abicrasher

Mathematik-Studio 

Garmisch-Partenkirchen 

Alexander Pernsteiner 

Dipl. Mathematiker 

„Abi-Crasher“ 

Mathematik 

c○ 

Alexander Pernsteiner 

Stand: 

2016–01–17

Liebe Schülerinnen, liebe Schüler 

ich möchte mich kurz bei euch vorstellen. Mein Name ist Alexander Pernsteiner, 

ich bin verheiratet und habe 3 Kinder. 

Seit über 18 Jahren gebe ich, in meinem Unternehmen 

„Mathematik-Studio Alexander Pernsteiner“, privat Mathematik-Unterrichte für Schüler 

in allen Jahrgangsstufen und für alle Schularten. Hier bereite ich auch viele meiner Schüler 

direkt auf das Mathematikabitur vor. 

Früher für das G9 und nun seit geraumer Zeit für das G8 Abitur. 

Die Ansprüche sind enorm und in der Schule habt ihr nur selten die Zeit euch intensiv 

und systematisch auf die Abschlussprüfung vorzubereiten. 

Der Stark-Verlag bietet ja schon immer sein Prüfungsvorbereitungsbuch an. Dort sind die 

Prüfungen der letzten Jahre mit ausführlichen Lösungsschablonen aufbereitet. 

Warum dann dieses neue Buch bzw. diese neue PDF-Datei? 

Ganz einfach! Ich habe für euch die Abituraufgaben der G8 Jahrgänge in die Themengebiete 

aus Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik und die damit verbundenen Teilgebiete 

zerlegt oder besser gesagt „mathematisch seziert“. 

Des weiteren sind den einzelnen Themen aus diesen Stoffgebieten die jeweiligen Abituraufgaben 

konkret zugeordnet. Jeder von euch kann sich damit selbständig und gezielt 

alleine durch die Abituraufgaben durcharbeiten. Zusätzlich habe ich für euch eine 

Abiturformelsammlung entwickelt, die mit den Abituraufgaben und Themengebieten 

sinnvoll verlinkt ist. Ich glaube mal, wer sich auf´s Abi vorbereiten will, kann das nun 

auch! 

Der Abi Crasher geht dieses Jahr in seine erste Testphase und kostet nur einen Unkostenbeitrag 

von 4,99efür eine Einzellizenz und 0,99eje Schüler für Schullizenzen, wobei hier 

die Lehrerlizenz kostenfrei ist. 

Ihr könnt ihn auf meiner Homepage nach Anfrage unter alex-pernsteiner.de 

oder unter meiner E-mail: kontakt@alex-pernsteiner.de anfordern und ihn dann downloaden! 

Ich bitte euch mein Urheberrecht zu respektieren und den Abi Crasher nur selbst zu 

verwenden. Jede Vervielfältigung (z.B. für Schulklassen oder Schulen) muss vorher mit 

mir abgesprochen werden!

Wir befinden uns noch immer in der Aufbau- und Testphase, deshalb sind Fehler bei der 

Bearbeitung und der Eingabe sicherlich noch möglich, bzw. Realität. Wir kontrollieren 

unsere Eingaben natürlich ständig und sorgfältig , doch Nobody is perfect und schon gar 

nicht wir Menschen. . . 

Große Bitte: Fehler bitte sofort an uns melden, damit wir sie ausbessern können. Konstruktive 

Feedbacks sind immer erwünscht! 

Unsere Kontaktadresse: kontakt@alex-pernsteiner.de 

In diesem Sinne viel Erfolg mit unserem Abi Crasher. 

Euer Alexander Pernsteiner, Diplom Mathematiker 

und das Team: 

Dominik Gilg, 

Simon Sommer, 

Maximilian Muth, 

Magdalena Preimesberger, 

Master Eingabe 

Eingabe 

Homepage Koordinator 

Pitodesign 

c○Alexander Pernsteiner 

designed mit L A TEXvon Dominik Gilg 

3

Inhaltsverzeichnis 

Formelsammlung: Erweiterung der ISB Merkhilfe 8 

0.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

0.1.1 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

0.1.2 Wichtige Grenzwerte allgemein für r ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . 8 

0.1.3 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

0.1.4 Integrale / Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

0.1.5 Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

0.2 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

0.2.1 Aufstellen von Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

0.2.2 Aufstellen von Ebenengleichungen 

Parameterform/Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

0.2.3 Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen 

in Koordinatenform bzw. Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander . . . . . . . . . . . . . . 35 

0.2.5 Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

0.2.6 Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

0.2.7 Formeln Oberstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

0.3 Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

0.3.1 Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

0.3.2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

0.3.3 Das Baumdiagramm und seine Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . 61 

0.3.4 Erwartungswert / Varianz / Standardabweichung . . . . . . . . . . 62 

0.3.5 einer Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

n! 

0.3.6 Grundformeln der Kombinatorik n!; ; ( ) 

n 

n−k k ; n 

k 

. . . . . . . . . . . 64 

0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete Formel) . 66 

0.3.8 Urnenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

0.3.9 Der Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1 Abitur-Check Gebrochenrationale Funktionen 74 

2 Abitur-Check Exponential-Funktion e x 76 

3 Abitur-Check ln-Funktionen 78 

4 Abitur-Check Ganzrationale(Polynom- ) Funktionen 79 

5 Abitur-Check Wurzelfunktionen 80 

6 Abitur-Check Trigonometrische Funktionen 81 

7 Sonstige Analysis aus den G8 Abiturjahrgängen 2011-13 82 

8 Abitur-Check„Analytische Geometrie“ 83 

9 Abitur-Check„Wahrscheinlichkeitsrechnung“ 86

10 Abituraufgaben 2011-2013 88 

10.1 G8 Abitur 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

10.1.1 G8 Abitur 2011 Analysis I Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 


10.1.3 G8 Abitur 2011 Analysis II Teil 1 & 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

10.1.4 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 


10.1.6 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 


10.2 G8 Abitur 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 



10.2.3 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 






10.3 G8 Abitur 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 








10.3.8 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

11 Musterlösungen Abituraufgaben 2011-2013 129 

11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 

11.1.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 


11.1.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 


11.1.5 Stochastik Aufgabengruppe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 

11.1.6 Stochastik Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 

11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 

11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 







11.2.6 Stoachastik Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 


11.2.8 Geometrie Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 







11.3.6 Stochastik Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 


11.3.8 Geometrie Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

0.1 Analysis 0.1 Analysis 

Formelsammlung: Erweiterung der ISB 

Merkhilfe 

0.1 Analysis 

0.1.1 Grenzwerte 

0.1.2 Wichtige Grenzwerte allgemein für r ∈ N 

x r 

1 a) lim 

x→−∞ e = 2 Fälle: 

x 

• r=ungerade: 

• r=gerade: 

x r 

b) lim 

x→+∞ e = x 

x r 

lim 

x→−∞ e = (−∞)r 

x e −∞ 

= (−∞)r · e +∞ = −∞ 

x r 

lim 

x→−∞ e = (−∞)r 

x e = −∞ (−∞)r · e +∞ = +∞ 

lim 

x→+∞ 

∞ r 

e∞ → wächst immer schneller = 0 

ln x 

2 a) lim =da x → D 

x→−∞ x r E = R + 

lnx 

b) lim 

x→+∞ x r 

= ln(∞) 

(+∞) r = 0 

↘ wächst schneller 

3 a) lim 

x→−∞ xr · ln x = D ∈ R + 

b) lim 

x→+∞ xr · lnx = +∞ 

c) lim 

x→0 + xr · lnx = (0 + ) r · ln(0 + ) = 0 


Abi – Crasher 


Seite 8

0.1 Analysis 0.1.2 Wichtige Grenzwerte allgemein für r ∈ N 

4 a) lim 

x→−∞ xr · e x = 0 

b) lim 

x→+∞ xr · e x = +∞ 

0.1.2.1 Grenzwerte bei gebrochenrationalen Funktionen 

Gebrochenrationale Funktionen mit Polynomen im Zähler z(x) und Nenner n(x) → 

f(x) = z(x) 

n(x) 

0.1.2.2 waagrechte Asymptote y=0 

Grad von n(x) größer als von z(x) 

n, z Grad 

des 

größten 

Polynoms 

n > z 

z.B.: 

x 4 + 3x 3 + 5x 2 

lim 

x→±∞ x 6 + 15x 3 

⇒ y = 0 waagerechte Asymptote 

= 0 egal ob +∞ oder −∞ 

0.1.2.3 waagrechte Asymptote y = a b 

lim 

x→±∞ 

5x 4 + 3x 3 + 15 

18x 4 + 25x 2 − 17 = 5 18 

lim 

x→±∞ 

ax n + bx n−1 

1 + ... 

bx n + b 1 x n−1 + ... = a b 

n(x) = z(x) 

⇒ Der größte Polynom entscheidet! 

→ y = a b 

waagrechte Asymptote 

0.1.2.4 schräge Asymptote (Durch Polynomdivision!) 

5x 3 + 10x − 7 

lim 

x→±∞ 4x 2 − 8 

= ±∞ z = n + 1 

y = m · x + t schräge Asymptote, wenn z = n + 1 

Beispiel: 10x3 + 5x 2 − 7 

z = 3; n = 2 

5x 2 − 3 

Berechnung der schrägen Asymptote durch Polynomdivision 

z.B. n = 3 → z = 4 




Seite 9


( 

→ 

10x 3 + 5x 2 − 7 ) : ( 5x 2 − 3x ) = 2x + 11 5 + 33 

5 x − 7 

5x 2 − 3x 

− 10x 3 + 6x 2 

11x 2 

− 11x 2 + 33 5 x 

33 

5 x 

33 

11 

lim 2x + 

x→±∞ 5 + + x − 7 

5 

5x 2 − 3x = ±∞ 

→ y = 2x + 11 5 

schräge Asymptote 

0.1.2.5 Sonstige Grenzwerte 

Verhalten im Unendlichen bei grundlegenden Funktionen 

Verhalten für x → ∞ 

Verhalten für x → −∞ 

lim 

x→∞ xn = ∞ für n ∈ N lim 

x→−∞ xn = ∞ für n ∈ N, n gerade 

1 

lim = 0 

x→∞ x n für n ∈ N lim 

x→−∞ xn = −∞ für n ∈ N, n ungerade 

lim 

x→∞ ax = ∞ für a ∈ R + 1 

, a > 1 lim = 0 

x→−∞ x n für n ∈ N 

lim 

x→∞ ax = 0 für a ∈ R + , a < 1 lim 

x→−∞ ax = 0 für a ∈ R + , a > 1 

lim 

x→∞ 

lim 

x→∞ 

a x 

= ∞ für a ∈ R + , a > 1, n ∈ N lim 

x n x→−∞ ax = ∞ für a ∈ R + , a < 1 

n√ x = ∞ für n ∈ N, x ≧ 0 

lim x→∞ a(x) = ∞ für a ∈ R + , a > 1 

lim x→∞ a(x) = −∞ für a ∈ R + , a < 1 

0.1.2.6 Senkrechte Asymptote x=a 

Die senkrechte Asymptote: Sie ist immer die Definitionslücke 

f(x) = 3 setze Nenner = 0 2x − 7 = 0 x = 7 2x − 7 

2 

→ D f = R\{ 7 2 } 

→ x = 7 2 

ist senkrechte Asymptote 




Seite 10


AUSNAHME: Die behebbare Definitionslücke 

f(x) = 

3x 

x 2 − 6x = 

3x Nullstelle der Zählers x = 0 

x(x−6) 

Nullstellen des Nenners → D f = R\{0; 6} 

x 1 = 0 

x 2 = 6 

→ Eine gemeinsame Nullstelle des Zählers und Nenners bedeutet eine behebbare Definitionslücke 

hier bei x = 0 

Grenzwerte bei senkrechten Asyptoten 

f(x) = 2 

x − 2 

2 

lim 

x→2 + 0 = +∞ 

+ 

2 

lim 

x→2 − 0 = −∞ 

− 

D f = R\{2} 

Achtung bei behebbaren Definitionslücken 

6 

4 

2 

−4 −2 

−2 

0 2 4 6 8 

−4 

−6 

−8 

Beispiel: oben 

3x 

= 3 x = 0 beheb- 

x·(x−6) x−6 

bar! 

→ 

→ 

3 

lim 

x→0 − x − 6 = 3 

0 − − 6 = −3 6 = −1 2 

3 

lim 

x→0 + x − 6 = 3 

0 + − 6 = −3 6 = −1 2 




Seite 11

0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen 

0.1.3 Ableitungen 

0.1.3.1 Herleitung der Ableitung 

• Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate): f(x) − f(x 0) 

x − x 0 

• Differentialquotient (lokale/ momentane Änderungsrate): f ′ (x 0 ) = lim x→x0 

f(x) − f(x 0 ) 

x − x 0 

• Schreibweisen: f ′ (x) = df(x) 

dx 

f(x) = x 3 

x 0 = 2 lim 

x→2 

f(x) − f(2) 

x − 2 

= d dy 

f(x) = 

dx dx = y′ 

x 3 − 2 3 

= lim 

x→2 x − 2 = x3 − 8 

x − 2 

Polynomdivision: 

( 

x 3 − 8 ) : ( x − 2 ) = x 2 + 2x + 4 

− x 3 + 2x 2 

2x 2 

− 2x 2 + 4x 

4x − 8 

− 4x + 8 

0 

→ lim 

x→2 

x 2 + 2x + 4 = 2 2 + 2 · 2 + 4 = 12 

0.1.3.2 Tangente und Normale 

Tangentensteigung im Punkt (2|?) → f(2) = 2 3 = 8 → P (2|8) 

1.Beispiel: 

f(x) = x 3 ; x = 2 → f ′ (x) = m T ; f ′ (2) = 3·2 2 = 12 → Tangentengleichung: y = m · x + t 

f ′ (x) = 3x 2 

→ y = 12 · x + t; P(2|8) einsetzen 

8 = 12 · 2 + t → t = 8 − 24 = −16 → y = 12x − 16 

Normalensteigung: m n = − 1 

m T 

= − 1 

12 

Normalengleichung: y = m n · x + t = − 1 12 

im Punkt P(2|8) 

P(2|8) einsetzen 

gleiche Funktion f(x) = x 3 → y = − 1 

12 x + t 8 = − 1 

12 · 2 + t 

t = 8 + 2 

12 = 8 1 6 = 49 6 

→ y = − 1 

12·x+ 49 6 




Seite 12


2. Beispiel: 

Bestimmung der Tangente an der Stelle: 

1○ f(x) = 

x 3 

(x 2 − 1) ; P (x 0|y 0 ) 

2○ f ′ (x) = x4 − 3x 2 

(x 2 − 1) 2 = m T ; f ′ (x) schon berechnet mit Hilfe der Quotientenregel 

3○ y = m T · x + t → y 0 = m T · x 0 + t 

MERKE: f ′ (x 0 ) = m T 

1○ x = 2 f(2) = 23 

2 2 − 1 = 8 3 

P 

( 

2| 8 ) 

3 

2○ m T = f ′ (2) = 24 − 3 · 2 2 16 − 12 

= 

(2 2 − 1) 

2 

9 

= 4 9 

3○ y = m · x + t 

y = 4 9 · x + t 

8 

3 = 4 9 · 2 + t 

8 

3 − 8 9 = t 

24 

9 − 8 9 = t 

t = 16 

9 →Tangente: t(x) = 4 9 · x + 16 

9 




Seite 13


Nun bestimmen wir die Normale im Punkt P (2| 8 3 ) 

Du brauchst: 

1○ f(x) = 

x 3 

(x 2 − 1) ; P (x 0|y 0 ) 

2○ f ′ (x) = x4 − 3x 2 

(x 2 − 1) 2 = m t; f ′ (x) schon umgerechnet mit Quotientenregel 

3○ y = m n · x + t → y 0 = m n · x 0 + t 

4○ m n = − 1 m t 

P 

( 

2| 8 ) 

3 

m n = − 1 m t 

m n = − 1 4 

9 

= − 9 4 

y = − 9 4 · x + t 

8 

3 = −9 4 · 2 + t 

8 

3 = −18 4 + t 

t = 8 3 +9 2 = 16 

6 +27 6 = 43 

6 → y = −9 4 x+43 6 (Normalengleichung!) 

0.1.3.3 Ableitung der Grundfunktionen und die Ableitungsregeln 

f(x) = a → f ′ (x) = 0 → jede Zahl abgeleitet ergibt 0!! 

f(x) = 1 · x → f ′ (x) = 1 

f(x) = a · x 

f(x) = x 2 

f(x) = a · x 2 

→ f ′ (x) = a 

→ f ′ (x) = 2x 

→ f ′ (x) = 2a · x 

f(x) = x 3 → f ′ (x) = 3x 2 

f(x) = a · x 3 → f ′ (x) = 3a · x 2 

. 




Seite 14


. 

Potenzregel für n ∈ N 

MERKE: 

f(x) = x n 

→ f ′ (x) = n · x n−1 

Faktorregel dazu 

MERKE: 

f(x) = a · x n 

→ f ′ (x) = a · n · x n−1 

Potenzregel für n ∈ Z − n = −1; −2; −3; ... n ≠ 0 

Gleiche Anwendung aus x n → n · x n−1 

f(x) = x −1 = 1 x 

→ f ′ (x) = −1 · x −1−1 = −1 · x −2 = − 1 x 2 

f(x) = x −2 = 1 x 2 → f ′ (x) = −2x −3 = − 2 x 3 

f ′ (x) = x −3 = 1 x 3 

MERKE: 

f(x) = x n 

→ f ′ (x) = −3x −4 = −3 

x 4 

. 

→ f ′ (x) = n · x n−1 

Potenzregel für n ∈ Q; n ≠ 0 

↗ ACHTUNG WURZELN! 

f(x) = √ x = x 1 2 → f ′ (x) = 1 2 · x 1 2 −1 = 1 2 · x− 1 2 = 1 

f(x) = 3√ x = x 1 3 → f ′ (x) = 1 3 · x 1 3 −1 = 1 3 · x− 2 3 = 1 

2x 1 2 

3x 2 3 

= 1 

2 √ x 

= 1 

3 3√ x 2 

f(x) = 4√ x = x 1 4 = f ′ (x) = 1 4 x 1 4 −1 = 1 4 · x− 3 4 = 1 

4 · x 3 4 

= 

1 

4 · 4√ x 3 

MERKE: 

n√ 

xm = x m n 

→ f ′ (x) = m n · x m n −1 




Seite 15


Beispiele: 

5√ 

x3 = x 3 5 → f ′ (x) = 3 5 · x 3 5 −1 = 3 5 · x− 2 5 = 3 

5 · x 2 5 

= 

3 

5 · 5√ x 2 

12 √ x 11 = x 11 

12 → f ′ (x) = 11 

12 · x 11 

12 −1 = 11 

12 · x− 1 12 = 11 

12 · x 1 

12 

= 

11 

12 · 12√ x 

MERKE: 

f(x) = 

√g(x) = g′ (x) 

√ 

2 · g(x) 

Wichtig und einfach dargestellt 

z.B. ( √ 4x 3 ) ′ = 

12x2 

2 · √4x 3 

Nun zu den Exponentialfunktionen 

MERKE: 

↓ 

f(x) = e x → f ′ (x) = e x e: Eulerische Zahl (TR!) 

f(x) = e kx 

f(x) = e g(x) 

→ f ′ (x) = e k·x · k = k · e kx 

→ f ′ (x) = e g(x) · g ′ (x) = g ′ (x) · e g(x) 

f(x) = e x3 

→ f ′ (x) = e x3 · 3x 2 = 3x 2 · e x3 

f(x) = e √ x 

→ f ′ (x) = e √x 1 

· 

2 √ x = 1 

2 √ x · e√ x 

Ist die e-Funktion mit anderen Funktionen verknüpft oder verkettet benützt Du die entsprechenden 

Ableitungsregeln. 

Produktegel (f(x) · g(x)) ′ = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x) 

Quotientenregel: 

( ) ′ 

f(x) 

= f ′ (x) · g(x) − f(x) · g ′ (x) 

g(x) 

[g(x)] 2 

Kettenregel z.B. (f(g(k(x)))) ′ = f ′ (g(k(x))) · g ′ (k(x)) · k ′ (x) 

z.B. f(x) = 

√ 

(e 2x + 5) 3 = 

Zu den Regeln später mehr! 

↓ ↓ ↘ 

1 

·3(e 

(2 · 

√(e 2x +5) 2 ·e 2x·2 

2x + 5) 3 ↓ 

Nachdifferenzieren: ( e kx) ′ 

→ e 

kx · k 




Seite 16


Die allgemeine Exponentialfunktion: 

f(x) = b x → f ′ (x) = b x · lnb 

ln = log e → Logarithmus zur Basis von e 

z.B. f(x) = 2 x → f ′ (x) = 2 x · ln 2 

Nun wichtige Regeln zum Ableiten von Logarithmusfunktionen 

f(x) = log e 

= ln x → f ′ (x) = 1 x 

f(x) = ln ax → f ′ (x) = 1 

a · x · a = 1 x 

f(x) = ln g(x) → f ′ (x) = 1 

g(x) · g′ (x) = g′ (x) 

g(x) 

WICHTIG! 

Beispiel: ln 3x 2 → f ′ (x) = 1 6x · 6x = 

3x2 3x = 2 2 x 

Die allgemeine Logarithmusfunktion: 

f(x) = log a (x) ⇒ f ′ (x) = 1 x · 

f(x) = log 3 (x) → f ′ (x) = 1 

x · ln 3 

f(x) = log 1,5 (x) → f ′ 1 

(x) = 

x · ln 1, 5 

1 

ln a = 1 

x · ln a 

Ableitungen bei den trigonometrischen Funktionen 

f(x) = sin x → f ′ (x) = cos x 

f(x) = cos x → f ′ (x) = − sin x 

f(x) = tan x → f ′ (x) = 1 cos 2 x tan2 x 

f(x) = sin g(x) → f ′ (x) = cos g(x) · g ′ (x) 

f(x) = cos g(x) → f ′ (x) = − sin g(x) · g ′ (x) 




Seite 17


Beispiel: sin g(x) = sin 3x → f ′ (x) = cos 3x · 3 = 3 cos 3x 

cos x 2 → f ′ (x) = − sin x 2 · 2x = −2x · sin x 2 

Wichtige Ableitungsregeln und ihre Anwendung 

Produktregel (f · g) ′ = f ′ · g + f · g ′ 

f(x) = 3x 2 · e x2 → f ′ (x) = 6x · e x2 + 3x 2 · e x2 · 2x = e x2 · (6x + 6x 3 ) 

f(x) = ln 3x · √x → f ′ (x) = 1 

3x · 3 · √x 1 

+ ln 3x · 

2 √ x 

1 

x · √x ln 3x 

+ 

2 √ x 

f(x) = (2x + 5) · (6x − 7) = 2 · (6x − 7) + (2x + 5) · 6 = 24x + 16 

usw. · · · 

Quotientenregel: 

Häufig nötig bei gebrochenrationalen Funktionen 

Beispiel: 

( ) 2x + 5 ′ 

= 2 · ( ) ′ (x2 + 1) − (2x + 5) · 2x 

f 

= f ′ · g − f · g ′ 

x 2 + 1 

(x 2 + 1) 2 g g 2 

= 2x2 + 2 − 4x 2 − 10x 

= −2x2 − 10x + 2 

(x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2 

( ) ′ 

3x + 1 

= 3 · (x + 3)2 − (3x + 1) · 2 · (x + 3) 1 · 1 

(x + 3) 2 (x + 3) 4 

= (x + 3)1 · [3(x + 3) − (3x + 1) · 2] 

(x + 3) 4 

= 

3(x + 3) − 6x − 2 

= −3x + 7 

(x + 3) 3 (x + 3) 3 

Kettenregel: 

Sie ist die wichtigste Regel, da sie uns ermöglicht Funktionen, 

die verknüpft / verkettet sind abzuleiten. 

Sie verbindet meist mehrere Regeln miteinander. 

Hier noch ein Beispiel: 

√ 

Wurzel / Potenz: f(x) = (2x + 5 3 ) = 

f ′ (x) = 

= 

1 

√ 

2 (2x + 5) · 3(2x + 5)2 · 2 

= 

3 1 

6 · (2x + 3) 2 

√ 

2 (2x + 5) = 3 √ 

· (2x + 5)2 

3 (2x + 5) 3 




Seite 18


Wurzelregel: 

√ 

f(x) = g(x) 

1 

2 · 

√g(x) · g′ (x) 

Ableiten 

Spezielle Ableitungen erhältst Du bei den Gebrochenrationalen Funktionen! 

f(x) = z(x) 

n(x) 

Die Ableitung führst Du immer mit der Quotientenregel durch! 

f ′ (x) = z′ (x) · n(x) − z(x) · n ′ (x) 

[n(x)] 2 

BEACHTE dabei, dass Zähler z(x) und Nenner n(x) eigene Funktionen sind, die Du mit 

den entsprechenden Regeln ableiten musst! 

z(x) : Polynom f(x) = x2 + 5x 

n(x) : Polynom 

x + 5 

→ f ′ (x) = (2x + 5) · (x + 5) − (x2 + 5x) 

(x + 5) 2 

Bestimme D, Setze Nenner = 0 = 2x2 + 10x + 5x + 25 − x 2 − 5x 

(x + 5) 2 

x + 5 = 0 

x = −5 → D = R\{−5} = x2 + 10x + 25 

(x + 5 2 ) → wird meist nicht 

= 

(x + 5)2 

(x + 5) 2 = 1 

ausmultipliziert 

0.1.3.4 1. Ableitung: Schema Extremwertbestimmung und Monotonieverhalten 

Allgemeines Schema: 

1. Bestimme f ′ (x) 

2. setze f ′ (x) = 0; löse die Gleichung! 

