über die relationen für erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 10erzeugen. Demnach ist Φ I das erzeugende Wurzelsystem.Zu (2).Wir wollen einmal die Eigenschaften der Längenfunktion l aufzeigen:l(w), w ∈ W ist die Anzahl der positiven Wurzeln, die durch w zu negativenWurzeln werden.Ähnliches gilt auch für l I , wobei die positiven Wurzeln im Bezug auf ∆ I , dieaus Φ + ∩ Φ I sind.Wenn wir eine Spiegelung mit Wurzel als Spiegelungsvektor auf eine Wurzelanwenden, erhalten wir wieder eine Wurzel. Für Wurzeln gilt zusätzlich, dassdie Koeffizienten einer Linearkombination einfacher Wurzeln um eine Wurzelzu erzeugen, immer das selbe Vorzeichen haben.Sei α ∈ Φ + \Φ I mit α = ∑ c i δ i (δ i ∈ ∆), dann enthält die Linearkombinationmindestens eine einfache Wurzel δ j /∈ ∆ I mit positiven Koeffizienten. Es folgtfür β ∈ ∆ I , dass s β α = ∑ c i s β (δ i ) = ∑ c i (δ i −2 (δ i,β)β) = ∑ c(β,β) i δ i −2 ∑ (δc i ,β)i β (β,β)nach wie vor δ j mit positiven Koeffizienten enthält, da δ j ≠ β. Es folgt, dasss β α > 0, da alle Koeffizienten das selbe Vorzeichen haben müssen. Demnachgilt ∀ w ∈ W I : wα > 0 (w = s β1 · · · s βr ). Dann können also nur Wurzeln ausΦ + ∩ Φ I durch w zu negativen Wurzeln werden.Wir sehen also, die Wurzeln in Φ + , die durch w ∈ W I zu negativen Wurzelnwerden, sind genau nur die Wurzeln in Φ + I, die durch w zu negativen Wurzelnwerden. Folglich gilt l(w) = l I (w) in W I .Zu (3).Sei w ∈ W .Wähle ein Element u der Nebenklasse wW I = {ww ′ |w ′ ∈ W I } mit minimalerLänge und schreibe w = uv mit passendem v ∈ W I .Für dieses u ∈ wW I gilt also: ∃ w ′ ∈ W I : u = ww ′ . Aus w = uv folgt v = w ′−1 .Es gilt für alle s ∈ I, us ∈ wW I (beachte w ′ s ∈ W I , da s ∈ I und multiplizierew von links). Dank Bemerkung 1.3 (Vortrag Weis) wissen wir, dassl(ws) = l(w) ± 1 für w ∈ W und s ∈ S gilt. Da wir u als Element mitminimaler Länge gewählt haben, folgt l(us) = l(u) + 1 und somit sind dieBedingungen ein Element der Menge W I zu sein erfüllt.Wir wählen reduzierte (kürzeste) Ausdrücke für u und v:u = s 1 · · · s q (s i ∈ S) und v = s ′ 1 · · · s ′ r (s ′ i ∈ I). Dann gilt l(w) ≤ l(u) + l(v) =q + r (∗).Wenn die Ungleichung (∗) echt kleiner wäre, dürften wir durch die Entfernbedingung,zwei der Faktoren s i oder s ′ i streichen, ohne w zu verändern. Doch ausu können keine Faktoren gestrichen werden, da dieser als kürzestes Elementaus wW I (sonst gäbe es ein s ∈ I mit us ∈ wW I kürzer als u) gewählt wurde.Also müssten zwei Faktoren s ′ i, s ′ j gestrichen werden können, jedoch ist v schon