Diplomarbeit Christian Hauswald

Kapitel A. Ableitung der Funktion zur KurvenanpassungIntegriert man nun über alle Geschwindigkeitskomponenten, erhält man die neue Verteilungder Atome, welche der Faltung der zwei Normalverteilungen aus (A.4) entpricht unddamit wieder einer Normalverteilung ist:∫ ∫ ∫(f(⃗r ′ , ⃗v ′ , t)d 3 ⃗v ′ =N 1(2π) 3/2 σ 3 (t) exp − x′2 + y ′2 + ( z ′ − v 0 t + 1 2 gt2) )22σ 2 . (A.5)(t)Wobei nun die Varianz der räumlichen Verteilung der Atome zusätzlich von der TemperaturT und Zeit t nach dem Start der Bewegung abhängt:σ 2 (t) = D 2 + k BTm t2 .(A.6)Die Detektion dieser Verteilung erfolgt in der x-y-Ebene, so dass man nach erneuter Integrationeine Funktion erhält, die die zeitliche Änderung der Verteilung der Wolke, indiesem Fall ausgewertet am Punkt z ′ = h, beschreibt:∫ ∫f(h, t) =( (f(x ′ , y ′ , z ′ , t)dx ′ dy ′ Nh − v0 t + 1= √2exp −gt2) )22πσ(t) 2σ 2 (t)(A.7)Da im Experiment Teile der Atomwolke zwischen der ersten Detektion während derAufwärtsbewegung und der zweiten Detektion in der Abwärtsbewegung durch die Expansionder Wolke verloren gehen und somit auf dem Rückweg nicht detektiert werdenkönnen wird dies durch einen Zusatzterm berücksichtigt. Es ergibt sich [30]:)] ( (Nf(h, t) = √[1 − exp(− ρ2h − v0 t + 1 22πσ(t) 2σ 2 exp −gt2) )2(t)2σ 2 . (A.8)(t)Der Verlust wird also durch einen exponentiellen Abfall der Atomzahl mit der Zeit tberücksichtigt, wobei ρ ein Maß für die Fläche des Detektionsstrahls in der x-y-Ebeneist [76].Diese Funktion f(z, t) kann nun verwendet werden, um die vom Abfrage-Strahl in der Höheh über dem Startpunkt aufgenommene Fluoreszenz der vorbeifliegenden, expandierendenund durch die Gravitation abbremsenden Atomwolke zu beschreiben. Dabei wird sowohlder erstmalige Durchflug der Wolke durch den Abfrage-Strahl zum Zeitpunkt t 1 als auchder zweite Durchflug zum Zeitpunkt t 2 > t 1 beschrieben.Aus der Breite der beiden so entstehenden Peaks, welche ein Maß für die räumliche Verteilungder Wolke zum entsprechenden Zeitpunkt sind, lässt sich nun die Temperatur T derWolke ermitteln. Es handelt sich also im Prinzip um eine time-of-flight-Messung angepasstfür einen atomaren Springbrunnen, welcher von einem flachen Abfrage-Strahl detektiertwird.88