über die relationen für erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 134.2. Parabolische Untergruppen. Bevor wir eine interessante Eigenschaftparabolischer Untergruppen von S n betrachten, wollen wir uns die symmetrischeGruppe genauer betrachten.4.2.1. Die Symmetrische Gruppe. Die symmetrische Gruppe, bezeichnet mitS n , ist die Menge aller bijektiven Abbildungen (Permutationen) τ : {1, · · · , n} →{1, · · · , n}. Die Gruppenoperation ist die Komposition von Abbildungen. DieGruppenaxiome sind gegeben durch:Seien dazu τ 1 , τ 2 ∈ S n . Da τ 1 und τ 2 jeweils die n-elementige Menge auf sichselbst abbilden und die Verknüpfung von bijektiven Abbildungen wieder bijektivist, gilt τ 1 ◦ τ 2 ∈ S n . Inverse Elemente und folglich auch ein neutralesElement in Form der Identität sind ebenfalls vorhanden. Die Assoziativität beider Verknüpfung gilt.Eine Transposition (i, j) ist eine Permutation, die gerade die Elemente an derStelle i und j vertauscht.Sei v = (v 1 , . . . , v n ) ein Vektor, dann vertauscht eine Permutation (i, j) dieEinträge v i und v j in v und lässt die restlichen Einträge fix (siehe LA-Skript).Die für uns interessante Eigenschaft von S n ist, dass die Gruppe durch Transpositionender Form (i, i + 1), 1 ≤ i ≤ n − 1 erzeugt werden kann.Proposition 4.2.1. Sei τ ∈ S n eine beliebige Permutation, dann sind folgendeAussagen wahr:(i) ∃ (i, i + 1) ∈ S n , 1 ≤ i ≤ n − 1 : τ = (i 1 , i 1 + 1) ◦ · · · ◦ (i r , i r + 1),(ii) die Transposition (i, i + 1) ist eine Spiegelung bezüglich der Wirkung aufVektoren,(iii) die Menge {e i − e i+1 , e i+1 − e i+2 , . . . , e n−1 − e n } ist linear unabhängig.Beweis. Zu (i). Sei τ ∈ S n beliebig und beschreibe τ wie folgt:( )1 2 · · · nτ =(1 ≤ τ(i) ≤ n, ∀ i ≠ j : τ(i) ≠ τ(j)).τ(1) τ(2) · · · τ(n)Wir bilden nun eine Komposition aus den Transpositionen (i, i + 1), 1 ≤ i ≤n − 1 (siehe LA-Skript Beispiel 4.1.17)(i, i+1)◦· · ·◦(j−2, j−1)◦(j−1, j)◦(j−2, j−1)◦· · ·◦(i+1, i+2)◦(i, i+1) = (i, j)( )1 · · · i · · · j · · · n(i, j) =(1 ≤ i < j ≤ n).1 · · · j · · · i · · · n