Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen
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KAPITEL 2. EVOLUTEN 31<br />
Abbildung 2.4: Ellipse und ihre Evolute<br />
2.3 Evolute der Kardioide<br />
Als ein weiteres Beispiel zu Evoluten wird hier noch die Kardioide besprochen.<br />
Die Parametergleichung der Kardioide lautet<br />
⎛<br />
⎝<br />
x<br />
y<br />
⎞<br />
⎠ = ⎛ ⎝<br />
2 cos(t) − cos(2t)<br />
2 sin(t) − sin(2t)<br />
⎞<br />
⎠ .<br />
Folglich sind die Ableitungen nach t:<br />
ẋ = −2 sin(t) + 2 sin(2t) ẍ = −2 cos(t) + 4 cos(2t)<br />
ẏ = 2 cos(t) − 2 cos(2t) ÿ = −2 sin(t) + 4 sin(2t) .<br />
Eingesetzt in (2.18) ergibt das die erste Komponente der Evolute der Kardioide:<br />
α = 2 cos(t) − cos(2t) − (2 cos(t) − 2 cos(2t)) ⋅<br />
(−2 sin(t) + 2 sin(2t)) 2 + (2 cos(t) − 2 cos(2t)) 2<br />
(−2 sin(t) + 2 sin(2t)) (−2 sin(t) + 4 sin(2t)) − (−2 cos(t) + 4 cos(2t)) (2 cos(t) − 2 cos(2t))
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