Stichworte, Definitionen, Formeln und Aufgaben zur Vorlesung ...

38398. Es sei Ω := {1, . . . , 10} und eine Relation durch die Adjazenzmatrix1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 0 0 0 0 1 0 1 1 0 02 0 0 0 0 0 0 0 1 0 03 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 1 1 0 0 0 05 1 0 0 1 0 1 0 0 0 06 0 0 0 1 1 0 0 1 1 07 1 0 0 0 0 0 0 0 0 08 1 1 0 0 0 1 0 0 0 09 0 0 0 0 0 1 0 0 0 110 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0gegeben. Ist die Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv?7 Graphen und Netzwerke1. Allgemeiner Begriff eines Graphen.2. Ungerichtete Graphen.3. Graphische Darstellung von Graphen.4. Ein Beispiel mit relationalen Daten.5. Der Grad eines Knotens.6. Gerichtete Graphen.7. Beispiel eines gerichteten Graphens.8. Eingangs- und Ausgangsgrad.9. Schlingen und einfache Graphen.10. Dichte eines Graphen.11. Teilgraphen und Cliquen.12. Wege und Komponenten.13. Bewertete Graphen.14. Relationale Variablen.15. Bi-modale Graphen.1. Allgemeiner Begriff eines Graphen. Unter einem Graphen versteht manallgemein eine Menge von Knoten, die durch Kanten (Linien oder Pfeile)verbunden sein können. Die Knoten entsprechen den Objekten, auf dieman sich beziehen möchte, die Kanten werden zur Darstellung von Beziehungenzwischen den Knoten (Objekten) verwendet. Zur Notation wirddie Schreibweise G := (Ω, K) verwendet, wobei Ω := {ω 1 , . . . , ω n } dieKnotenmenge des Graphen und K := {κ 1 , . . . , κ m } die Kantenmenge desGraphen ist. – Diese Erläuterung zeigt bereits, dass es einen engen Zusammenhangzwischen Relationen und Graphen gibt.2. Ungerichtete Graphen. Zunächst besprechen wir ungerichtete Graphen,die den symmetrischen Relationen entsprechen. Sei also (Ω, ∼) eine symmetrischeRelation. Dann kann man Ω auch als Knotenmenge eines Graphenbetrachten und festlegen, dass es zwischen zwei Knoten ω, ω ′ ∈ Ω genaudann eine Kante gibt, wenn die relationale Aussage ω ∼ ω ′ zutrifft. DieKantenmenge wird also durchK := { {ω, ω ′ } | ω ∼ ω ′ ist zutreffend }definiert. Anstelle von geordneten Paaren der Form (ω, ω ′ ) werden in diesemFall Mengen der Form {ω, ω ′ } verwendet, da die Relation symmetrischist, so dass die Reihenfolge keine Rolle spielt.3. Graphische Darstellung von Graphen. Zur Illustration kann zunächstdas bereits im vorangegangenen Abschnitt (Paragraph 5) verwendete Beispieldienen. In diesem Fall repräsentieren die Knoten die 5 Personen unddie Kanten zeigen, welche der Personen miteinander verheiratet sind. In