Kapitel 11 Zentrale Grenzwertsätze

238 Uwe KüchlerEs gilt (vgl. Beispiele 4.13 c) und 4.21 c))ES n = np, und D 2 S n = npq mit q = 1 − p.Wir untersuchen, wie sich die Verteilung von S n bei unbegrenzt wachsendemn verändert. Offenbar wachsen ES n und D 2 S n unbeschränkt falls n nach unendlichstrebt, und b(n, p; k) konvergiert für n → ∞ bei festen p und k gegenNull. (Beachten Sie b(n, p; k) < = ( p1−p) k· 1k! · nk (1 − p) n .)Um dennoch etwas über die asymptotischen Eigenschaften der Binomialverteilungfür n → ∞ aussagen zu können, gehen wir zur standardisierten ZufallsgrößeS ∗ n über:Sn ∗ = S n − ES√ nD2 S n= S n − np√ npq.Diese Zufallsgröße hat die möglichen Wertex (n)k:= k − np √ npq,die sie jeweils mit der Wahrscheinlichkeit b(n, p; k) annimmt, k = 0, 1, . . . , n.Die x (n)k (k = 0, 1, . . . , n) bilden ein Gitter mit √ dem Gitterabstand △ n :=(npq) − 1 2 , dem kleinsten Gitterpunkt x (n)0 = − npund dem größten x (n)qn =√nq. Wir führen eine Funktion ϕ p n(·) auf folgende Weise ein:ϕ n (x) =b(n, p; k)[falls x ∈ x (n)k− △ n△ n 2 , x(n) k(k = 0, 1, . . . , n).+ △ n)2ϕ n (x) = 0, falls x < x (n)0 oder falls x ≥ x (n)n .ϕ n beschreibt ein Säulendiagramm mit (n + 1) senkrechten Säulen der Höheϕ n (x (n)k), der Breite △ n und den Säulenmitten x (n)k, k = 0, 1, . . . , n.Die Fläche der k-ten Säule beträgt b(n, p; k) und die Gesamtfläche unter derOberkante des Säulendiagramms ist gleich Eins.