Stichworte, Definitionen, Formeln und Aufgaben zur Vorlesung ...

10. Ein Beispiel. Ein kleines Zahlenbeispiel soll die Begriffsbildungen verdeutlichen.Die Grundgesamtheit sei Ω := {ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 }. Wir betrachtenStichproben des Umfangs n = 2, und zwar S ∗ n := {S 1, S 2 , S 3 }, wobeiS 1 = {ω 1 , ω 3 }, S 2 = {ω 2 , ω 4 } und S 3 = {ω 3 , ω 4 } ist. Die korrespondierendenWahrscheinlichkeiten seien jeweils 1/3. 15 Also findet man für dieInklusionswahrscheinlichkeitenπ(ω 1 ) = 1/3 π(ω 2 ) = 1/3π(ω 3 ) = 2/3 π(ω 4 ) = 2/3und für die Summe der Inklusionswahrscheinlichkeiten: ∑ ω∈Ωπ(ω) = 2.In diesem Beispiel kann man auch leicht die Inklusionswahrscheinlichkeitenzweiter Ordnung angeben:π(ω 1 , ω 2 ) = 0 π(ω 2 , ω 3 ) = 0π(ω 1 , ω 3 ) = 1/3 π(ω 2 , ω 4 ) = 1/3π(ω 1 , ω 4 ) = 0 π(ω 3 , ω 4 ) = 1/3Diese Angaben sind ausreichend, da π(ω, ω ′ ) = π(ω ′ , ω) ist.11. Einfache Zufallsstichproben. Wenn bei einem Auswahlverfahren dieWahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe S ∈ S n gezogen wird, für alleStichproben gleich ist, spricht man von einem einfachen Auswahlverfahrenoder auch von einem Verfahren der einfachen Zufallsauswahl. Stichproben,die mit einem solchen Verfahren erzeugt worden sind, werden dementsprechendeinfache Zufallsstichproben genannt. Die Definition impliziert, dasses sich um ein effektives Auwahlverfahren handelt. Ein einfaches Auswahlverfahrenkann also jede Stichprobe aus der Menge der möglichen StichprobenS n := {S ⊂ Ω | | S | = n}erzeugen; und es liefert jede mögliche Stichprobe aus dieser Menge mitder gleichen Wahrscheinlichkeit. Man spricht deshalb auch von einem Verfahrender uneingeschränkten Zufallsauswahl. Wir verwenden für einensolchen Auswahlgenerator die Bezeichnung G e,n .Das im vorangegangenen Paragraphen angeführte Beispiel zeigt, dass essich bei einfachen Auswahlverfahren um einen Spezialfall handelt. In diesemBeispiel konnten durch das Auswahlverfahren nur drei der insgesamtsechs möglichen Stichproben des Umfangs 2 realisiert werden. Es sei auch15 Solche Wahrscheinlichkeiten resultieren aus der jeweils verwendeten Konstruktion einesAuswahlverfahrens. Um für dieses Beispiel ein Auswahlverfahren zu konstruieren,kann man drei Zettel verwenden, die man mit (ω 1 , ω 3 ), (ω 2 , ω 4 ) bzw. (ω 3 , ω 4 ) beschriftet.Dann kann man das Auswahlverfahren dadurch realisieren, dass man die Zettel inein Gefäß legt, sie mischt und schließlich einen Zettel herauszieht.66hier schon erwähnt, dass in der Praxis meistens keine einfachen Auswahlverfahrenverwendet werden. Gerade wegen ihrer Einfachheit bilden siejedoch einen nützlichen Ausgangspunkt. Bei einfachen Auswahlverfahrenkann man auch sofort die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten angeben.Offenbar gilt per Definition:Pr[G e,n ]({S}) = 1| S n |(für alle S ∈ S n )Kennt man den Umfang der Grundgesamtheit, also N, können diese Wahrscheinlichkeitenauch numerisch bestimmt werden. Zur Berechnung ist dieNotation n! := 1 · 2 · · · n (gesprochen: n Fakultät) hilfreich, wobei n einebeliebige natürliche Zahl ist; als Konvention wird 0! = 1 angenommen.Weiterhin werden auch Binomialkoeffizienten (gesprochen: n über k) verwendet,die folgendermaßen definiert sind:( n n!:=(für 0 ≤ k ≤ n)k)k! (n − k)!Zunächst kann man sich überlegen, dass die Anzahl geordneter Folgen vonn Elementen, die aus Ω gebildet werden können, gerade gleichN (N − 1) · · · (N − n + 1) =N!(N − n)!ist. Stichproben sind jedoch Mengen von Elementen von Ω, bei denen esauf die Reihenfolge nicht ankommt. Da n Elemente auf n! unterschiedlicheWeisen angeordnet werden können, findet man:| S n | =N!(N − n)! n!( ) N=nDiese Zahl kann schnell sehr groß werden. Ist z.B. N = 20 und n = 5, gibtes 15504 unterschiedliche Stichproben; ist jedoch N = 200 und n = 50,sind es schon mehr als 10 47 .12. Ziehen ohne Zurücklegen. Gibt es für die Repräsentation der Mitgliedereiner Gesamtheit Ω eine Liste, kann man auf unterschiedliche Weiseninsbesondere einfache Auswahlverfahren konstruieren. Eine Standardvariantewird Ziehen ohne Zurücklegen genannt. Diesem Ausdruck liegt dieIdee zugrunde, dass man sich das Ziehen einer Stichprobe als Ziehen vonObjekten (Kugeln, Zettel, . . . ) aus einer Urne vorstellen kann. Zum Beispielkann man sich vorstellen, dass jeder Name, der in der Liste vorkommt,auf einen kleinen Zettel geschrieben wird und dass dann die Zettel in eineUrne getan und gemischt werden. Eine Stichprobe des Umfangs n entstehtdann dadurch, dass der Reihe nach ohne Zurücklegen n Zettel aus der Urnegezogen werden. Offenbar kann bei diesem Verfahren jede Stichprobe67