W. Kley: Planetenentstehung (WS 2010/11)

Planetenentstehung 

6. Kapitel: Von Planetesimalen zu 

Planeten 

Wilhelm Kley 

Institut für Astronomie & Astrophysik 

Abtlg. Computational Physics 

Wintersemester 2010 

W. Kley: Planetenentstehung (WS 2010/11)

6. Zu den Planeten Übersicht 

6.1 Konzepte 

6.2 Von den Planetesimalen zu den Protoplaneten 

6.3 Entstehung terrestrischer Planeten 

6.4 Entstehung der Gasriesen 

W. Kley: Planetenentstehung (WS 2010/11) 1

6. Zu den Planeten Problemstellung 

Planetesimale: 

- Objekte ab etwa 1-10km bis etwa Mond-größe. 

- Ausgangspunkt für spätere Phase der Planetenentstehung, 

- gravitative Wechselwirkung wichtig. 

In diesen Massenbereich ist aerodynamische Reibung sehr klein 

Möglich: Inhomogenitäten der Dichte der Scheibe 

→ Gezeiten-Wechselwirkung 

Bei 1km Ausgangsgröße werden 10 11 Teilchen gebraucht, um die terrestrischen 

Planeten zu erzeugen. 

Numerisch sehr aufwändig: 

- viele Teilchen 

- lange Entwicklungszeit (viele dynamische Zeiten) 

=⇒ Kombination von statistischen und numerischen Methoden 


6.1 Konzepte Gravitative Fokussierung I 

Gravitational Focussing 

Zwei Körper können nur durch physische Stöße anwachsen 

Durch gegenseitige Gravitation wird effektiver Streuquerschnitt erhöht 

(R.Mardling) 

Bei großem Abstand haben Körper den Impact Parameter R0 und Geschw. vrel = v∞, 

Der kürzeste Abstand sei Rp mit Geschw, vp. 

Drehimpulserhaltung 

R0 vrel = Rp vp 

Energieerhaltung 

1 

2 µ v2 rel = 1 

2 µ v2 p − G(m1m2) 

Rp 

mit der reduzierten Masse µ = m1m2/(m1 + m2) 

W. Kley: Planetenentstehung (WS 2010/11) 3 

(1) 

(2)

6.1 Konzepte Gravitative Fokussierung II 

Für den effektiven Wirkungsquerschnitt σ folgt 

σ ≡ πR 2 0 = πR 2 p Fgrav = πR 2 p 

� 

1 + 

(R.Mardling) 

� vesc 

vrel 

� 2 � 

mit dem gravitativen Steigerungsfaktor Fgrav und der Entweichgeschwindigkeit 

vesc = 

� 2G(m1 + m2) 

Rp 

� 1/2 

In einer ‘kalten’ Planetesimalscheibe mit vrel ≪ vesc ist der Streuquerschnitt 

somit vielfach größer als ohne Gravitation. 


(3) 

(4)

6.1 Konzepte Dreikörpereffekte 

Trajektorien im Dreikörperproblem 

sehr komplex (chaotisch) 

(hier: Stern und zwei Planetesimale) 

Wichtig: Hill-Sphäre (gestrichelt) 

rHill = 

� mp 

3M∗ 

� 1/3 

ap 

Grav. Einflussbereich des Planetesimals 

(Greenzweig & Lissauer, 1993) 

Gravitativer Fokussierungfaktor Fgrav 

als Funktion von vesc/vrel 

gestrichelt: Gl. (3) 

(5) 

Note: vesc/vrel ≫ 1 heißt: Sehr dünne Scheibe: 

Dreikörpereffekte limitieren Fgrav 

(durchgez. Linie) 

(Lissauer, 1993) 


6.1 Konzepte Wachstumsmoden 

Zwei Moden möglich: 

Geordnet 

Massenverhältnis zweier 

Teilchen strebt gegen Eins 

Runaway 

Große Teilchen wachsen schneller als kleine 

(Kokubo, 2001) 

Betrachte Wachstum von zwei Teilchen mit Massen m1 und m2 mit m1 > m2 

d 

dt 

� m1 

m2 

� 

= m1 

m2 

� 1 

m1 

dm1 

dt 

d.h. relatives Wachstum 1/m(dm/dt) ist wichtig. 

