Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

KAPITEL 3. KAUSTIKEN 35
(a) Einfallende Strahlen (Ucke u. Engelhardt,
1996)
(b) Resultat (Wikipedia, a)
Abbildung 3.1: Kaeetassen-Katakaustik
es genau einen einfallenden Strahl (Abb. 3.2)
s e (t) = Q + t ⋅ v,
wobei v = c(λ) − Q, der Richtungsvektor von s e .
Der Einfallswinkel θ ist der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und
dem Lot, also der Normalen auf die Tangente von c an der Stelle λ:
θ = ∡ (v, n ⋅ ċ(λ)) ,
mit der Drehmatrix n = ⎛ 0 −1 ⎞
⎝ 1 0 ⎠ .
Der Strahl wird im Punkt c(λ) reektiert das entspricht einer Drehung des
einfallenden Strahls um 2θ + π (Abb. 3.2). Für den reektierten Strahl ergibt
sich daher schlussendlich
s r (t) = c(λ) + t ⋅ v ′ ,
mit v ′ = ⎛ cos(2θ + π) − sin(2θ + π) ⎞
⋅ v. Die Hüllkurve dieser reektierten
⎝ sin(2θ + π) cos(2θ + π) ⎠
Strahlen heiÿt Katakaustik (vgl. Thomas, 2010).
Zur Berechnung dieser Hüllkurven: Die reektierten Strahlen s r hängen von
den Parametern λ und t ab. Sie können also geschrieben werden als C(λ, t) =
(C 1 (λ, t), C 2 (λ, t)) . Zur Berechnung benötigt man die Jacobimatrix von C(λ, t),
also
J(C) = ⎛ ∂
∂λ C ∂
1(λ, t)
∂t C 1(λ, t) ⎞
∂
⎝
∂λ C ∂
2(λ, t)
∂t C 2(λ, t) ⎠ . (3.1)
Die Hüllkurve ergibt sich nun durch Nullsetzen der Determinante dieser Jacobimatrix
(eine Herleitung ndet sich in Thomas (2010); ein Beispiel dazu im