→ x Werte der Extrempunkte 

3. Bestimme die Monotonietabelle mit f ′ (x) → wo steigt und fällt der Graph, d.h. wo 

hat er einen Hoch-, Tief- oder Terassenpunkt 

4. Setze die x-Werte von 2 in f(x) ein, so erhältst Du die y-Werte der Extrempunkte 

Beispiele siehe Unterpunkt 6 bei allen Abituraufgabe-Check Funktion 




Seite 19


0.1.3.5 2. Ableitung: Schema Wendepunktbestimmung und Krümmungsverhalten 

1. Bestimme f ′′ (x) 

2. Setze f ′′ (x) = 0 und löse! → x-Werte des Wendepunktes (Flachp.) 

3. Bestimme die Krümmungstabelle → wo ist der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt 

→ Wendepunkt oder Flachpunkt 

4. Setze die x-Werte von 2 in f(x) ein, so erhältst du die y-Werte 

Beispiele siehe unter Punkt 7 (2. Ableitung) bei allen Funktionstypen 

0.1.3.6 Kurvenuntersuchung / Kurvendiskussion: MERK PUNKTE 

Siehe AbiturCheck: alle Funktionstypen Nr. 1 bis Nr. 11 




Seite 20

0.1 Analysis 0.1.4 Integrale / Stammfunktionen 

0.1.4 Integrale / Stammfunktionen 

0.1.4.1 Formeln der Integralrechnung und Stammfunktionen 

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 

Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion f ist eine Stammfunktion von f. 

I(x) = 

∫x 

a 

f(t) dt ⇒ I ′ (x) = f(x) z.B. = I(x) = 

Bestimmtes Integral 

∫x 

2 

t 2 dt = 

[ t 

3 

3 

] x 

2 

= x3 

3 − 8 3 = I(x) 

→ I ′ (x) = 3x2 

3 = x2 = f(x) 

= F (x)−F (2) = x3 

3 − 23 

3 = 

∫ 

I(x) = b 

f(x) dx = F (b) − F (a) = [F (x)] b a 

(F ist eine Stammfunktion von f) 

a 

∫ 5 [ ] x 

Beispiel: x 2 3 5 

dx = 

3 

2 

2 

= F (5) − F (2) = 53 

3 − 23 

3 = 125 

3 − 8 3 = 117 

3 

Unbestimmte Integrale 

∫ 

∫ 

∫ 

x r dx = xr+1 

+ C (r ≠ −1) 

r + 1 

sin x dx = − cos x + C 

e x dx = e x + C 

Weil gilt: 

∫ 

∫ 

∫ 1 

x dx = ln |x| + C → (ln|x| + C)′ = 1 x 

cos x dx = sin x + C → (sin x + C) ′ = cos x 

ln x dx = −x + x · ln x + C → (−x + x ln x + C) ′ = 




= −x + 1 · ln x + x · 1 

x = 

Seite 21


∫ f ′ (x) 

dx = ln |f(x)| + C 

f(x) 

∫ 

f ′ (x) · e f(x) dx = e f(x) + C 

= −1 + ln x + 1 = ln x = ln x 

(e f(x) + C) ′ = e f(x) · f ′ (x) 

↓ 

Nachdifferenzieren 

∫ 

f(ax + b) dx = 1 · F (ax + b) + C (F ist eine Stammfunktion von f) 

a 

∫ 

f(2x + 3) dx = 1 2 · F (2x + 3) + C → (1 2 · F (2x + 3))′ = 1 2 F ′ (2x + 3) · 2 = 

= F ′ (2x + 3) = f(2x + 3) 

Da fast der gesamte Inhalt der Schulintegralrechnung auf Verwendung von Stammfunktionen 

komprimiert werden kann, folgt eine Zusammenstellung der Stammfunktionen der 

Elementarfunktionen 

Vor allem zur Verwendung von Flächenberechnungen 

∫ b 

a 

f(x) dx = F (b) − F (a) 

∫ 

f(x) dx = F (x) + C 




Seite 22


Stammfunktionen der Elementarfunktionen: 

f(x) = 0 ⇒ F (x) = c 

f(x) = 1 ⇒ F (x) = x + c 

f(x) = x ⇒ F (x) = x2 

2 + C 

. 

f(x) = x n ⇒ F (x) = xn+1 

n + 1 + C 

f(x) = sin x ⇒ F (x) = − cos x + C 

n ≠ −1 

f(x) = cos x ⇒ F (x) = sin x + C 

f(x) = 1 x 2 ⇒ F (x) = − 1 x + C 

f(x) = 1 √ x 

⇒ F (x) = 2 √ x + C 

f(x) = 1 x 

⇒ 

F (x) = ln |x| + C 

f(x) = e x ⇒ F (x) = e x + C 

f(x) = e k·x ⇒ F (x) = 1 k · ek·x + C 

f(x) = g′ (x) 

g(x) 

f(x) = n√ x m = x 

⇒ 

F (x) = ln |g(x)| + C 

m 

n ⇒ F (x) = x m n +1 

m 

+ 1 n 

f(x) = ln x ⇒ F (x) = x · ln x − x + C 




Seite 23


0.1.4.2 Das bestimmte Integral: Hilfsmittel zur Flächenberechnung 

5 

y 

4 

3 

y = (fx) 

2 

1 

A = 

∫b 

a 

f(x) dx = F (b) − F (a) 

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 

a=0,5 

−1 

b=9,5 

∫9,5 

0,5 

f(x) dx = F (9, 5) − F (0, 5) 

y 

4 

a = 9.7 

b = 0.6 

2 

A 1 

A 2 

A 3 

A 4 

−2 0 2 4 6 8 10 12 

x 

∫ b 

a 

−2 

f(x) dx = A 1 − A 2 + A 3 − A 4 




b = 10.95 

Seite 24 

h = 1.2


Wichtige Eigenschaften zur Berechnung 

1) 

∫ b 

a 

∫ a 

f(x) dx = − f(x) dx 

b 

F (b) − F (a) = −(F (a) − F (b)) = −(−F (b) + F (a)) = F (b) − F (a) 

2) 

3) 

4) 

∫ a 

a 

∫b 

f(x) dx = 0 → F (a) − F (a) = 0 

k · f(x) = k · 

∫b 

a 

a 

∫b 

[f(x) + g(x)] dx = 

a 

a 

a 

∫ b 

[f(x) − g(x)] dx = 

f(x) → k · (F (b) − F (a)) = k · F (b) − k · F (a) 

∫b 

∫ b 

f(x) dx + 

f(x) dx − 

a 

a 

a 

∫b 

∫ b 

g(x) dx ⇒ F (b) − F (a) + G(b) − G(a) 

g(x) dx 

→ (F (b) + G(b)) − (F (a) + G(a)) 

→ F (b) − F (a) − (G(b) − G(a)) = (F (b) − G(b)) − F (a) + G(a) 

(F (b) − G(b)) − (F (a) − G(a)) 

Flächenberechnung mit Hilfe von Integralrechnung: 

Die Fläche zwischen zwei Funktionen 

a) zwei Schnittpunkte: x 1 = a; x 2 = b 

A = | 

∫ b 

a 

(f(x) − g(x)) dx| 

b) drei Schnittpunkte: x 1 = a, x 2 = b, x 3 = c (a 

∫b 

∫c 

A = | (f(x) − g(x)) dx| + | (f(x) − g(x)) dx| 

a 

b 

c) vier Schnittpunkte: x 1 = a, x 2 = b, x 3 = c, x 4 = d a 

∫b 

∫c 

∫d 

A = | (f(x) − g(x)) dx| + | (f(x) − g(x)) dx| + | (f(x) − g(x)) dx| 

a 

b 

. 

c 




Seite 25

0.1 Analysis 0.1.5 Sonstiges 

Die Fläche zwischen der Funktion f(x) und der x-Achse 

y 

2 

A B C D F 

−2 0 2 4 6 8 10 12 

x 

−2 

Bestimme die Nullstelle: x 1 =a, x 2 =b, x 3 =c, x 4 =d, x 5 =e, x 6 =f, 

Integriere von Nullstelle zu Nullstelle! 

∫b 

A = | 

a 

∫c 

f(x) dx|+| 

b 

∫d 

f(x) dx|+| 

c 

a = −1.61 

∫e 

f(x) dx|+| 

d 

∫ f 

f(x) dx|+| 

e 

f(x) dx| 

0.1.5 Sonstiges 

0.1.5.1 Newtonverfahren Schema 

b = 10.95 

h = 1.2 

c = 2.5 

Das Newton Verfahren am Beispiel einer Polynomfunktion 

f(x) = x 3 − 10, 5x 2 + 30x − 22, 5 

Analoge Anwendung bei Gebrochenrationalen-, Exponential, 

e = 1 

Logarithmus-, Wurzelfunktionen 

Wobei es recht unwahrscheinlich ist, dass diese Funktionstypten 

g = 1 

im Abitur verwendet werden! 

Zeigen Sie, dass f(x) nur eine Nullstelle hat! 

Table eingeben → f(1) = −2 < 0 

f(2) => 0 

f hat für x ∈ ]1, 2[ eine Nullstelle 




Seite 26


Berechnen Sie mit Hilfe des Newton Verfahrens die Näherungswerte x 1 , x 2 der Nullstelle! 

Formel x n+1 = x n − f(x n) 

f ′ (x n ) 

Startwert im Intervall von ]1, 2[ wählen 

Merkhilfe z.B. x 0 = 1, 5 

Wir brauchen: f(x) = x 3 − 10, 5x 2 + 30x + 22, 5 

f ′ (x) = 3x 2 − 21x + 30 

f(1, 5) = 9 4 

( ) 21 

f ′ (1, 5) = 

4 

x 1 = x 0 − f(x 9 

0) 

f ′ (x 0 ) = 1, 5 − 4 

x 2 : f(1, 07) = −54, 425 

f ′ (1, 07) = 10, 965 

x 2 = x 1 − f(x 1) 

f ′ (x 1 ) 

21 

4 

(Taschenrechner!) 


= 15 

4 

≈ 1, 07 



−54, 425 

= 1, 07 − = 1, 0749... 

10, 965 . 

⇒ x = 1,07 ist hierbei schon ein recht passabler Wert! 

Anwendungsmöglichkeiten 

→ Nullstellen 

→ Extrema f ′ (x) = 0 

→ Wendepunkte f ′′ (x) ≤ 0 

→ Schnittpunkte f(x) = g(x) → f(x) − g(x) = 0 

usw. Die Bedingung muss immer lauten .... = 0 

AbiurCheck: Punkt 11 Analysis 




Seite 27


0.1.5.2 Funktionstermbestimmung Schema 

AbiturCheck: Punkt 10 Analysis 

f(x) = z(x) 

n(x) 

Der Term hat eine schräge Asymptote bei a(x) = 2x − 1, eine Nullstelle 

bei x = 0 und eine senkrechte Asymptote bei x=-3 

Schräge Asymtote 

f(x) = 2x − 1 + Rest 

Rest: z 1(x) 

n 1 (x) = 

f(x) = 2x − 1 + 

a 

x − (−3) 

↓ 

x = +3 senkrechte Asymptote 

a 

x+3 

Es gilt nun f(0) = 0 Nullstelle 

→ 2 · 0 − 1 + 

−1 + a 3 = 0 

a 

3 = 1 

a = 3 

a 

0 + 3 = 0 

→ f(x) = 2x − 1 + 3 

3 + x 

2. Beispiel: Der Term hat bei x = 2 eine senktechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel, 

f(x) = z(x) 

n(x) = 

den Punkt P(−2|1) und die x-Achse als waagrechte Asymptote. 

→ Zähler vom Term ist eine Zahl a 

a 

(x − 2) → f(−2) = 1 + a 

2 (−2 − 2) − 1; a 2 16 = 1 → a = 16 

⇒ f(x) = 

16 

(x − 2) 2 




Seite 28


0.1.5.3 Änderung des Funktionsterms durch Verschiebung, Dehnung, Streckung 

und Spieglung 

1. f(x) → f(x) + a 

Der Term wird in y-Richtung um a Eionheiten nach oben (a > 0) oder nach unten 

(a < 0) verschoben! 

2. f(x) → f(x + a) 

Hier wird der Graph von f um -a Einheiten in x-Richtung verschoben! 

d.h. immer entgegengesetzt zum Vorzeichen von a 

a) z.B. f(x) = x 2 → f(x + 2) = (x + 2) 2 der Graph wird um -2 in x-Richtung 

verschoben, also nach links 

b) f(x) = x 3 → f(x − 3) = (x − 3) 3 , der Graph wird um +3 Einheiten in x-Richtung 

verschoben, also nach Rechts 

3. f(x) → a · f(x) 

Hier werden alle y-Werte von f(x) mit a multipliziert! 

a) Ist a > 1 wird der Graph gestaucht, d.h. er wird enger, er wächst schneller 

b) Ist 0 < a < 1, wird der Graph gedehnt, d.h. er wird breiter, er wächst langsamer 

c) Ist −1 < a < 0 Dann gilt das gleiche wie bei b, nur zusätzlich wird der Graph an 

der x-Achse gespiegelt 

d) Ist a < −1 Dann gilt das gleiche wie bei a, nur wird der Graph auch hier an der 

x-Achse gespiegelt 

4. f(x) → f(ax) 

a) a > 1 Hier wird der Graph in x-Richtung gestaucht, also zusammengeschoben 

b) 0 < a < 1 Hier wird in x-Richtung gedehnt, d.h. auseinander-gezogen 

5. f(x) → −f(x) 

Hier werden die y-Werte vertauscht, d.h. der Graph wird an der x-Achse gespiegelt 

6. f(x) → f(−x) 

Hier werden die x-Werte vertauscht und die y-Werte beibehalten. 

Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt 

7. f(−x) = −f(x) 

das ist die Punktspiegelung am Ursprung 




Seite 29

0.2 Analytische Geometrie 0.2 Analytische Geometrie 

0.2 Analytische Geometrie 

0.2.1 Aufstellen von Geradengleichungen 

0.2.1.1 zwei Punkte A und B 

g : #» x = #» a + k · ( #» b − #» a ) 

A(1|1|1) 

B(3|2|2) ⎛ ⎞ 

1 

#» 

A = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

⎛ ⎞ 

3 

#» 

B = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

⎛ 

→ g : #» x = ⎜ 

⎝ 

1 

1 

1 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ + k · ⎜ 

⎝ 

3 − 1 

2 − 1 

2 − 1 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

1 

1 

1 

O 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ + k · ⎜ 

⎝ 

A 

#» b − 

#» a B 

#» a #» b 

# » 

AB 

⎞ 

2 

1 ⎟ 

⎠ 

1 

0.2.1.2 Punkt und Richtungsvektor 

g : #» x = #» a + k · #» u 

⎛ ⎞ 

5 

A(3|2|1); #» u = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

⎛ ⎞ 

+k·⎛ 

3 

→ g : #» x = ⎜ 2 ⎟ ⎜ 

⎝ ⎠ ⎝ 

1 

5 

1 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

O 

#» u 

A 

#» a 




Seite 30

• 



Parameterform/Normalenform 



0.2.2.1 Ebene aus drei Punkten A,B und C 

A(1|1|1); B(0|-3|2); C(0|3|5) 

E : X #» = #» a + k · ( #» b − #» a ) + l · ( #» c − #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ a ) 

1 

0 − 1 0 − 1 

= ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ −3 − 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 3 − 1 

⎝ 

1 

2 − 1 5 − 1 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 −1 −1 

= ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ −4 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

1 

4 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Voraussetzung: n · AB # » ≠ AC 

# » 

⎛ ⎞ ⎛ 

−1 

n · ⎜ −4 ⎟ 

⎝ ⎠ ≠ 

⎜ 

⎝ 

1 

E 

B 

C 

A 

−1 

2 

4 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0.2.2.2 Ebene aus Gerade und ein Punkt 

P (1|2|3) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 0 

g : #» x = ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 2 

( #» a − #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ p ⎞) 

1 0 1 − 1 

E : #» x = ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 3 − 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 2 3 − 3 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 0 0 

= ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 2 0 

Voraussetzung: P ∉ g 

#» u 

(1|3|3) 

#» P v 

g 




Seite 31




0.2.2.3 Ebene aus zwei Geraden, die parallel zueinander sind 

Voraussetzung: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 

1 

g ‖ h g : #» x = ⎜ −1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

1 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

3 −2 

h : #» x = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 −2 

1. 

#» u , 

#» v linear abhängig 

2. Bestimme zweiten Richtungsvektor 

mit einer Verbindung von g zu 

h → AB # » = #» ⎛ b − #» a ⎞ ⎛ ⎞ 

3 − 0 3 

# » 

AB = ⎜ 1 − (−1) ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 − 2 0 

⎛ ⎞ 

+k·⎛ ⎞ 

+m·⎛ ⎞ 

0 1 3 

E : #» x = ⎜ −1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

2 1 0 

1. 

#» u = n · #» 

⎛ ⎞ v ⎛ ⎞ 

1 −2 

⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ = n · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 −2 

⎫ 

1 = −2n ⎪⎬ 

1 = −2n n = − 1 2 

1 = −2n 

⎪⎭ 

2. A ∉ h oder B ∉ g 

g h 

E 

B 

A 




Seite 32

• 

• 

• 



in Koordinatenform bzw. Normalenform 

0.2.2.4 Ebene aus zwei sich schneidenden Geraden 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 

−1 


g : #» x = ⎜ −4 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · #» 

⎜ −2 ⎟ 

u ≠ n · #» 

⎛ ⎞ v ⎛ ⎞ 

⎝ ⎠ 

−1 

1 

1 

3 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ −2 ⎟ 

1 1 

⎝ ⎠ ≠ n · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

h : #» x = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · 3 

0 

⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 0 

und A ∉ h ∨ B ∉ g 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

g 

0 

−1 1 

E 

E : #» x = ⎜ −4 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

#» u 

1 

3 

0 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ A 

1 −1 1 

oder #» x = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · #» ⎜ −2 ⎟ S v 

h 

⎝ ⎠ 

B 

1 

3 

0 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−1 1 

oder #» x = #» s + k · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 

0 

s erhältst Du duch Gleichsetzen von g und h 

→ g = h → Werte für k und l → k in g oder l in h bestimmt s! 

Beachte: 

aus zwei windschiefen oder identischen Geraden kann man keine Ebene austellen 



Form: 

1. Der Normalenvektor #» n E steht senkrecht auf die Ebene E 

2. A ist ein beliebiger Punkt aus E, den wir gegeben haben müssen! 




Seite 33

• 


3. Bedingung 



E 

rechter Winkel aus dem Skalarprodukt 

#» n E 

B 

E : #» n E ◦ # » AX = 0 

A 

#» 

X − #» A 

E : #» n E ◦ ( #» X − #» A) = 0, wobei X der allgemeine Punkt in E sein soll! 

Beispiel: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

2 

# » 

AB = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ; AC # » 1 

= ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 

3 

aus dem Vektorprodukt/Kreuzprodukt erhält man #» ⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ n E ⎞ 

# » 

AB × AC # » 1 · 3 − 0 · 2 3 

1 

= ⎜ 0 · 1 − 2 · 3 ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ −6 ⎟ 

⎝ ⎠ : 3 = ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ = #» n E 

2 · 2 − 1 · 1 3 

1 

X 

C 

⎛ 

→ E : ⎜ 

⎝ 

1 

−2 

1 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ ◦ ⎜ 

⎝ 

x 1 − 1 

x 2 − 2 

x 3 − 3 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 0 → 1 · (x 1 − 1) + (−2) · (x 2 − 2) + 1 · (x 3 − 3) = 0 

→ x 1 − 1 − 2x 2 + 4 + x 3 − 3 = 0 

→ E : x 1 − 2x 2 + x 3 = 0 

Merke: 

So kannst Du jede Parameterform in die Koordinaten- bzw. Normalenform leicht 

umwandeln wenn E : #» x = k · AB # » + l · AC # » oder #» x = k · #» u + l · #» v . 

Weg: 

1. 

2. 

# » 

AB × AC # » = #» n E 

#» n E ◦ ( X #» − A) #» = 0 

3. Skalarprodukt ausmultiplieren 

4. Sortieren und zusammenfassen 

A 

B 

C 

E 




Seite 34

0.2 Analytische Geometrie 0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander 

Rückwandlung: Setze: z.B. x 1 = k ∧ x 2 = l in E 

→ k − 2l + x 3 = 0 → x 3 = −k + 2l 

x 1 = 0 + 1k + 0l 

→ x 2 = 0 + 0k + 1l 

x 3 = 0 − k + 2l 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 

1 0 

E : #» x = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 −1 2 

0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander 

0.2.4.1 Punkt/Gerade 

1. Punkt liegt ⎛ auf ⎞ g ⎛ ⎞ 

0 1 

g : #» x = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ; 

0 1 

Setze ⎛ ⎞P in⎛ 

g ein: ⎞ ⎛ ⎞ 

2 0 1 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 0 1 

Löse: 2 = 0 + k → k = 2 

3 = 1 + k → k = 2 

2 = 0 + k → k = 2 

2. Punkt liegt nicht auf Gerade 

P(2|3|2) 

⎫ 

⎪⎬ 

P ∈ g 

⎪⎭ 

g 

• 

P 

gleiches Verfahren, nur dass k Werte jetzt unterschiedlich sein werden! 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 1 

g : #» x = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ P(3|3|-3) 

⎝ ⎠ 

0 1 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

3 0 1 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−3 0 1 

⎫ 

3 = 0 + k → k = 3 ⎪⎬ 

3 = 1 + k → k = 2 P ∉ g 

−3 = 0 + k → k = −3 

⎪⎭ 

g 

P • 




Seite 35


0.2.4.2 Gerade/Gerade 

Allgemeines Lösungsverfahren 

g : #» x = #» a + k · #» u 

h : #» x = #» b + l · #» v 

ja! 

parallel 

oder identisch 

↙ 

Vergleiche zuerst immer 

die Richtungsvektoren 

Setze: #» u = m · #» v 

↘ 

nein! 

Schnittpunkt 

oder windschief 

Setze g=h 

Setze g=h 

↙ ↘ und löse das Gleichungssystem ↙ ↘ 

parallel 

identisch 

z.B. 0 = 5 z.B. 0=0 

Schnittpunkt z.B. 0 = 5 

bei eindeutiger keine 

Lösung Lösung 




Seite 36


parallel g ⎛‖ h⎞ 

⎛ ⎞ 

0 1 

g : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 2 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 −2 

h : #» x = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 −4 

g 

identisch⎛ 

g ≡⎞h 

⎛ ⎞ 

0 1 

g : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 2 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 −2 

h : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 −4 

g,h 

h 

1. 

#» u = m 

#» · #» 

⎛ ⎞ v ⎛ ⎞ 

1 

−2 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = m · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

−4 

1 = −2m m = − 1 2 ⎪⎬ 

0 = 0m geht immer m = − 1 2 

2 = −4m m = − 1 ⎪⎭ 

2 

→ parallel oder identisch 

2. ⎛Setze: ⎞g=h 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 1 1 −2 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 2 1 −4 

⎫ 

I 0 + k = 1 − 2l → k = 1 − 2l 

II 2 = 1 → Widerspruch 

III 1 + 2k = 1 − 4l 

1 + 2 · (1 − 2l) = 1 − 4l 

keine Lösung 

→ g ‖ h 

1 + 2 − 4l = 1 − 4l 

3 = 1 → Widerspruch 

#» u = m 

#» v → 

#» u = − 

1 #» 

2 v 

siehe parallel 

Setze: ⎛ ⎞g=h 

⎛ ⎞ 

0 

1 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

2 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 −2 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 −4 

I 1k = 1 − 2l in 

II 2 = 2 

III 1 + 2k = 3 − 4l 

= 

1 + 2 · (1 − 2l) = 3 − 4l 

1 + 2 − 4l = 3 − 4l 

unendlich viele Lösungen 

→ g ≡ h 

0 = 0 

allg. gültig 




Seite 37


Schnittpunkt: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 1 

g : #» x = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 3 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 0 

h : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 1 

g h 

S 

#» u ≠ m 

#» 

⎛ ⎞ v ⎛ ⎞ 

1 

0 1 ≠ 0m 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ = m · ⎜ 0 ⎟ 2 ≠ 0m ` 

⎝ ⎠ 

3 

1 3 ≠ 1m 


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

0 1 1 0 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 

⎝ 

3 3 0 1 

I k = 1 

II 0 + 2k = 2 → k = 1 in III 

III 3 + 3k = l 

3 + 3 = l l = 6 

k in g oder ⎛ l⎞ 

in h liefert ⎛ S ⎞ ⎛ 

0 

1 1 

S = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + 1 · ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 2 

⎝ 

3 

3 6 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 0 1 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + 6 · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 4 6 

S(1|2|6) 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⇔ 

windschief ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 1 

g : #» x = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 3 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 0 

h : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 1 

#» u ≠ n · #» v 

siehe bei Schnittpunkt 


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 1 1 0 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 3 0 1 

⎫ 

I 1 + k = 1 → k = 0 ⎬ 

II 0 + 2k = 2 → k = 1 ⎭ geht nicht, 

III 3 + 3k = 0 + l 

→ g und h sind windschief! 

es muss ein k-Wert sein 




Seite 38


0.2.4.3 Punkt/Ebene 

(Ausgangspunkt ist die Koordinatenform von E, da es mit ihr einfacher geht!) 