− 1 

m2 

� 

dm2 

dt 

Falls relatives Wachstum mit m anwächst: Runaway-Wachstum 

Falls relatives Wachstum mit m abfällt: geordnetes Wachstum 

Betrachte nun Massenwachstum 


(6)

6.1 Konzepte Massenwachstum 

Mit Hilfe des Streuquerschnitts σ (Gl. 3) wird das Massenwachstum eines Planetesimal der 

Masse mp 

dmp 

dt = ρpart vrel σ = ρpart vrel πR 2 p Fgrav (7) 

falls jede Kollision zum Wachstum führt (100% Sticking). ρpart = Dichte der ankomm. Teilchen 

Mit 

ρpart ≈ Σpart 

2Hpart 

= ΣpartΩK 

2vrel 

wegen Hpart ∼ vrel/ΩK, wobei für vrel ≈ √ e 2 + i 2 vK hier die Geschwindigkeitsdispersion 

der Planetesimalscheibe eingesetzt wird. Damit 

dmp 

dt 

= 1 

2 ΣpartΩKπR 2 p 

� 

1 + 

� vesc 

vrel 

� 2 � 

- Wachstum proportional zu Σpart 

- Wachstum proportional zu ΩK: d.h. langsamer bei großen Abständen 

- Geschw. vrel geht nur in Fokussierungsfaktor ein 

Note: Mit Zunehmender Masse beeinflusst der wachsende Planet die Geschw. 

Dispersion (vrel) und die Oberflächendichte Σpart. 


(8) 

(9)

6.1 Konzepte Geordnetes Massenwachstum 

Einfaches Beispiel: Sei Fgrav = const., und Bezeichnung m = mp 

Mit der Lösung 

Mit m = (4/3)πR 3 

p ρplanet wird 

dm 

dt 

dRp 

dt 

Mit Σpart = 10g/cm 3 , ρplanet = 3g/cm 3 wird 

∝ R2 

p 

∝ m2/3 

(10) 

Rp ∝ t (11) 

= ΣpartΩK 

8ρplanet 

Fgrav 

dRp 

dt � 0.2Fgrav cm yr −1 

Sehr kleines Wachstum: Brauche großen Fokussierungsfaktor. 

Für Rp � 1000km in 10 5 yr wird Fgrav ∼ 5000 benötigt. 

Hier geordnet wegen 

1 

m 

dm 

dt 

∝ m−1/3 

(12) 

(13) 

(14) 


6.1 Konzepte Runaway Wachstum 

Betrachte also große Fgrav mit vrel = const. 

Fgrav = 

damit: Runaway Wachstum: 

mit der Lösung 

D.h. m → ∞ in endlicher Zeit! 

� 

1 

m 

1 + 

m(t) = 

� vesc 

vrel 

� 2 � 

� v2 esc 

v 2 rel 

dm 

dt ∝ Rp ∝ m 1/3 

1 

(m −1/3 

0 

− kt) 3 

∝ m 

Rp 

(15) 

(16) 

(17) 

Bei größerer Masse des schnell wachsenden Körpers werden Geschwindigkeit 

und Dichte der umgebenden Planetesimale durch diesen verändert. 

⇒ Modifikationen 

Betrachte jetzt das Wachstum zu Planeten genauer 


6.2 Protoplaneten Methoden 

Direct N-Body 

Bewegungsgleichung für N Planetesimale 

d�vi 

dt 

�xi 

= −GM⊙ − 

|�xi| 3 

N� �xi − �xj 

Gmj 

|�xi − �xj| 3 

j�=i 

+ � fgas + � fcol (18) 

�fgas: Reibungswiderstand durch Gas- 

Teilchen WW 

�fcol: Geschw.-Änderung bei Kollisionen 

Die Geschwindigkeitsdispersion der 

Teilchen vdisp wird durch diese Kräfte 

gedämpft. 

Vorteil: genaue Methode 

Nachteil: benötige sehr viele Teilchen 

Statistisch 

Wahrscheinlichkeitsverteilung f(�r, �v), 

ausgedrückt durch f(e, i) 

Teilchendichte n = � fd 3 v 

Löse Boltzmanngleichung: 

∂f 

∂t + ˙ �r ∂f 

∂�r + ˙ �v ∂f 

∂�v 

= ∂f 

∂t 

� 

� 

� 

� coll 

+ ∂f 

∂t 

coll: Änderungen durch Kollisionen 

grav: grav Streuung 

und Koagulationsgleichung: 

dnk 

dt 

= 1 

2 

� 

i+j=k 

Aijninj − nk 

∞� 

i=1 

� 

� 

� 

� 

grav 

(19) 

Aikni 

Vorteil: modelliere Gesamt-Ensemble 

Nachteil: nur statistisch 


(20)

6.2 Protoplaneten Runaway-Wachstum I 

Beispiel N-body - Rechnung: 

Planetesimale in Ring um 1AE 

mit Breite ∆a = 0.02AE 

3000 Körper mit je m = 10 23 g 

mit Dichte ρ = 2gcm −3 

Z.Zt. t = 200, 000 Jahre: 

- 1 Körper (•) mit 100 facher 

Anfangsmasse: 

geringe Exzentrizität von •: 

- durch Dynamical friction 

- kleine Körper haben e erhöht 

- große haben e erniedrigt 

In der Frühphase erfolgt Wachstum 

durch eine Runaway-Phase 

(E.Kokubo) 

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6.2 Protoplaneten Runaway-Wachstum II 

Gleiche N-body - Rechnung: 

gestrichelt: 10 5 Jahre 

durchgezogen: 2 × 10 5 Jahre 

Massen zwischen 10 23 -10 24 g 

beinhalten Großteil der Masse. 

