Stichworte, Definitionen, Formeln und Aufgaben zur Vorlesung ...

a) Ein Zufallsgenerator ist ein Verfahren, um Sachverhalte zu erzeugen.Das impliziert, dass ein Zufallsgenerator nicht selbst ein Akteur ist,vielmehr einen Akteur voraussetzt, der das Verfahren anwendet, umeinen Sachverhalt zu erzeugen. In dem Bild wird dies durch das Wort‘Aktivierung’ angedeutet. Exemplarisch kann man daran denken, dasszur Definition des Zufallsgenerators ein Würfel verwendet wird: Irgendjemandmuss ihn nehmen und werfen, damit ein neuer Sachverhaltentsteht.b) Die Beschreibung eines Zufallsgenerators besteht infolgedessen in derBeschreibung eines Verfahrens zur Erzeugung von Sachverhalten. Dazugehört auch eine Beschreibung von ggf. zu verwendenden Geräten,z.B. eines Würfels, wenn ein solcher verwendet werden soll. Wichtig istjedoch, dass sich der Begriff im wesentlichen auf Regeln bezieht, dieein Verfahren charakterisieren. Soll z.B. ein Würfel verwendet werden,genügt es nicht, den Würfel zu definieren, sondern es muss außerdemangegeben werden, wie der Würfel verwendet werden soll. Der Begriff‘Zufallsgenerator’ meint in diesem Fall nicht nur den Würfel, sondernauch die Art und Weise, wie mit dem Würfel Sachverhalte zu erzeugensind.c) Dass es sich bei einem Zufallsgenerator um ein Verfahren handelt, impliziertweiterhin, dass man es wiederholt (im Prinzip beliebig oft)verwenden kann, um immer neue Sachverhalte zu erzeugen. Man kannz.B. einen Würfel beliebig oft verwenden, d.h. ihn werfen und dadurcheinen jeweils neuen Sachverhalt erzeugen.d) Durch die Aktivierung eines Zufallsgenerators können Sachverhalte unterschiedlichenTyps entstehen. Zum Beispiel kann man bei der Verwendungeines Würfels sechs unterschiedliche Typen von Sachverhaltenfestlegen, entsprechend den sechs möglichen Augenzahlen. Die Formulierung,dass Sachverhalte unterschiedlichen Typs ”entstehen können“,soll bedeuten: zum Zeitpunkt der Aktivierung eines Zufallsgeneratorsist der Typ des daraus resultierenden Sachverhalts noch unbestimmt.e) Der Prozess, der bei der Aktivierung eines Zufallsgenerators zu einemjeweils bestimmten Sachverhalt führt, soll unabhängig davon verlaufen,wann, wo und von wem der Zufallsgenerator aktiviert wird. Dieskann natürlich nur als eine Forderung an einen idealen Zufallsgeneratorverstanden werden. Als Forderung ist sie jedoch wesentlich, denn sierechtfertigt es, dass man bei der Charakterisierung eines Zufallsgeneratorsauf alle Arten von Bezugnahmen auf einen historischen Prozess,in dessen Rahmen der Zufallsgenerator verwendet wird, absehen kann.Insbesondere impliziert die Forderung, dass der Akteur, der den Zufallsgeneratoraktiviert, keinen Einfluss darauf nehmen kann, welcherSachverhalt entstehen wird.f) Eine weitere, in gewisser Weise bereits implizierte Forderung besteht62schließlich darin, dass der Prozess, der bei der Aktivierung eines Zufallsgeneratorszu einem jeweils bestimmten Sachverhalt führt, auchunabhängig davon verläuft, welche Sachverhalte zuvor mit ihm erzeugtworden sind. Wiederum handelt es sich um eine Forderung an einenidealen Zufallsgenerator: er soll kein Gedächtnis haben; oder andersformuliert: die Funktionsweise eines Zufallsgenerators soll hinreichendcharakterisierbar sein, ohne dabei auf die Geschichte seiner bisherigenVerwendung Bezug nehmen zu müssen.7. Aleatorische Wahrscheinlichkeit. Die Begriffsbildungen der Wahrscheinlichkeitsrechnungknüpfen an die eben genannten Eigenschaften einesZufallsgenerators an. In einem ersten Schritt wird festgelegt, welche Artenvon Sachverhalten als möglich betrachtet werden sollen. Zu diesem Zweckwird ein Merkmalsraum ˜Z fixiert, dessen Elemente verwendet werden können,um die Sachverhalte zu charakterisieren, die bei der Aktivierung einesZufallsgenerators entstehen können. Wird z.B. für den Zufallsgenerator einWürfel verwendet, kann man den Merkmalsraum˜Z := {˜z 1 , ˜z 2 , ˜z 3 , ˜z 4 , ˜z 5 , ˜z 6 }verwenden, wobei ˜z j bedeuten soll, dass als Ergebnis eines Wurfs die Augenzahlj erscheint. Die Notation ˜Z soll darauf hinweisen, dass es eine Parallelezu den Merkmalsräumen statistischer Variablen gibt. Wie bei Merkmalsräumenfür statistische Variablen wird auch bei den Merkmalsräumenfür Zufallsgeneratoren davon ausgegangen, dass man sich stets eine numerischeRepräsentation verschaffen kann. In unserem Beispiel könnte manden Merkmalsraum durch ˜Z := {1, 2, 3, 4, 5, 6} fixieren und ergänzendvereinbaren, was die verwendeten Zahlen bedeuten sollen. Weiterhin kannman – ebenfalls analog zu den Merkmalsräumen statistischer Variablen –auch Teilmengen eines Merkmalsraums (Merkmalsmengen) verwenden, umSachverhalte, die durch die Aktivierung eines Zufallsgenerators entstehen,zu charakterisieren. Zum Beispiel kann die Teilmenge ˜Z := {2, 4, 6} ⊂ ˜Zverwendet werden, um auszudrücken, dass eine gerade Augenzahl erschienenist.Zweitens wird angenommen, dass sich bei einem Zufallsgenerator jederTeilmenge ˜Z ⊆ ˜Z eine (aleatorische) Wahrscheinlichkeit zuordnen lässt,mit der Sachverhalte entstehen können, die sich durch ein Element von˜Z charakterisieren lassen. Dafür wird folgende Definition verwendet: EinWahrscheinlichkeitsmaß (auch Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt) füreinen Zufallsgenerator G mit einem Merkmalsraum ˜Z ist eine Funktion 13Pr[G] : P( ˜Z) −→ R13 Das Symbol R wird in diesem Text zum Verweis auf die Menge der reellen Zahlenverwendet.63