über die relationen für erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 3Diese Tabelle lässt sich in eine Matrix übertragen.⎛⎞1 m(α, β) m(α, γ) · · ·m(α, β) 1 m(β, γ) · · ·⎜⎟⎝m(α, γ) m(β, γ) 1 · · · ⎠.. . . ..Bemerkung 2.0.2. Diese Matrizen werden auch Coxeter-Matrizen genannt.Für diese Matrizen gilt:(1) Für Einträge der Matrix gilt, M ii = 1, M ij > 1 ∈ N, wenn i ≠ j füri, j = 1, 2, . . . , n,(2) M ist symmetrisch und somit M = M T .Nun wollen wir zeigen, dass jede Identität in W , eine bestimmte Gestalt hat.Wir werden sehen, dass Ausdrücke s 1 · · · s r = 1 ∈ W (s i ∈ S), aus Ausdrücken(s α s β ) m(α,β) = 1 (α, β ∈ ∆) folgen. Dazu werden wir zunächst ein Lemma formulierenund uns klar machen, dass r in diesem Fall gerade sein muss.Bemerkung 2.0.3. Seien s 1 , . . . , s r ∈ S. Es gilt det(s i ) = −1 und det(Id) =1. Da det ein Gruppenhomomorphismus bezüglich Gl(n, R) und R ist, erhaltenwir det(s 1 · · · s r ) = det(s 1 ) · · · det(s r ) = (−1) r = 1 = det(Id) und es folgt, dassr = 2q, q ∈ N.Lemma 2.0.4. Seien s 1 , . . . , s r ∈ S, r = 2q, q ∈ N.Betrachte die folgenden Identitäten:(a) s 1 · · · s r = 1.Für 1 ≤ i < j ≤ q + 1:(b i,j ) s i+1 · · · s j = s i · · · s j−1 (⇔ s i+1 · · · s j s j−1 · · · s i = 1),(c i,j ) s 1 · · · ŝ i · · · ŝ j · · · s r = 1.Dann gelten die folgenden Implikationen:1) (a) ⇒ ∃ 1 ≤ i < j ≤ q + 1 mit (b i,j ) und (c i,j ),2) (b i,j ) und (c i,j ) ⇒ (a).