Kumulative Massenverteilung folgt 

Potenzgesetz 

∂nc 

∂m 

∝ mα 

(21) 

nc(m) = Teilchenzahl mit Masse 

> m. Hier α � −2.5 

(α < −2.0 charakteristisch für 

Runaway) 

Massereiches Teilchen (•) 

separiert von Verteilung (Senke) 

(E.Kokubo) 


6.2 Protoplaneten Gravitational Stirring 

Gravitative WW zwischen kleinen 

und großen Körpern 

Erhöht mittlere Exzentrizität 

und Inklination der Kleinen 

Gleichverteilung der Energie 

zwischen e und i gilt 

< e 2 >= 4 

(E.Kokubo) 


6.2 Protoplaneten Runaway-Wachstum III 

Beispiel: Statistische Rechnung in Box bei 1AE, ∆a = .17AE 

(Wetherill & Stewart, 1993) 


6.2 Protoplaneten Runaway-Wachstum VI 

Beispiel: Statistische Rechnung, 100 radiale Zonen, bei m > 10 24 diskret 


6.2 Protoplaneten Oligarchisches Wachstum 

Rechnungen zeigen kleine Zahl von massereicheren Embryos mit gleichmäßiger Separation 

N klein, d.h. N-body jetzt günstiger 

Setze obige N-Body Rechnung fort 

4000 Körper, je m = 1.5 × 10 23 g 

Plus 2 Saat-protoplaneten 

M1 = M2 = 40m 

z.Zt. t = 0 in ∆a = 0.042AE 

4 mal größere Radien (f = 4) 

d.h. schneller Zeitskalen 

Resultat: 

- große Körper wachsen gleichschnell 

Mend ≈ 8Minit 

- Kleine langsamer, ¯m(t = 10 4 ) ≈ 1.6minit 

- große haben e erniedrigt 

Selbstlimitierter Runaway 

für größere M wächst vdisp 

ab M ≈ 50m wird vdisp ∝ M 1/3 

damit wird (1/M)dM/dt ∝ ΣpM −1/3 

⇒ geordnetes Wachstum (Kokubo&Ida, 1998) 


6.2 Protoplaneten Ende des Wachstums 

Runaway ist lokal 

Große Körper haben ≈ kreisförmigen Orbit =⇒ endliches Reservoir an Kollionspartnern 

=⇒ Isolation Mass (Miso) 

Kollisionen erfolgen mit Teilchen aus Feeding Zone, d.h. heißt aus einem radialen Bereich der 

Ausdehnung des Hillradius 

� mp 

� 1/3 

RHill = a 

3M⊙ 

Teilchen kommen aus Bereich ∆a mit Masse m = 2π 2a ∆aΣp, sei ∆a = CRHill 

Miso = 4πaC 

� �1/3 Miso 

3M⊙ 

aΣp 

(22) 

Seien jetzt 2M⊕ zwischen 0.5 und 1.5AE, und Σp ∼ a −3/2 und Σp = 8 gcm −3 bei 1AE und 

C = 2/ √ 3, dann wird 

Miso ≈ 0.05M⊕ 

D.h. etwa 40 Körper (Proto-Planeten) mit mittlerem Abstand ∆a ≈ 0.025AE 

Bei der Distanz von Jupiter ergibt sich 

Miso ≈ 5 − 9M⊕ 

(23) 


6.3 Terrestrische Problemstellung 

Nach der oligarchischen Phase nur wenige Protoplaneten (≈ Mondgröße) übrig 

Wechselwirkung durch Gravitation 

Ansatz: Klassische N-Body Rechungen 

Schwierigkeit: 

zwar wenig Teilchen (≈ 100), aber lange Zeitskalen (10 8 Jahre) 

⇒ brauche gute (symplektische) Integratoren 

Beispiel: (Chambers, 2001) 

16 N-body Simulationen, Start mit 153-158 Embryos 

Verteile ca. 2 Erdmassen zwischen 0.3 und 2.0 AE 

Verschiedene Typen: Alle Massen gleich, Bimodal, radiales Massenprofil 

Einschließlich Jupiter & Saturn (auf heutigen Bahnen) 

100% Sticking (vollkommen inelastisch) 

Drehimpuls geht in Rotation (Spin) 

Integrator: 

(Mercury-Package, John Chambers, 1999) 


6.3 Terrestrische Exzentrizität - Gr. Halbachse 

(Chambers, 2001) 


