über die relationen für erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

(c (k)1,q+1) s (k)ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 61 · · · ˆ s(k) i (k) · · · ˆ s(k) j (k) · · · s (k)r = 1.} {{ }weniger als r einfache SpiegelungenWir können unser Lemma nicht anwenden, also werden wir zu (b (k)1,q+1) äquivalenteAusdrücke betrachten, und zwar:(∗ (k) ) s (k)2 (s (k)1 · · · s (k)q−1s (k)q ) (s (k)q+1 · · · s (k)3 )} {{ } } {{ }q+1 Spiegelungen q−1 Spiegelungenvon links multiplizieren)= 1 (s (k)2 von rechts an (b (k)1,q+1), dannNun können wir das Lemma wie gewohnt anwenden, denn aus (∗ (k) ) ⇒ (b (k)1,q+1)und aus (b (k)1,q+1) und (c (k)1,q+1) ⇒ (a), falls nicht folgendes gilt:(∗∗ (k) ) s (k)1 · · · s (k)q = s (k)2 s (k)1 s (k)2 · · · s (k)q−1 (“ 2. Fall “ von (∗ (k) ))} {{ } } {{ }q Spiegelungen q SpiegelungenWenn wir (∗∗ (k) ) aus den (d α,β ) folgern können, haben wir es geschafft. Wasbedeutet es also, wenn (∗∗ (k) ) für alle k mit 1 ≤ k ≤ r gilt. (∗∗ (k) ) bedeutet:s k · · · s q+k−1 = s k+1 s k s k+1 · · · s q+k−2 ,und (b (k)1,q+1) ∀ 1 ≤ k ≤ r heißt:s k · · · s q+k−1 = s k+1 · · · s q+k .Folglich gilt (b (k)1,q+1) auch für k − 1 mit k ≥ 2. Betrachte nun (b (k−1)1,q+1):s k−1 · · · s q+k−2 = s k · · · s q+k−1Dann folgt aus (∗∗ (k) ) und (b (k−1)1,q+1):s k−1 s k s k+1 · · · s q+k−2 = s k+1 s k s k+1 · · · s q+k−2 d.h.s k−1 = s k+1 für alle 2 ≤ k ≤ r − 1.Dann ist (a) von der Gestalt:s 1 · · · s r = (s 1 s 2 ) q = 1 ⇒ m(s 1 , s 2 ) = q und damit folgt s 1 · · · s r = 1 ausden (d α,β ).□