über die relationen für erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 14Mit dieser Transposition ist es uns möglich beliebige Elemente zu vertauschen.Wir werden nun versuchen τ mit Hilfe von Verknüpfungen der Transposition(i, j) auf die Identität zurückzuführen. Dies geschieht mit einem induktivenVerfahren mit weniger als n Schritten.Sei k ∈ {1, . . . , n}.Sei k = 1. Nun überprüfen wir folgende Gleichung: τ(k) = k.Der erste Fall, die Gleichung gilt nicht: Ergänze τ zu (k, τ(k)) ◦ τ = τ ′ , nunwird das τ(k)’te Element durch τ ′ nicht mehr vertauscht.Dies wiederholen wir mit τ ′ und überprüfen τ ′ (k) = k. Falls die Gleichungwieder nicht gilt, fahren wir fort wie oben und erhalten (k, τ ′ (k)) ◦ τ ′ = τ ′′ , dasτ ′ (k)’te Element wird nicht mehr vertauscht. So fahren wir fort.Wenn jedoch der Fall eintritt, dass die Gleichung τ ∗ (k) = k gilt, dann erhöhenwir k um Eins und setzten wieder bei der Überprüfung ein und ergänzen τ ∗gegebenenfalls (es wäre also als nächstes τ ∗ (k + 1) = k + 1 zu überprüfen).Wenn k = n sind wir fertig. Da die Gleichung höchstens n − 1-mal falsch seinkann, endet das Verfahren.Für die so entstandene Komposition gilt τ ∗ = (i r , j r ) ◦ · · · ◦ (i 1 , j 1 ) ◦ τ = 1(r < n) und daraus folgt das (i 1 , j 1 ) ◦ · · · ◦ (i r , j r ) = τ.Zu (ii). Sei (i, i + 1) ∈ S n , dann folgt (i, i + 1)(e i − e i+1 ) = −(e i − e i+1 ).Der geforderte Vektor ist mit α = e i − e i+1 gegeben und H α besteht aus denVektoren mit gleichen Einträgen bei i und i + 1.Zu (iii). Gegeben sei∑die Menge {e 1 − e 2 , e 2 − e 3 , . . . , e n−1 − e n }. Es ist zuzeigen, dass aus c i (e i − e i+1 ) = 0 folgt, dass alle c j = 0. Dies ist jedochi=1,...,n−1leicht zu sehen, denn der erste Eintrag kommt nur einmal in der Summe vor.Daraus folgt c 1 = 0, dann wiederholt sich der Sachverhalt und wir könnenc j = 0 durch eine Induktion leicht zeigen.□Bemerkung 4.2.2. Bezug nehmend auf die vorherige Proposition, ist dieMenge {e 1 − e 2 , e 2 − e 3 , . . . , e n−1 − e n } ein einfaches System.Proposition 4.2.3. Sei W = S n . Zeige das jede parabolische Untergruppe vonW isomorph zu einem direkten Produkt von symmetrischen Gruppen ist.Beweis. Wir wissen, dass die symmetrische Gruppe durch Transpositionen derForm (i, i + 1) (1 ≤ i ≤ n − 1), erzeugt wird. Diese Transpositionen bildenunsere Menge S der Erzeuger. Bezeichne W := S n . Es gilt |S| = n − 1 =: r.Sei I ⊂ S eine Teilmenge von S. Betrachten wir zunächst den Fall |I| = r − 1,