Kurven im Mathematikunterricht - idmthemen

KAPITEL 3. KAUSTIKEN 37
Abbildung 3.3 entnehmen kann.
Abbildung 3.3: Parallel einfallender Strahl (Thomas, 2010)
Für den Richtungsvektor des reektierten Strahls (Gleichung (3.3)) benötigt
man den Winkel 2θ + π = 2λ + π:
s r (t) = ⎛ ⎝
cos(λ)
sin(λ)
⎞
⎠ + t ⋅ ⎛ ⎝
cos(2λ + π)
sin(2λ + π)
⎞
⎠ = ⎛ ⎝
cos(λ)
sin(λ)
⎞
⎠ + t ⋅ ⎛ ⎝
− cos(2λ)
− sin(2λ)
⎞
⎠ .
Berechnen der Jacobimatrix durch Einsetzen in Gleichung (3.1):
J(s r ) = ⎛ ⎝
− sin(λ) + 2t sin(2λ)
cos(λ) − 2t cos(2λ)
− cos(2λ)
− sin(2λ)
⎞
⎠ .
Die Determinante dieser Matrix ist
det (J(s r )) = sin(λ) sin(2λ) − 2t sin 2 (2λ) + cos(λ) cos(2λ) − 2t cos 2 (2λ).
Nullsetzen und Auösen nach t ergibt
det (J(s r )) = 0
sin(λ) sin(2λ) + cos(λ) cos(2λ) − 2t = 0
sin(λ) 2 sin(λ) cos(λ) + cos(λ) (cos 2 (λ) − sin 2 (λ)) = 2t
sin 2 (λ) cos(λ) + cos 3 (λ) = 2t
cos(λ) (sin 2 (λ) + cos 2 (λ)) = 2t
cos(λ)
2
= t