E : #» x = 2x 1 − x 2 + 1x 2 3 − 2 = 0; P 1 (1|2|3); P 2 (0|0|4) 

Setze P 1 in E 

2 · 1 − 2 + 1 · 3 − 2 = −0, 5 ⊥ 0 → P 2 1 ∉ E 

Setze P 2 in E 

2 · 0 − 0 + 1 2 · 4 − 2 = 0 → P 2 ∈ E 

0.2.4.4 Gerade/Ebene 

Lösungsschema: g : #» x = #» a + k · #» u 

a) g ‖ E Skalarprodukt E : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + d = 0 

aus #» n E und #» u 

g 

E 

b) g ∈ E „g in E“ 

g 

#» n E ◦ #» u = 0 

E 

↙ 

↘ 

nein! 

ja! 

g ∩ E = {S} g ‖ E oder g in E 

↓ ↓ ↓ 

c) g ∩ E = {S} Setze g in E Setze g in E Setze g in E 

→ S → z.B. 0=5 → 0 = 0 

genau eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen 

S 

E 

Zur Erklärung je ein Beispiel! 




Seite 39


Beispiele: 

a) Gerade ‖ ⎛Ebene 

⎞ ⎛ ⎞ 

0 1 

g : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 2 

E ⎛ : −2x ⎞ 1 + ⎛x 3 −⎞ 

2 = 0 

−2 1 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟ = −2 + 2 = 0 → parallel oder g in E 

⎝ ⎠ 

1 2 

Setze g in E ein: ⎫ 

x 1 = k 

−2k + 1 + 2k − 2 = 0 

⎪⎬ 

x 2 = 2 → 

−1 ≠ 0 

x 3 = 1 + 2k 

⎪⎭ 

→ g ‖ E 

b) Gerade in Ebene 

⎫ 

#» 

⎛ ⎞ ⎛ u 

⎞ 

0 1 

g : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ 0 ⎟ 

−2 1 

⎝ ⎠ 

1 2 

⎪⎬ #» n E ◦ #» u = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = 0 

E : −2x 1 + x 3 − 1 = 0 

1 2 

⎛ ⎞ 

−2 

→ parallel oder g in E 

#» n E = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

⎪⎭ 

Setze g in E ein 

E : −2k + 1 + 2k − 1 = 0 → 0 = 0 → g liegt in E 

g 

E 




Seite 40


c) Gerade schneidet ⎛ ⎞ die⎛ 

Ebene ⎞ in S 

0 1 

g : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 2 

E : −2x ⎛ 1 − x⎞ 

2 − 3x 3 − 5 ⎛= 0 ⎞ 

2 

1 

#» n E = ⎜ 1 ⎟ 

#» u = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

−3 

2 

windschief! 

Setze g wieder in E ein 

x 1 

−2 · (0 + k) + x 2 

x 3 

(2 + k) − 3(1 + 2k) − 5 = 0 

−2k + 2 + k − 3 + 6k − 5 = 0 

5k − 6 = 0 → k = 6 in g einsetzen 

⎛ ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

0 1 0 

g : ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + 6 · 

⎜ 

5 

1 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + ⎜ 

⎝ 

1 2 1 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

2 1 

#» n E ◦ #» u = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ = 2+1−6 = −3 ≠ 0 

⎝ ⎠ 

−3 2 

→ g∩E oder 

6 

5 

6 

5 

12 

5 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

6 

5 

16 

5 

17 

5 

⎞ 

⎟ 

⎠ → S( 6| 16| 17) 

5 5 5 

S 

E 

0.2.4.5 Ebene/Ebene 

Lösungsschema: 

Vergleiche die beiden Normalenvektoren #» n 1 und #» n 2 

k · #» n 1 = #» n 2 

a) E 1 ∩ E 2 = g b) E 1 ‖ E 2 oder c) E 1 = E 2 

E 1 

E 1 

g 

E 2 

E 1 = E 2 

E 2 




Seite 41


Beispiele: 

zu a) 

⎛ 

E 1 : x 1 − 2x 2 + x 3 − 3 = 0 

#» n E1 = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

E 2 : 2x 1 − 3x 2 − 3x 3 − 2 = 0 #» n E2 = ⎜ 

⎝ 

1 

−2 

1 

2 

−3 

−3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

#» n E1 = k · #» n E2 ? 

⎛ ⎞ ⎛ 

1 

⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ ≠ k · ⎜ 

⎝ 

1 

2 

−3 

−3 

⎞ 

⎟ 

⎠ Vorzeichen 

oder 1 = 2k → k = 1 2 

Rechnung −2 = 3k → k = 2 3 

 

1 = −3k → k = − 1 3 

→ E 1 ∩ E 2 

Lösungsweg: 

2 Gleichungen mit 3 Unbekannten lösen: 

I x 1 − 2x 2 + x 3 − 3 = 0 Eliminiere eine 

II 2x 1 − 3x 2 − 3x 3 − 2 = 0 Unbekannte, hier x 1 

2I − II 2 · I 2x 1 − 4x 2 + 2x 3 − 6 = 0 

II 2x 1 − 3x 2 − 3x 3 − 2 = 0 

−x 2 + 5x 3 − 4 = 0 Nun wähle eine Variable z.B. 

k für x 3 → x 3 = k 

−x 2 + 5k − 4 = 0 

⎫ 

x 2 = 5k − 4 ⎬ 

Setze nun das Ergebnis in 

x 3 = k ⎭ 

I oder II ein 

I x 1 − 2(5k − 4) + k − 3 = 0 Löse nach x 1 auf 

x 1 − 10k + 8 + k − 3 = 0 

x 1 = 9k − 5 

Sortieren 

⎫ Schnittgerade 

x 1 = −5 + 9k 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎪⎬ 

−5 9 

x 2 = −4 + 5k 

g : 

x 3 = 0 + 1k 

⎪⎭ 

x = ⎜ −4 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 

1 




Seite 42

0.2 Analytische Geometrie 0.2.5 Abstände 

zu b) Parallele Ebenen 

#» 

⎫ n E1 = k · #» n 

⎛ ⎞ E2 

⎛ ⎞ 

E 1 : 2x 1 − x 2 + 0, 5x 3 + 1, 5 = 0 ⎬ 2 

−6 

E 2 : −6x 1 + 3x 2 + 1, 5x 3 + 1 = 0 ⎭ 

⎜ −1 ⎟ 

⎝ ⎠ = k · ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ → k = −3 

0, 5 1, 5 

Nun multiplizieren E 1 · (−3) 

⎫ 

E 1 : 2x 1 − x 2 + 0, 5x 3 + 1, 5 = 0| · (−3) E ⎪⎬ 1 und E 2 unterscheiden 

E 1 : −6x 1 + 3x 2 − 1, 5x 3 − 4, 5 = 0 sich durch die 

E 2 : −6x 1 + 3x 2 + 1, 5x 3 + 1 = 0 

⎪⎭ Konstante +1 und -4,5 

→ E 1 ‖ E 2 

zu c) identische Ebenen 

E 1 : − 1 3 x 1 + 5 2 x 2 − 4 = 0 

E 2 : 2x 1 − 15x 2 + 2, 4x 3 + 24 = 0 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

k · #» n E1 = #» n 

⎛ ⎞ ⎛ E2 

⎞ 

− 1 2 

3 

5 

k · ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ = ⎜ −1, 5 ⎟ 

⎝ ⎠ 

− 2 +2, 4 

5 

− 1k = 2 → k = −6 

3 

5k = −1, 5 → k = −6 

2 

− 2 k = 2, 4 → k = −6 

5 

−6E 1 = E 2 ? 

E 1 : − 1 3 x 1 + 5 2 x 2 − 2 5 x 3 − 4 = 0 

→ E 1 ‖ E 2 E 1 = E 2 

| · (−6) 

E 1 : 2x 1 − 15x 2 + 2, 4x 3 + 24 → E 1 = E 2 

E 1 = E 2 

0.2.5 Abstände 

0.2.5.1 Punkt/Punkt 

A(1|3|5) 

# » 

AB = #» b − #» a = 

| AB| # » √ 

= 

⎛B(0|-3|5) 

⎞ ⎛ ⎞ 

0 − 1 −1 

⎜ −3 − 3 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ −6 ⎟ 

⎝ ⎠ 

5 − 5 0 

(−1) 2 + (−6) 2 + (0) 2 = √ 37 ≈ 6, 08 

A 

√ 

Allgemein: d(A, B) = (b 1 − a 1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 + (b 3 − a 3 ) 2 

B 




Seite 43

• 


0.2.5.2 Punkt/Gerade 

E 

g 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 1 

g : #» x = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 1 

P (3|5|2) ∉ g Voraussetzung 

• 

P 

L 

n g 

1. Hilfsebene aus Punkt #» n g = #» n E 

E H : n E ◦ ( #» x − #» a ) = 0 

n g ◦ ( #» x − #» ⎛ ⎞ ⎛p ) = 0 

1 x 1 − 3 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ x 

⎝ 2 − 5 

1 x 3 − 2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 · (x 1 − 3) + 2 · (x 2 − 5) + 1 · (x 3 − 2) = 0 

x 1 − 3 + 2x 2 − 10 + x 3 − 2 = 0 

x 1 + 2x 2 + x 3 − 15 = 0 

2. g in E h einsetzen und nach l auflösen 

g : x 1 = 1 + l 

in E (1 + l) + 2(2l) + l − 15 = 0 

x 2 = 0 + 2l 

→ 6l = 14; l = 7 3 

x 3 = 0 + l 

3. l in g einsetzen ⎛ ⎞ → ⎛Lotfußpunkt ⎞ ⎛ L ⎞ 

1 1 

# » 

OL = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + 7 · 

⎜ 

3 

2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ → L( 10| 14| 7) 

3 3 3 

0 1 

4. Bestimme den Betrag von | LP # » | = d(P, g) ⇒ LP # » = ( P #» − L) 

#» 

| LP # » | = √ (− 1 3 )2 + ( 1 3 )2 + (− 1 3 )2 = √ 3 

= √ 3 

≈ 0, 58 LE 

9 3 

10 

3 

14 

3 

7 

3 




Seite 44

• 

• 

• 

• 


0.2.5.3 Gerade/Gerade 

1. parallele Geraden 

A 

⎛ ⎞ 

1 

g : #» x = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + 

0 

⎛ ⎞ 

0 

h : #» x = ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ + 

5 

⎫ 

A ∉ h ⎬ 

#» 

⎛ u 

⎞ 

1 

l ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

⎛ ⎞ 

−2 

k ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−2 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

#» u = k · #» 

⎞ ⎛ ⎞ v 

1 −2 

1 ⎟ 

⎠ = k · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ → k = − 1 2 

1 −2 

Prüfung durch Einsetzen von A in h oder B in g und Auflösen 

B ∉ g ⎭ nach k bzw. l! Für l bzw. k werden keine gleichen Werte rauskommen 

g 

#» u 

A 

d d d h 

#» v 

B 

Wähle z.B. A und h und bestimme den Abstand von A zu h nach Anleitung 2. 

Abstand Punkt/Gerade, denn jeder Punkt hat von h den gleichen Abstand, g ‖ h 

ist! Du kannst natürlich auch B und g verwenden! 

2. zwei windschiefe Geraden 


g : #» a + k · #» u 

h : #» b + l · #» v 

E 

1. #» u ≠ k · #» v 

2.g = h ergibt keinen Schnittpunkt! 

h 

#» u × 

#» v = nE 

g 

A r 




Seite 45

• 


a) Bestimme #» u × #» v , ein Vektor, der auf g und h senkrecht steht 

b) Bestimme die Hilfsebene in Hesseform: 

∣ 

∣ ( u #» × #» v )◦( #» x − #» a ) 

| u #» |·| #» | 

v | 

c) Setze B in die Ebene, das ist der Abstand d(g, h) 

d(g, h) = ∣ 

∣ ( u #» × #» v )◦( #» b − #» a ) 

| u #» |·| #» | 

v | 

Beachte: 

Zwei sich schneidende und identische Geraden haben natürlich keinen Abstand! 

0.2.5.4 Punkt/Ebene 

E : 1x 1 + 2x 2 − 2x 3 − 3 = 0 P (1|2| − 3) 

• 

Bestimme die Hesseform ∣ von E 

E H : 

∣ x 1+2x 2 −2x 3 −3 ∣∣∣ 

= ∣ ∣ 

x 1 +2x 2 −2x 3 −3 

∣ 

√1 2 +2 2 +(−2) 2 3 

P in E ∣ 1+2·2−2·(−3)−3 

∣ ∣ = 8 ≈ 2, 67 

3 

3 

Beachte: E : x 1 + 2x 2 − 2x 3 + 3 → x 1+2x 2 −2x 3 +3 

- 

P in E ∣ 1+2·2−2·(−3)+3 

∣ ∣ = ∣ −3 ∣ 

14 

∣ = 14 ≈ 4, 67 

−3 3 

√1 = x 1−2x 2 −2x 3 +3 

2 +2 2 +(−2) 2 −3 


Voraussetzung: Die Ebenen müssen parallel ⎛ sein! ⎞ ⎫ 

1 

E 1 : x 1 + 2x 2 − x 3 − 3 = 0 

#» n E1 = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−1 

⎪⎬ 

⎛ ⎞ − 2 #» n E1 = #» n E2 

−2 

E 2 : −2x 1 − 4x 2 + 2x 3 + 5 = 0 #» n E2 = ⎜ −4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

⎪⎭ 

Wähle einen Punkt von E 1 ausserdem −2 · (−3) ≠ 5 

→ parallel 




Seite 46

• 

• 


z.B. x 1 = 0; x 2 = 0 

→ −x 3 − 3 = 0; x 3 = −3 Wenn: k · E 1 = E 2 → E 1 ≡ E 2 

P(0|0|-3) 

Nun verfahre wie 0.2.5.4 Punkt/Ebene 

→ Hesseform von E 2 

→ P in E H2 einsetzen 

0.2.5.6 Gerade/Ebene 

Voraussetzung: g ‖ E ⎛ 

1 

g : #» x = #» a + k · #» u ⎜ 0 

⎝ 

0 

E : x 1 + x 2 + 2x 3 − 3 = 0 

⎞ ⎛ 

−1 

⎟ 

⎠ + k · ⎜ −1 

⎝ 

2 

⎛ 

1 

#» n E = ⎜ 1 

⎝ 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Wenn: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−1 1 

1. 

#» n g ◦ #» n E = 0, dann ⎜ −1 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ = −1 − 1 + 2 = 0 

2 1 

2. A liegt nicht in E 

1 + 0 + 2 · 0 − 3 ≠ 0 

−2 ≠ 0 → g ‖ zu E 

→ Bestimme Hesseform von E 

→ Setze A in E H ein d(g, E) 




Seite 47

0.2 Analytische Geometrie 0.2.6 Schnittwinkel 

0.2.6 Schnittwinkel 

0.2.6.1 Gerade mit Gerade 

Voraussetzung: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 1 

g : #» x = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ → #» u 

2 1 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 0 

h : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ → #» v 

3 2 

Merke: Der Schnittpunkt ist immer der spitze Winkel! 

S 

• 

α 

g 

#» u 

#» v 

h 

α 

α α′ α ′ 

Die beiden Schnittwinkel α und α ′ sind 

zusammen 180 ◦ → α + α ′ = 180 ◦ 

Bekommst du durch Rechnung ⎛ den ⎞ ⎛stumpfen ⎞ ∢α ′ machst du ∢α = 180 ◦ − ∢α ′ 

1 0 

⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

u 

Formel: cos α = 

#» ◦ #» v 

| u #» |·| #» = 1 2 

√ 

v | 1 2 +1 2 +1 2·√0 = 1·0+1·1+1·2 √ 2 +1 2 +2 3·√ 2 5 

cos α = √ 3 

15 

(SHIFT cos) 

→ ∢α = 39, 23 ◦ 

0.2.6.2 Gerade mit Ebene 

E : ⎛x 1 + ⎞2x 2 − 5x ⎛ 3 + ⎞5 = 0 

0 1 

g : ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 1 

) 

ϕ ′ ( 1 

2 

−5 

#» n E 

E 

Schnittwinkel 

P 

∢ϕ ′ = 90 ◦ − ϕ ′ 

∣ 

| n #» E |·| n #» g| 

→ cos(ϕ ′ ) = ∣ ∣ ∣ 

#» n E ◦ #» n g 

Merke: cos(90 ◦ − ϕ) = sin(ϕ) 

∣ = cos(90 ◦ − ϕ) 




Seite 48

• 

• 

0.2 Analytische Geometrie 0.2.6 Schnittwinkel 

∣ 

→ sin(ϕ) = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

n 

∣ #» E ◦ n #» g 

| n #» E |·| n #» ∣ g| 

= 

∣ 

⎞ ⎛ ⎞∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 

1 1 

2 ⎟ 

⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−5 1 

√ 

5·√ 

3 

= 

∣ 1+2−5 

√ 

15 

∣ ∣∣ = 

∣ ∣∣ −2 √ 

15 

∣ ∣∣ ⇒ ϕ=30,09 

◦ 

0.2.6.3 zwischen zwei Vektoren 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

#» 

0 

#» a = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ , #» 2 

α b 

b = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

5 

#» a 

∣⎛ 

⎞ ⎛ ⎞∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 

0 2 

⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠· 

⎝ ⎠ 

#» #» 

cos α = 

a ◦ b 

∣ | #» a |·| #» b | ∣ = 2 5 

√ 

4·√ 

30 

= √ 10 

120 

⇒ ∢α = 24, 09 ◦ 


| n #» E |·| n #» ∣ 

F | 

cos α = ∣ #» 

∣ 

n E ◦ n #» F 

#» n F 

F 

E 

E : x 1 + 2x 2 − 3x 3 − 5 = 0 

F : −2x ⎛ 1 − x⎞ 

2 + x 3 − 3 = 0 ⎛ 

1 

#» n E = ⎜ 2 ⎟ 

#» n ⎝ ⎠ 

F = ⎜ 

⎝ 

−3 

−2 

−1 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 




Seite 49

0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 −2 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ −1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−3 1 

∣ → cos α √ 

14·√ 

6 

= ∣ √ −7 ∣∣ 

84 

→ α = 40, 2 ◦ 

0.2.7 Formeln Oberstufe 

0.2.7.1 Skalarprodukt(Standard!) 

⎛ 

#» #» a ◦ b = ⎜ 

⎝ 

⎞ ⎛ ⎞ 

a 1 b 1 

a 2 ⎟ 

⎠ ◦ ⎜ b 

⎝ 2 ⎟ 

a 3 b 3 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 −3 

⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ −5 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

−1 

⎠ = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + a 3 · b 3 

= 1 · (−3) + 1 · (−5) + 2 · (−1) = −10 

Verwendung: #» a ⊥ #» b 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 −3 

1. 

#» #» a ◦ b = 0 ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ = −3 + 0 · 3 + (−3) · (−1) = 0 → #» a ⊥ #» b 

−3 −1 

#» b 

• 

#» a 

d.h. wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen zwei Vektoren, hier #» a und #» b aufeinander 

senkrecht!(weil cos α = 

#» a ◦ #» b 

| #» a |·| #» = 0, wegen cos b | 90◦ = 0!!) 

2. Winkel ziwschen zwei Vektoren 

b 

α #» a 

cos α = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

#» a ◦ #» b 

| #» a |·| #» = b | 

3. √ #» a · #» a = | 

#» a | 

⎞ ⎛ ⎞ 

1 0 

1 ⎟ 

⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 2 

√ 

3·√ 

5 

= √ 3 

15 

→ α = 39, 23 ◦ 




Seite 50

• 

• 


⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

2 

3 

⎞ ⎛ ⎞ 

1 

⎟ 

⎠ ◦ ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ = 1 + 4 + 9 = 14 

3 

√ 

14 = | 

#» a | 

Analog: #» a = √ 1 2 + 2 2 + 3 2 = √ 14 

4. Mittelpunkt zwischen zwei ⎛Punkten ⎞ A und⎛B 

⎞ 

#» 

M = 1( A #» + B) 

#» 2 

1 

2 

#» 

#» 

A = ⎜ 1 ⎟ B = ⎜ −3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ 

1 

−5 

1 + 2 

#» 

M = 1 ⎜ 

2 

1 − 3 ⎟ ⇒ M(1, 5| − 1| − 2) 

⎝ ⎠ 

1 − 5 

⎛ ⎞ 

Schwerpunkt: S #» = 1( A+ #» B+ #» C) 

#» 3 

−3 

#» 

C = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ 

5 

im Dreieck: S #» 0 

= 1 ⎜ 

3 

−2 ⎟ 

⎝ ⎠ ⇒ S(0| − 2| 1) 

3 3 

1 

#» 

S = 1 3 

⎛⎛ 

⎜⎜ 

⎝⎝ 

1 

1 

1 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ + ⎜ 

⎝ 

2 

−3 

−2 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ + ⎜ 

⎝ 

−3 

0 

5 

⎞⎞ 

⎟⎟ 

⎠⎠ 

0.2.7.2 Vektor-/Kreuzprodukt 

⎛ 

#» n = 

#» #» a × b = ⎜ 

⎝ 

Einfache ⎛ Formel: ⎞ 

a 2 b 3 − a 3 b 2 

⎜ a 

⎝ 3 b 1 − a 1 b 3 ⎟ 

⎠ 

a 1 b 2 − a 2 b 1 

⎞ ⎛ ⎞ 

a 1 b 1 

a 2 ⎟ 

⎠ × ⎜ b 

⎝ 2 ⎟ 

⎠ 

a 3 b 3 

Aussage: #» n steht auf #» a und #» b senkrecht! 

#» n 

ϕ 

#» a 

#» b 

#» n ⊥ 

#» a und 

#» n ⊥ 

#» b 

Es gilt auch: #» n = #» a × #» b = | #» a | ◦ | #» b | · sin ϕ 




Seite 51

• 

• 


Anwendungen 

1. 

A D = 1 2 | # » AB × # » AC| = 1 2 | # » AB|◦| # » AC|·sin ϕ 

A B 

2. V Prisma = | AB # » ◦ ( AC # » × AD)| # » = | AD # » ◦ ( AB # » × AC)| # » = | AC # » ◦ ( AB # » × AD)| 

# » 

ϕ 

C 

A=Fläche Dreieck 

D 

D 

A 

C 

B 

Quader 

(lauter Rechtecke als Flächen) 

3. V Pyramide 

1 

|( AB # » × AC) # » ◦ AD| 

# » 

3 

D 

A 

C 

B 

Spat 

(lauter Parallelogramme als Flächen) 

1 

|( AD # » × AC) # » ◦ AD| 

# » 

6 

A 

C 

# » 

AC × AC 

# » 

Grundfläche ist ein Parallelogramm 

4. Aufstellen der Normalenform der Ebene 

B 

Grundfläche ist ein Dreieck 

[ 1 |( AB # » × AC) # » ◦ AD| # » ] 

2 

1 

3 

Wenn die Parameterform der Ebene gegeben ist erlaubt das Kreuzprodukt die einfach 

Umwandlung in die Normalenform: 

E : ( AB # » × AC) # » ◦ ( X #» − A) #» = 0 → Vektorform 

#» n E 

→ #» n E ◦ ( #» x − #» ⎛ ⎞ ⎛ a ) = 0⎞ 

n 1 x ⎜ n 

⎝ 2 ⎟ 

⎠ ◦ 1 − a 1 

⎜ x 

⎝ 2 − a 2 ⎟ 

⎠ = 0 

n 3 x 3 − a 3 

n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 0 = 0 

n 0 = −(x 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ) 

A 

C 

B 




Seite 52

• 


Anwendung siehe Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen-Umwandeln 

in Normalenform 

5. Aufstellen der Parameterform der Ebene 

E : #» x = #» a + k · ( #» b − #» a ) + l · ( #» c − #» a ) 

Geg.: Punkte A,B,C; siehe unter Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen 

6. Hesseform der Ebene/Abstand von P zu E! 

(Mehr unter Kapitel Abstände) 

Beispiele: 

a) 2x 1 −⎛ 

x 2 − 2x ⎞ 3 -4 = 0 

2 

#» n = ⎜ −1 ⎟ 

⎝ ⎠ → | #» n| = √ 9 = 3 

2 

→ E H = 1(2x 3 1 − x 2 − 2x 3 − 4) = 0 

P (1|2|3) → d PE = | 1 3 (2 · 1 − 2 − 2 · 3 − 4)| = 1 3 | − 10| = | − 10 3 | = 10 3 

≈ 2, 67 

b) 2x 1 + x 2 + 2x 3 +5 = 0 | #» n| = 3 

Beachte: ist n 0 > 0 musst Du immer ein Minus setzen! 

