Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 17
Abbildung 1.8: Deltoide mit Details (Thomas, 2010)
dazu den 180°-Winkel OMB, so sieht man, dass π = π − t + α + β, also:
2
α = π 2 + t − β.
Da der Kreis rollt, sind die beiden Bögen AB und P B gleich lang. Es gilt daher
r β = R t. α kann damit geschrieben werden als
α = π 2 + t − R r t = π 2 − (R r
− 1) t. (1.2)
Einsetzen von α in Gleichung (1.1): QP ′ = r sin ( π 2 − ( R − 1) t). Unter Verwendung
der trigonometrischen Identität sin( π − ϕ) = cos(ϕ) vereinfacht sich der
r
2
Term zu QP ′ = r cos (( R − 1) t). Der Ausdruck für die x-Koordinate ist daher:
r
x = OQ + QP ′ = (R − r) cos(t) + r cos (( R r
− 1) t) . (1.3)
Zur Berechnung der y-Koordintate: y = P P ′ = P ′′ Q = MQ − MP ′′ . Die
Strecke MQ kann über das Dreieck OQM berechnet werden:
MQ = (R − r) sin(t).