Stichworte, Definitionen, Formeln und Aufgaben zur Vorlesung ...

neue Variable wird als ein additiver Index bezeichnet, wenn sie sich in derFormX ∗ = w 1 X 1 + · · · + w n X ndarstellen lässt, wobei w 1 , . . . , w n irgendwelche Gewichte sind. Andernfallsspricht man von nicht-additiven Indizes.5. Das Prinzip der dimensionalen Homogenität. Eine wesentliche Sinnvoraussetzung,um aus quantitativen Indikatorvariablen einen quantitativinterpretierbaren additiven Index zu bilden, besteht darin, dass sich alleIndikatoren auf eine gleiche Dimension beziehen, d.h. dass jeder ihrerMerkmalsräume durch eine Bezugnahme auf den gleichen Größenbegriffexpliziert werden kann. Wir nennen dies das Prinzip der dimensionalenHomogenität.Akzeptiert man dieses Prinzip der dimensionalen Homogenität, folgtdaraus, dass additive Indizes im allgemeinen nicht als quantifizierende Indizesaufgefasst werden können; denn im allgemeinen beziehen sich die zurKonstruktion verwendeten Indikatorvariablen auf unterschiedliche Dimensionen(soweit man überhaupt voraussetzen kann, dass mit den Indikatorenauf Größenbegriffe Bezug genommen wird). Eine Ausnahme wären nur diejenigenIndizes, bei deren Indikatoren es sich um Zählgrößen handelt, dievergleichbare Einheiten zählen, und Indizes, bei deren Indikatoren es sichum monetäre Größen handelt.6. Beispiele für nicht-additive Indizes. Ein besonders einfaches Beispielkann folgendermaßen angegeben werden. Es gibt zwei Variablen: X 1 erfasstdas Einkommen von Haushalten, X 2 ihre Ausgaben für Miete. Dannkann man einen Index X ∗ := X 2 /X 1 bilden, um den Anteil der Mietkostenam Einkommen zu erfassen. Auf diese Weise entsteht ein unmittelbarverständlicher quantitativer Index, mit dessen Hilfe Haushalte unterschieden,geordnet und verglichen werden können.Ein weiteres einfach durchschaubares Beispiel vermitteln Indizes fürÄquivalenzeinkommen. Zugrunde liegt die Frage, wie Haushaltseinkommensinnvoll verglichen werden können. Das Problem resultiert daraus,dass Haushalte unterschiedlich viele Mitglieder haben und zum Beispiel einEinkommen von 2000 Euro/Monat bei einem 1-Personen-Haushalt und beieinem 4-Personen-Haushalt sicherlich auf unterschiedliche Einkommenssituationenverweist. Um Haushaltseinkommen dennoch vergleichbar zumachen, könnte man einen Index für das Pro-Kopf-Einkommen verwenden,also Y ∗ := Y/H, wobei Y das Haushaltseinkommen und H die Anzahlder Mitglieder des Haushalts erfasst. Allerdings kann dieser einfache Indexmit dem Argument kritisiert werden, dass sich durch das Zusammenlebenin Haushalten Ersparnisse ergeben, die bei der Konstruktion vergleichbarerEinkommenspositionen berücksichtigt werden sollten, etwa dass einigeGüter gemeinsam genutzt werden können und nicht für jedes Haushaltsmitgliedgesondert angeschafft werden müssen. Die Frage ist dann, wie26diese Überlegung bei der Indexkonstruktion berücksichtigt werden kann.Dazu gibt es eine Reihe unterschiedlicher Vorschläge, zum Beispiel dasSchemaY ∗δ:= Y/H δwobei 0 ≤ δ ≤ 1. Extremfälle sind das unveränderte Haushaltseinkommen(δ = 0) und das Pro-Kopf-Einkommen (δ = 1).7. Verteilungsabhängige und -unabhängige Indizes. Um einschätzbar zumachen, welche Ansprüche mit einer Konstruktion von Indizes verbundenwerden können, ist es wichtig, dass es zwei wesentlich unterschiedlicheArten von Konstruktionsverfahren gibt. Man kann sich das folgendermaßenverdeutlichen. Möchte man aus gegebenen Variablen X 1 , . . . , X m eine neueVariable X ∗ bilden, setzt dies voraus, dass angegeben wird, wie man fürdie Elemente einer Gesamtheit Ω aus gegebenen Werten für X 1 , . . . , X mWerte für den Index X ∗ berechnen kann. Dafür gibt es zwei wesentlichunterschiedliche Möglichkeiten:a) Für jedes ω ∈ Ω sind zur Berechnung von X ∗ (ω) nur die WerteX 1 (ω), . . . , X m (ω) erforderlich. Wir sagen dann, dass die neue VariableX ∗ mit einem verteilungsunabhängigen Verfahren konstruiert wird.b) Andererseits kann es sein, dass für einige oder alle Elemente ω derWert von X ∗ (ω) auch davon abhängt, welche Werte die IndikatorenX 1 , . . . , X m bei anderen Elementen von Ω aufweisen. Wir sagen dann,dass die neue Variable X ∗ mit einem verteilungsabhängigen Verfahrenkonstruiert wird.In diesem Zusammenhang ist es auch nützlich, daran zu erinnern, dassDatenkonstruktionsverfahren oft eine Standardisierung statistischer Variablenbeinhalten und dass schon dadurch eine Verteilungsabhängigkeiterzeugt wird.8. Datenreduktion durch Indexkonstruktionen. Mit Indexbildung ist fastimmer eine Datenreduktion verbunden. Damit ist gemeint: Hat man einenIndex X ∗ := g(X 1 , . . . , X m ) konstruiert, können aus den Werten von X ∗im allgemeinen die Werte der Variablen X 1 , . . . , X m nicht rekonstruiertwerden.9. Guttmans Skalogramm-Analyse. Manchmal können Indizes konstruiertwerden, die eine Reproduzierbarkeitsbedingung erfüllen, womit gemeint ist,dass aus den Werten des Index die Werte der Indikatoren berechnet werdenkönnen. Als Beispiel besprechen wir die sog. Skalogramm-Analyse vonLouis Guttman. – Ausgangspunkt ist eine Menge binärer Indikatoren:X j : Ω −→ ˜X j := {0, 1} (für j = 1, . . . , m)In einer oft verwendeten Rhetorik repräsentieren diese Indikatoren die Ergebnisseeiner Bearbeitung von Aufgaben bei einem Test. Es gibt dann m27