E H = - 1 3 (2x 1 + x 2 + 2x 3 + 5) = 0 

P (1|2|3) → d PE = | − 1(2 + 2 + 6 + 5)| = | − 1 (15)| = | − 5| = 5 

3 3 

7. Die Kugelgleichung 

#» 

m 

#» 

M 

#» r 

#» x 

Axialschnitt 

O 

#» x = 

#» m + 

#» r 

#» r = 

#» x − 

#» m 




Seite 53


⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ ⎛ 

r 1 

r 2 ⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

r 3 

⎞ 

x 1 − m 1 

x 2 − m 2 ⎟ 

⎠ 

x 3 − m 3 

(r 2 1 + r 2 2 + r 2 3) = (x 1 − m 1 ) 2 + (x 2 − m 2 ) 2 + (x 3 − m 3 ) 2 

r 2 = (x 1 − m 1 ) 2 + (x 2 − m 2 ) 2 + (x 3 − m 3 ) 2 

8. Tangentialebene (Berührebene durch P) 

#» n E 

P 

E T 

P(1|2|5) 

• 

M 

M(0|1|1) 

9. Schnittpunkt Kugel/Gerade 

⎛ ⎞ 

1 

# » 

MP = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

4 

a) # » MP ⊥ E → # » MP = #» n E 

b) P ∈ E 

c) #» n E ◦ ( #» x − #» a ) = 0 Normalenform 

# » 

MP ◦ ( X #» − P #» ⎛ ⎞ ⎛ ) = 0⎞ 

1 x 1 − 1 

⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ x 

⎝ 2 − 2 ⎟ 

⎠ = 0 

4 x 3 − 5 

E T = x 1 + x 2 + 4x 3 − 1 − 2 − 20 = 0 

x 1 + x 2 + 4x 3 − 23 = 0 

kein Schnittpunkt-Passante 

S 1 S 2 

2 Schnittpunkte-Sekante 

1 Schnittpunkt-Tangente 

⎡ ⎛ ⎞⎤2 

⎛ 

0 

K : ⎢ 

#» x − ⎜ 3 ⎟⎥ 

= 5 g : #» x = ⎜ 

⎣ ⎝ ⎠⎦ 

⎝ 

4 

→ g in E 

⎡⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤2 

1 0 0 

⎢⎜ 

2 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ + k · ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ − ⎜ 3 ⎟⎥ 

= 5 

⎝ ⎠⎦ 

2 4 4 

1 

2 

2 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ + k · ⎜ 

⎝ 

0 

3 

4 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

g ∩ E 




Seite 54

• 


⎡⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎤2 

1 

0 

⎢⎜ 

−1 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ + k · ⎜ 3 ⎟⎥ 

⎝ ⎠⎦ 

−2 4 

(1 + 0k) 2 + (−1 + 3k) 2 + (−2 + 4k) 2 = 25 

1 + 1 − 6k + 9k 2 + 4 − 16k + 16k 2 = 25 

25k 2 − 22k + 6 − 25 = 0 

25k 2 − 22k − 19 = 0 

√ 

D>0 

k 1,2 = 22± (−22) 2 −4·25·(−19) 

= 22±√ 2384 

= 11±2·√149 

2·25 50 25 

k 1 = 11+2·√149 

25 

≈ 1, 42 

k 2 = 11−2·√149 

25 

≈ −0, 75 

⎫ 

⎬ 

Die Gerade is Sekante 

⎭ 

Wenn: k 1 = k 2 ⇒ ein Wert g ist Tangente 

D=0 

Wenn: D < 0 ⇒ g ist Passante 

Wenn Du die Werte für k 1 = . . . und k 2 = . . . in die Geradengleichung einsetzt 

erhältst Du die Schnittpunkte S 1 und S 2 

10. Schnittpunkt Ebene/Kugel → Schnittebene 

a) Die Tangentialebene (siehe Tangentialebene) 

Wenn die Gerade und die Kugel einen Schnittpunkt haben, folgt eine Tangentialebene 

E T 

S 

b) Schnittebene 

Wenn die Gerade und die Kugel zwei Schnittpunkte haben, folgen auch zwei 

Tangentialebenen 

g geht durch M 

Berechnung siehe Tangentialebene 




Seite 55

• 

• 


E T1 

E T2 

S 1 

M • S 2 

c) Wenn die Gerade g nicht durch M geht und d


E : 0 · (x 1 + 1) + 3x 2 + 15 − 2x 3 + 14 = 0 

E : 3x 2 − 2x 3 + 29 = 0 

d ME 

→ Hesseform aufstellen und M einsetzen! 

E H : − √ 1 

13 

(3x 2 − 2x 3 + 29) = 0 

∣ 

d ME = ∣− √ 1 

13 

(3 · 3 − ·5 + 29) ∣ = 

M(0|3|5) 

√ 

13 · 28∣ = 

∣ 

∣− 1 

∣ 

∣− 28 √ 

13 

∣ ∣∣ = 

28 √ 

13 

≈ 7, 76 = d 

Nun brauchen wir noch den Schnittkreisradius P 

Da hilft uns Pythagoras: 

d 

r 

p 

Es gilt: r 2 = d 2 + p 2 

→ 8 2 − 7, 76 2 ⇒ p ≈ 1, 94 

d.h. der Radius des Schnittkreises beträgt in etwa 2cm! 

Wichtig: 

Wenn: d = r → Tangentenebene 

Wenn: d > r → keine Schnittebene, kein Schnittkreis 

Wenn: d < r → Beispiel c) 

11. Winkelhalbierende ⎛ ⎞ Geraden ⎛ ⎞ 

7 

3 

g : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

12 4 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

3 

1 

h : #» x = ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ + l · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

8 

2 

h 

g 

w 2 

#» n 0 

w 1 

#» v o 




Seite 57


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

3 

3 

a) Bestimme: #» 1 

n 0 = √ 

3 

· ⎜ 0 ⎟ 

2 +0 2 +4 2 ⎝ ⎠ = √ 1 

25 · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = 1 · 

⎜ 

5 ⎝ 

4 

4 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 

1 

und #» 1 

v 0 = √1 · 

⎜ −2 ⎟ 

2 +(−2) 2 +2 2 ⎝ ⎠ = 1 · 

⎜ 

3 

−2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

2 

3 

0 

4 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

S 

#» 

#» n v 0 

0 

#» v 0 

#» n 0 

− #» v 0 

b) #» w 1 : #» x = #» s + ( #» n 0 + #» v 0 ) · m 

#» 

w 2 : #» x = #» s + ( #» n 0 − #» v 0 ) · n 

#» 

S = g ∩ h Berechnung siehe Lage Gerade/Gerade hier S(1|2|4) 

⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 

1 

3 

1 

c) i. → w #» 1 = #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + 1 

⎢ 

⎣ · 

⎜ 

5 

0 ⎟ 

⎝ ⎠ + 1 · 

⎜ 

3 

−2 ⎟⎥ 

⎝ ⎠⎦ · m 

4 

4 

2 

⎛ ⎞ ⎡ ⎛⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎞⎤ 

1 

9 5 

= ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + 1 

⎢ ⎜⎜ 

⎣ 15 

0 ⎟ 

⎝⎝ 

⎠ + ⎜ −10 ⎟⎟⎥ 

⎝ ⎠⎠⎦ · m HN 15 erweitert! 

4 

12 10 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

1 

14 

7 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + m · ⎜ −10 ⎟ 

⎝ ⎠ · 1 → | · 15 | : 1 → ⎜ 

15 

−5 ⎟ 

⎝ ⎠ 

4 

22 

11 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 

7 

→ w 1 : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + m · ⎜ −5 ⎟ 

⎝ ⎠ 

4 

11 

ii. Analog bestimmen wir w 2 

w 

#» 

2 = S #» + ( #» n 0 − #» ⎛ ⎞ ⎡v 0 ) · ⎛n 

1 

3 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + 1 

⎢ 

⎣ · 

⎜ 

5 

0 

⎝ 

4 

4 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ − 1 · 

⎜ 

3 ⎝ 

1 

−2 

2 

⎞⎤ 

⎟⎥ 

⎠⎦ · n 




Seite 58

• 

• 


⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 

1 

9 

5 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + 1 

⎢ 

⎣ · 

⎜ 

15 

0 ⎟ 

⎝ ⎠ − 1 · 

⎜ 

15 

−10 ⎟⎥ 

⎝ ⎠⎦ · n 

4 

12 

10 

⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤ 

⎛ ⎞ ⎛ 

1 

4 

1 

2 ⎟ 

⎠ + n · 1 

⎢ 

⎣ · 

⎜ 

15 

10 ⎟⎥ 

⎝ ⎠⎦ ⇒ w 2 : #» x = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ + n · ⎜ 

⎝ 

4 

2 

4 

12. Winkelhalbierende Ebenen 

E : −2x 1 − 4x 2 − 4x 3 + 6 = 0 

F : x 1 − x 2 + 1x 2 3 + 3 = 0 

F w 1 

X E 

2 

5 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(d(E; X))(d(F ; X)) 

w 2 

1.Fall X ist ein beliebiger Punkt w 1 bzw. w 2 

E H : − 1(−2x 6 1 − 4x 2 − 4x 3 + 6) = 0 

F H : − 1(1x 3 1 − x 2 + 1x 2 3 + 3) 

− 2(x 3 1 − x 2 + 1x 2 3 + 3) = 0 

→ − 1(−2x 6 1 − 4x 2 − 4x 3 + 6) = − 2(x 3 1 − x 2 + 1 + 3)| · (−6) 

2 

−2x 1 − 4x 2 − x 3 + 6 = 4(x 1 − x 2 + 1x 2 3 + 3) 

w 1 : −6x 1 + 2x 3 − 6 = 0 

2.Fall 

E H = −F H ∨ −E H = F H 

− 1 6 (−2x 1 − 4x 2 − x 3 + 6) = −(− 2 3 )(x +x 2 + 1 2 x 3 + 3)| · (−6) 

−2x 1 − 4x 2 − 4x 3 + 6 = −4(x 1 + x 2 + 1 2 x 3 + 3) 

w 2 : −2x 1 − 2x 3 + 18 = 0 




Seite 59

0.3 Stochastik 0.3 Stochastik 

0.3 Stochastik 

0.3.1 Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse 

(Schnittmengen/ Vereinigunsmengen/ Unvereinbarkeit/ Unabhängigkeit) 

A A 

P (B) P (A ∩ B) P (A ∩ B) B 

P (B) P (A ∩ B) P (A ∩ B) B 

P (A) P (A) 1 

MERKE: 

P (A) = 1 − P (A) 

P (B) = 1 − P (B) 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 

. 

usw. 

Ist P (A ∩ B) = 0 → A und B sind unvereinbar! 

→ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 

Unabhängigkeit: 

Es gilt: P (A) · P (B) = P (A ∩ B) aus der Vierfeldertafel alles 

bestimmen und vergleichen, ob die Gleichung stimmt. 

Gilt: P (A) · P (B) ≠ P (A ∩ B) sind die Ereignisse abhängig! 

0.3.2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit 

Es gelten die Formeln: P A (B) = 

P (A ∩ B) 

P (A) 

↔ P (A ∩ B) = P A (B) · P (A) 

P (A ∩ B) 

P B (A) = ↔ P (A ∩ B) = P B (A) · P (B) 

P (B) 

—————– usw. —————– 

1. Aus der Vierfeldertafel kannst Du alle Wahrscheinlichkeiten verwenden, um die bedingten 

Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. 

2. Sind bedingte Wahrscheinlichkeiten gegeben kannst Du Wahrscheinlichkeiten für 

die Vierfeldertafel berechnen. 




Seite 60

0.3 Stochastik 0.3.3 Das Baumdiagramm und seine Wahrscheinlichkeiten 

0.3.3 Das Baumdiagramm und seine Wahrscheinlichkeiten 

a) Start mit Ereignis A 

P A (B) 

B 

P (A ∩ B) = P (A) · P A (B) 

P (A) 

A 

P A (B) 

B 

P (A ∩ B) = P (A) · P A (B) 

o 

P (A) 

P A(B) 

B 

P (A ∩ B) = P (A) · P A 

(B) 

A 

P A 

B 

B 

P (A ∩ B) = P (A) · P A 

(B) 

b) Start mit Ereignis B 

P B (A) 

A 

P (A ∩ B) = P (B) · P B (A) 

P (B) 

B 

P B (A) 

A 

P (A ∩ B) = P (B) · P B (A) 

o 

P (B) 

P B(A) 

A 

P (A ∩ B) = P (B) · P B 

(A) 

B 

P B 

A 

A 

P (A ∩ B) = P (B) · P B 

(A) 




Seite 61

0.3 Stochastik 0.3.4 Erwartungswert / Varianz / Standardabweichung 

0.3.4 Erwartungswert / Varianz / Standardabweichung 

0.3.5 einer Zufallsgröße 

Ein Glücksrad hat vier Sektoren, die mit den Ziffern 1 bis 4 beschriftet sind. Jede Ziffer 

erscheint mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Das Glücksrad werde zweimal gedreht. Die 

Zufallsgröße Z gebe die Summe der beiden Ziffern an. 

Bestimme aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z die Maßzahlen E(Z), Var(z) und 

σ(Z) 

Lösung: 

Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt: 

Z 2 3 4 5 6 7 8 

1 2 3 4 3 2 1 

P(Z=z) 

16 16 16 16 16 16 16 

E(Z) = 2 · 

V ar(Z) = (2 − 5) 2 · 

1 

16 + 3 · 2 

16 + 4 · 3 

16 + 5 · 4 

16 + 6 · 3 

16 + 7 · 2 

16 + 8 · 1 

16 = 5 

+(7 − 5) 2 · 

1 

16 + (3 − 5)2 · 

2 

16 + (4 − 5)2 · 

2 

16 + (8 − 1 

5)2 · 

16 = 2, 5 

3 

16 + (5 − 5)2 · 

4 

16 + (6 − 5)2 · 

3 

16 + 

oder mit dem Verschiebungssatz: 

V ar(Z) = 2 2 · 

1 

16 + 32 · 

2 

16 + 42 · 

3 

16 + 52 · 

4 

16 + 62 · 

3 

16 + 72 · 

2 

16 + 82 · 

1 

16 = 2, 5 

σ(Z) = 

√ 

V ar(Z) = 1, 58 

Standardabweichung 

0.3.5.1 bei einer binomialverteilten Zufallsgröße 

Das gleiche Glücksrad wird nun 100 mal gedreht und wir wollen den Erwartungswert für 

die Augensumme 2 bestimmen. 

µ = E(x) = n · p n = 100 p = 1 4 

(Bei einmaligem Drehen) 

E(X) = 100 · 1 

4 

= 25 ,d.h. bei 100 Würfen erwarten wir 25 mal die Augensumme 2 




Seite 62

0.3 Stochastik 0.3.5 einer Zufallsgröße 

V ar(x) = n · p · q n = 100 p = 1 4 

q = 3 4 

σ(x) = √ n · p · q = 

→ 100 · 1 

4 · 3 

4 = 300 

16 = 75 

4 → Varianz! 

√ 

75 

4 = 5√ 3 

2 

≈ 4, 33 

→ Standardabweichung! 

Die Standardabweichung [µ − σ; µ + σ] = [25 − 4, 33; 25 + 4, 33] 

um den Erwartungswert beträgt: [20, 67; 29, 33] 




Seite 63

n! 

0.3 Stochastik 0.3.6 Grundformeln der Kombinatorik n!; ; ( ) 

n 

n−k k ; n 

k 

n! 

0.3.6 Grundformeln der Kombinatorik n!; 

n−k ; ( ) 

n 

k ; n 

k 

1. Mit Reihenfolge, mit Wiederholung: n k 

Ein Würfel wird 5x geworfen, wie groß ist Ω ? (Wie viele Möglichkeiten gibt es) 

n = 6 k = 5 → 6 5 = 7776 

2. Mit Reihenfolge, ohne Wiederholung: 

n! 

(n − k)! 

Aus einer Urne mit 10 Kugeln (nummeriert von 1 - 10), werden nacheinander 5 

Kugeln ohne Zurücklegen (Mit Zurücklegen) gezogen. Wie viele Möglichkeiten gibt 

es dafür? (Ω) 

a) → n = 10, k = 5 

10! 

(10 − 5)! ⇒ 10 · 9 · 8 · 7 · 6 

} {{ } = 30240 

(TR: 10 Shift nPr 5) k = 5 

mit Zurücklegen wären es: n k = 10 5 = 100.000 

b) → n = 10 k = 10 

Man zieht alle Zehn Kugeln ohne Zurücklegen → n! = 10! 

n! 

denn es gilt 

(n − k)! = n! k = n 

3. Ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung 

Aus einer Urne mit 10 Kugeln werden 5 gleiche Kugeln ohne Nummern gezogen 

(nacheinander !!!) 

→ Reihenfolge kann nicht beachtet werden 

→ 

n! 

(n − k) · k! ist die Lösung 10! 

(10 − 5) · 5! = 252 

= 

( n 

Diese Formel nennt man auch den Binomialkoeffizenten! 

k) 

1. Ein Zahlenschloss mit 5 Stellen wird gedreht 1○ 3○ 7○ 8○ 6○ 

Wie viele Möglichkeiten gibt es ? n k n = 10 k = 5 

→ 10 5 = 100000 




Seite 64

n! 

0.3 Stochastik 0.3.6 Grundformeln der Kombinatorik n!; ; ( ) 

n 

n−k k ; n 

k 

2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf? 

1. Stelle: 10 2. Stelle 9 ... 

( ) 

10! 

10 · 9 · 8 · 7 · 6 oder 

(10 − 5)! = 30240 n! 

(n − k)! 

3. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Reihenfolge zusätzlich nicht beachtet wird? 

⎫ 

3 5 7 6 2 

3 6 2 5 7 

5 3 6 7 2 

6 3 5 7 2 

6 3 5 2 7 

—————- usw. —————- 

→ 10! 

( ) ( 10 

n 

(10 − 5)! : 5! oder = 252 = 

5 

k) 

⎪⎬ 

5! ist nur 1 Lösung 

⎪⎭ 

Das ist die häufigste verwendete Formel ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen! 

Fakultät: 

10 Leute stellen sich in einer Reihe auf. Wie viele Möglichkeiten gibt es? 

10 · 9 · 8 · ... · 1 = 10! = 3.628.800 

↙ ↘ 

1. Person 2. Person 3. Peron ... 

10 Möglichkeiten 9 Möglichkeiten 8 Möglichkeiten ... 




Seite 65

0.3 Stochastik 0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete Formel) 

0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete 

Formel) 

0.3.7.1 Binomialverteilung 

1. Bedingung: die Wahrscheinlichkeit p bleibt immer gleich 

z.B. Würfeln Augensumme 6 → p = 1 6 

2. Der Vorgang wird n-mal wiederholt 

z.B. 100x Würfeln 

3. Festlegung wie oft das Ereignis eintritt (wie viele Treffer es gibt) 

x = k z.B. 11x „sechs gewürfelt “→ x = 11 

4. Formel: P (x = k) = ( ) 

n 

k · pk · (1 − p) n−k 

Beweis: n = 100 p = 1 k = 11 

6 

Einsetzten: 

( ) 100 

· 

11 

( 1 

6 

) 11·( 

1 − 1 6) 100−11 

= 

( ) ( ) ( ) 100 1 5 89 

· 

11· = 0, 035023537 

11 6 6 

≈ 3, 5% 

Diese Formel ist nur für genau k Treffer zu verwenden. Sobald es mehr, mindestens, 

höchstens oder weniger Treffer sind, musst Du die Bernoulli-Kette verwenden. 

0.3.7.2 Beispiele Bernoullikette (immer Tafelwerk kumulativ verwenden!) 

zum Beispiel: n = 100 p = 1 ; Würfeln einer sechs 

6 

1. Höchstens 10 mal eine sechs x ≦ k → x ≦ 10 

Pp n (x ≦ k) → P 100 1 

6 

(x ≦ 10) = P 100 1 

6 

(x = 0) + P 100 1 

6 

(x = 1) + ... + P 100 1 (x = 10) 

6 

↓ ↓ bis ↓ 

Tabbelenwerk Kumulativ 0 Treffer 1 Treffer → 10 Treffer 

P 100 1 (x ≦ 10) = 0, 04270 ≈ 4, 3% 

6 




Seite 66


2. Mindestens 10 mal eine sechs x ≧ k → x ≧ 10 

Pp n (x ≧ k) → P 100 1 (x ≧ 10) Achtung: Kumulative Tabelle! 

6 

x ≧ k festgelegt! 

→ P n p (x ≧ k) = 1 − P n p (x ≦ k − 1) 

Hier: P 100 1 

6 

(x ≧ 10) = 1 − P 100 1 (x ≦ 9) = 1 − 0, 02129 = 0, 97871 ≈ 97, 9% 

6 

3. Mehr als 10 mal eine sechs x > k → x > 10 

P n p (x > k) = 1 − P n p (x ≦ k) 

Hier: P 100 1 

6 

(x > 10) = 1 − P 100 1 (x ≦ 10) = 1 − 0, 04270 = 0, 9573 ≈ 95, 7% 

6 

4. Weniger als 10 Mal eine sechs x < k → x < 10 

P n p (x < k) = P n p (x ≦ k − 1) 

Hier: P 100 1 

6 

(x < 10) = P 100 1 (x ≦ 9) = 0, 02129 ≈ 2, 1% 

6 

5. Mindestens 8 mal sechs und höchstens 15 Mal l ≦ x ≦ k → 8 ≦ x ≦ 15 

P 100 1 

6 

(l ≦ x ≦ k) = P 100 1 

6 

Hier: P 100 1 

6 

(8 ≦ x ≦ 15) = P 100 1 

6 

(x ≦ k) − P 100 1 (x ≦ l − 1) 

6 

(x ≦ 15) − P 100 1 (x ≦ 7) = 0, 38766 − 0, 00378 

6 

= 0, 38388 ≈ 38, 4% 

6. Mehr als 7, aber weniger als 15 Mal sechs l < x < k → 7 < x < 15 

P k K(l < x < k) = P k K(x ≦ k − 1) − P k K(x ≦ l) 

Hier: P 100 1 

6 

(7 < x < 15) = P 100 1 

6 

(x ≦ 14) − P 100 1 (x ≦ 7) = 0, 28742 − 0, 00378 

6 

= 0, 28364 ≈ 28, 4% 




Seite 67


7. Mindestens 7 und weniger als 15 Mal sechs l ≦ x < k 

P n p (l ≦ x < k) = P n p (x ≦ k − 1) − P k n (x ≦ l − 1) 

Hier: P 100 1 

6 

(7 ≦ x < 15) = P 100 1 

6 

(x ≦ 14) − P 100 1 (x ≦ 6) = 0, 28742 − 0, 00131 

6 

= 0, 28611 ≈ 28, 6% 

Letzter Fall: 

8. Mehr als 7 und höchstens 15 Mal sechs l < x ≦ k 

P n p (l < x ≦ k) = P n p (x ≦ k) − P n p (x ≦ l) 

Hier: P 100 1 

6 

(7 < x ≦ 15) = P 100 1 

6 

(x ≦ 15) − P 100 1 (x ≦ 7) = 0, 38766 − 0, 00378 

6 

= 0, 38388 ≈ 38, 4% 

0.3.7.3 Musteraufgaben zur Binomialverteilung und Bernoulliketten 

Sonderformeln- /rechnungen der Binomialverteilung 

1. Mind Mind Mind Aufgabe Gesucht: n ??? 

Wie oft muss man würfeln, um mit mindestens 99 % (0,99) mindestens 1 mal eine 

sechs zu würfeln ? 

n =? p = 1 x 1 

6 

Ansatz: P n 1 (x 1) 0, 99 

6 

Rechnung: 1 − P n 1 (x = 0) 0, 99 | − 1 

6 

−P n 1 (0 = x) −0, 01 | · (−1) 

6 

P n 1 (x = 0)≦0, 01 ⇒ Größer-Gleich Zeichen umdrehen! 

6 




Seite 68


Formel: 

( ) n 

0 · 

( 1 

6 

) 0 

· ( ) (n−0) 

5 

6 ≦ 0, 01 

( 5 

6 

) k 

≦ 0, 01 |ln 

n · ln ( ( ) 

5 

6) 

≦ ln0, 01 | : ln 

5 

6 

ln0, 01 

n≧ 

ln ( ) = 25, 285... ⇒ n ≧ 26 

5 

6 

Man muss also mindestens 26x Würfeln, um mit mindestens 99 % 1 mal eine sechs 

zu würfeln! 

MERKE: 

n-gesucht: P n p (x 1) P 

→ n ln(1 − P ) 

ln(1 − p) 

p = 1 ; x k; k = 1 → x 1; n =? 

6 

p 99% → P 0, 99 

→ P n○ 1 

6 

(x 1) 0, 99 → Lösung: x 

2. Bestimmung von p 

ln(1 − 0, 99) 

ln(1 − 1 6 ) = 

ln(0, 01) 

ln 5 6 

= 25, 258506 

Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit von p, eine sechs zu Würfeln sein, um mit 

einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens 1 mal eine sechs zu werfen, wenn wir 

50 mal würfeln? 

n = 50 k = 1 p =? 

Ansatz: P 50 

p (x 1) = 1 − P 50 

p (x = 0) = 0, 9 




Seite 69

0.3 Stochastik 0.3.8 Urnenmodelle 

Rechnung: 1 − ( ) 

50 

0 · p0 · (1 − p) 50 = 0, 9 | − 1 

??? 

−(1 − p) 50 = −0, 1 | · (−1) 

(1 − p) 50 = 0, 1 

(1 − p) = 50√ 0, 1 | − 1 

−p = −1 + 50√ 0, 1 

| · (−1) 

p = 1 − 50√ 0, 1 

p = 0, 045 = 4, 5% 

MERKE: 

p-gesucht: P n p (x 1) = P → p = 1 − n√ 1 − P 

= 1 − (1 − P ) 1 n 

n = 50; P = 90% = 0, 9; p =? 

→ P 50 

p (x 1) = P → p = 1 − 50√ 1 − 0, 9 = 1 − 50√ 0, 1 

0.3.8 Urnenmodelle 

a) mit Zurücklegen: Aus einer Urne mit 30 weißen und 20 schwarzen Kugeln werden 

Kugeln gezogen 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen von 7 Kugeln mit Zurücklegen 4 

weiße Kugeln zu erhalten ? 

Anzahl der gezogenen Kugeln: n = 7 

Anzahl der weißen Kugeln: w = 30 → p w = 30 

50 = 3 5 

Treffer k w = 4 

Formel Binomialverteilung Pp k w 

(x = k w ) = P 7 3 (x = 4) 

5 

= ( ( ) 

7 4 ( 7−4 ( ( 

4) 

· 

3 

5 · 1 − 

3 

5) 

= 

7 

4 ( 

4) 

· 

3 

5) 

· 

2 

5 

1. Mindestens 4 weiße Kugeln (x 4) 

2. Höchstens 4 weiße Kugeln (x ≤ 4) 

3. Mehr als 4 weiße Kugeln (x > 4) 

) 3 

= 0, 29030 ≈ 19% 




Seite 70

0.3 Stochastik 0.3.8 Urnenmodelle 

4. Weniger als 4 weiße Kugeln usw. 

⇒ dann verwendest Du die Formeln der Bernoullikette! Siehe Seite 9 - 11! 

b) Das Urnenmodell ohne Zurücklegen 

Das gleiche Beispiel wie bei a) Kugeln Gesammt N = 50 

Kugeln weiß W = 30 k w = 4 

→ 4 weiße Kugeln 

Gezogene Kugeln n = 7 

nur die Kugeln werden nicht zurückgelegt 

Die Formel aus a) kann nun nicht greifen, da sich mit jedem Zug die Wahrscheinlichkeit 

p w ja verringert! 