6.3 Terrestrische Material-Mischung 

Die Farben geben den Ursprungsort des Materials der Planeten an 


6.3 Terrestrische Probleme 

Sonnensystemähnliche Systeme sind möglich 

meist 3-4 terrestrische Planeten, Entstehung in ca. 10 8 Jahren 

Aber: Diskrepanzen im Einzelnen 

- Oft keine hohe Massenkonzentration wie bei Venus und Erde 

- Planeten haben zu großes e und i im Vergleich zum Sonnensystem 

- Spin-Orientierungen eher zufällig 

(Chambers, 2001; Paper I (mit weniger Teilchen): Wetherill & Chambers, 1998) 


6.3 Terrestrische Neue Rechnungen 

Mit Jupiter (stationär) Mit Jupiter-Migration Mit Jupiter-Migrat. (lang) 

Wasseranteil 

Langzeit N-body Simulationen 

etwa 2000 Objekte zu Beginn 

ca. 10 MErde in [0.5, 5.0]AU 

(Raymond et al., 2006-2007) 


6.3 Terrestrische Verbesserungen 

Zu hohe Exzentrizitäten: Brauche dissipativen Prozess 

• Planetesimale: übrig geblieben aus Entstehung 

- Reservoir durch Kollisionen aufgefüllt 

- Dämpfen e und i 

- werden in clean-up Phase von Planeten akkretiert 

vesc(surface) < vesc (orbit) 

• Gasscheibe: übrig geblieben aus Entstehung 

- Dämpft e und i durch Gezeitenwechselwirkung 

Problem bei allen Prozessen: 

Stöße der Oligarchen miteinander benötigt exzentrische Bahnen, 

aber Dämpfungsprozesse reduzieren e: Gegensatz ! 

Interessanter möglicher Ausweg: Dynamical Shake-Up Modell 

(Nagasawa, Lin, Thommes; 2005, 2008) 

Idee: Andere Planeten (hier Jupiter & Saturn) und auch Gasscheibe verursachen Präzession 

der Apsidenlinie, gplanet = dϖplanet/dt, des wachsenden Planeten (säkularer Effekt). 

Falls Präzessiongeschwindigkeit des Planeten gleich derjenigen von Jupiter gJup (oder Sa- 

turn) wird, tritt Resonanz ein: ⇒ Erhöhung der Exzentrizität 

Scheibeneinfluss nimmt mit der Zeit ab: 

⇒ Resonanz wandert von außen nach innen: sweeping secular resonance 


6.3 Terrestrische Shake-Up Beispiel 

Grün Planeten 

Masse ∝ Fläche 

Blaue Linie: Lage der 

Resonanz (ν5): gplanet = gJup 

Resonanz ‘treibt’ Planeten 

vor sich her 

• Verschmelzungsprodukt 

◦ heraus gestreut 

Rechts: Endmassen 

mit radialer Variation 

◦ Sonnensystem 

(Thommes et al., 2008) 


6.3.1 Mond Entstehung 

Mögliche Szenarien: 

• Fission 

- System hat zuwenig Drehimpuls 

• Capture 

- Eisenkern des Mondes, Dynamisch unwahrscheinlich 

• Ko-Entstehung 

- fehlender Eisen-Kern des Mondes ? 

• Einschlag-Theorie 

- Mars großer Körper kollidiert mit Erde 

- heute vorherrschende Theorie 

- erklärt: fehlenden Kern, chem. Zusammensetzung des Mondes 

Problem: identische Sauerstoffisotopenhäufigkeit 

- anderer Ursprung des Projektils: erwarte Unterschiede 

- mögliche Erklärung: Vermischung in Akkretionsscheibe 


6.3.1 Mond Der Einschlag 

Smoothed Particle Hydrodynamics Simulation 

Farbkodierung: Aufheizung des Materials 

Simulationszeit: 24 Stunden, Erdrotationsperiode am Ende: 5 Std. 

(Canup & Asphaug, 2001) 


6.3.1 Mond Sauerstoff-Isotope 

δ 18 O= 18 O/ 16 O (normalisiert auf Erdwerte) 

SMOW: Standard Mean Ocean Water 

∆ 17 O: misst Abstand von δ 17 O von der terrestrischen Linie 

TFL: terrestrische Fraktionslinie, MFL, AFL, EFL analog 

Unterschiedliche Isotopenhäufigkeiten im Sonnensystem (Gradient?) 

aber Erde-Mond identisch 


6.3.1 Mond Mondakkretionsscheibe 


6.4 Gasriesen Szenarien 

Im wesentlichen 2 Möglichkeiten zur Entstehung der Gasriesen 

1) Core Accretion Model 

oder core instability model 

Zuerst bilden sich die Kerne, 

dann wird das Gas akkretiert 

(E.Kokubo) 

2) Gravitational Instability model 

Direkte Bildung durch Instabilität 

der Gas/Staub Scheibe 

(L.Mayer) 


6.4.1 Kernakkretion Kern-Hülle Struktur 

Betrachte sphärisch-symmetrische Struktur eines (wachsenden) Planeten 

bestehend aus einem Kern (Masse Mcore) und einer Hülle (Menv) 

Die gesamte Masse ist 

Mtot = Mcore + Menv 

(24) 

Die Hülle reicht von Rcore bis Rout, welcher durch Übergang vom Planeten zur 

Gasscheibe bestimmt ist. 

