Diplomarbeit Christian Hauswald

A Ableitung der Funktion zurKurvenanpassungWie in Abschnitt 1.5 erläutert wurde, lässt sich die Verteilung der Atome in einer magnetooptischenFalle und auch in einer optischen Melasse durch eine Funktion f(⃗r, ⃗v) beschreiben,welche eine gaußförmige Verteilung der Orts- ⃗r = (x, y, z) und Geschwindigkeitskoordinaten⃗v = (v x , v y , v z ) aufweist (1.28) [30]:f(⃗r, ⃗v) = N ( ) 1 3/2 ( ) m 3/28π 3 D 2 exp(− ⃗r 2 ) (k B T2D 2 exp − 1 m⃗v 2 ). (A.1)2 k B TDabei ist die Varianz der räumlichen Verteilung D 2 durch den Durchmesser der MOT Dund die Varianz der Verteilung im Geschwindigkeitsraum m/k B T durch die TemperaturT der Atome bestimmt. Hierbei ist außerdem N ein Maß für die Atomzahl in der Falle,m die Masse eines Atoms und k B die Boltzmann-Konstante.Im Folgenden wird nun die zeitliche Entwicklung dieser Verteilung betrachtet, also das Verhaltender Wolke unter Einfluss der Gravitation nach Abschluss des Beschleunigungsvorgangszum Zeitpunkt t = 0. Stöße zwischen einzelnen Atomen werden dabei vernachlässigt,da diese in einer MOT mit Atomzahldichten von 10 9 -10 10 Atome/cm 3 keine wesentlicheRolle spielen, verglichen mit Stößen der Atome mit dem Hintergrundgas [25]. Außerdemwird angenommen, dass der Schwerpunkt der Wolke sich zum Startzeitpunkt mit der Geschwindigkeitv 0 senkrecht nach oben bewegt. Dies entspricht später der Beschleunigungder Wolke durch Verstimmung der oberen gegen die unteren MOT-Strahlen. Geht manvon diesem Modell aus, so lässt sich die Verteilung der Wolke zum Startzeitpunkt t = 0folgendermaßen beschreiben:f(⃗r, ⃗v, 0) = N ( ) m 3/28π 3 D 2 exp(− x2 + y 2 + z 2 )k B T2D(2× exp − 1 )m2 k B T (v2 x + vy 2 + (v z − v 0 ) 2 ) . (A.2)Betrachtet man nun die zeitliche Entwicklung in z-Richtung durch den freien Fall:z ′ = z + v 0 t − 1 2 gt2 v ′ z = v z − gt, (A.3)und setzt dies in (A.2) ein, so ergibt sich für die Verteilung zum Zeitpunkt t:f(⃗r ′ , ⃗v ′ , t) = N ( ) m 3/28π 3 D 2 exp(− x′2 + y ′2 + ( z ′ − v 0 t + 1 2 gt2) )2k B T2D 2(× exp − 1 m(v x ′2 + v y ′2 + ( v z ′ − v 0 + gt ) )) 2.2 k B T(A.4)87