Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 70
die x-Koordinate des Mittelpunkts:
x M = x 0 − f ′ (x 0 ) (y M − f(x 0 ))
= x 0 − f ′ (x 0 ) ⋅ 1 + (f ′ (x 0 )) 2
.
f ′′ (x 0 )
Der Radius ρ des Krümmungskreises lässt sich nun leicht mit Hilfe des Satzes
von Pythagoras berechnen:
ρ 2 = (x 0 − x M ) 2 + (f(x 0 ) − y M ) 2
= (f ′ (x 0 ) ⋅ 1 + (f ′ (x 0 )) 2 2
) + ( 1 + (f ′ (x 0 )) 2
)
f ′′ (x 0 )
f ′′ (x 0 )
= ( 1 + (f ′ (x 0 )) 2 2
) ⋅ (1 + (f ′ (x
f ′′ 0 )) 2 )
(x 0 )
=
(1 + (f ′ (x 0 )) 2 ) 3
(f ′′ (x 0 )) 2 ,
also
(1 + (f ′ (x 0 )) 2 ) 3 /2
ρ =
.
f ′′ (x 0 )
Entsprechend Gleichung (5.1) ist die Krümmung in Punkt P gegeben durch
2
f ′′ (x 0 )
κ(x 0 ) =
.
(1 + (f
′ (x 0 )) 2 ) 3 /2
Um zusätzlich zwischen Links- und Rechtskurven unterscheiden zu können, werden
auch negative Krümmungen zugelassen, sodass die endgültige Form der
Krümmung folgendermaÿen aussieht:
f ′′ (x)
κ(x) =
. (5.3)
(1 + (f ′ (x)) 2 ) 3 /2
Aus dieser Herleitung ergeben sich einige für den Mathematikunterricht relevante
Folgerungen. So sieht man zum Beispiel, dass die Krümmung stets dasselbe
Vorzeichen hat, wie die zweite Ableitung f ′′ (x) in diesem Punkt. Weiters
sehen Schüler, warum das Vorzeichen der zweiten Ableitung darüber entscheidet,
ob es sich bei einem Extremum um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
Aus Gleichung (5.3) sieht man, dass für Extrema (f ′ (x) = 0) sogar κ(x) = f ′′ (x)
gilt. Jetzt ist klar, dass eine positive zweite Ableitung eine positive Krümmung