Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

KAPITEL 5. VORSCHLÄGE FÜR UNTERRICHTSEINHEITEN 71
und damit eine Linkskurve zur Folge hat. Wann Kurven positiv bzw. negativ
gekrümmt sind, wird in Abbildung 5.10 sehr anschaulich dargestellt. Der Lehrer
sollte die Schüler auch darauf aufmerksam machen, wie zwischen Links- und
Rechtskurven unterschieden wird: Um das entscheiden zu können, stellt man
sich am besten vor, man fährt in einem Auto auf der Kurve in Richtung der
positiven x-Achse und stellt sich nun die Frage, ob man nach links oder nach
rechts einschlagen müsste. Des Weiteren kann man Gleichung (5.3) entnehmen,
warum die zweite Ableitung in einem Wendepunkt Null sein muss. Denn genau
dann ist die Krümmung gleich Null und die Funktion nicht gekrümmt ähnelt
in diesem Punkt also einer Geraden. Bei Sattelpunkten, also Punkten in denen
die ersten beiden Ableitungen verschwinden (f ′ (x) = f ′′ (x) = 0), ist ebenfalls
die Krümmung Null. Auch hier entartet der Krümmungskreis zu einer Geraden,
sprich er existiert nicht (vgl. Geisreiter, 2004).
Abbildung 5.10: Positive bzw. negative Krümmung (Brand u. a., 2011)
Die zu Beginn gemachte Aussage über die Krümmung des Kreises (Gleichung
(5.1)) ist insofern noch abzuändern, als dass es sich beim oberen Halbkreis um
eine Rechtskurve handelt, also κ(x) = − 1 , und beim unteren Halbkreis um eine
ρ
Linkskurve, also κ(x) = 1.
ρ
Das Ziel ist es nun die Krümmung auch für allgemeinere Kurven, die in
Parameterdarstellung gegeben sind, herzuleiten. Für Schüler ist das eine sehr
fordernde Übung der Kettenregel. Für die betrachtete Kurve ist nun sowohl
die x- als auch die y-Komponente vom Parameter t abhängig. Es kann also
geschrieben werden: x = x(t) und f(x) = y(t). In Gleichung (5.3) sind f ′ (x) und
f ′′ (x) zu ersetzen:
f ′ (x) = d f(x)
dx
=
d y(t)
dt
d x(t)
dt
= y′ (t)
x ′ (t) .
Etwas anspruchsvoller ist die Berechnung der zweiten Ableitung:
f ′′ (x) =
=
d f ′ (x)
dx
= d ( y′ (t)
x ′ (t) )
=
dx
x ′ (t) y ′′ (t) − x ′′ (t) y ′ (t)
(x ′ (t)) 3 .
d( y′ (t)
x ′ (t) )
dt
d x(t)
dt
= x′ (t) y ′′ (t) − x ′′ (t) y ′ (t) 1
(x ′ (t)) 2 ⋅
x ′ (t)