über die relationen für erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 21. VorbemerkungIn dieser Ausarbeitung wollen wir die Relationen für Erzeuger einer Spiegelungsgruppeuntersuchen. Des Weiteren werden wir das Konzept der parabolischenUntergruppen von Spiegelungsgruppen kennenlernen. Diese Arbeit istTeil eines Proseminars und wir werden einige Ergebnisse aus anderen Ausarbeitungennutzen, welche wir kurz zitieren werden.Wir treffen folgende Vereinbarungen, um ständige Wiederholungen zu vermeiden.Wir meinen mit:(1) W eine endliche Spiegelungsgruppe, die durch Spiegelungen erzeugtwird.(2) Φ das Wurzelsystem aus Spiegelungsvektoren, welches mit den Spiegelungens α , α ∈ Φ, die Spiegelungsgruppe W erzeugt.(3) ∆ das einfache System (Menge der einfachen Wurzeln) im WurzelsystemΦ.(4) S die Menge aller einfachen Spiegelungen, also {s α , α ∈ ∆}. (Wir wissen,S erzeugt W . Siehe Satz 1 Vortrag Hakobyan)2. Erzeuger und RelationenSei m(α, β) die Ordnung von s α s β (s α , s β ∈ S) in W .Wir könnten ebenso m(s α , s β ) schreiben. Beachte: m(α, α) = 1.Es ist nun möglich eine Tabelle zu erstellen, die die entsprechenden Werte fürm(α, β) enthält.m(x, y) α β γ · · ·α 1 m(α, β) m(α, γ) · · ·β m(β, α) 1 m(β, γ) · · ·γ m(γ, α) m(γ, β) 1 · · ·. . . ... .Bemerkung 2.0.1. Wir stellen fest, dass diese Tabelle symmetrisch ist. Wenns α s β s α s β · · · s α s β = 1, folgt durch Multiplikation von s β s α · · · s β s α an der rechtenSeite der Gleichung, 1 = s β s α · · · s β s α und m(α, β) = m(β, α).