Kapitel 11 Zentrale Grenzwertsätze

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246 Uwe KüchlerUngleichung 11.5 von Berry-EssenUnter den Voraussetzungen des Satzes von Feller-Lévy und der Annahme E|X 1 | 3
Zentrale Grenzwertsätze 247Bemerkung 11.6 Als ”Praxiserfahrung” gibt Henze (2006) in seinem Kap.27 die Faustregel npq ≥ 9 als ”für praktische Zwecke ausreichend” an.Ist npg ≥ 9 nicht erfüllt, n aber nicht zu klein, so ist evtl. der Poisson’scheGrenzwertsatz anwendbar (vgl. Übung 6.6):Ist p n −→ 0, mit np n −→ λ > 0 so gilt für jede k ≥ 0n→∞ n→∞( nk)p k n(1 − p n ) n−k = λkk! e−λ =: π k (λ).limn→∞pn→0npn→λFür p ≪ 1, n ≫ 1 und λ := np < 9 kann man mit der Näherungrechnen.( nk)p k (1 − p) n−k ≈ π k (λ)Zahlenbeispiele 11.7a) In einem Computerprogramm wird nach jeder Operation auf die j-teDezimale gerundet. [ Rundungsfehler ] addieren sich, sind unabhängig und−10gleichverteilt auf−j; +10−j , n = 10 6 Operationen werden ausgeführt.2 2Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der absolute Rundungsfehlerim Endresultat größer als c = 500 · 10 −j ist?Antwort: Hier sind X 1 , . . . , X n unabhängig, identisch verteilt, EX i =0, D 2 X i = 10−2j 12Auf Grund des Zentralen Grenzwertsatzes von Lévy-Feller istS ∗ n = S n · √12· 10 j annähernd Standard-normalverteilt.Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wirP (|S n | > 500 · 10 −j ) = P (|S ∗ n| >√12 · 50010 3 ) =
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