ÜBERLEGUNG: 

Es gibt: 

1. ( N 

n) 

= 

( 50 

7 

) 

Möglichkeiten 7 Kugeln aus der Urne 

„ohne Zurücklegen “zu ziehen 

2. Von den 30 weißen W sind 4 weiße k gezogen worden 

( W 

k w 

) 

„also 4 aus 30 “ 

3. aus den restlichen 20 Kugeln (N − w) = (50 − 30) 

→ Formel zusammengesetzt aus der Kombinatorik 

werden 3(n − k w ) = (7 − 4) gezogen „also 3 aus 20“ 

Treffer: ← 

Hier 4 weiße Kugeln 

( W 

k w 

) 

( ) N − W 

· 

n − k w 

( ) N 

n 

→ Rest: keine Treffer 

(Hier: 7-4 3 schwarze Kugeln) 

→ Alle Möglichkeiten 

( ) ( ) 

30 50 − 30 

· 

4 7 − 4 

( ) = 

50 

7 

( 1 ) ( 2 ) 30 20 

· 

4 3 

( ) 50 

7 

3 

Kurzform 

1 4 aus 3 weißen Kugeln 

2 3 aus 20 schwarzen Kugeln 

3 7 aus 50 Kugeln (Gesammt) 




Seite 71

0.3 Stochastik 0.3.9 Der Signifikanztest 

0.3.9 Der Signifikanztest 

Hier hat man nur eine Hypothese H 0 (oder H 1 ). 

Es wird wieder ein Test der Stichprobenlänge n durchgeführt. 

In der Regel interessiert uns ob und mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Hypothese verworfen 

(irrtümlich abgelehnt) wird oder nicht. 

Das heißt nun wir haben nur H 0 , den Annahmebereich A und den Ablehnungsbereich A 

Wir berechnen: Bp n 0 

(Z ∈ A) für den Fehler 

Meistens wird aber die Entscheidungsregel gesucht. 

Dabei muss man A und A so festlegen, dass der Fehler einen bestimmten Prozentsatz 

nicht übersteigt. 

z.B. α ≦ 5% → signifikant auf dem Niveau α 

α ≦ 1% 

→ hoch signifikant auf dem Niveau α 

Berechnung: B n p 0 

(Z ∈ A) ≦ α 

Auf Deutsch: Man berechnet A und A mit der Voraussetzung, dass der Fehler 

unter dem vorgebenen Signifikanzniveau liegt 

0.3.9.1 Bestimmung der Entscheidungsregel 

rechtsseitiger Test H 0 ; p ≦ p 0 

Geg. n, p, α (Signifikanzniveau); Gesucht: k und damit A und A 

A = {0...k} 

A = {k + 1...n} 

Bestimmung der irrtümlichen Ablehnung der Nullhypothese H 0 

Fehler: P n p (x k + 1) < α, Fehler unter dem Signifikanzniveau! 

→ Lösung P n p (x ≦ k) 1 − α ⇒ k aus kumulativer Tabelle rauslesen und 

linksseitiger Test H 0 ; p ≧ p 0 

in A und A einsetzen! 




Seite 72

0.3 Stochastik 

Geg. n, p, α (Signifikanzniveau); Gesucht: k 

A = {0...k} 

A = {k + 1...n} 

Wiederum Bestimmung der irrtümlichen Ablehnung von H 0 

Fehler: P n p (x k + 1) ≤ α, Fehler unter dem Signifikanzniveau! 

⇒ k aus kumulativer Tabelle rauslesen und in A und A einsetzen! 




Seite 73

1 Abitur-Check Gebrochenrationale Funktionen 

1 Abitur-Check Gebrochenrationale 

Funktionen 

Was? Aufgaben Lösungen 

1. Definitionsmenge 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 1. 

2012 I, Teil 1 2012 I Teil 1, 1., b) 

2012 II, Teil 1 2012 II Teil 1, 1. 

2. Symmetrie zum Koordinatensystem 2011 II, Teil 1 2011 II Teil 1,3., b), 

2013 II, Teil 2 2013 II Teil 2, 2., a) 

3. Nullstellen/Definitionslücken 2011 II, Teil 1 2011 II Teil 1, 3., a), 

2012 II Teil 1 2012 II Teil 1, 1. 

4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., a) 

2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., c) 

Grenzwerte im Allgemeinen 

FS Grenzwerte 

5. Asymptoten: senkrechte A., waagrechte A. 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 2., a) und b) 

und schräge Asymptote 2013 II Teil 2 2013 II Teil 2, 1., a) 

FS Asymptoten 

6. 1. Ableitung: 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 1. 

Extremwertbestimmung/Monotonieverhalten 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 2., a) 

2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 1. b) 

2013 II, Teil 2 2013 II, Teil 2, 1b 

FS Schema Extremwerte/ 

Monotonie 

7. 2. Ableitung: Keine Abituraufgaben 

Wendepunkt/Krümmungsverhalten 

FS Wendepunkt/ 

Krümmungsverhalten 

8. Tangenten: Keine Abituraufgaben 

Wendetangente/Tangente/Normale 




Seite 74

1 Abitur-Check Gebrochenrationale Funktionen 

9. Funktionstermbestimmung inkl. 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 4. 

Verschiebung/Streckung/Stauchung/Spiegelung 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., b) 

2013 II Teil 2 2013 II Teil 2, 2., a) 

10. Newtonverfahren inkl. Anwendung Keine Abituraufgaben 

11. Stammfunktion/ 2013 II Teil 2 2013 II Teil 2, 2., b) 

Integral- und Flächenberechnung 

FS Stamm- Integralfunktionen 

und Flächenberechnungen 

12. Anwendungsaufgaben 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2 

2012 II Teil 1 2012 II Teil 1, 2., a) und b) 

2013 II Teil 2 2013 II Teil 2, 3., a) bis c) 




Seite 75

2 Abitur-Check Exponential-Funktion e x 

2 Abitur-Check Exponential-Funktion 

e x 


1. Definitionsmenge Keine Abituraufgaben 

2. Symmetrie zum Koordinatensystem 2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., a) 

3. Nullstellen 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., a) 

2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 3. 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., e) 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 2., b) 

4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 1., b) 

Grenzwerte im Allgemeinen 2012 II Teil 1 2012 II Teil 1, 2., b) 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., a) 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., d) 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 2., a) 

FS Grenzwerte 

5. Asymptoten: senkrechte, 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 1., b) 

waagrechte und schräge Asymptote 

FS Asymptoten 

6. 1. Ableitung: 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 1., a) 

Extremwertbestimmung/ 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., b) 

Monotonieverhalten 2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., b) 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 2., a) 

FS Extremwerte/ 

Ableitungen 

Monotonieverhalten 



FS Wendepunkte/ 

Krümmungsverhalten 




Seite 76

2 Abitur-Check Exponential-Funktion e x 

8. Tangenten: 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 1., c) 

Wendetangente/Tangente/Normale 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., d) 

FS Tangenten/ 

Normale 

9. Funktionstermbestimmung inkl. 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., a) 

Verschiebung/Streckung/ 

FS Schema 

Funktionstermbestimmung 

Stauchung/Spiegelung 

10. Newtonverfahren inkl. Anwendung 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 3., b) 

2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 3., b) 

FS Schema 

Newtonverfahren 

11. Stammfunktion/ 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., c) 

Integral- und Flächenberechnung 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., e) 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., d) 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 2c 

FS Flächen- und 

Integralberechnungen 

12. Scharfunktion/Parameteraufgaben 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 3., a) 

2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 2., e) und f) 

13. Anwendungsaufgaben: 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 3. 

Wachstums- und Zerfallsfunktionen, 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., f) 

Umkehrbarkeit, Änderungsraten 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 2. 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., c) 

2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 3. 




Seite 77

3 Abitur-Check ln-Funktionen 

3 Abitur-Check ln-Funktionen 


1. Definitionsmenge 2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 1., a) 

2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 1. 

2. Symmetrie zum Koordinatensystem Keine Abituraufgaben 

3. Nullstellen 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 3. 

2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 1. 

4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, 2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 1. 


FS Grenzwerte ln-Funktion 

5. Asymptoten: senkrechte A., Keine Abituraufgaben 

waagrechte A. und schräge Asymptote 


Extremwertbestimmung/ 

Monotonieverhalten 



8. Tangenten: 2012 II Teil 1 2012 II Teil 1, 3., b) 


FS Schema Tangente 

und Normale 


Verschiebung/Streckung/ 

FS Schema Funktionstermbestimmung 

Stauchung/Spiegelung 


11. Stammfunktion/Integral- 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 2. 

und Flächenberechnung 

12. Anwendungsaufgaben Keine Abituraufgaben 




Seite 78

4 Abitur-Check Ganzrationale(Polynom- ) Funktionen 

4 Abitur-Check 

Ganzrationale(Polynom- ) Funktionen 



2. Symmetrie zum Koordinatensystem 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., b) 

3. Nullstellen Keine Abituraufgaben 

4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, Keine Abituraufgaben 


5. 1. Ableitung: 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., b) 

Extremwertbestimmung/Monotonieverhalten 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., d) 

FS Extremwert/ 

Mononieverhalten 



FS Wendepunkte 

und Krümmungsverhalten 

7. Tangenten: Wendetangente/Tangente/Normale Keine Abituraufgaben 


Verschiebung/Streckung/Stauchung/Spiegelung 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., c) 

2013 I Teil 1, 2., a) 


10. Stammfunktion/ 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 1. 

Integral- und Flächenberechnung 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., e) 

2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., f) 

2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 2., b) 

11. Anwendungsaufgaben 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 2., c) 




Seite 79

5 Abitur-Check Wurzelfunktionen 

5 Abitur-Check Wurzelfunktionen 


1. Definitionsmenge 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., a) 

2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 2. 

2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 1., a) 

2. Symmetrie zum Koordinatensystem Keine Abituraufgaben 

3. Nullstellen 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 1., a) 

4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, Keine Abituraufgaben 


5. Asymptoten: senkrechte A., waagrechte A. Keine Abituraufgaben 

und schräge Asymptote 

6. 1. Ableitung: 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., c) 

Extremwertbestimmung/Monotonieverhalten 

FS Extremwerte/ 

Montonierverhalten 



8. Tangenten: 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 1., b) 


FS Schema Tangente/Normale 

9. Funktionstermbestimmung inkl. 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., a) 

Verschiebung/Streckung/Stauchung/Spiegelung 

FS Schema 

Funktionstermbestimmung 


11. Stammfunktion/ 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., e) 

Integral- und Flächenberechnung 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 2. 

FS Schema Stammfunktion 

12. Anwendungsaufgaben 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., b) 

2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., d) 




Seite 80

6 Abitur-Check Trigonometrische Funktionen 

6 Abitur-Check Trigonometrische 

Funktionen 



2. Symmetrie zum Koordinatensystem 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 3., b) 

3. Nullstellen 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 3., a) 

2012 I Teil 1, 3., a) 

4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 3., b) 


5. Asymptoten: senkrechte A., waagrechte A. Keine Abituraufgaben 

und schräge Asymptote 

6. 1. Ableitung: 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 3., c) 

Extremwertbestimmung/Monotonieverhalten 

7. 2. Ableitung: Wendepunkt/Krümmungsverhalten 2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 2. 

8. Tangenten: Wendetangente/Tangente/Normale Keine Abituraufgaben 

9. Funktionstermbestimmung inkl. 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 2., b) 

Verschiebung/Streckung/Stauchung/Spiegelung 


11. Stammfunktion/Integral- und Flächenberechnung 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 4., a) 

2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 4., b) 

2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 3., b) 




Seite 81

7 Sonstige Analysis aus den G8 Abiturjahrgängen 2011-13 

7 Sonstige Analysis aus den G8 

Abiturjahrgängen 2011-13 


1. Ableitungsfunktion aus 2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 4. 

gegebener Funktion skizzieren 

2. Betragsfunktion bestimmen 2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 2., b) 

3. Zusammenhang Kreisfläche als 2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 4., 

a) und b) 

Funktion mit Integralfunktion 

4. Stammfunktion aus gegebener Funktion skizzieren 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 4. 




Seite 82

8 Abitur-Check„Analytische Geometrie“ 

8 Abitur-Check„Analytische 

Geometrie“ 


1. Geradengleichungen austellen 2013 II 2013 II, 2., c) 

inkl. Lotgeraden 2013 I 2013 I, g) 

2013 II 2013 II, 1., b) 

2. Schnittpunkt: Gerade/Gerade 2013 II 2013 II, 2., a) 

3. Schnittpunkt: Gerade/Ebene 2012 I 2012 I, 1., d) 

2012 I 2012 I, g) 

2013 II 2013 II, 1., c) 

4. Schnittpunkt: Lotgerade/Ebene 2012 I 2012 I, 1., f) 

5. Abstand: Punkt/Grade 2013 II 2013 II, 2., c) 

6. Abstand: Gerade/Ebene 2011 I 2011 I, 1., d) 

Parallelität/Hesseform 

7. Abstand: Punkt/Ebene 2012 I 2012 I, 2., b) 

2013 II 2013 II, 1., c) 

8. Minimaler und maximaler Abstand 2011 I 2011 I, 1., e) 

9. Abstand zweier Punkte: Länge 2011 II 2011 II, 1., a) 

2012 I 2012 I, 1., e),f) 

2013 I 2013 I, 1., a) 

2011 I 2011 I, 1., b) 

10. Winkel zwischen Geraden keine Abituraufgaben 

11. Winkel zwischen Ebenen 2011 I 2011 I, 1., a) 

2013 I 2013 I, 1., c) 

2013 II 2013 II, 1., e) 




Seite 83


12. Winkel zwischen Geraden/Ebene 2011 II 2011 II, 1., d) 

2012 I 2012 I, 1., d) 

13. Winkel zwischen Vektoren 2012 II 2012 II, 2., c) 

14. Ebene aufstellen 2011 I 2011 I, 1., a) 

(Abitur immer Normalenform) 2011 II 2011 II, 1., c) 

2012 I 2012 I, 1., a) 

2012 II 2012 II, 1., b) 

2013 I 2013 I, 1., b) 

2013 I 2013 I, 1., d) 

2013 II 2013 II, 1., b) 

15. Lage Gerade/Gerade keine Abituraufgaben 

16. Lage Ebene/Ebene 2012 II 2012 II, 1., a) 

17. Punkte mit Hilfe von 2012 I 2012 I, 1., b) 

Vektorrechnung bestimmen 2012 II 2012 II, 1., d) 

2013 I 2013 I, 1., a) 

2013 I 2013 I, 1., g) 

2013 II 2013 II, 1., a) 

2011 I 2011 I, 1., f) 

2011 II 2011 II, 1., b) 

18. Skalarprodukt: Orthogonalität 2011 I 2011 I, 1., b) 

2011 II 2011 II, 1., a) 

2011 II 2011 II, 1., b) 

2013 I 2013 I, 1., a) 

2013 II 2013 II, 2., c) 

19. Skalarprodukt: Parallelität 2011 I 2011 I, 1., d) 

20. Skalaraprodukt: Volumen Pyramide 2011 II 2011 II, 1., d) 

21. Skalarprodukt: Volumen Prismen 2011 II 2011 II, 2., a) 

22. Kreuzprodukt/Vektorprodukt: siehe 14., keine Abituraufgaben 

Bestimmung des Normalenvektors 

23. Kreuzprodukt: Volumen Pyramide 2011 II 2011 II, 1., d) 

24. Kreuzprodukt: Volumen Prismen 2012 II 2012 II, 1., a) 




Seite 84


25. Kugelgleichungen aufstellen, 2012 II 2012 II, 1., f) 

Radius und Mittelpunkt bestimmen, 2013 I 2013 I, 1., h) 

Lagen von Kugeln 

26. Volumen von Pyramiden, Kegeln, 2011 II 2011 II, 1., d),e) 

Prismen und Spate berechnen und herleiten 2012 II 2012 II, 1., e) 

2013 II 2013 II, 1., a) 

alle Pyramiden 

2011 II 2011 II, 1., f) Kegel 

2012 II 2012 II, 1., a) Prisma 

2012 II 2012 II, 1., d) 

2013 I 2013 I, 1., e) Spate 

27. Fläche berechnen: inbesondere 2011 I 2011 I, 1., b), c) 

Dreiecke, Vierecke und Kreise bzw. Kreisteile 2013 II 2013 II, 1., d) 

28. Mittel- und Schwerpunkt bestimmen 2012 I 2012 I, 1., e) 

2012 II 2012 II, 1., d) 

2013 II 2013 II, 1., d) 

29. Anwendungen: Verhältnisrechnung 2012 I 2012 I, 1., f) 

Zeichnen im R3 und Masse berechnen 2011 I 2011 I, 1., b) 

2011 I 2011 I, 1., f) 

2011 II 2011 II, 1., b) 

2012 II 2012 II, 1., a) 

2012 II 2012 II, 1., d), e) 

2013 I 2013 I, 1., f) 




Seite 85

9 Abitur-Check„Wahrscheinlichkeitsrechnung“ 

9 Abitur- 

Check„Wahrscheinlichkeitsrechnung“ 


1. Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe 2011 I 2011 I, 1., a),b),c) 

von Vierfeldertafeln oder Baum- 2011 II 2011 II, 3., a) 

diagrammen bestimmen und analysieren 2011 II 2011 II, 3., c) 

2012 I 2012 I, 1. 

2012 I 2012 I, 3., a),b) 

2012 I 2012 I, 3., e) 

2012 II 2012 II, 1., a),b) 

2012 I 2013 I 2., a),b),c); 

2012 I 2013 I 3., a) 

2012 II 2013 II, 1., a) 

2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen 2011 I 2011 I, 1., b) 

und in der Vierfeldertafel oder im 2011 II 2011 II, 3., b) 

Baumdiagramm verwerten 2012 I 2012 I 3., f) 

2012 II 2012 II, 1., a) 

2013 I 2013 I, 2., b) 

2013 II 2013 II, 1., b) 

3. Erwartungswert, Varianz und 2011 I 2011 I, 2., a) 

und Standardabweichung beim Zufallsexperiment 2012 I 2012 I, 3., b) 

2013 I 2013 I, 3., b) 

2013 II 2013 II, 3., b), c) 

4. Erwartungswert, Varianz und 2012 II 2012 II, 4.,c) 

und Standardabweichung bei einer 

binominalverteilten Zufallsgröße 

5. Formeln der Kombinatorik anwenden 2012 II 2012 II, 3., b) 

inkl. Fakultäten 2012 II 2012 II, 3., a) 




Seite 86

9 Abitur-Check„Wahrscheinlichkeitsrechnung“ 

6. Urnenmodelle mit Zurücklegen 2012 I 2012 I, 2., a) 

2012 II 2012 II, 4., b) 

7. Urnenmodelle ohne Zurücklegen 2012 I 2012 I, 2., b) 

8. Binominalverteilung 2011 I 2011 I, 2., b) 

2011 II 2011 II, 1., b) 

2012 I 2012 I, 3., c) 

9. Drei-Mal-Mindestens Aufgaben oder 2011 I 2011 I, 2., b) 

leichte Abwandlungen davon 2012 I 2012 I, 3., d) 

2013 I 2013 I, 1., c) 

10. Benoullikette 2011 II 2011 II, 1., a) 

2013 I 2013 I, 1., b) 

11. Signifikanztest: 2011 II 2011 II, 4. 

Entscheidungsregel austellen 2011 II 2011 II, 2., a) 

2012 II 2012 II, 2. 

2013 II 2013 II, 2., a) 

12. Signifikanztest: Ergebnisse 2011 II 2011 II, 2., b) 

interpretieren, bewerten bzw. analysieren 2013 II 2013 II, 2., b) 

13. Unabhängigkeit beweisen bzw 2011 II 2011 II, 1., c) 

Wahrscheinlichkeiten mit gegebener 

Unabhängigkeit berechnen 

14. Berechnen von 2013 II 2013 II, 3., a) 

Wahrscheinlichkeitsverteilungen 




Seite 87

10 Abituraufgaben 2011-2013 

10 Abituraufgaben 2011-2013 

Auf den folgenden Seiten finden sich die Abituraufgaben als Kopie(isb-Bayern). 

Die Verlinkungen führen jeweils direkt zu den Musterlösungen. 




Seite 88

10.1 G8 Abitur 2011 10.1 G8 Abitur 2011 

10.1 G8 Abitur 2011 

10.1.1 G8 Abitur 2011 Analysis I Teil 1 

Analysis 

Aufgabengruppe I 

BE Teil 1 

2x 3 

4 1 Gegeben ist die Funktion f : x mit maximaler Definitionsmenge D. 

4x 5 

Geben Sie D an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm 

für die Ableitung f' von f. 

1 

4 

2 

5 2 Zeigen Sie, dass F : x x (2lnx 1) mit Definitionsmenge IR eine 

Stammfunktion der in IR definierten Funktion f : x x lnx ist. 

Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von f, die in x 1 eine 

Nullstelle hat. 

5 3 Die Anzahl der auf der Erde lebenden Menschen wuchs von 6,1 Milliarden 

zu Beginn des Jahres 2000 auf 6,9 Milliarden zu Beginn des Jahres 2010. 

Dieses Wachstum lässt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunktion 

mit einem Term der Form N(x) N0 

e beschreiben, wobei N(x) 

k (x 2000) 

die Anzahl der Menschen zu Beginn des Jahres x ist. 

Bestimmen Sie N 0 und k. 

4 Betrachtet wird die Aussage 

π 

sin(2x)dx 0 . 

0 

3 a) Machen Sie ohne Rechnung anhand einer sorgfältigen Skizze plausibel, 

dass die Aussage wahr ist. 

3 b) Weisen Sie mithilfe einer Stammfunktion die Gültigkeit der Aussage durch 

Rechnung nach. 

20 

(Fortsetzung nächste Seite) 




Seite 89 

3

10.1 G8 Abitur 2011 10.1.2 G8 Abitur 2011 Analysis I Teil 2 


BE Teil 2 

1 Gegeben ist die Funktion f : x x 3 

mit Definitionsmenge D f . Abbildung 1 

zeigt den Graphen G f von f, einen 

beliebigen Punkt Q(x | f(x)) auf G f 

sowie den Punkt P(1,5 | 0) auf der 

x-Achse. 

Abb. 1 

2 a) Begründen Sie, dass D f [ 3; [ die maximale Definitionsmenge von f 

ist. Wie geht G f aus dem Graphen der in IR0 

definierten Funktion 

w : x x hervor? 

4 b) Zeigen Sie, dass für die Entfernung d(x) des Punkts Q(x | f(x)) vom 

Punkt P(1,5 | 0) gilt: 

2 

d(x) x 2x 5,25 . 

7 c) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts 

Q E(x E | y E), der von P den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie Q E in 

Abbildung 1 ein. 

(zur Kontrolle: x 1) 

5 d) Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke [PQ E] und die Tangente 

an G im Punkt Q senkrecht zueinander sind. 

f 

E 

6 e) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von G f , der x-Achse 

und der Strecke [PQ ] begrenzt wird. 

E 

2 Abbildung 2 zeigt den Graphen G g einer in IR \ {1} definierten gebrochenrationalen 

Funktion g mit folgenden Eigenschaften: 

Die Funktion g hat in x 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; 

 

G g verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die 

Gleichung y 

1 

x 1 gegeben ist; 

2 

die einzige Nullstelle von g ist x 1. 


E 



4 


Seite 90


Abb. 2 

6 a) Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der 

Ableitung g' von g an der Stelle x 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen 

durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. 

Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das 

Verhalten der Ableitung g' für x und x . Geben Sie dieses 

Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von g' in Abbildung 2. 

5 b) Die Funktion g hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III 

mit a IR \ {0} : 

I 

a 

y x 1 

(x 1) 

2 

II y 1 a 

 

2 

x 1 III 

1 a 

y x 1 

x 1 

(x 1) 

2 2 

Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der 

Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt. 

Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Bestimmen Sie den 

passenden Wert von a. 

5 c) Betrachtet wird nun die Funktion h mit h(x) lng(x) 

 

40 

. Geben Sie mithilfe 

des Verlaufs von G g die maximale Definitionsmenge D h von h, das Verhalten 

von h an den Grenzen von D h sowie einen Näherungswert für die 

Nullstelle von h an. 


5 



Seite 91

10.1 G8 Abitur 2011 10.1.3 G8 Abitur 2011 Analysis II Teil 1 & 2 

10.1.3 G8 Abitur 2011 Analysis II Teil 1 & 2 

Analysis 

Aufgabengruppe II 

BE Teil 1 

5 1 Skizzieren Sie den Graphen der in IR definierten Funktion f : x 4 x . 

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit der 

x-Achse einschließt. 

4 2 Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion f : x 3 x an und 

bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von f, deren Graph den 

Punkt (1| 4) enthält. 

3 Betrachtet wird die Funktion 

f : x 

3 a) Geben Sie die Nullstellen von f an. 

sin x 

2 

x 

mit Definitionsmenge IR \ {0} . 

3 b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und geben Sie 

den Grenzwert von f für x an. 

2 c) Bestimmen Sie den Term der Ableitung von f. 

3 4 Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge 

IR \ { 1} an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y 2 als 

Asymptote besitzt und in x 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat. 

