreieck ODQ ist gleichschenklig. Dadurch lässt sich der Supplementärwinkel
von ε und folglich ε ausdrücken.

ANHANG A. ARBEITSBLÄTTER 95
TIPP 6: Drückt die Steigung der reektierten Geraden durch den eben berechneten
Winkel ε aus und setzt sie gemeinsam mit dem Punkt Q in die allgemeine
Geradengleichung y = k ⋅ x + d ein.
ZWISCHENERGEBNIS 2: y = tan(2α) ⋅ x + sin(α) − tan(2α) ⋅ cos(α)
TIPP 7: Erzeugt eine Liste mit reektierten Geraden. Welche müssen miteinander
geschnitten werden, um die Punkte auf der Kurve zu erhalten
TIPP 8: Um zwei benachbarte Geraden miteinander zu schneiden, müsst ihr auf
das k-te und das (k + 1)-te Element der Liste mit den Geraden zugreifen. Das
gelingt mit dem Befehl Element[ , ].

Abbildungsverzeichnis
1.1 Eigenschaften einer Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Entstehung einer Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Konstruktion einer Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Zykloide mit Details (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Entstehung einer Deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Konstruktion einer Deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Deltoide als Hüllkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Deltoide mit Details (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Entstehung einer Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Konstruktion einer Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11 Astroide als Hüllkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.12 Entstehung einer Kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.13 Konstruktion einer Kardioide als Hüllkurve . . . . . . . . . . . . . 21
1.14 Kardioide mit Details (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.15 Entstehung einer Nephroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.16 Konstruktion einer Nephroide als Hüllkurve . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Parabel mit Krümmungskreisen und Evolute . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Krümmungsmittelpunkt (Yates, 1947) . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Ellipse mit Krümmungskreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Ellipse und ihre Evolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Kardioide mit Krümmungskreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Kardioide und ihre Evolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Kaeetassen-Katakaustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Entstehung einer Katakaustik (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . 36
3.3 Parallel einfallender Strahl (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Hüllkurve der Sonnenstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Lichtquelle auÿerhalb des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Lichtquelle am Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
96

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 97
3.7 Lichtquelle innerhalb des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1 Kurven in der Kunst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Epizykeltheorie (Wikipedia, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Denition Ellipse bzw. Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Tautochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Die Schale des Nautilus (Podbregar, 2001) . . . . . . . . . . . . . . 51
4.7 GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.8 Binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9 64 = 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 Spirograph (Wikipedia, c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6 Nephroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.7 Unterschiedliche Krümmungen (Fetzer u. Fränkel, 2012) . . . . . 67
5.8 1 Nachbarpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.9 2 Nachbarpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.10 Positive bzw. negative Krümmung (Brand u. a., 2011) . . . . . . . 71
5.11 Krümmung einer Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.12 Verbindung zweier Gleise (Steinberg, 1995) . . . . . . . . . . . . . 74
5.13 Verbindung mit Kreis- oder Ellipsenbögen . . . . . . . . . . . . . . 74
5.14 Verschiedene Lösungen (Steinberg, 1995) . . . . . . . . . . . . . . 76
5.15 Krümmungen der Verbindungen (Steinberg, 1995) . . . . . . . . . 77
5.16 Beste Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.17 Funktion und Krümmung (Steinberg, 1995) . . . . . . . . . . . . . 79
5.18 Modellierung der Sonnenstrahlen (Grabinger, 1997) . . . . . . . . 80
5.19 Bestimmung der Koordinaten der Punkte . . . . . . . . . . . . . . 81
A.1 Entstehung der Zykloide (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . . . . 88
A.2 Entstehung der Deltoide (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . . . . 89
A.3 Entstehung der Astroide (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . . . . 90
A.4 Entstehung der Kardioide (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . . . . 91
A.5 Entstehung der Nephroide (Thomas, 2010) . . . . . . . . . . . . . 92
A.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

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