Z.B. Rout kann durch thermische Effekte, Rout ≈ GMtot/c 2 

s , 

oder Gezeitenkräfte Rout ≈ RHill grob definiert werden. 

Wähle den jeweils kleineren Wert (große Unsicherheit weil fließender Übergang) 

Bei kleiner Hüllenmasse ist größter Anteil zur Leuchtkraft durch 

Planetesimalakkretion gegeben 

L = GMcore ˙ Mcore 

Rcore 

L wird später als konstant (durch die Hülle) angenommen. 

(25) 


6.4.1 Kernakkretion Aufbaugleichungen 

Gleichungen (hydrostatisch), im wesentlichen indentisch zu 

Sternaufbaugleichungen 

Hydrostatik 

Strahlungsdiffusion 

∂p 

∂r 

L(r) 

4πr2 = 

3 σT 

−4 

3 κRρ 

= −GM(r) 

r 2 ρ (26) 

M(r) Masse innerhalb des Radius r, L(r) Leuchtkraft am Radius r (hier constant), 

σ Stefan-Boltzmannkonstante, κR Rosseland-Opazität 

∂T 

∂r 

(27) 

Dividiere Gleichungen und ersetze dT/dp durch T/p, d.h. den Werten am Übergang Kern- 

Hülle (Rcore). (vgl. Ableitung von globalen Relationen bei Sternen) 

⇒ T 4 � 3κRL 

p (28) 

16πσGM 

Als Zustandsgleichung wird die ideale Gasgleichung verwendet 

p = Rgas ρT 

µ 

Rgas Gaskonstante, µ mittleres Molekulargewicht 

(29) 


6.4.1 Kernakkretion Aufbaugleichungen 

Mit L = const. und M(r) = Mtot (geringe Hüllenmasse) folgt 

T � 

µ GMtot 

ρ � 64πσ 

3κRL 

· 1 

r 

Rgas 

� �4 µGMtot 

Rgas 

· 1 

r 3 

Die Masse der Hülle ist nun gegeben durch (mit κR = const.) 

Menv = 

Rout � 

Rcore 

4πρ(r)r 2 dr = 256π2 σ 

3κRL 

� �4 µGMtot 

Rgas 

Für einen Kern konstanter Dichte (ρcore ∝ Mcore/R 3 core) wird 

L = GMcore ˙ Mcore 

Rcore 

ln 

� Rout 

Rcore 

� 

(30) 

(31) 

(32) 

∝ M 2/3 

core ˙ Mcore (33) 

mit Mtot = Mcore + Menv und konstantem Logarithmus (in Gl. 33) folgt 


6.4.1 Kernakkretion Kritische Kernmasse 

Mtot � Mcore + 

� K 

κR 

� M 4 tot 

M 2/3 

core 

(34) 

K ist eine Konstante bzgl. Mcore und 

Mtot, hängt aber von µ und ˙ Mcore ab. 

Die Gleichung (34) hat keine reelle 

Lösung für Mtot, falls Mcore zu groß. 

Größte Masse Mcrit ist 

(aus dMcore/dMtot = 0) 

Mcrit � 0.38 

� � 

κR 

3/4 

K 

(35) 

D.h. Oberhalb einer kritischen Kernmasse 

(Mcrit) hat eine Hülle kein 

hydrostatisches Gleichgewicht 

⇒ Kontraktion und Akkretion 

(Stevenson, 1982) 

Für typische Parameter (bei 5AE) 

Mcrit � 20κ 3/7 

R M⊕ (36) 

mit κR in Einheiten von [cm 2 /g] 

Mizuno (1980): 

detailliertes numerisches Modell 


6.4.1 Kernakkretion Diskussion: Core-Accretion-Model 

Genauere Modellrechnungen ergeben 

Resultate ≈ wie im rechten Bild 

Typische Anwachszeit ≈ 10 6 Jahre 

Aber Details sehr unsicher: 

Opazität: κR 

Kleinere Werte in Hülle erlauben schnelleres 

Wachstum 

Abhängig von Staubmenge 

Konvektion: in Hülle 

verändert Strahlungstransport 

Chemische Zusammensetzung: µ 

Accretionsrate: ˙ Menv 

Eindimensionale vs. mehrdimensionale Mo- 

delle 

Migration durch Scheibe 

radiale Wanderung ändert Akkretionsrate 

Schematisches Wachstum 

(Scholarpedia) 

