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ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 14Mit dieser Transposition ist es uns möglich beliebige Elemente zu vertauschen.Wir werden nun versuchen τ mit Hilfe von Verknüpfungen der Transposition(i, j) auf die Identität zurückzuführen. Dies geschieht mit einem induktivenVerfahren mit weniger als n Schritten.Sei k ∈ {1, . . . , n}.Sei k = 1. Nun überprüfen wir folgende Gleichung: τ(k) = k.Der erste Fall, die Gleichung gilt nicht: Ergänze τ zu (k, τ(k)) ◦ τ = τ ′ , nunwird das τ(k)’te Element durch τ ′ nicht mehr vertauscht.Dies wiederholen wir mit τ ′ und überprüfen τ ′ (k) = k. Falls die Gleichungwieder nicht gilt, fahren wir fort wie oben und erhalten (k, τ ′ (k)) ◦ τ ′ = τ ′′ , dasτ ′ (k)’te Element wird nicht mehr vertauscht. So fahren wir fort.Wenn jedoch der Fall eintritt, dass die Gleichung τ ∗ (k) = k gilt, dann erhöhenwir k um Eins und setzten wieder bei der Überprüfung ein und ergänzen τ ∗gegebenenfalls (es wäre also als nächstes τ ∗ (k + 1) = k + 1 zu überprüfen).Wenn k = n sind wir fertig. Da die Gleichung höchstens n − 1-mal falsch seinkann, endet das Verfahren.Für die so entstandene Komposition gilt τ ∗ = (i r , j r ) ◦ · · · ◦ (i 1 , j 1 ) ◦ τ = 1(r < n) und daraus folgt das (i 1 , j 1 ) ◦ · · · ◦ (i r , j r ) = τ.Zu (ii). Sei (i, i + 1) ∈ S n , dann folgt (i, i + 1)(e i − e i+1 ) = −(e i − e i+1 ).Der geforderte Vektor ist mit α = e i − e i+1 gegeben und H α besteht aus denVektoren mit gleichen Einträgen bei i und i + 1.Zu (iii). Gegeben sei∑die Menge {e 1 − e 2 , e 2 − e 3 , . . . , e n−1 − e n }. Es ist zuzeigen, dass aus c i (e i − e i+1 ) = 0 folgt, dass alle c j = 0. Dies ist jedochi=1,...,n−1leicht zu sehen, denn der erste Eintrag kommt nur einmal in der Summe vor.Daraus folgt c 1 = 0, dann wiederholt sich der Sachverhalt und wir könnenc j = 0 durch eine Induktion leicht zeigen.□Bemerkung 4.2.2. Bezug nehmend auf die vorherige Proposition, ist dieMenge {e 1 − e 2 , e 2 − e 3 , . . . , e n−1 − e n } ein einfaches System.Proposition 4.2.3. Sei W = S n . Zeige das jede parabolische Untergruppe vonW isomorph zu einem direkten Produkt von symmetrischen Gruppen ist.Beweis. Wir wissen, dass die symmetrische Gruppe durch Transpositionen derForm (i, i + 1) (1 ≤ i ≤ n − 1), erzeugt wird. Diese Transpositionen bildenunsere Menge S der Erzeuger. Bezeichne W := S n . Es gilt |S| = n − 1 =: r.Sei I ⊂ S eine Teilmenge von S. Betrachten wir zunächst den Fall |I| = r − 1,
ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 15dann ist I = {(1, 2), . . . , (i, i + 1), (i + 2, i + 3), . . . , (n − 1, n)}. Durch das Vorgehenbei dem Beweis von Proposition 4.2.1 sehen wir, dass wir nun beliebigeTranspositionen (m, n) mit 1 ≤ m < n ≤ i+1 und (k, l) mit i+2 ≤ k < l ≤ n,als Produkt von Elementen aus I bilden können. Mit diesen Transpositionenkönnen also beliebige Elemente von 1 bis i + 1 und dann wieder von i + 2 bisn vertauscht werden, jedoch könnten wir die Transposition (1, n) nicht bilden.Betrachten wir nun die entsprechende Permutationsmatrix (vgl. Skript-LA):( )A 00 BDie Permutationsmatrix bezüglich W I ist eine n × n-Matrix, bestehend auszwei Blockmatrizen. Die so erhaltenen Blockmatrizen sind offensichtlich Permutationsmatrizen.A ist eine (i + 1) × (i + 1)-Matrix und B eine (n − (i +1)) × (n − (i + 1))-Matrix.Entfernen wir ein weiteres Element aus I, wird eine der Blockmatrizen in 2Teile geteilt.So induktiv fortfahrend, erhalten wir im Fall |I| = 0, die 1-Matrix als Permutationsmatrixzu W I (vgl. Bemerkung 3.0.7). Nun beschreiben wir den Isomorphismusϕ : W I → S i1 × S i2 × . . . × S ir (wobei ∑ i = n) wie folgt: ϕ bildetdie jeweiligen Blockmatrizen nacheinander auf eine symmetrische Gruppe S iab.□
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