Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 76
Gleise mit Polynomfunktionen zu verbinden. Wichtig ist in diesem Fall darauf
hinzuweisen, dass nur jene Polynome in Frage kommen, die punktsymmetrisch
zum Ursprung sind, also nur ungerade Potenzen besitzen. Im einfachsten Fall
wäre das die Polynomfunktion f(x) = ax 3 + bx. Die Funktion muss durch Ü1
gehen und der Zuge sollte an dieser Stelle kein Eck fahren müssen, das heiÿt die
Tangente in Ü1 sollte mit dem Gleis vor Ü1 übereinstimmen, also waagrecht sein.
Damit hat man zwei Bedingungen um die Koezienten a und b zu bestimmen:
f(−d/2) = h/2,
f ′ (−d/2) = 0.
Ableiten der Funktion und Einsetzen der Werte führt auf folgende Gleichungen:
−64a − 4b = 2 und 48a + b = 0 und weiters auf die Koezienten a = 1/64 und
b = −3/4. Als vierte mögliche Lösung erhält man also
b 4 ∶ y = 1 64 x3 − 3 4 x −4 ≤ x ≤ 4
Abbildung 5.14: Verschiedene Lösungen (Steinberg, 1995)
Nun ist es ratsam die vier Lösungen in GeoGebra zu vergleichen (Abb. 5.14).
Als erstes überrascht, dass die Lösungen b 3 und b 4 praktisch identisch sind. Davon
konnte man nicht ausgehen, wenn man bedenkt, dass b 3 eine trigonometrische
und b 4 eine Polynomfunktion ist. Weiters ist zu erkennen, dass b 3 und b 4
einen deutlich sanfteren Übergang ermöglichen als b 1 und b 2 . Die Frage ist jetzt,
woran das liegen könnte. Sämtliche Lösungen starten mit einer waagrechten Tangente
und enden mit einer waagrechten Tangente, allerdings ist die Krümmung
der einzelnen Lösungen deutlich verschieden. Da im Vorfeld dieses Beispiels die
Krümmung ausführlich behandelt wurde, werden die Schüler vermutlich auf die
Idee kommen, dass die Sanftheit des Übergangs mit der Krümmung zu tun ha-