Ã¼ber die relationen fÃ¼r erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 83. Parabolische Untergruppen und kleinsteNebenklassenvertreterWir wissen nun über endliche Spiegelungsgruppen, dass sie durch eine kleineMenge von erzeugenden Spiegelungen erzeugt werden können. Diese einfachenSpiegelungen beziehen sich auf ein einfaches System von linear unabhängigenVektoren, welches sich auf das Wurzelsystem der endlichen Spiegelungsgruppebezieht. Was passiert nun, wenn wir aus der Menge der einfachen Spiegelungeneinige Spiegelungen entfernen?Definition 3.0.6. Definiere W I als Untergruppe von W für eine beliebige TeilmengeI ⊂ S, die durch die einfachen Spiegelungen s ∈ I erzeugt wird.Alle so entstandenen Untergruppen von W werden parabolische Untergruppengenannt.Weiter sei ∆ I := {α ∈ ∆|s α ∈ I} und Φ I := Φ∩V I , wobei V I := span(∆ I ) ⊂ V .Bemerkung 3.0.7. In den extremsten Fällen ist W ∅ = {1} und W S = W .Lemma 3.0.8. Sei w ∈ W . Wenn die einfachen Spiegelungen bzgl. ∆, dieSpiegelungsgruppe W erzeugen, dann erzeugen die einfachen Spiegelungen bzgl.w∆ die Spiegelungsgruppe wW w −1 .Beweis. Sei t ∈ W . Hier nutzen wir die Tatsache s tα = ts α t −1 , die aus Proposition2.1 (Vortrag Gemmeke) folgt.Es gilt nach Voraussetzung, für alle w ∈ W existiert eine Darstellung durcheinfache Spiegelungen s α ,α ∈ ∆ mit w = s α1 · · · s αr . Wenn wir mit t∆ eineSpiegelungsgruppe erzeugen, werden die Elemente der erzeugten Gruppeaus s tα gebildet. Es folgt w ′ = s tα1 · · · s tαr = ts α1 t −1 ts α2 t −1 · · · ts αr t −1 =ts α1 · · · s αr t −1 = twt −1 ∈ W ′ . Nun ist klar die durch t∆ erzeugte SpiegelungsgruppeW ′ ist tW t −1 .□Proposition 3.0.9. Sei I ⊂ S. Dann gilt:(1) W I wirkt wesentlich auf V I (lässt nur den Ursprung von V I fix). Φ Iist ein Wurzelsystem in V I und erzeugt die Spiegelungsgruppe W I , mitdem dazugehörigen einfachen System ∆ I .(2) Betrachtet man W I als Spiegelungsgruppe mit der Längenfunktion l Ibzgl. I und sei l die Längenfunktion bzgl. S (siehe Definition 1.6 VortragHakobyan). Dann gilt l = l I auf W I .
ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISCHE UNTERGRUPPEN 9(3) Definiere W I := {w ∈ W | l(ws) > l(w) ∀ s ∈ I}. Sei w ∈ W gegeben,dann existieren eindeutige u ∈ W I und v ∈ W I , sodass w = uv. Fürdie Länge gilt l(w) = l(u) + l(v). Zudem ist u das einzige Element inder Nebenklasse wW I mit minimaler Länge.Beweis. Zu (1).Wir zeigen: W I wirkt wesentlich auf V I = span(∆ I ).Sei 0 ≠ v ∈ V I mit v = ∑ c i α i (c i ∈ R, α i ∈ ∆ I ).Da v ≠ 0 ⇒ ∃c j ≠ 0, denn α i ≠ 0 gilt in jedem Fall (siehe Definition von∆, Vortrag Gemmeke). Wir finden dann eine einfache Spiegelung s αj mits αj (v) = s αj ( ∑ c i α i ) = ∑ c i s αj (α i ) ≠ v, da s αj (α j ) = −α j und die Darstellungeindeutig ist (∆ I ⊂ ∆ linear unabhängig). Also wirkt W I wesentlichauf V I .Wir zeigen: Φ I Wurzelsystem in V I (siehe Definition 2.4, Vortrag Gemmeke).Es gilt nach Definition Φ I ⊂ V I und Φ I ⊂ Φ. Sei α ∈ Φ I = Φ ∩ V I beliebig.Offensichtlich folgt α ≠ 0, da Φ I ⊂ Φ.Bedingung (R1):Nach Voraussetzung gilt: Φ ∩ Rα = {α, −α} ∀ α ∈ Φ ⇒ Φ ∩ Rα = {α, −α} ∀α ∈ Φ I ⇒ Φ I ∩ Rα = {α, −α} ∀ α ∈ Φ I .Bedingung (R2):Zu zeigen: s α Φ I = Φ I ∀ α ∈ Φ I .Es gilt ∀ α ∈ Φ : s α Φ = Φ ⇒ ∀ α ∈ Φ I : s α Φ = Φ ⇒ ∀ α ∈ Φ I : s α Φ I ⊂ Φ. Dawir Elemente aus Φ I als Linearkombination von Vektoren δ i ∈ ∆ I schreibenkönnen, folgt für alle α, β ∈ Φ I : s α β = ∑ c i δ i − 2 ∑ (δc i ,α)i α ∈ span(∆ (α,α) I). DieInklusion s α Φ I ⊂ Φ I ∀α ∈ Φ I ist gezeigt.Es folgt s α Φ I ⊃ Φ I ∀α ∈ Φ I .Sei γ ∈ Φ I , dann suchen wir für alle α ∈ Φ I ein β ∈ Φ I mit s α β = γ. DieGleichung s α β = γ ist äquivalent zu β = s α γ und s α γ ∈ Φ I ist bereits bekannt.Bleibt noch zu zeigen: ∆ I ist ein einfaches System (siehe Definition 1.4 VortragBudde).Es gilt ∆ I ⊂ ∆ und daher ist die Menge ∆ I linear unabängig. Aus der Definitionvon Φ I = Φ∩span(∆ I ) folgt, dass die Elemente aus Φ I durch den R-Spanvon ∆ I erzeugt werden können. Ebenso folgt, dass die Koeffizienten bei derDarstellung der Wurzeln aus Φ I als Linearkombination von einfachen Wurzelnaus ∆ I das selbe Vorzeichen haben, denn es gilt für ∆ bzgl. Φ und in Φ I ⊂ Φsind gerade nur die Wurzeln enthalten, die durch ∆ I dargestellt werden können.W I ist nach Definition die erzeugte Spiegelungsgruppe durch die einfachenSpiegelungen s α , α ∈ ∆ I . Wir wissen nach Satz 1 (Vortrag Hakobyan), dassdie einfachen Spiegelungen bzgl. eines Wurzelsystems die Spiegelungsgruppe
Seite 1 und 2: ÜBER DIE RELATIONEN FÜR ERZEUGER
Seite 3 und 4: ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISC
Seite 7: ERZEUGER UND RELATIONEN, PARABOLISC

Ã¼ber die relationen fÃ¼r erzeuger einer spiegelungsgruppe und ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?