20 

2 

BE Teil 2 

0,5x 

1 Gegeben ist die in IR definierte Funktion f : x 6 e x . Der Graph 

von f wird mit G bezeichnet. 

f 

10 a) Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G f . 

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E(x E | y E) von G f . 

0,5x 

(zur Kontrolle: xE 

2 ln3 ; f ''( x ) 1,5 e ) 

3 b) Geben Sie das Verhalten von f für x an. Machen Sie plausibel, 

dass G f für x die Gerade mit der Gleichung y x als schräge 

Asymptote besitzt. 

6 c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G f im Punkt (0 | 6) . 

Skizzieren Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein 

geeignet anzulegendes Koordinatensystem. 




6 


Seite 92

10.1 G8 Abitur 2011 10.1.3 G8 Abitur 2011 Analysis II Teil 1 & 2 

2 Gegeben ist die in IR definierte 

0,5x 

Funktion h : x 6 e 1,5 . 

Die Abbildung zeigt den in IR 

streng monoton fallenden 

Graphen G h von h sowie dessen 

Asymptote, die durch die 

Gleichung y 1,5 gegeben ist. 

4 a) Beschreiben Sie, wie G h aus 

dem Graphen der in IR 

definierten natürlichen 

x 

Exponentialfunktion x e 

hervorgeht. 

Für x 0 beschreibt die Funktion h modellhaft die zeitliche Entwicklung des 

momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist x die seit dem 

Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und h(x) die momentane 

Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute. 

3 b) Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens 

von G sowie des Grenzwerts von h für x an. 

h 

6 c) Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das G h , die Koordinatenachsen 

und die Gerade mit der Gleichung x 5 einschließen. Interpretieren 

Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. 

0,5x 

mit a IR 

3 Gegeben ist die Schar der Funktionen f a : x 6 e a x 

Definitionsmenge IR. 

und 

5 a) Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die 

y-Achse im selben Punkt schneiden und in IR streng monoton fallend 

sind. Zeigen Sie, dass lim f (x) gilt. 

a 

x 

3 b) Aus den Ergebnissen der Aufgabe 3a ergibt sich, dass jede Funktion der 

Schar genau eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie für diese Nullstelle in 

Abhängigkeit von a einen Näherungswert x 1, indem Sie den ersten 

Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x0 

0 durchführen. 

40 


7 



Seite 93

10.1 G8 Abitur 2011 10.1.4 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 1 

10.1.4 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 1 

BE 

Stochastik 


Ein Investor plant, in einer Gemeinde, die aus den Orten Oberberg und Niederberg 

besteht, eine Windkraftanlage zu errichten. 

1 Um sich einen Überblick darüber zu verschaffen, wie die Einwohner zu diesem 

Vorhaben stehen, beschließt der Gemeinderat, eine Umfrage unter den 

Wahlberechtigten der Gemeinde durchzuführen. In Niederberg werden 1722, 

in Oberberg 258 Einwohner befragt. 1089 aller Befragten äußern keine Einwände 

gegen die Windkraftanlage, darunter sind allerdings nur 27 Einwohner 

von Oberberg. Die übrigen befragten Personen sprechen sich gegen die 

Windkraftanlage aus. 

4 a) Bestimmen Sie jeweils den prozentualen Anteil der Gegner der Windkraftanlage 

unter den Befragten von Niederberg und unter den Befragten von 

Oberberg. 

Aus allen Befragten wird zufällig eine Person ausgewählt. 

4 b) Ermitteln Sie 

die Wahrscheinlichkeit p 1 dafür, dass die ausgewählte Person in 

Oberberg wohnt und sich gegen die Windkraftanlage aussprach. 

die Wahrscheinlichkeit p 2 dafür, dass die ausgewählte Person in 

Oberberg wohnt, wenn bekannt ist, dass sie sich gegen die 

Windkraftanlage aussprach. 

2 c) Begründen Sie, dass kein Ergebnis der Umfrage denkbar ist, bei dem 

p p ist. 

1 2 

Die Windkraftgegner schließen sich zu einer Bürgerinitiative zusammen. 

2 Zur Aufbesserung ihrer finanziellen Mittel hat die Bürgerinitiative 

auf dem Gemeindefest ein Glücksrad mit zehn 

gleich großen Sektoren aufgebaut (vgl. Abbildung). Ein 

Spiel besteht aus dem einmaligen Drehen des Glücksrads; 

die erzielte Zahl gibt die Kategorie des Preises an, den 

der Spieler erhält. 

4 

1 

2 


4 

3 

3 4 

2 

3 

4 



8 


Seite 94


5 a) Ein Preis der Kategorie 1 ist für die Bürgerinitiative mit Unkosten in Höhe 

von zehn Euro, ein Preis der Kategorie 2 mit Unkosten in Höhe von fünf 

Euro verbunden. Preise der Kategorien 3 und 4 werden von Sponsoren 

gestellt und verursachen keine Unkosten. Bestimmen Sie den im Mittel 

pro Spiel zu erwartenden Gewinn der Bürgerinitiative, wenn der Einsatz 

für ein Spiel 2,50 Euro beträgt und keine weiteren Unkosten anfallen. 

5 b) Zehn Besucher des Gemeindefests drehen nacheinander jeweils einmal 

das Glücksrad. Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term 

an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen lässt. 

A: „Nur die ersten fünf Preise entfallen auf die Kategorie 4.“ 

B: „Genau die Hälfte der Preise entfällt auf die Kategorie 4.“ 

C: „Die Preise verteilen sich jeweils zur Hälfte auf die Kategorien 1 

und 4.“ 

5 3 Die Bürgerinitiative veranstaltet am viel besuchten Badesee der Gemeinde 

eine Unterschriftenaktion gegen die geplante Windkraftanlage. 

Berechnen Sie, wie hoch der Anteil p der Gegner der Windkraftanlage unter 

den Badegästen mindestens sein muss, damit sich unter zehn zufällig ausgewählten 

Badegästen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % 

wenigstens ein Gegner der Windkraftanlage befindet. 

5 4 Aufgrund der vielfältigen Aktivitäten der Bürgerinitiative vermutet der Gemeinderat, 

dass inzwischen mindestens 55 % der Wahlberechtigten der Gemeinde 

gegen die Errichtung der Windkraftanlage sind. Um diese Vermutung 

zu testen, werden 200 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte der Gemeinde 

befragt. Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich 

lauten, wenn die Vermutung des Gemeinderats mit einer 

Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt werden soll? 

30 


9 



Seite 95



BE 

Stochastik 


1 Auf der Strecke München-Tokio bietet eine Fluggesellschaft ihren Passagieren 

verschiedene Menüs an, darunter ein vegetarisches. Aus Erfahrung 

weiß man, dass sich im Mittel 10 % der Passagiere für das vegetarische 

Menü entscheiden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die 

Passagiere ihre jeweilige Menüwahl unabhängig voneinander treffen. 

4 a) Auf einem Flug nach Tokio sind 200 Passagiere an Bord. Bestimmen Sie 

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens 20 und höchstens 25 

Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden. 

Auf dem Rückflug nach München ist die Maschine mit 240 Passagieren besetzt. 

3 b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich auf dem Rückflug 

genau 20 Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden. 

4 c) Tatsächlich entscheiden sich auf dem Rückflug sechs weibliche und 

vierzehn männliche Reisende für das vegetarische Menü. Ermitteln Sie, 

wie viele weibliche Reisende unter den Passagieren sind, wenn die 

Ereignisse „Ein zufällig ausgewählter Passagier ist weiblich.“ und „Ein 

zufällig ausgewählter Passagier entscheidet sich für das vegetarische 

Menü.“ unabhängig sind. 

2 Die Fluggesellschaft beabsichtigt, ihren Passagieren neben dem Standardmenü 

gegen Zuzahlung ein Premiummenü anzubieten, möchte diesen Service 

jedoch nur dann einrichten, wenn er von mehr als 15 % der Passagiere 

gewünscht wird. Die Nullhypothese „Höchstens 15 % der Passagiere wünschen 

das Angebot eines Premiummenüs.“ soll auf der Basis einer Stichprobe 

von 200 Passagieren auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet 

werden. 

5 a) Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. 

3 b) Die Fluggesellschaft hätte für den Test – bei gleichem Signifikanzniveau – 

anstelle der Nullhypothese 

„Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines 

Premiummenüs.“ 

auch die Nullhypothese 

„Mehr als 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines 

Premiummenüs.“ 

wählen können. Bei der Wahl der Nullhypothese stand für die Fluggesell- 



10 



Seite 96


schaft eine der beiden folgenden Überlegungen im Vordergrund: 

Der irrtümliche Verzicht auf das Angebot des Premiummenüs wäre mit 

einem Imageverlust verbunden. 

Das irrtümliche Angebot des Premiummenüs wäre mit einem 

finanziellen Verlust verbunden. 

Entscheiden Sie, welche der beiden Überlegungen für die Fluggesellschaft 

bei der Wahl der Nullhypothese im Vordergrund stand. Erläutern 

Sie Ihre Entscheidung. 

3 Bei einer Routineinspektion wird die Passagierkabine eines zufällig ausgewählten 

Flugzeugs des Typs X überprüft. Ein Mangel der Beleuchtung sowie 

ein Mangel der Klimaanlage liegen bei Flugzeugen dieses Typs jeweils mit 

einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vor; diese Wahrscheinlichkeiten können 

der folgenden Vierfeldertafel entnommen werden. 

K K 

B x 0,05 

B 0,04 

0,06 1 

B : Beleuchtung einwandfrei 

B : Beleuchtung mangelhaft 

K : Klimaanlage einwandfrei 

K : Klimaanlage mangelhaft 

3 a) Bestimmen Sie den Wert von x und beschreiben Sie das zugehörige 

Ereignis in Worten. 

3 b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt bei dem zufällig ausgewählten 

Flugzeug des Typs X ein Mangel der Klimaanlage vor, wenn die 

Beleuchtung nicht einwandfrei funktioniert? 

5 c) Bei Flugzeugen eines anderen Typs Y liegt ein Mangel der Klimaanlage 

mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % vor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, 

dass mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, beträgt 5 %. Wenn 

mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, so funktioniert mit einer 

Wahrscheinlichkeit von 40 % die Beleuchtung nicht einwandfrei. Stellen 

Sie zu der für Flugzeuge des Typs Y beschriebenen Situation eine vollständig 

ausgefüllte Vierfeldertafel auf. 

30 


11 



Seite 97

10.1 G8 Abitur 2011 10.1.6 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 1 

10.1.6 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 1 

BE 

Geometrie 


In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0 | 60 | 0), 

B( 80 | 60 | 60) und C( 80 | 0 | 60) gegeben. 

8 a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, die durch die Punkte A, B und 

C bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem 

hat E? Berechnen Sie die Größe des Winkels φ, unter dem E 

die xx 1 2-Ebene schneidet. 

(mögliche Teilergebnisse: E : 3x14x 3 0 ; φ 36,9 ) 

6 b) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung O mit den 

Punkten A, B und C ein Rechteck OABC festlegt. Bestätigen 

Sie, dass dieses Rechteck den Flächeninhalt 6000 besitzt, und 

zeichnen Sie es in ein Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. 

x 1 

x 2 

Das Rechteck OABC ist das Modell eines steilen Hanggrundstücks; die positive 

x1-Achse beschreibt die südliche, die positive x2-Achse die östliche Himmelsrichtung 

(im Koordinatensystem: 1 LE entspricht 1 m, d. h. die Länge des 

Grundstücks in West-Ost-Richtung beträgt 60 m.). 

3 c) Obwohl das Rechteck OABC den Flächeninhalt 6000 besitzt, ist das 

Hanggrundstück auf einer Landkarte des Grundbuchamts mit einer Größe 

von 4800 m 2 verzeichnet. Stellen Sie ausgehend von der Zeichnung aus 

Aufgabe b eine Vermutung an, welche sinnvolle Regelung das Grundbuchamt 

damit bei der Festlegung der Grundstücksgröße umsetzt. 

Bestätigen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung. 

Ein Hubschrauber überfliegt das Grundstück entlang einer Linie, die im Modell 

20 4 

 

durch die Gerade g : X 40 λ 5 , λ IR 

, beschrieben wird. 

40 3 

 

3 d) Weisen Sie nach, dass der Hubschrauber mit einem konstanten Abstand 

von 20 m zum Hang fliegt. 

5 e) Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers 

vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell 

durch den Punkt M( 40 | 30 | 30) dargestellt wird. 

x 3 




12 


Seite 98


Im Mittelpunkt des Grundstücks wird ein Mast errichtet, der durch vier an seiner 

Spitze befestigte Seile gehalten wird. Die Verankerungspunkte der Seile im 

Grundstücksboden sind jeweils 15 m vom Mastfußpunkt entfernt und liegen 

von diesem aus genau in östlicher, nördlicher, westlicher und südlicher Richtung. 

5 f) Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des östlichen und nördlichen 

Verankerungspunkts V O bzw. V N . 

30 


13 



Seite 99



BE 

Geometrie 


In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1| 7 | 3), 

B(6 | 7 |1) und C( 2 |1| 3) gegeben. 

4 a) Weisen Sie nach, dass die Punkte A, B und C ein rechtwinkliges Dreieck 

festlegen, dessen Hypotenuse die Strecke [AB] ist und dessen kürzere 

Kathete die Länge 9 hat. 

6 b) Alle Punkte C* im Raum, die zusammen mit A und B ein zum Dreieck 

ABC kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. 

Beschreiben Sie (z. B. durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise 

bezüglich der Strecke [AB] und ermitteln Sie den Radius der beiden 

Kreise. 

Das Dreieck ABC aus Aufgabe a ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide 

ABCS mit der Spitze S(11,5 | 4 | 6) . 

3 c) Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene E. Ermitteln Sie eine 

Gleichung von E in Normalenform. 

(mögliches Ergebnis: E : 2x1 x2 2x3 

3 0 ) 

7 d) Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante [BS] 

gegen die Ebene E sowie das Volumen V der Pyramide. 

(Teilergebnis: V 216 ) 

3 e) Welche Lagebeziehung muss eine Gerade zur Ebene E haben, wenn für 

jeden Punkt P dieser Geraden die Pyramide ABCP das gleiche Volumen 

wie die Pyramide ABCS besitzen soll? Begründen Sie Ihre Antwort. 

7 f) Der Umkreis des Dreiecks ABC und der Punkt S legen einen Kegel fest. 

Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt 

des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist. 

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist 

als das Volumen der Pyramide ABCS. 

30 



14 


Seite 100


10.2 G8 Abitur 2012 


Analysis 


BE Teil 1 

1 Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich 

sowie einen Term der Ableitungsfunktion an. 

2 a) f x lnx 3 

gx 

3 

 

x 1 

3 b) 

2 

2 Geben Sie jeweils den Term einer in IR definierten Funktion an, die die 

angegebene Eigenschaft besitzt. 

2 a) Der Graph der Funktion f hat den Hochpunkt 0 | 5 . 

2 b) Die Funktion g ist an der Stelle x 5 nicht differenzierbar. 

3 Gegeben ist die in IR definierte Funktion f : x sin2x . 

2 a) Geben Sie zwei benachbarte Nullstellen von f an. 

2 

5 b) Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals 

f x dx . 

Warum stimmt der Wert dieses Integrals nicht mit dem Inhalt der Fläche 

überein, die für 0 x 2 zwischen dem Graphen von f und der x-Achse 

liegt? 

4 4 Abbildung 1 zeigt den Graphen G f einer in 

;5 

definierten Funktion f. 

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen 

der zugehörigen Ableitungsfunktion f. Berücksichtigen 

Sie dabei insbesondere einen 

Näherungswert für f 

0 

, die Nullstelle von f 

und das Verhalten von f für x 5. 

0 

20 Abb. 1 





Seite 101 

3



BE Teil 2 

Gegeben ist die Funktion 

zeigt den Graphen 

f : x 

G f von f. 

2e 

x 

x 

e 9 

mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2 

Abb. 2 

2 1 a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, 

und geben Sie die Koordinaten von S an. 

2 b) Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms von f, dass 

 

lim f x 2 gilt. 

x 

lim f x 0 und 

x 

3 c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass G f in IR streng monoton steigt. 

18e 

(zur Kontrolle: f ( x ) 

(e 9) 

x 

x 2 

2 d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G f im Achsenschnittpunkt 

S. 

(Ergebnis: y 0,18x 0,2 ) 

4 e) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die G f mit den Koordinatenachsen 

und der Geraden x 4 einschließt. 

6 f) Begründen Sie, dass f in IR umkehrbar ist. Geben Sie den Definitionsbereich 

und den Wertebereich der Umkehrfunktion f an und zeichnen Sie 

1 

1 

den Graphen von in Abbildung 2 ein. 

f 

) 



4 



Seite 102


2 Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mithilfe 

der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen 

nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert fx 

 

für x 0;4 

im Modell die Höhe der Blume in Metern. Dabei ist x die seit 

Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. In den Aufgaben 2a bis 

2d werden ausschließlich Sonnenblumen der Sorte Alba betrachtet. 

2 a) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, um wie viele Zentimeter 

eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobachtungsbeginn 

wächst. 

5 b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach 

Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht. 

Beschreiben Sie, wie man den berechneten Wert graphisch überprüfen 

kann. 

5 c) Im Modell gibt es einen Zeitpunkt x M, zu dem die Blumen am schnellsten 

wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert 

für x M. Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maximale 

Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag. 

4 d) Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobachtungsbeginn 

näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Aufgabe 

1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob 

diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom Zeitpunkt des Auskeimens 

bis zum Beobachtungsbeginn etwa zwei Wochen vergehen. 

Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die gleiche 

Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die 

Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba 

jede Höhe in der Hälfte der Zeit. 

Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft 

mithilfe einer in IR definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktionsgleichung 

der Form I, II oder III mit k IR besitzt: 

I 

x+k 

2e 

y 

x+k 

e 9 

II 

x 

y 2e 

k 

e x 

9 

5 

III 

kx 

2e 

y 

kx 

e 9 

Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten und 

y ein Näherungswert für die Höhe einer Blume in Metern. 

4 e) Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der 

Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt. 

1 f) Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Geben Sie den passenden 

Wert von k an. 

40 




Seite 103

10.2 G8 Abitur 2012 10.2.3 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 1 

10.2.3 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 1 

Analysis 


BE Teil 1 

2x 3 

3 1 Gegeben ist die Funktion f : x 

mit maximaler Definitionsmenge 

D. Bestimmen Sie D sowie die Nullstelle von 

2 

x 4x 3 

f. 

2 Gegeben ist die in IR definierte Funktion 

g : x x e 2x . 

5 a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine 

waagrechte Tangente hat. 

2 b) Geben Sie das Verhalten von g für x und x an. 

3 Betrachtet wird die in IR definierte Funktion h : x lnx 3 . 

2 a) Geben Sie an, wie der Graph von h schrittweise aus dem Graphen der 

in IR definierten Funktion x lnx hervorgeht. 

4 b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von h im 

Punkt 1| h 1 . 

 

 

1 4 a) Warum hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle? 

3 b) Geben Sie den Term einer in IR definierten Funktion f an, sodass die 

20 

in IR definierte Integralfunktion 

F : x 

x 

1 

besitzt. Geben Sie die Nullstellen von F an. 

 

f t dt genau zwei Nullstellen 




7 


Seite 104



BE Teil 2 

1 An einer Wand im Innenhof der von Antoni Gaudi 

gestalteten Casa Batlló in Barcelona findet man ein 

Keramikkunstwerk (vgl. Abbildung 1). 

Der annähernd parabelförmige obere Rand des 

Kunstwerks soll durch den Graphen einer ganzrationalen 

Funktion modellhaft dargestellt werden. 

Auf dem Graphen sollen bei Verwendung des eingezeichneten 

Koordinatensystems die Punkte 

A 2 | 0, B2 | 0 und C0 | 5 liegen (1 LE entspricht 

1 m, d. h. das Kunstwerk ist 5 m hoch). 

3 a) Ermitteln Sie den Term einer in IR definierten quadratischen Funktion p, 

deren Graph durch die Punkte A, B und C verläuft. 

Abb. 1 

2 

(zur Kontrolle: p( x ) 1,25x 5 ) 

Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert 

der Graph der in IR definierten ganzrationalen Funktion q vierten Grades mit 

4 2 

qx 0,11x 0,81x 5 . Der Graph von q wird mit G q bezeichnet. 

7 b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass G q symmetrisch bezüglich der 

y-Achse ist, durch die Punkte A und B verläuft und genau einen Extrempunkt 

besitzt. 

Abbildung 2 zeigt die Graphen von p und q. 

2 c) Welcher der beiden dargestellten Graphen 

ist G ? Begründen Sie Ihre Antwort. 

q 

5 d) Im Intervall 0;2 gibt es eine Stelle x 0 , an 

der der Wert der Differenz dx qx px 

maximal wird. Berechnen Sie x 0 sowie den 

Wert der zugehörigen Differenz. 

4 e) Berechnen Sie mithilfe der Funktion q einen 

Näherungswert für den Flächeninhalt A des 

vom Kunstwerk eingenommenen Teils der 

Wand. Abb. 2 




8 


Seite 105


4 f) Die Gerade mit der Gleichung y 1,1 teilt im Modell den vom Kunstwerk 

eingenommenen Teil der Wand in zwei unterschiedlich gestaltete Bereiche. 

Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Funktion q das Verhältnis der 

Flächeninhalte dieser beiden Bereiche näherungsweise bestimmen kann. 

Geben Sie dazu geeignete Ansätze an und kommentieren Sie diese. 

2 Unter dem Wasserdurchfluss eines Bachs an einer bestimmten Stelle versteht 

man das Volumen des Wassers, das an dieser Stelle in einer bestimmten 

Zeit vorbeifließt. Die Funktion f beschreibt die zeitliche Entwicklung des 

Wasserdurchflusses eines Bachs an einer Messstelle, nachdem zum Zeitpunkt 

t 0 eine bachaufwärts gelegene Schleuse geöffnet wurde. Abbildung 

3 zeigt den Graphen G von f. 

f 

Abb. 3 

5 a) Entnehmen Sie Abbildung 3 im Bereich t 1 Näherungswerte für die Koordinaten 

des Hochpunkts sowie für die t-Koordinaten der beiden Wendepunkte 

von G f und geben Sie unter Berücksichtigung dieser Näherungswerte 

die jeweilige Bedeutung der genannten Punkte im Sachzusammenhang 

an. 

4 

5 b) Bestimmen Sie 

f t dt näherungsweise mithilfe von Abbildung 3. Deuten 

1 

Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang. 

5 c) Bestimmen Sie mithilfe von G f für t 4 und t 3 jeweils einen Näherungswert 

für die mittlere Änderungsrate von f im Zeitintervall 2;t . Veranschaulichen 

Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 3 durch geeignete Steigungsdreiecke. 

Welche Bedeutung hat der Grenzwert der mittleren Änderungsraten 

für t 2 im Sachzusammenhang? 

40 


9 



Seite 106



BE 

Stochastik 


Für eine Quizshow sucht ein Fernsehsender Abiturientinnen und Abiturienten 

als Kandidaten. Jeder Bewerber gibt in einem online auszufüllenden Formular 

die Durchschnittsnote seines Abiturzeugnisses an. 

4 1 Insgesamt bewerben sich dreimal so viele weibliche wie männliche Personen, 

wobei 80 % der weiblichen und 75 % der männlichen Bewerber eine 

Durchschnittsnote von 1,5 oder besser angeben. Bestimmen Sie den Anteil 

der Personen unter allen Bewerbern, die eine schlechtere Durchschnittsnote 

als 1,5 angeben. 

2 Aus dem Bewerberfeld werden zwanzig weibliche und zehn männliche Personen 

zu einem Casting eingeladen, das in zwei Gruppen durchgeführt wird. 

Fünfzehn der Eingeladenen werden für die erste Gruppe zufällig ausgewählt. 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für die erste Gruppe zehn weibliche 

und fünf männliche Personen ausgewählt werden, wird mit p bezeichnet. 

2 a) Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass p nicht durch den 

Term 

5 10 

15 1 2 

 

 

 

5 

 

3 

 

3 

 

 

beschrieben wird. 

4 b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit p mithilfe eines geeigneten Terms. 

Nach dem Casting stehen die zehn Kandidaten der Quizshow fest. 

3 Im Rahmen der Show müssen Aufgaben aus verschiedenen Fachgebieten 

gelöst werden. Die Anzahl der von einem Kandidaten zu lösenden Aufgaben 

aus dem Fachgebiet Mathematik ist gleich der Augensumme, die von ihm 

bei einmaligem Werfen zweier Würfel erzielt wird. Die beiden Würfel tragen 

jeweils auf zwei Seitenflächen die Augenzahl 0, auf drei Seitenflächen die 

Augenzahl 1 und auf einer Seitenfläche die Augenzahl 2. 

4 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Kandidat 

genau zwei Aufgaben aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss. 




10 


Seite 107


3 b) Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der von einem Kandidaten zu 

lösenden Aufgaben aus dem Fachgebiet Mathematik. Der Tabelle kann 

die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X entnommen werden. Ermitteln 

Sie den fehlenden Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie den 

Erwartungswert von X. 

 

x 0 1 2 3 4 

P X x 

1 

 

9 

2 c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der zehn 

Kandidaten keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss. 

4 d) Bestimmen Sie, wie viele Kandidaten an der Quizshow mindestens teilnehmen 

müssten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % 

wenigstens ein Kandidat darunter ist, der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet 

Mathematik lösen muss. 

1 

3 

Für eine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik kommen zwei Kuverts 

zum Einsatz, die jeweils fünf Spielkarten enthalten. Es ist bekannt, dass das 

eine Kuvert genau zwei und das andere genau drei rote Spielkarten enthält. 

Der Showmaster wählt, jeweils zufällig, ein Kuvert und aus diesem zwei Karten 

aus. 

