über die relationen für erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 5Induktionsvoraussetzung:Die Behauptung gelte für Ausdrücke wie oben mit weniger als r einfachen Spiegelungen.Induktionsschritt: r − 2 → r(a) s 1 · · · s r = 1 ist äquivalent zu jeder der folgenden Identitäten:(a (k) ) s k · · · s r s 1 · · · s k−1 = 1 für 1 ≤ k ≤ r.Beachte: s 1 · · · s r = 1 ⇔ s 1 · · · s r−1 = s r ⇔ s r s 1 · · · s r−1 = 1 usw.Setze: s (k)1 := s k , . . . , s (k)r−k+1 := s r, s (k)r−k+2 := s 1, . . . , s r(k) := s k−1 und(b (k)i,j ) s(k) i+1 · · · s(k) j= s (k)i · · · s (k)j−1 sowie(c (k)i,j ) s(k) 1 · · · ˆ s(k) i · · · ˆ s(k) j · · · s (k)r = 1.Wenden wir nun das Lemma auf die (a (k) ) an, dann finden wir nach Satz1.1 (Vortrag Weis) Indizes 1 ≤ i (k) < j (k) ≤ q + 1 mit entsprechenden (b (k)i (k) ,j (k) )und (c (k)i (k) ,j (k) ).1. Fall Es existiert ein k mit 1 ≤ k ≤ r, sodass 2(j (k) − i (k) ) < 2q = r (Anzahlder einfachen Spiegelungen in den (b (k)i,j )’s). Dann finden wir(b (k)i (k) ,j (k) ) s (k)i (k) +1 · · · s(k) j (k)und= s (k)i (k) · · · s (k)j (k) −1⇔ s(k)· · · s (k)i (k) j (k) −1 s(k) · · · s (k)j (k) i (k) +1} {{ }weniger als r einfache Spiegelungen= 1(c (k)) s (k)i (k) ,j (k) 1 · · · ˆ s(k) i (k) · · · ˆ s(k) j (k) · · · s (k)r = 1.} {{ }weniger als r einfache SpiegelungenNach Induktion lassen sich (b (k) ) und (c (k) ) aus den (di (k) ,j (k) i (k) ,j (k) α,β ) herleiten.Dann gelten (b (k) ) und (c (k) ) ⇒ (a (k) ) ⇒ (a) und die Proposition ist füri (k) ,j (k) i (k) ,j (k)diesen Fall gezeigt.2. Fall Es gilt ∀ k mit 1 ≤ k ≤ r: i (k) = 1, j (k) = q + 1.Dann gilt:(b (k)1,q+1) s (k)2 · · · s (k)q+1 = s (k)1 · · · s (k)q ⇔ s (k)1 · · · s (k)q s (k)q+1 · · · s (k)2 = 1,} {{ }r einfache Spiegelungen