Kernbildungszeit < 10 6 Jahre 

Hydrostat. Phase: einige 10 6 Jahre 

Masse hier ≈ 10M⊕ 

Start Runaway bei (5 − 10) × 10 6 

Jahren 


6.4.1 Kernakkretion Diskussion: Core-Accretion-Model 

Vorteil: 

Erklärung der Kerne der Solaren 

Planeten 

Aber: 

Parameter-Finetuning notwendig 

Für Σsolid ≫ 10g/cm 2 : zu viele schwere 

Elemente im Vergleich zum heutigen Jupi- 

ter 

Für Σsolid ≪ 10g/cm 2 : Kernbildungszeit 

zu lang, kein Gas mehr übrig 

(Nur Neptunmasse Planeten um massear- 

me Sterne ?) 

Lange Zeitskalen zur Bildung von Uranus 

& Neptun 

Mögliches Szenario: Bildung von (U,N) 

zwischen Jupiter und Saturn, anschlie- 

ßend Streuprozess, vgl. Nizza-Modell 

(www.oklo.org) 


6.4.1 Kernakkretion Ende des Wachstums 

In der Entstehungregion von Jupiter wäre genug Gas zur Verfügung gewesen 

für ein viel größeren Planeten. Was begrenzt das Wachstum? 

Falls RHill ≥ H(Scheibendicke) 

Falls RHill < H(Scheibendicke) 

(Armitage) 

Scheibe kaum gestört 

⇒ wenig Einfluss auf Wachstum 

(Armitage) 

Scheibe unterbrochen 

⇒ Einfluss auf Wachstum 


6.4.1 Kernakkretion Lückenbildung I 

Breite der Lücke wird bestimmt durch Gravitation, Viskosität und Gasdruck 

Untersuche Drehimpulstransport aufgrund Gravitationswechselwirkung 

Impulsapproximation: Teilchen (der Gasscheibe) 

wird nur in nächster Umgebung vom 

Planeten (•) gestört. Ablenkung um Winkel δ 

beim Vorbeigang: 

cot 2 (δ/2) = v 2 

rel ∆r2 /(G 2 mp) 

Relativgeschwindigkeit vrel = rdΩ(rd) − rpΩp 

spez. Drehimpulsänderung des Gases pro Vorbeigang 

∆j = −vrelrd(1 − cos δ) ≈ − 2G2 m 2 

p rd 

(∆r) 2 v 3 rel 

Vorbeigang alle ∆t = 2π/|Ω − Ωp| 

d.h. Austauschrate ˙j = ∆j/∆t 

Gesamter Austausch 

˙ 

J ≡ 

�∞ 

∆r 0 

Σ˙j2πrd(∆r) (37) 

(Cassen, 2003) 


6.4.1 Kernakkretion Lückenbildung II 

Nach Entwicklung Ω um Ωp und Integration folgt 

Jgrav 

˙ = − 8 

27 

� rp 

∆r0 

� 3 � mp 

M∗ 

� 2 

Ω 2 pΣr 4 p 

Bem: 

- Trotz dieser einfachen Näherung ist Ergebnis fast exakt. 

- In Realität folgt J˙ aus komplexen hydrodynamischen Wellenphänomenen 

- Minuszeichen: Innere Scheibe verliert Drehimpuls, d.h. äußere gewinnt 

- In der Nähe des Planeten (∆r0 → 0) steigt J˙ steil an 

=⇒ Im Bereich der des Planeten wird Scheibe ‘weggedrückt’ (Lücke) 

Für die viskosen Drehmomente ( ˙ 

J) gilt am Ort des Planeten 

(38) 

˙ 

Jvisc = 3πΣνr 2 pΩ (39) 

Für Lückenbildung muss ˙ 

Jgrav ≥ ˙ 

Jvisc sein. Sei kleinstes ∆r = H, dann 

q ≥ qvisc ≡ 40ν 

Ωr 2 0 

(40) 


6.4.1 Kernakkretion Ende des Wachstums 

Ein zweites Kriterium (für eine Lückebildung) folgt aus der Bedingung, dass 

die Hillsphäre größer als die Scheibendicke wird 

q ≥ qHill ≡ 3 

� H 

r 

� 3 

p 

(41) 

Für typische Parameter der protoplanetare Scheibe liefern beide Kriterien eine 

ähnliche Grenzmasse für Lückenbildung: zwischen Jupiter- und Saturnmasse. 

Damit wurde die erreichte Masse von Jupiter zunächst sehr schön erklärt. 

D.h. Gute Übereinstimmung mit dem Sonnensystem 

Spätere hydrodynamische Rechungen zeigten, dass die Masse jedoch 

darüberhinaus wachsen kann 

D.h. Gute Übereinstimmung mit den extrasolaren Planeten 

(→ Kapitel 7) 


6.4.1 Kernakkretion Dynamische Lückenbildung 

Mp = 1 MJup, ap = 5.2 AE, Scheibe um 1 M⊙ Stern 

Hydrodynamische Entwicklung (Navier-Stokes) 

Allgemeines Kriterium für Lückenbildung (Crida et al., 2006) 

mit q = mp/M∗, Re = r 2 2Ωp/ν. 

