Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

KAPITEL 1. ZYKLOIDE, HYPO- UND EPIZYKLOIDEN 21
Abbildung 1.13: Konstruktion einer Kardioide als Hüllkurve
1.4.2 Parametergleichung der Kardioide
In Abbildung 1.14 ist die Position des Punktes P in Abhängigkeit des Winkels
t und der Radien R und r zu bestimmen (vgl. Thomas, 2010).
Die x-Koordinate kann berechnet werden über die Länge der beiden Strecken
OM ′ und P ′ M ′ : x = OM ′ − P ′ M ′ . Die Strecke OM ′ wird über das Dreieck
OM ′ M bestimmt:
OM ′ = (R + r) cos(t).
P ′ M ′ ist gleich lang wie die Strecke P P ′′ , welche über das Dreieck P P ′′ M
bestimmt werden kann:
P ′ M ′ = P P ′′ = r cos(α). (1.5)
Es bleibt also der Winkel α zu berechnen. Aufgrund des Rollen des Kreises,
sind die beiden Kreisbögen BQ und BP gleich lang. Folglich gilt R t = r γ, also
γ = R t. Betrachtet man nun das Dreieck OAM, so sieht man β = π − t − γ =
r