Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 81
β = π − 2α und folglich ϕ = β − α = π − 3α (Abb. 5.19). Für die Koordinaten von
S ergibt sich damit S = (cos(π − 3α), − sin(π − 3α)).
Abbildung 5.19: Bestimmung der Koordinaten der Punkte
Um anschlieÿend alle Sonnenstrahlen zu simulieren, eignen sich in GeoGebra
die Befehle Streckenzug[] und Folge[]. Es ist eine Folge von Streckenzügen
P QS in Abhängigkeit des Winkels α zu erzeugen. α bewegt sich zwischen −π/2
für den untersten Strahl und +π/2 für den obersten Strahl. Der endgültige Befehl
in GeoGebra lautet
Folge[Streckenzug[P, Q, S], α, −π/2, π/2, π/30].
π/30 als letztes Argument im Befehl Folge[] gibt die Schrittweite der Variablen
α an. In diesem Fall werden 30 (eigentlich 31) solcher Streckenzüge gezeichnet
diese Anzahl eignet sich gut, um den Eekt zu erkennen.
Beobachtet man nun die simulierten Sonnenstrahlen etwas genauer, so lässt
sich vermuten, dass die herzförmige Kurve durch die Schnittpunkte der reektierten
Strahlen entsteht. Das nächste Ziel ist also die Geradengleichungen für
die reektierten Strahlen aufzustellen. Um die Steigung zu berechnen, benötigt
man den Winkel ε in Abbildung 5.19. Der Supplementärwinkel von ε ist oensichtlich
π − 2α, also gilt ε = 2α. Für die Steigung k der Geraden gilt folglich
k = tan(2α). Setzt man nun den Punkt Q in die Geradengleichung y = k ⋅ x + d,
so erhält man
sin(α) = tan(2α) ⋅ cos(α) + d,
also d = sin(α) − tan(2α) ⋅ cos(α). Die endgültige Geradengleichung lautet demnach
y = tan(2α) ⋅ x + sin(α) − tan(2α) ⋅ cos(α).