3 

4 

H 

RHill 

+ 50 

q Re 

≤ 1 (42) 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Vorbemerkung 

Typisches Verhalten einer 

massreichen Scheibe bei 

der Eigengravitation: 

Nicht-axialsymmetrische 

Störungen mit Bildung von 

Spiralarmen 

(vgl. Galaxien) 

In Abb. rechts 

Scheibe mit Mdisk = 0.07M⊙ 

um Stern mit M∗ = 0.5M⊙ 

mit tcool = Pout(Rout) 

Bildausdehnung 120AE 

(dagestellt: Teff, ähnlich zu ρ) 

(Mejia et al. 2005) 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Direkter Kollaps 

Ein genügend massereiche, bzw. kühle Scheibe ist gravitativ instabil falls 

(aufgrund des Toomre-Kriteriums) 

Q = csΩ 

πGΣ < Qcrit = 1 (43) 

(für κ = Ω). 

Betrachte jetzt Scheibe bei 10AE mit H/r ≈ 0.05 (d.h. cs � 0.33km/s). Für 

Q = 1 wird 

Σ � 10 3 g/cm 2 

benötigt. Dies ist viel größer als der MMSN (Minimum Mass Solar Nebula). 

Gravitationsinstabilität könnte nur in noch früherem Stadium stattfinden, wenn 

die Scheibenmasse noch hoch ist. 

Charakteristische instabile Wellenlänge war λcrit = 2c 2 s/(GΣ) 

Die Masse eines solchen Fragments wäre 

Mp ∼ πΣλ 2 crit = 4πc4 s 

G 2 Σ 

∼ 2MJup 

Also potentiell Gasriesen geigneter Masse produzierbar! 

(Idee geht zurück auf Kuiper (1951) oder Cameron (1978)) 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Instabilitätsbereich 

Betrachte viskose Akkretionscheibe 

mit ˙ M = 3πνΣ 

⇒ Q ∝ c3 s 

˙M 

Schallgeschwindigkeit fällt nach außen 

ab. 

Instabilster Bereich am Außenrand der 

Scheibe 

Heizung durch externe Quellen wird 

Stabilität beeinflussen 

In Abb. rechts 

Scheibe mit ≈ 160MJup 

• lokal isotherm γ = 1 

◦ lokal adiabatisch γ = 1.4 

( p ∝ ρ γ ) 

(Boss, 1997) 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Beispielrechnung I 

3D, Finite Differenzen-Code, Nr = 51, Nθ = 23, Nϕ = 64, 

Mdisk ≈ 140MJup, p ∝ ρ γ (Boss, 1997) 

Anfangsbed.: kleine m = 2 Störung, und Random-Noise 

A) lokal isotherm (γ = 1) B) lokal adiabatisch (γ = 1.4) 

Jeweils zwei ’Protoplaneten’ bilden sich am Außenrand (Pfeile) . 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Beispielrechnung II 

SPH: 10 6 Teilchen 

lokal isotherm 

(d.h. H/r = const.) 

R = 20AE 

Oben: Qmin = 1.8 

Unten: Qmin = 1.4 

Links: t = 160 Jahre 

Rechts: t = 350 Jahre 

Falls möglich: 

Instabilität sehr schnell, 

auf dynamischen Zeitskalen 

tdyn � Ω −1 

(L. Mayer, 2004) 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Bspl.: Kühlung der Scheibe 

SPH-Rechnung 

200,000 Teilchen, Qmin � 2 

Scheibe zu Beginn lokal isotherm 

(H/r = const) 

Tout(20AU) = 100K 

Oben links: 

Ohne Kühlung nach 350 Jahren 

- glatte Dichteverteilung 

- keine Fragmentation 

- Q > 1 überall in Scheibe 

Einschalten von Kühlung 

tcool = 0.2 K /Jahr 

(konstante Kühlrate) 

Snapshots zu 450, 550, 650 Jahren 

Fragmentation falls T ≤ 42K 

(dann Q < 1) 

(Mayer et al. 2004) 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Kühlung/Heizung I 

Lokale Instabilität (Fragmentation) wird bestimmt durch Heizung und Kühlung 

der Scheibe. 

