Kapitel 11 Zentrale Grenzwertsätze

250 Uwe KüchlerDefinition 11.9 Man sagt, die Folge (X n ) erfüllt die Lindeberg-Bedingung(L), falls gilt D 2 X n < ∞, n ≥ 1 und fallslimn→∞1D 2 S nn∑∫k=1{x:|x−EX k |≥εσ n}|x−EX k | 2 F k (dx) = 0 ∀ε > 0.(L)Dabei werde σ n = √ D 2 S n gesetzt.Falls die Lindeberg-Bedingung (L) gilt, so folgtlim max D 2 X k= 0. (F )n→∞ 1≤k≤n D 2 S nDie Eigenschaft (F ) wird auch als Feller-Bedingung bezeichnet.Beweis: Es giltD 2 X k= < ε 2 + 1 []E (XD 2 S n D 2 k − EX k ) 2 1 {|Xk −EXSk |≥εσ n} .nDaraus folgt für jedes ε > 0.D 2 X kmax ≤ ε 2 + 11≤k≤n D 2 S n D 2 S nAus (L) folgt nunmehr (F ).n∑k=1[]E(X k − EX k ) 2 1 {|Xk −EX k |≥εσ n} .□Die Feller-Bedingung besagt anschaulich, dass jede der Streuungen D 2 X k , k =1, . . . , n, für große n verschwindend klein ist im Vergleich zur Streuung D 2 S nder Summe X 1 + X 2 + . . . + X n .Aus der Feller-Eigenschaft (F ) ergibt sich eine weitere Eigenschaft der Folge(X n ), die man als ”Asymptotische Kleinheit der X n,k := X k−EX kσ n” bezeichnet:(lim max P |Xk − EX k |n→∞ 1≤k≤n σ n)> ε = 0. (AK)Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus (F ) mittels der Tschebyschev’schenUngleichung: