Stichworte, Definitionen, Formeln und Aufgaben zur Vorlesung ...

12. Wege und Komponenten. Zur Definition von Komponenten beziehenwir uns zunächst auf einen ungerichteten Graphen mit der Knotenmenge{1,. . . ,n}. Dann ist mit dem Begriff Weg eine Folge von Knoten i 0 , . . . , i mgemeint, so dass es zwischen je zwei aufeinander folgenden Knoten eineKante gibt. 10 Man sagt auch, dass ein solcher Weg vom Knoten i 0 zumKnoten i m führt; die Anzahl der Kanten, also m, wird Länge des Wegesgenannt.Im allgemeinen kann es zwischen jeweils zwei Knoten eines ungerichtetenGraphen einen, mehrere oder auch keinen Weg geben. Darauf beziehtsich der Begriff einer Komponente: Eine Komponente eines ungerichtetenGraphen ist ein maximaler Teilgraph, bei dem für jeweils zwei Knoten gilt,dass sie durch mindestens einen Weg miteinander verbunden sind. Ein ungerichteterGraph, der nur aus einer einzigen Komponente besteht, wirdzusammenhängend genannt. (Komponenten können also auch als maximalezusammenhängende Teilgraphen bezeichnet werden.)Die eben angegebene Definition gilt nur für ungerichtete Graphen. Beigerichteten Graphen kann man zunächst in zwei unterschiedlichen Weisenvon Wegen sprechen:a) Eine Folge von Knoten i 0 , . . . , i m wird ein (gerichteter) Weg von i 0nach i m genannt, wenn jeweils zwei aufeinander folgende Knoten i kund i k+1 durch eine gerichtete Kante von i k nach i k+1 verbundensind.b) Eine Folge von Knoten i 0 , . . . , i m wird ein Semi-Weg von i 0 nach i mgenannt, wenn jeweils zwei aufeinander folgende Knoten i k und i k+1durch eine gerichtete Kante verbunden sind, die von i k nach i k+1oder von i k+1 nach i k führt.Dementsprechend unterscheidet man bei gerichteten Graphen zwischenzwei Arten von Komponenten: Eine Komponente ist ein maximaler Teilgraph,bei dem jeweils zwei Knoten durch mindestens einen Weg verbundensind; dagegen spricht man von einer Semi-Komponente, wenn nur gefordertwird, dass jeweils zwei Knoten durch mindestens einen Semi-Weg verbundensind. Ein gerichteter Graph, der nur aus einer einzigen Komponentebesteht, wird zusammenhängend oder auch unzerlegbar genannt.13. Bewertete Graphen. Bei einer Relation (Ω, ∼) wird nur festgestellt, obfür jeweils zwei Objekte ω, ω ′ ∈ Ω die relationale Aussage ω ∼ ω ′ zutrifftoder nicht. Zum Beispiel: Zwei Personen sind verheiratet oder nicht verheiratet.Oft ist es jedoch von Interesse, qualitative oder quantitative Unterschiedein der Art der Beziehung zu erfassen. Zum Beispiel könnte man beipersönlichen Beziehungen zwischen Bekanntschaften und Freundschaften10 Bei dieser allgemeinen Definition ist also zugelassen, dass dieselbe Kante innerhalbeines Wegs mehrfach auftreten kann. Wenn dies ausgeschlossen werden soll, sprechenwir von Wegen ohne Kantenwiederholungen.44unterscheiden; oder bei dem in Paragraph 7 verwendeten Beispiel könnteman unterscheiden, in welchem Ausmaß Vorleistungen bezogen werden.Um solche Unterscheidungen berücksichtigen zu können, werden bewerteteGraphen verwendet: Jeder (gerichteten oder ungerichteten) Kante desGraphen wird dann eine Zahl zugeordnet, die die durch die Kante repräsentierteBeziehung charakterisiert.Als Beispiel verwenden wir wieder eine Objektmenge, die aus 5 Unternehmenbesteht. In diesem Fall soll es sich jedoch um Aktiengesellschaftenhandeln, so dass man feststellen kann, wie viel Prozent des Aktienkapitalseines Unternehmens von einem anderen Unternehmen gehalten wird.Solche Daten können wiederum in Form einer Adjazenzmatrix dargestelltwerden, wobei jetzt aber in den einzelnen Feldern der Matrix die Prozentanteiledes Kapitalbesitzes eingetragen werden. In unserem Beispiel siehtdie Adjazenzmatrix vielleicht folgendermaßen aus:⎛A :=⎜⎝0 20 0 0 00 0 0 0 00 40 0 0 00 0 10 0 600 0 0 0 0⎞⎟⎠Das Unternehmen ω 1 hält am Unternehmen ω 2 20 % der Kapitalanteileusw. Man erhält dann folgende graphische Darstellung:✎☞ ✎☞20ω 1 ✲ ω 2✍✌ ✚❃ ✍✌40✎☞ ✚ ✚✚✚ ✎☞ ✎☞ω 3 ✛ 10 60ω 4 ✲ ω 5✍✌ ✍✌ ✍✌Zur symbolischen Notation bewerteter Graphen wird in der Literatur oftdie Formulierung G := (Ω, K, v) verwendet. Ω ist die Knotenmenge, K dieKantenmenge. Hinzu kommt eine Funktion v : K −→ R, die jeder Kanteκ ∈ K eine Zahl v(κ) ∈ R zuordnet und als Bewertung der Kante bezeichnetwird (wobei natürlich eine jeweils sinnvolle Bedeutung vereinbartwerden muss). In unserem Beispiel sieht diese Funktion folgendermaßenaus:κv(κ)(ω 1 , ω 2 ) 20(ω 3 , ω 2 ) 40(ω 4 , ω 3 ) 10(ω 4 , ω 5 ) 6045