Überwiegt Kühlung ⇒ Instabilität, Überwiegt Heizung ⇒ Stabilität 

Heizprozesse: 

- interne Stoßwellen (Spiralarme, Shockdissipation) 

- Viskosität (α-Scheiben, visk. Dissipation) 

- externe Heizung (durch nahe Sterne, wichtig in Außenbereichen) 

Kühlprozesse: 

- Zustandsgleichung 

lokal isotherm (≡ starke Kühlung): Gas kann sich (z.B. bei Kompression) nicht aufheizen 

oft lokal isotherm für geringe Dichten, dann adiabatisch oberhalb ρcrit (Sternentstehung) 

- einfache Kühlgesetze (Def. durch Kühlrate Λcool = ɛ/tcool) 

tcoolΩ = const. (fester Bruchteil der Rotationsperiode) 

tcool = const. (fester Wert) 

- Strahlungskühlung (an Scheibenoberfläche) 

mit Opazität κR ∝ ZT β (κR durch Staubteilchen verursacht, Z: Metall-Hfgkt.) 

(hier optisch dick: T 4 

eff 

tcool � etherm 

2σT 4 eff 

4 

= Tmid /τ mit τ ∼ ΣκR) 

∝ T/T 4 

eff ∝ T −3+β Z 

typisch: −3 < β < 3, d.h. tcool wächst mit sinkendem T 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Kühlung/Heizung II 

Kühlzeit tcool ist Kontrollparameter, der mögliche Fragmentation bestimmt 

(Gammie, 2001) 

tcool ≤ 3Ω −1 ⇒ Fragmentation (44) 

tcool ≥ 3Ω −1 ⇒ keine Fragmentation (45) 

Einfache Abschätzung: 

In einer dünnen, stationären (viskosen) Akkretionsscheibe halten sich Kühlung & Heizung die 

Waage (Pringle, 1981) 

tcool � 4 1 

9 γ(γ − 1)α Ω−1 

Für α ∼ 10 −2 , γ = 1.4 ergibt sich ∼ 12 Perioden. 

(grobe Zeitskala zur Änderung der thermischen Struktur einer Akk.-Scheibe) 

Weitere Komplikationen: 

- Konvektion in der Scheibe (Effizienz des Strahlungstransports) 

- Effizienz der Turbulenz (Magneto-Rotational-Instability, Dead-zones) 

- Chemische Zusammensetzung (Opazität) 

- Äußere Einflüsse, z.B. Sternvorbeigang (‘Triggerung’ einer Instabilität) 

- Stabilität der Fragmente gegen Scherung in der Scheibe 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Numerik 

Im wesentlichen 

2 alternativ Methoden 

SPH 

Smoothed-Particle- 

Hydrodynamics 

Gitter-Codes 

finite Differenzen, finite 

Volumen, Riemann-Löser 

... 

Einzelheiten hängen z.T. von 

numerischen Parametern ab: 

- künstlicher Viskosität 

- Auflösung 

(Gitterpunkte, Teilchenzahl) 

- Eigengravitation 

... 

(Löser, Glättungslänge) 

Wichtig: Vergleiche mit 

verschiedenen Methoden 

GASOLINE (SPH) GADGET2 (SPH) 

Indiana Code (Cyl.Grid) FLASH (AMR-Cart.Grid) 

(Durison et al. 2007) 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Animation I 

Entwicklung einer selbstgravitierenden protoplanetarer Scheibe 

Hydrodynamik: MStar = 0.5 M⊙, MDisk = 0.07 M⊙ 

Mit radiativer Kühlung & künstlicher Viskosität 

Mit/ohne Einstrahlung (Irradiaton) 

(Durison et al., 2005) 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Animation II 

Gravitations-Instabilität in protoplanetarer Scheibe 

Hydrodynamik: MStar = 1 M⊙, MDisk = 0.1 M⊙ 

Lokal isotherm 

(L. Mayer, 2002) 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Animation III 

MDisk = 0.5 M⊙ 

2D Gitterrechnungen 

Hydrodynamik: MStar = 1 M⊙, 

Viskose Heizung und radiative Kühlung 

(Tobias Müller, 2010) 

MDisk = 1.0 M⊙ 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Numerische Auflösung 

3D SPH Rechnungen (F. Meru, 2010) 

Hydrodynamik: MStar = 1 M⊙, MDisk = 0.1 M⊙ 

Nur künstliche Viskosität und β-Kühlung, β = tcoolΩ, 0.25 ≤ r ≤ 25 

Teilchenzahlvariation, 

at t = 5.3, 6.4, 5.3, 2.5 ORP 

fragmentiert �, nicht �, borderline ○ 


6.4.2 Gravitationsinstabilität Wechselwirkung mit Teilchen 

Im Gas eingebettete Teilchen erfahren (hydrodynamische) Reibung 

Bewegen sich relativ zum Gas in Richtung der Druckmaxima 

d.h. hier: Ansammlung in den Spiralarmen 

⇒ Unterstützung der Instabilität 

⇒ Anreicherung mit Metallen (Kerne ?) 

Kombination von Kerninstabilität und Gravitationsinstabilität 

(Rice et al. 2005)

W. Kley: Planetenentstehung (WS 2010/11)

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