Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 22
Abbildung 1.14: Kardioide mit Details (Thomas, 2010)
π − (1 + R ) t. Da die beiden Winkel α und β supplementär sind, gilt:
r
α = (1 + R ) t. (1.6)
r
Nun setzt man α in Gleichung (1.5) ein und erhält die x-Koordinate der Kardioide:
x = OM ′ − P ′ M ′ = (R + r) cos(t) − r cos ((1 + R ) t) . (1.7)
r
Die Vorgehensweise für die y-Koordinate ist sehr ähnlich: y = P P ′ = P ′′ M ′ =
MM ′ −MP ′′ . MM ′ kann über das Dreieck OM ′ M berechnet werden und MP ′′
über das Dreieck P P ′′ M:
MM ′ = (R + r) sin(t),
MP ′′ = r sin(α).
Unter Verwendung von (1.6) ergibt sich die y-Koordinate zu
y = MM ′ − MP ′′ = (R + r) sin(t) − r sin ((1 + R ) t) . (1.8)
r
Da die Radien des festen und des rollenden Kreises bei der Kardioide gleich