über die relationen für erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 9(3) Definiere W I := {w ∈ W | l(ws) > l(w) ∀ s ∈ I}. Sei w ∈ W gegeben,dann existieren eindeutige u ∈ W I und v ∈ W I , sodass w = uv. Fürdie Länge gilt l(w) = l(u) + l(v). Zudem ist u das einzige Element inder Nebenklasse wW I mit minimaler Länge.Beweis. Zu (1).Wir zeigen: W I wirkt wesentlich auf V I = span(∆ I ).Sei 0 ≠ v ∈ V I mit v = ∑ c i α i (c i ∈ R, α i ∈ ∆ I ).Da v ≠ 0 ⇒ ∃c j ≠ 0, denn α i ≠ 0 gilt in jedem Fall (siehe Definition von∆, Vortrag Gemmeke). Wir finden dann eine einfache Spiegelung s αj mits αj (v) = s αj ( ∑ c i α i ) = ∑ c i s αj (α i ) ≠ v, da s αj (α j ) = −α j und die Darstellungeindeutig ist (∆ I ⊂ ∆ linear unabhängig). Also wirkt W I wesentlichauf V I .Wir zeigen: Φ I Wurzelsystem in V I (siehe Definition 2.4, Vortrag Gemmeke).Es gilt nach Definition Φ I ⊂ V I und Φ I ⊂ Φ. Sei α ∈ Φ I = Φ ∩ V I beliebig.Offensichtlich folgt α ≠ 0, da Φ I ⊂ Φ.Bedingung (R1):Nach Voraussetzung gilt: Φ ∩ Rα = {α, −α} ∀ α ∈ Φ ⇒ Φ ∩ Rα = {α, −α} ∀α ∈ Φ I ⇒ Φ I ∩ Rα = {α, −α} ∀ α ∈ Φ I .Bedingung (R2):Zu zeigen: s α Φ I = Φ I ∀ α ∈ Φ I .Es gilt ∀ α ∈ Φ : s α Φ = Φ ⇒ ∀ α ∈ Φ I : s α Φ = Φ ⇒ ∀ α ∈ Φ I : s α Φ I ⊂ Φ. Dawir Elemente aus Φ I als Linearkombination von Vektoren δ i ∈ ∆ I schreibenkönnen, folgt für alle α, β ∈ Φ I : s α β = ∑ c i δ i − 2 ∑ (δc i ,α)i α ∈ span(∆ (α,α) I). DieInklusion s α Φ I ⊂ Φ I ∀α ∈ Φ I ist gezeigt.Es folgt s α Φ I ⊃ Φ I ∀α ∈ Φ I .Sei γ ∈ Φ I , dann suchen wir für alle α ∈ Φ I ein β ∈ Φ I mit s α β = γ. DieGleichung s α β = γ ist äquivalent zu β = s α γ und s α γ ∈ Φ I ist bereits bekannt.Bleibt noch zu zeigen: ∆ I ist ein einfaches System (siehe Definition 1.4 VortragBudde).Es gilt ∆ I ⊂ ∆ und daher ist die Menge ∆ I linear unabängig. Aus der Definitionvon Φ I = Φ∩span(∆ I ) folgt, dass die Elemente aus Φ I durch den R-Spanvon ∆ I erzeugt werden können. Ebenso folgt, dass die Koeffizienten bei derDarstellung der Wurzeln aus Φ I als Linearkombination von einfachen Wurzelnaus ∆ I das selbe Vorzeichen haben, denn es gilt für ∆ bzgl. Φ und in Φ I ⊂ Φsind gerade nur die Wurzeln enthalten, die durch ∆ I dargestellt werden können.W I ist nach Definition die erzeugte Spiegelungsgruppe durch die einfachenSpiegelungen s α , α ∈ ∆ I . Wir wissen nach Satz 1 (Vortrag Hakobyan), dassdie einfachen Spiegelungen bzgl. eines Wurzelsystems die Spiegelungsgruppe