4 e) Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 

beiden ausgewählten Karten rot sind, 20 % beträgt. 

3 f) Der Showmaster zeigt die beiden ausgewählten Karten; sie sind tatsächlich 

rot. Der Kandidat wird nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt, 

dass die beiden Karten aus dem Kuvert mit den drei roten Karten stammen. 

Bestimmen Sie diese Wahrscheinlichkeit. 

30 

13 

36 

1 

36 


11 



Seite 108



BE 

Stochastik 


1 Nachdem die Verfilmung eines bekannten Romans erfolgreich in den Kinos 

gezeigt wurde, veröffentlicht eine Tageszeitung das Ergebnis einer repräsentativen 

Umfrage unter Jugendlichen. Der Umfrage zufolge hatten 88 % 

der befragten Jugendlichen den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch 

nicht gelesen, 18 % sahen die Verfilmung. Von den Befragten, die laut Umfrage 

den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen hatten, gaben 

60 % an, die Verfilmung gesehen zu haben. 

Betrachtet werden folgende Ereignisse: 

R: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hatte laut Umfrage 

den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen.“ 

V: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person sah laut Umfrage 

die Verfilmung.“ 

5 a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den Befragten 

zufällig ausgewählte Person, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt 

des Kinostarts noch nicht gelesen hatte, angab, die Verfilmung gesehen 

zu haben. 

4 b) Beschreiben Sie das Ereignis R V im Sachzusammenhang und bestimmen 

Sie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. 

5 2 Ein Jahr später möchte die Tageszeitung ermitteln, ob sich durch die Verfilmung 

der Anteil p der Jugendlichen, die den Roman gelesen haben, wesentlich 

erhöht hat. Die Nullhypothese H 0 : p 0,15 soll mithilfe einer Stichprobe 

von 100 Jugendlichen auf einem Signifikanzniveau von 10 % getestet 

werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. 




12 


Seite 109


Der Kurs Theater und Film eines Gymnasiums führt die Bühnenversion des 

Romans auf. 

4 3 Für die Premiere wird die Aula der Schule bestuhlt; in der ersten Reihe werden 

acht Plätze für Ehrengäste reserviert. Bestimmen Sie die Anzahl der 

Möglichkeiten, die die fünf erschienenen Ehrengäste haben, sich auf die reservierten 

Plätze zu verteilen, wenn 

α) die Personen nicht unterschieden werden; 

β) die Personen unterschieden werden. 

Nennen Sie im Sachzusammenhang einen möglichen Grund dafür, dass die 

möglichen Anordnungen der Ehrengäste auf den reservierten Plätzen nicht 

gleichwahrscheinlich sind – unabhängig davon, ob die Personen unterschieden 

werden oder nicht. 

4 Bei jeder Aufführung wird der Vorhang 15-mal geschlossen; dafür ist ein 

automatischer Mechanismus vorgesehen. Erfahrungsgemäß funktioniert der 

Mechanismus bei jedem Schließen des Vorhangs mit einer Wahrscheinlichkeit 

von 90 %. Nur dann, wenn der Mechanismus nicht funktioniert, wird der 

Vorhang von Hand zugezogen. 

5 a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: 

A: „Bei einer Aufführung wird der Vorhang kein einziges Mal von Hand 

zugezogen.“ 

B: „Bei einer Aufführung lässt sich der Vorhang zunächst viermal automatisch 

schließen, insgesamt wird der Vorhang jedoch genau zweimal 

von Hand zugezogen.“ 

2 b) Beschreiben Sie ein Urnenexperiment, mit dem sich das Verhalten des 

Mechanismus bei 15-maligem Schließen des Vorhangs simulieren lässt. 

5 c) Die Zufallsgröße X beschreibt, wie oft der Mechanismus beim Schließen 

des Vorhangs im Verlauf einer Aufführung nicht funktioniert. Bestimmen 

Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von X um mehr als eine 

Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht. 

30 


13 



Seite 110



BE 

Geometrie 


Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. 

Der Boden und zwei der Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. 

Das Rechteck ABCD liegt in einer Ebene E und stellt den geneigten Teil der 

Deckenfläche dar. 

4 a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. 

Abb. 1 

(mögliches Ergebnis: E : x2 2x3 

8 0 ) 

2 b) Berechnen Sie den Abstand des Punkts R von der Ebene E. 

Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d. h. das Zimmer ist 

an seiner höchsten Stelle 3 m hoch. 

G 2 | 4 | 2 hat die Breite GL 1. Es liegt in der Ebene 

E, die Punkte H und K liegen auf der Geraden CD. Das Rechteck stellt im 

Modell ein Dachflächenfenster dar; die Breite des Fensterrahmens soll vernachlässigt 

werden. 

Das Rechteck GHKL mit 

5 c) Geben Sie die Koordinaten der Punkte L, H und K an und bestimmen Sie 

den Flächeninhalt des Fensters. 

(zur Kontrolle: GH 5 ) 




14 


Seite 111


6 d) Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch 

2 

 

parallele Geraden mit dem Richtungsvektor v 

8 

repräsentiert. Eine 

1 

 

dieser Geraden verläuft durch den Punkt G und schneidet die Seitenwand 

OPQR im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S sowie die 

Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand OPQR einschließt. 

4 e) Das Fenster ist drehbar um eine Achse, die im Modell durch die Mittelpunkte 

der Strecken GH und LK verläuft. Die Unterkante des Fensters 

schwenkt dabei in das Zimmer; das Drehgelenk erlaubt eine zum 

Boden senkrechte Stellung der Fensterfläche. 

Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke GH und 

bestätigen Sie rechnerisch, dass das Fenster bei seiner Drehung den 

Boden nicht berühren kann. 

(Teilergebnis: M(2 | 5 |1,5 )) 

Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht 

mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine 

0 1 

 

vordere Oberkante liegt im Modell auf der Geraden k : X 5,5 λ 

0 

, λ IR . 

0,4 0 

 

Abb. 2 

4 f) Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite b des Möbelstücks möglichst 

genau. 

Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden k die Tiefe t des 

Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen. 

5 g) Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am 

Möbelstück anstoßen kann. 

30 


15 



Seite 112



BE 

Geometrie 


A 10 | 2 | 0 , 

T 2 | 4 | 3 gegeben. 

Der Körper ABCRST ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grundfläche 

ABC, der Deckfläche RST und rechteckigen Seitenflächen. 

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte 

B10 | 8 | 0 , C10 | 4 | 3 , R2 | 2 | 0 , S2 | 8 | 0 und 

6 a) Zeichnen Sie das Prisma in ein kartesisches Koordinatensystem 

(vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lage im Koordinatensystem 

hat die Grundfläche ABC? Berechnen Sie das 

Volumen des Prismas. 

4 b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche BSTC 

liegt, in Normalenform. 

(mögliches Ergebnis: E : 3x2 4x3 

24 0 ) 

3 c) Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenkanten 

CA und CB einschließen. 

3 d) Die Ebene F enthält die Gerade CT und zerlegt das Prisma in zwei volumengleiche 

Teilkörper. Wählen Sie einen Punkt P so, dass er gemeinsam 

mit den Punkten C und T die Ebene F festlegt; begründen Sie Ihre Wahl. 

Tragen Sie die Schnittfigur von F mit dem Prisma in Ihre Zeichnung ein. 

3 e) Die Punkte A, B und T legen die Ebene H fest; diese zerlegt das Prisma 

ebenfalls in zwei Teilkörper. Beschreiben Sie die Form eines der beiden 

Teilkörper. Begründen Sie, dass die beiden Teilkörper nicht volumengleich 

sind. 

Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die 

xx 1 2-Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt M5 | 6,5 | 3 

ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche BSTC im Punkt W berührt. 

6 f) Berechnen Sie den Radius r der Kugel sowie die Koordinaten von W. 

(Teilergebnis: 

r 1,5 ) 

5 g) Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinab. Im Modell bewegt sich der 

Kugelmittelpunkt vom Punkt M aus parallel zur Kante CB 

auf einer Geraden 

g. Geben Sie eine Gleichung von g an und berechnen Sie im Modell 

die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die 

Kugel die xx 1 2-Ebene berührt. 

30 

x 3 

x 1 

x 2 



16 


Seite 113


10.3 G8 Abitur 2013 


Analysiss 


BE 

3 

4 

2 

2 

3 

6 

1 Gegeben ist die Funktion g:x 

menge D. 

a) Bestimmen 

Sie D und geben Sie die Nullstelle von v g an. 

mit maximaler Definitions- 

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an denn Graphen von g im 

Punkt 

P0| 3 . 

 

2 Geben Sie jeweils den Term einer in IR definierten 

Funktion an, die die angegebene 

Wertemengee W hat. 

 

 

a) W 2; 

b) W 2;2 

 

 

 

3 Geben Sie für x IR die Lösungen der folgenden 

Gleichung an: 

x 

 

1 

 

ln x 1 

 

 

Teil 1 

3x 9 

 

x 

e 2 

4 Abbildung 1 zeigt den Graphen G f einer 

in IR definierten Funktion f. 

Skizzieren Sie in Abbildung 1 den 

Graphen der in 

IR definierten Integral- 

funktion F:x f t dt . Berücksichtigen 

Sie dabei mit jeweils angemessener 

Genauigkeit insbesondere die Nullstel- 

len und Extremstellen von F sowie F0. 

1 

3 

x 

0 

 

20 

Abb. 1 





Seite 114 

3



BE 

Teil 2 

Gegeben ist die in IR definierte Funktion f:x 

2x e 

den Graphen 

G von f. 

f 

0,5x 

2 

. Abbildung 2 zeigt 

2 

6 

4 

6 

6 

1 a) Weisen Sie rechnerisch nach, , dass G f punktsymmetrischh bezüglich des 

Koordinatenursprungs ist, undd machen 

Sie anhand des Funktionsterms 

von f plausibel, dass lim f x 0 gilt. 

x 

 

 

b) Bestimmen 

Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von G f . 

2 

0,5x 

(zur Kontrolle: f(x) 2ee (11 x 2 ); 

y-Koordinate des Hochpunkts: 2 ) e 

c) Berechnen 

Sie die mittlere Änderungsrate 

m S von v f im Intervall 

 

0,5; 0,5 

sowie die lokale Änderungsrate 

m T von v f an der Stelle x 0. 

Berechnen 

Sie, um wie viel Prozent 

mS von mT abweich ht. 

d) Der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x u mit u IR schließen 

für 

0 

x 

u ein Flächenstückk mit dem Inhalt A u ein. 

2 

0,5u 

Zeigen Sie, dass A u 

22ee gilt. Geben Sie lim Au an und 

u 

deuten Sie das Ergebnis geometrisch. 

e) Die 

Ursprungsgeradee h mit der Gleichung y 

2 x schließt mit G 

e 

f für 

x 0 ein Flächenstück mit dem Inhalt B vollständig ein. 

Berechnen 

Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden h 

mit 

G f und zeichnenn Sie die Gerade in 

Abbildung 2 ein. Berechnen 

Sie 

B. 

(Teilergebnis: x-Koordinate eines Schnittpunkts: 2) 

2 

Abb. 2 



4 



Seite 115


Im Folgenden wird die Schar der in IR definierten Funktionen g c :x 

f x c 

mit c IR betrachtet. 

2 2 a) Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten 

des Hochpunkts des Graphen von g c sowie das Verhalten von g c für 

x an. 

3 b) Die Anzahl der Nullstellen von g c hängt von c ab. Geben Sie jeweils einen 

möglichen Wert von c an, sodass gilt: 

α) g c hat keine Nullstelle. 

β) g c hat genau eine Nullstelle. 

γ) g c hat genau zwei Nullstellen. 

2 c) Begründen Sie für c 0 anhand einer geeigneten Skizze, dass 

3 3 

gc 

xdx f xdx 3c 

gilt. 

0 0 

3 Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich 

zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die 

jedes Jahr statistisch ermittelt wird. 

2 

0,5x 

Die Funktion g 1,4 :x 2xe 1,4 

beschreibt für x 0 modellhaft die 

zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei 

ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. x 1 

entspricht dem Jahr 1965) und g1,4 

x die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl 

in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist 

dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich. 

4 a) Zeichnen Sie den Graphen von g 1,4 in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie 

graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer 

mindestens 2,1 beträgt. 

2 b) Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage 

des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort. 

3 c) Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am 

stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert 

für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage 

des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der 

Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird. 

40 

 


5 



Seite 116



Analysiss 


BE 

5 

4 

2 

4 

3 

2 

1 Geben Sie für die Funktion f mit fx 

ln 

2013 x den maximalen Defini- 

tionsbereich D, das Verhalten von f an den Grenzen von D sowie die 

Schnittpunkte 

des Graphen von f mit den Koordinatenachsen an. 

2 Der Graph der 

in IR definierten Funktion f :x 

xsins 

x verläuft durch 

den 

Koordinatenursprung. Berechnen 

n Sie f 

0 und geben Sie das Krüm- 

mungsverhalten des Graphen von f in unmittelbarer Nähe des Koordinaten- 

ursprungs an. 

3 Gegeben sind die in IR definierten Funktionen g:x und h:x . 

a) Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die d Graphen von g und h 

genau einenn Schnittpunkt haben. 

b) Bestimmen 

Sie einenn Näherungswert x 1 für die x-Koordinate dieses 

Schnittpunkts, indem 

Sie für die in IR definierte 

Funktion 

d: x gx 

hx 

den erstenn Schritt des Newton-Verfahrens mit dem 

Startwert x 

0 1 durchführen. 

4 Abbildung 1 zeigt den Graphen G f der 

Funktion f mit Definitionsbereich 

2;2. 

Der Graph besteht aus zwei Halbkrei- 

bzw. 

sen, die die Mittelpunktee 1| 0 

1| 0 

sowie jeweils den 

Radius 1 besitzen. 

Betrachte 

wird die 

in 2;2 

defi- 

niertee Integralfunktion F :x f 

 

a) Geben Sie F0, F2 und F 

2 

an. 

b) Skizzieren Sie den Graphen von F in 

Abbildung 1. 

x 

0 

Teil 1 

t dt. 

e x 

3 

x 

Abb. 1 

20 




7 


Seite 117



BE 

Teil 2 

1 1 8 

Gegeben ist die Funktion f:x 

x 

2 2 x 

1 

Abbildung 2 zeigt den Graphen 

G von f. 

f 

mit Definitionsbereich IR 

\ 1 . 

 

 

6 

8 

6 

Abb. 2 

1 a) Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten vonn 

G f an und zeigen Sie 

rechnerisch, dass Gf seine schräge Asymptote 

nicht schneidet. Zeichnen 

Sie 

die Asymptoten in Abbildung 2 ein. 

b) Bestimmen 

Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von G . 

2 Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass 

G f bezüglich des Schnittpunkts 

P1| 1 seiner Asymptoten symmetrisch 

ist. Zum 

Nachweis dieser Symaus 

G f 

metriee von G f kann die 

Funktionn g betrachtet werden, derenn Graph 

durch 

Verschiebung um 

1 in positive x-Richtung und um 1 inn positive 

y-Richtung hervorgeht. 

a) Bestimmen 

Sie einenn Funktionsterm von g. Weisen Sie anschließend die 

Punktsymmetrie von G f nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von g 

punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. 

1 8 

(Teilergebnis: g( x) x 

2 x ) 

f 




8 


Seite 118


4 

8 b) Zeigen Sie, dass 

f x dx 28ln5 

gilt. 

0 

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des 

Integrals 

2 

 

6 

 

f x dx; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete 

Eintragungen in Abbildung 2. 

3 Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form 

eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen 

Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssigkeit 

hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem 

Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so 

beträgt die Füllhöhe 15 cm. 

Die bisher betrachtete Funktion f gibt für 0 x 15 

die Höhe von S über dem Dosenboden in Zentimetern 

an; dabei ist x die Füllhöhe in Zentimetern 

(vgl. Abbildung 3). 

3 a) Berechnen Sie 

Abb. 3 

f 0 und f 15 . Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse 

im Sachzusammenhang. 

3 b) Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale 

Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 

2 die Bewegung des Schwerpunkts S während des Füllvorgangs. 

Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass 

x-Koordinate und y-Koordinate des Tiefpunkts von G übereinstimmen? 

6 c) Für welche Füllhöhen x liegt der Schwerpunkt S höchstens 5 cm hoch? 

Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 

2 und anschließend durch Rechnung. 

40 

f(x) 

f 

S 

x 

15 


9 



Seite 119



BE 

Stochastik 


1 Folgende Tabelle gibt die Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren 

innerhalb der Bevölkerung Deutschlands wieder: 

0 A B AB 

Rh+ 35% 37% 9% 4% 

Rh- 6% 6% 2% 1% 

In einem Krankenhaus spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut. Im 

Folgenden soll angenommen werden, dass diese 25 Personen eine zufällige 

Auswahl aus der Bevölkerung darstellen. 

3 a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn der 

Spender die Blutgruppe A haben. 

3 b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der 

Spender die Blutgruppe 0 und den Rhesusfaktor Rh+ besitzt. 

Folgende Tabelle gibt für die verschiedenen Empfänger von Spenderblut an, 

welches Spenderblut für sie jeweils geeignet ist: 

Empfänger 

Spender 

0 Rh- 0 Rh+ A Rh- A Rh+ B Rh- B Rh+ AB Rh- AB Rh+ 

AB Rh+ 

AB Rh- 

B Rh+ 

B Rh- 

A Rh+ 

A Rh- 

0 Rh+ 

0 Rh- 

5 c) Für einen Patienten mit der Blutgruppe B und dem Rhesusfaktor Rh- wird 

Spenderblut benötigt. Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen 

mindestens Blut spenden müssten, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit 

von mehr als 95 % mindestens eine für diesen Patienten 

geeignete Blutspende erhält. 




10 


Seite 120


2 Bei 0,074 % der neugeborenen Kinder liegt eine bestimmte Stoffwechselstörung 

vor. Wird diese Störung frühzeitig erkannt, lässt sich durch eine geeignete 

Behandlung eine spätere Erkrankung vermeiden. Zur Früherkennung 

kann zunächst ein einfacher Test durchgeführt werden. Zeigt das Ergebnis 

des Tests die Stoffwechselstörung an, so bezeichnet man es als positiv. 

Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung vor, so ist das 

Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,5 % positiv. Liegt bei einem 

neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung nicht vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit 

dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 0,78 %. 

Bei einem zufällig ausgewählten neugeborenen Kind wird der Test durchgeführt. 


S: „Die Stoffwechselstörung liegt vor.“ 

T: „Das Testergebnis ist positiv.“ 

2 a) Beschreiben Sie das Ereignis S T im Sachzusammenhang. 

8 b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten PT und PT 

 

Sie das Ergebnis für P S im Sachzusammenhang. 

T 

S . Interpretieren 

(zur Kontrolle: P(T ) 0,85% , P(S) 0,1) 

3 c) Im Rahmen eines Screenings wird eine sehr große Anzahl zufällig ausgewählter 

neugeborener Kinder getestet. Ermitteln Sie die pro Million 

getesteter Kinder im Mittel zu erwartende Anzahl derjenigen Kinder, bei 

denen die Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist. 

3 Um Geld für die Ausstattung des Spielbereichs in der Kinderstation des 

Krankenhauses einzunehmen, wird ein Gewinnspiel angeboten. Nachdem 

der Spieler zwei Euro bezahlt hat, werden aus einem Behälter, in dem sich 

drei rote, drei grüne und drei blaue Kugeln befinden, drei Kugeln ohne Zurücklegen 

zufällig entnommen. Haben die drei entnommenen Kugeln die 

gleiche Farbe, so gewinnt der Spieler und bekommt einen bestimmten Geldbetrag 

ausgezahlt; ansonsten verliert er und erhält keine Auszahlung. Anschließend 

werden die gezogenen Kugeln in den Behälter zurückgelegt. 

2 a) Zeigen Sie, dass bei einem Spiel die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn 

1 

28 beträgt. 

4 b) Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt 

werden muss, damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für 

die Ausstattung des Spielbereichs erwartet werden kann. 

30 

T 


11 



Seite 121



BE 

Stochastik 


1 In einer Großstadt steht die Wahl des Oberbürgermeisters bevor. 12 % der 

Wahlberechtigten sind Jungwähler, d. h. Personen im Alter von 18 bis 24 

Jahren. Vor Beginn des Wahlkampfs wird eine repräsentative Umfrage unter 

den Wahlberechtigten durchgeführt. Der Umfrage zufolge haben sich 44 % 

der befragten Wahlberechtigten bereits für einen Kandidaten entschieden. 

Jeder Siebte derjenigen Befragten, die sich noch nicht für einen Kandidaten 

entschieden haben, ist Jungwähler. 


J: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person ist Jungwähler.“ 

K: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hat sich bereits für 

einen Kandidaten entschieden.“ 

4 a) Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang eine vollständig 

ausgefüllte Vierfeldertafel. 

4 b) Zeigen Sie, dass 

J 

P K P K gilt. 

J 

Begründen Sie, dass es trotz der Gültigkeit dieser Ungleichung nicht 

sinnvoll ist, sich im Wahlkampf vorwiegend auf die Jungwähler zu konzentrieren. 

3 c) Der Kandidat der Partei A spricht an einem Tag während seines Wahlkampfs 

48 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte an. Bestimmen Sie die 

Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau sechs Jungwähler befinden. 

2 Der Umfrage zufolge hätte der Kandidat der Partei A etwa 50 % aller Stimmen 

erhalten, wenn die Wahl zum Zeitpunkt der Befragung stattgefunden 

hätte. Ein Erfolg im ersten Wahlgang, für den mehr als 50 % aller Stimmen 

erforderlich sind, ist demnach fraglich. Deshalb rät die von der Partei A eingesetzte 

Wahlkampfberaterin in der Endphase des Wahlkampfs zu einer zusätzlichen 

Kampagne. Der Schatzmeister der Partei A möchte die hohen 

Kosten, die mit einer zusätzlichen Kampagne verbunden wären, jedoch 

möglichst vermeiden. 




12 


Seite 122


5 a) Um zu einer Entscheidung über die Durchführung einer zusätzlichen 

Kampagne zu gelangen, soll die Nullhypothese „Der Kandidat der Partei 

A würde gegenwärtig höchstens 50 % aller Stimmen erhalten.“ mithilfe 

einer Stichprobe von 200 Wahlberechtigten auf einem Signifikanzniveau 

von 5 % getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. 

3 b) Begründen Sie, dass die Wahl der Nullhypothese für den beschriebenen 

Test in Einklang mit dem Anliegen der Wahlkampfberaterin steht, einen 

Erfolg bereits im ersten Wahlgang zu erreichen. 

3 Nach der Wahl darf die Partei A in einem Ausschuss drei Sitze besetzen. 

Von den acht Stadträtinnen und vier Stadträten der Partei A, die Interesse 

an einem Sitz in diesem Ausschuss äußern, werden drei Personen per Losentscheid 

als Ausschussmitglieder bestimmt. 

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder 

der Partei A. Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der 

Zufallsgröße X mit P 

1 

X 0 und P 

14 

X 3 . 

55 

55 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 1 2 3 k 

Abb. 1 Abb. 2 

4 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten PX 1 

und PX 2 

. 

(Ergebnis: P( X 1) 12 , P( X 2) 28 ) 

55 

55 

3 b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße X. 

(Ergebnis: E( X ) 2 , Var( X ) 6 ) 

30 

P(X=k) 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 1 2 3 

4 c) Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten 

Zufallsgröße Y mit den Parametern n 3 und p 

2 

. Zeigen Sie 

3 

rechnerisch, dass Y den gleichen Erwartungswert wie die Zufallsgröße X, 

aber eine größere Varianz als X besitzt. 

Erläutern Sie, woran man durch Vergleich der Abbildungen 1 und 2 er- 

Var Y Var X gilt. 

kennen kann, dass 

k 

P(Y=k) 

11 


13 



Seite 123



Geometrie 


BE 

Ein auf einer horizontalen 

Fläche stehendess Kunstwerk besitztt einen Grund- 

eines Spats sind Parallelogramme. 

. 

körper aus massivem Beton, der die Form eines Spats hat. Alle Seitenflächen 

In einem 

Modell lässt sich 

der Grundkörper 

durch einen Spat ABCDPQRS mit 

A 28 | 0 |0 , B 

28|10|0 , D20|00 |6 und P0|0|0 0 beschreiben (vgl. Ab- 

bildung) ). Die rechteckige Grundfläc 

che ABQP 

liegt in der d xx 1 2-Ebene. Im 

Koor- 

ist 

dinatensystem entspricht 

eine Längeneinheit 0,1 m, d. d h. der Grundkörper 0,6 m hoch. 

5 

3 

3 

2 

3 

a) Geben Sie die Koordinaten des Punkts 

C an undd zeigen Sie, dasss die 

Seitenflächee ABCD ein Quadrat ist. 

b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenee E, in der die Seitenfläche 

ABCD 

liegt, in Normalenform. 

(mögliches Ergebnis: E :3xx 

4x 

84 0 ) 

c) Berechnen 

Sie die Größe dess Winkels, 

unter dem die Seitenflächee ABCD 

gegen die x x -Ebene geneigt ist. 

1 2 

1 3 



14 


d) Die 

Seitenfläche PQRS liegt in einer Ebene F. BestimmenB 

n Sie, ohne zu 

rechnen, eine Gleichung von F in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorge- 

V G h berechnet werden kann, wobei G der FlächeninF 

halt des Recht- 

ecks ABQP und h die 

zugehörige Höhe 

des Spats hen. 

e) Machen Sie 

plausibel, dass das Volumen des Spats mithilfe der Formel 

ist. 


Seite 124


3 f) Ein Kubikmeter des verwendeten Betons besitzt eine Masse von 2,1 t. 

Berechnen Sie die Masse des Grundkörpers. 

Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im 

Modell vom Punkt H11| 3 | 6 der Deckfläche DCRS aus in Richtung des 

Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine 

gerade Stahlstange mit einer Länge von 1,4 m so befestigt, dass die Stange zu 

drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt. 

7 g) Bestimmen Sie im Modell eine Gleichung der Geraden h, entlang derer 

die Bohrung verläuft, sowie die Koordinaten des Punkts, in dem die 

Stange in der Bohrung endet. 

(zur Kontrolle: möglicher Richtungsvektor von h: 3 

2 

) 

 

 

6 

4 h) Auf der Deckfläche des Grundkörpers liegt eine Stahlkugel mit einem 

Radius von 0,8 m. Im Modell berührt die Kugel die Deckfläche des Spats 

im Punkt K. Beschreiben Sie, wie man im Modell rechnerisch überprüfen 

könnte, ob die Stahlkugel die Stange berührt, wenn die Koordinaten von 

K bekannt wären. 

30 


15 



Seite 125



Geometrie 


BE 

1 Die Abbildung zeigt modellhaft einen Ausstellungspavillon, der die Form ei- 

und 

ner geraden vierseitigen 

Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat 

auf einer horizontalen Fläche steht. Das Dreieck BCS beschreibt im Modell 

die südliche Außenwand 

des Pavillons. Im 

Koordinatensystem entspricht ei- 

ne Längeneinheit 1 m, d. h. die Grundfläche des Pavillons hat eine Seiten- 

länge 

von 12 m. 

3 

4 

5 

a) Geben Sie die Koordinaten des Punkts 

B an undd bestimmen Sie das 

Volumen des Pavillons. 

b) Die 

südliche 

Außenwand des Pavillons 

liegt im Modell in einer Ebene E. 

Bestimmen 

Sie eine Gleichung von E in Normalenform. 

(mögliches Ergebnis: E :4xx 

3x 

2 3 

 

48 0 ) 

c) Der Innenausbau des Pavillons erfordert eine möglichst kurze, dünne 

Strebe zwischen dem 

Mittelpunkt der Grundfläc 

he und der südlichen Au- 

ßenwand. Ermitteln Sie, in welcher Höhe über der d Grundfläche die 

Strebe 

an der Außenwand befestigt ist. 




16 


Seite 126


An einem Teil der südlichen Außenwand sind Solarmodule flächenbündig 

montiert. Die Solarmodule bedecken im Modell eine dreieckige Fläche, 

deren Eckpunkte die Spitze S sowie die Mittelpunkte der Kanten SB und 

SC sind. 

 

 

4 d) Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche. 

4 e) Die von Solarmodulen abgegebene elektrische Leistung hängt unter anderem 

von der Größe ihres Neigungswinkels gegen die Horizontale ab. 

Die Tabelle gibt den Anteil der abgegebenen Leistung an der maximal 

möglichen Leistung in Abhängigkeit von der Größe des Neigungswinkels 

an. Schätzen Sie diesen Anteil für die Solarmodule des Pavillons nach 

Berechnung des Neigungswinkels unter Verwendung der Tabelle ab. 

Neigungswinkel 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 

Anteil an der maximalen 

Leistung 

87 % 93 % 97 % 100 % 100 % 98 % 94 % 88 % 80 % 69 % 

2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geraden 

8 3 

1 1 

g:X 1 λ 

1 

, λ IR , und h:X 5 μ 2 

, μ 

IR , gegeben. Die 

7 2 

 

 

9 4 

 

Geraden g und h schneiden sich im Punkt T. 

4 a) Bestimmen Sie die Koordinaten von T. 

(Ergebnis: T(2| 1|3)) 

2 b) Geben Sie die Koordinaten zweier Punkte P und Q an, die auf g liegen 

und von T gleich weit entfernt sind. 

4 c) Zwei Punkte U und V der Geraden h bilden zusammen mit P und Q das 

Rechteck PUQV. Beschreiben Sie einen Weg zur Ermittlung der Koordinaten 

von U und V. 

30 


17 



Seite 127





Seite 128

11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 

11 Musterlösungen Abituraufgaben 

2011-2013 

11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 

11.1.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1 

1. Setze Nenner = 0 

4x + 5 = 0 → x = −5 

D = R \ { −5 

4 4 

f ′ (x) = 2·(4x+5)−(2x+3)·4 

(4x+5) 2 

= 8x+10−8x−12 

(4x+5) 2 = − 2 

(4x+5) 2 

} 

2. F ′ (x) = f(x) 

F ′ (x) = 1x · (2 ln x − 1) + 1 2 4 x2 · 2 · 1 = x · ln x − 1x + 1 x = x ln x = f(x) 

x 2 2 

F (x) = 1 4 x2 · (2 ln x − 1) + c 

F (1) = 1 4 x2 · (2 ln 1 − 1) + c = 0 (ln 1 = 0) 

− 1 4 + c = 0 → c = 1 4 → F (x) = 1 4 x2 · (2 ln x − 1) + 1 4 

3. 1. N(x) = N 0 · e k·(x−2000) 

2. N (2000) = N 0 · e k·(2000−2000) = 6, 1Mrd. 

→ N 0 = 6, 1Mrd. 

3. N (2010) = N 0 · e k·(2010−2000) = 6, 9Mrd. 

4. 

→ 6, 1Mrd. · e 10k = 6, 9Mrd. 

e 10k = 6,9 

6,1 

| ln 

10k = ln 69 

61 

k = ( ln 69 

61 

) 

: 10 = 0, 01232326404 




Seite 129

11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2 

4. a) Skizze: 

a 

2 

1 

+ 

∫ π 

0 

sin 2x dx 

π 

−π 

2 

−1 

π 

3π 

5π 

π 2π 

2 2 2 

- 

Merke: sin kx integriert = − cos kx · 1 

k 

b) F (x) = − cos 2x · 1 + c, da gilt F ′ (x) = 1 sin 2x · 2 = sin 2x 

2 2 

∫ π 

0 sin 2x dx = [− 1 cos 2 2x]π 0 = − 1 cos 2π − (− 1 cos 2 · 0) = − 1 + 1 = 0 

2 2 2 2 


1. a) Setze Radikand r ≥ 0 

√ r 

x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3 → D f = [−3; +∞[ 

√ x → 

√ 

x − (−3) = √ x + 3 

y 

1 

1 

x 

x 

−1 1 −3 −2 −1 

−1 

−1 

√ 

√ x x − (−3) = √ x + 3 

y 

Der Graph wird um drei Einheiten nach links verschoben 

(in die negative x-Richtung!). 




Seite 130


b) P (1, 5|0) Q(x|f(x)) = (x| √ ⎛ ⎞ ⎛ x + 3) ⎞ 

→ P # Q » = ⎝ x − 1, 5 ⎠ = ⎝√ x − 1, 5 ⎠ 

f(x) − 0 x + 3 − 0 

a 

c 

√ 

b 

x + 3 

P 

a 

x − 1, 5 

· 

C 

Es gilt Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 

(x − 1, 5) 2 + ( √ x + 3) 2 = c 2 = # » P Q 2 

x 2 − 3x + 2, 25 + x + 3 = c 2 

x 2 − 2x + 5, 25 

d(x) = | # » P Q| = √ x 2 − 2x + 5, 25 

√ 

c) Merke: ( f(x)) ′ = 

2 

√ 

f ′ (x) 

f(x) 

kleinster Abstand: Voraussetzung d ′ (x) = 0, wegen Min/Max und Monotonieverhalten 

an der Stelle 

( 

d ′ 1 

(x) = 

2· 

√x · (2x − 2) = √ 

2x−2 

= √ 

2 −2x+5,25 2· x 2 −2x+5,25 2· 

d ′ (x) = 0 → nur Zähler = 0 setzen → 2x − 2 = 0 → x = 1 

2·(X−1) 

x 2 −2x+5,25 

) 

Monotonie bei x = 1 

x < 1 1 x > 1 

sgn f ′ (x) 

− 0 + 

bei x = 1 Minimum 

y-Wert: f(1) = √ 1 + 3 = 2 → Q = (1|2) 




Seite 131


d) Bedingung: 

1. m P QE 

= 2 

−0.5 = ∆y 

∆x 

2 

Q E 

P 

−1 · 0.5 

2. m t = f ′ (1) = 1 

2 √ 4 = 1 4 

e) Zeichnung: 

( ) 

f ′ (x) = 1 

2 √ x+3 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

aus 1. und 2. folgt 

m P QE · m t = −1 

−4 · 1 

4 

= −1 q.e.d. 

oder Normalensteigung: m n = − 1 m t 

y 

A 1 2 

A 2 

1 

−3 

−2 

−1 

−1 

1 2 3 

x 

Stammfunktion: 

f(x) = (x + 3) 1 2 

→ aus x n → xn+1 

n+1 

F (x) = (x+3) 3 2 

3 = 2(x + 3) · √x + 3 

3 

2 

A = A 1 + A 2 

A 1 = ∫ 1 

−3 f(x) dx = [ 2 

(x + 3) · √x + 3 ] 1 

= 2 · 4 · √4 

− 2 · 0 · 0 = 16 3 −3 3 3 3 

A 2 = 1 · 0, 5 · 2 = 1 2 2 

1 · g · h 2 

f(1) = 2 

A = 16 3 + 1 2 = 35 6 [FE] 

f(1) = 2 → h = 2; g = 0, 5 




Seite 132


2. a) Zeichnung: 

−3 

g(x) 

−2 

2 

1 

1 

−1 

−1 

−2 

2 

g ′ (−1) = m t 

1 2 

m t = 2 1 = 2 

oder: m t = ∆y 

∆x = y 2−y 1 

x 2 −x 1 

= 

P 1 (−1|0), P 2 (0|2) 

2−0 = 2 

0−(−1) 

Bestimmung von g ′ (x) 

lim g(x) ⇒ 1 x − 1 schräge Asymptote = t(x) 

x→±∞ 2 

→ lim 

x→±∞ g′ (x) ⇒ 1 waagrechte Asymptote 2 t′ (x) 

Punkte von g ′ (x) 

g ′ (1) = 2 

g ′ (4) ≈ 0 

S 1 (−1|2) 

S 2 (4|0) ,da g(x) ein Minimum bei x ≈ 4 hat 

g(x) : x = 1 senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel 

g ′ (x) : x = 1 senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel 

Merke: Hat g(x) keinen Vorzeichenwechsel → g ′ (x) hat Vorzeichenwechsel und umgekehrt! 

Monotonie 

g(x) : ] − ∞, 1[ → streng monoton steigend → g ′ (x) > 0 

g(x) : ]1, 4[ → streng monoton fallend → g ′ (x) < 0 

g(x) : ]4, +∞[ → streng monoton steigend → g ′ (x) > 0 




Seite 133


5 

4 

y x = 1 

g ′ (x) 

3 

2 

g(x) 

1 

y = 1 2 

x 

−5 

−4 

−3 

−2 

−1 

−1 

1 2 3 4 5 

−2 

−3 

−4 

b) I. die schräge Asymptote x − 1 passt nicht! 

II. 

a 

x−1 

Pol ohne Vorzeichenwechsel passt nicht! 

III. alles passt! y = 1 2 x − 1 + 

a 

(x−1) 2 

1 

x − 1 → schräge Asymptote, (x − 2 1)2 → Pol mit Vorzeichenwechsel 

Punkt von G g (−1|0) einsetzen 

g(−1) = 0 

1 

2 (−1−1) 2 = 0 

− 3 + a 2 4 

= 0 

a 

4 

= 3| : 1 2 4 

a = 6 

→ g 6 (x) = 1x − 1 + 6 

2 (x−1) 2 

c) h(x) = ln g(x) ln ⊙ → ⊙ > 0 → g(x) > 0 

aus der Zeichnung: D h =] − 1, +∞[ bei x = 1 → senkrechte Asymptote → 

nicht definiert 




Seite 134


5 

4 

y x = 1 

g ′ (x) 

3 

2 

g(x) 

1 

y = 1 2 

x 

−5 

−4 

−3 

−2 

−1 

−1 

1 2 3 4 5 

−2 

−3 

−4 

Grenzwerte von h(x) über Grenzwerte von g(x) 

lim x→−1 + g(1) = 0 + → lim x→−1 + h(x) = ln 0 + = −∞ 

lim x→1 − g(x) = +∞ → lim x→1 − h(x) = ln +∞ = +∞ 

lim x→1 + g(x) = +∞ → lim x→1 + h(x) = ln +∞ = +∞ 

lim x→+∞ g(x) = +∞ → lim x→+∞ h(x) = ln +∞ = +∞ 

Nullstelle von h(x) 

Da ln 1 = 0 muss g(x) = 1 werden, da gilt: h(g(x)) = ln(g(x)) 

siehe Zeichnung: 

bei x ≈ −0, 6 ist g(x) = 1 → g(−0, 6) = 1 

→ h(x) = ln g(−0, 6) = ln 1 = 0 




Seite 135

11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1 

11.1.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1 

1. Zeichnung: 

A 

4 

3 

y 

f(x) = 0 

4 − x 2 = 0 

−x 2 = −4 

x 2 = 4 

2 

1 

x 1 = −2 

x 2 = +2 

} Integralgrenzen 

x 

−3 

−2 

−1 

−1 

1 2 

−2 

−3 

wegen y-Achsensymmetrie! 

A = ∫ 2 

−2 f(x) dx = 2·∫ 2 

0 (4 − x2 ) dx = [4x− x3 

3 ]2 0·2 = (8− 8 3 )·2 = 2·( 24 3 − 8 3 ) = 2· 16 3 = 32 3 

2. f(x) = 3 · √x → √ Radikand Radikand ≥ 0 → √ x → x ≥ 0 → D f = R + 0 

Merke: 

→ √ x = x 1 2 

n√ x = x 

1 

n 

→ ∫ x n dx = xn+1 

n+1 + c 

→ ∫ 3 √ x dx = ∫ 3x 1 2 dx = 3 · x 1 2 +1 

+ c = 3·x 3 2 

1 

2 +1 3 

2 

2 · x · √x + c = 2 · √x 3 + c 

→ F (x) = 2 · √x 3 + c P (1|4) in F einsetzen 

F (1) = 2 · √1 3 + c = 4 

2 + c = 4 

→ F (x) = 2 · √x 3 + 2 

c = 2 

+ c = 3 · 2 

3 · x 3 2 + c = 2 · x 3 2 + c = 




Seite 136


3. f(x) = sin x 

x 2 

a) sin x 

x 2 = 0 → Zähler = 0 → sin x = 0 

x = kπ k ∈ Z\{0} → Nenner muss ungleich 0 sein! 

b) Zeichnung: 

y 

−x 

x 

x 

→ sin(−x) = − sin(x) 

f(−x) = sin(−x) 

(−x) 2 

= − sin x 

x 2 

= −f(x) → Punktsymmetrie zum Ursprung 

Merke: Zahl 

+∞ = 0 

sin(x) 

lim 

x→+∞ x 2 

= sin ∞ 

∞ 2 = 

Zahl zwischen +1 und -1 

∞ 2 = 0 

c) Quotientenregel: a(x) 

b(x) = a′ (x)·b(x)−a(x)·b ′ (x) 

(b(x)) 2 

f(x) = sin(x) 

x 2 

→ f ′ (x) = cos x·x2 −sin x·2x 

(x 2 ) 2 = 

̸x(x cos x−2 sin x) 

x ̸4 3 

= 

x·cos x−2 sin x 

x 3 

4. D f = R\{−1} 

x = −1 → Polstelle 

f(x) = 2·x2 

(x−(−1)) 2 → ohne Vorzeichenwechsel: () 2 , () 4 , () 6 , ... 

(x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 

f(x) = 

→ 

lim 

x→±∞ 

f(x) = 

2x2 

1x 2 +2x+1 

→ Zähler und Nennerpolynom sind gleich groß 

f(x) = 2, wegen 

2x2 

1x 2 

2x2 

(x+1) 2 2x 

oder 4 

(x+1) 4 2x 

oder 6 

(x+1) 6 1 

oder 

(x+1) 2 + 2 oder ... 




Seite 137



1. a) f(x) = 6 · e −0,5x + x 

f ′ (x) = 6 · e −0,5x · (−0, 5) + 1 = −3 · e −0,5x + 1 

f ′′ (x) = −3 · e −0,5x · (−0, 5) = 1, 5 · e −0,5x 

⎫ 

⎬ 

zuerst immer die Ableitungen 

⎭ 

Monotonieverhalten: 

Extremwerte: 

f ′ (x) = 0 

−3 · e −0,5x + 1 = 0 

in f(x) 

−3 · e −0,5x = −1 

e −0,5x = 

1 

3 

| ln 

−0, 5x = ln 1 3 

= ln 3 −1 = − ln 3 

−0, 5x = − ln 3 

0, 5x = ln 3 

x = 2 · ln 3 

f(2 ln 3) = 6 · e −0,5·2 ln 3 + 2 ln 3 = 6 · e − ln 3 + 2 ln 3 = 6 · e ln 3−1 + 2 ln 3 = 

6 · 3 −1 + 2 ln 3 = 6 + 2 ln 3 = 2 + 2 ln 3 

3 

Monotonietabelle 

≈ 2, 2 

sgn f ′ (x) 

oder 

x = 2 ln 3 in f ′′ (x) einsetzen 

x E 

x < x E 2 ln 3 x > x E 

−1 0 +1 

Tiefpunkt 

E(2 ln 3|2 + 2 ln 3) 

≈ 2, 2 ≈ 4, 2 

f ′′ (2 ln 3) = 1, 5 · e −0,5·2 ln 3 > 0 

→ Tiefpunkt 

Merke: 

→ f ′′ (x E ) > 0 → TIP 

→ f ′′ (x E ) < 0 → HOP 

x ∈] − ∞, 2 ln 3[→ f(x)streng monoton fallend 




Seite 138


x = 2 ln 3 → Tiefpunkt 

x ∈]2 ln 3, +∞[→ f(x)streng monoton steigend 

Krümmungsverhalten: 

f ′′ (x) = 0 1, 5 · e −0,5x = 0 

e −0,5x = 0 ` e - kan nie null werden! 

→ keine Flach- bzw. Wendepunkte 

f ′′ (x) = 1, 5 · e −0,5x > 0 e − immer positiv → Linkskrümmung 

in ganz D f 

Merke : 

f ′′ (x) > 0 → Linkskrümmung 

f ′′ (x) < 0 → Rechtskrümmung 

b) Merke: exponentielles Wachstum ist stärker! 

lim 6 · 

x→−∞ e−0,5x + x = 6 · e +∞ + (−∞) = +∞ + (−∞) = +∞ 

lim f(x) = 

x→−∞ e−∞ + (+∞) 

→ 0 + ∞ = +∞ 

Der erste Teil (e −0,5x ) geht gegen 0 

Der zweite Teil (ax) ist die schräge Asymptote, da sich der Graph an a(x) = x, 

je größer die x-Werte sind, annähert! 

c) y = m t · x + t 

m t = f ′ (0) = −3 · e −0,5·0 + 1 = −3 · e 0 + 1 = −3 + 1 = −2 

y = −2 · x + t 

6 = −2 · 0 + t → t = 6 

f(x) = −2 · x + 6 

setze(0|6) ein 




Seite 139


y 

7 

6 

G f 

y = x 

4, 2 

5 

4 

3 

2 

1 

−2 

−1 

−1 

1 2 3 4 5 6 7 

2, 2 

x 

−2 

y = −2x + 6 

2. a) h(x) = 6 · e −0,5x 

i. f 1 (x) = e ax → e −x Spiegelung an der y-Achse 

y 

2 

e −x 

1 

e x 

−2 

−1 

−1 

1 2 

x 

−2 

ii. f 2 (x) = e −xa → e −0,5x Streckung in x-Richtung um 2, 

da 2 · (−0, 5x) = −x 

z.B. mit Wertetabelle gut zu erkennen von -3 bis 3 




Seite 140


e −0,5x 

y 

2 

1 

−2 

−1 

−1 

e −xa 

1 2 

x 

−2 

iii. f 3 (x) = be −0,5x → 6e −0,5x Jeden y-Wert mal 6 nehmen, d.h. Streckung 

in y-Richtung strecken mit dem Faktor b 

y 

4 

3 

6e −0,5x 

e −0,5x 

2 

1 

−2 

−1 

−1 

1 2 3 4 

x 

−2 




Seite 141


iv. f 4 (x) = 6·e −0,5x +a → 6·e −0,5x +1, 5 

d.h. um 1,5 nach oben verschieben 

y 

Alle y-Werte mit 1,5 addieren, 

8 

7 

6 · e −0,5x + 1, 5 

6 

5 

4 

+1, 5 

3 

+1, 5 

2 

+1, 5 

6 · e −0,5x +1, 5 

1 

−2 

−1 

−1 

1 2 3 4 

x 

−2 

b) Die Schadstoffmenge der Maschine nimmt stetig ab, unterschreitet aber nie den 

Grenzwert 1, 5 mg 

min , denn lim x→+∞ 6·e −0,5x +1, 5 = e −∞ +1, 5 = 1, 5 Grenzwert! 

siehe auch Zeichnung! 




Seite 142


c) Zeichnung: 

y 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

A 

1 

−2 

−1 

−1 

1 2 3 4 5 

x 

−2 

→ A = ∫ 5 

0 f(x) dx = 

∫ 5 

0 (6 · e−0,5x + 1, 5)dx = 

Merke: ∫ e kx = 1 k · ekx + c 

[ 

6 · 

1 

−0,5 · e−0,5x + 1, 5x ] 5 

0 = 

[6 · (−2) · e −0,5x + 1, 5x] 5 0 = 

(6(−2)e −2,5 + 7, 5) − (6(−2) · e 0 + 0) = 

−12 · e −2,5 + 7, 5 + 12 = 

−12 · e −2,5 + 19, 5 ≈ 18, 5 

Die Schadstoffmenge, die die Maschine in den ersten 5 Minuten ausstößt beträgt 

etwa 18,5 mg. 




Seite 143


3. a) Schnittpunkt y-Achse → x = 0 

f a (0) = 6 · e 0 − a · 0 = 6 → S y (0|6) 

→ Punkt (0|6) ist unabhängig vom Parameter a und deshalb für jede 

Funktion gleich! 

f ′ (x) = 6 · e −0,5x · (−0, 5) − a 

−3e −0,5x − a a ∈ R + 

f ′ (x) = −3 · e −0,5x − a 

f ′ (x) = 0 

−3 · e −0,5x − a = 0 

−3 · e −0,5x = a | : (−3) 

e −0,5x = − 1 3 a ` 

da a ∈ R + 

→ Vorzeichen - → f a (x)in ganz D fa 

streng monoton fallend! 

lim 6 · e−0,5·(+∞) − a · (+∞) = 0 + − ∞ = −∞ 

x→+∞ 

b) x x+1 = x n − fa(xn) 

f ′ a (xn) 

Newtonformel 

hier x 0 = 0 

→ x 1 = 0 − fa(0) 

f ′ a (0) = 0 − 6 

−3e 0 −a = − 6 

−3−a = 6 

3+a 




Seite 144

11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.5 Stochastik Aufgabengruppe I 

11.1.5 Stochastik Aufgabengruppe I 

1. O ˆ= Oberberg ˆ=258 

Ō = N ˆ= Niederberg ˆ=1722 

Ē ˆ= keine Einwände ˆ=1089 

E ˆ= Einwände 1980 − 1089 = 891 

|Ē ∩ O| = 27 

Vierfeldertafel von Vorteil: 

O 

Ō = N 

E 231 660 891 

Ē 27 1062 1089 

258 1722 1980 

a) Bedingte Wahrscheinlichkeiten, da man sich auf die Befragten von Niederberg 

bzw. Oberberg bezieht, nicht auf alle Befragten! 

P N (E) = P (N∩E) = 660 

P (N) 1722 

= 0, 383 ⇒ 38, 3% 

P O (E) = P (O∩E) = 231 = 0, 895 ⇒ 89, 5% 

P (O) 258 

b) p 1 : hier geht es um alle Befragten, gesucht ist die Schnittmenge aus O und E 

P (O ∩ E) = |O∩E| = 231 ⇒ 11, 7% 

|Ω| 1980 

p 2 : „wenn bekannt ist“ deutet auf eine Bedingung hin, d.h. es handelt sich 

um eine bedingte Wahrscheinlichkeit!(zuerst E!) 

P E (O) = P (E∩O) 

P (E) 

= |O∩E| = 231 

|E| 891 

= 25, 9% 

c) p 1 = 231 

1980 ; p 2 = 231 

891 Der Zähler ist gleich und der Nenner von p 1 sind alle 

Befragten, der von p 2 nur die Befragten der Gegner → Nenner p 1 ≥ Nenner 

p 2 → p 1 

d.f. p 1 > p 2 ist unmöglich! 

2. Man bestimmt hier den Erwartungswert. Nützlich ist dabei eine Tabelle. 

a) Tabelle: 

Glücksradziffer 1 2 3 4 

P G 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 

Einsatz e 2, 50 2, 50 2, 50 2, 50 

Unkosten e −10 −5 0 0 

Gewinn e −7, 50 −2, 50 2, 50 2, 50 

E G = (−7, 50) · 0, 1 + (−2, 50) · 0, 2 + 2, 50 · 0, 3 + 2, 50 · 0, 4 = 0, 5 e 




Seite 145


b) Hier handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment, 

⎛ ⎞ 

d.h. Du kannst mit der Formel ⎝ n ⎠·p k ·q n−k = Bp n (x = k) rechnen! 

k 

⎛ ⎞ 

P (A) = 0, 4 5 · 0, 6 5 ; (0, 4 5 → p 4 = 0, 4 ; 0, 6 5 → p Rest = 0, 6) ⎝ n ⎠ fällt hier 

k 

weg, da alle ⎛ Stellen ⎞ festgelegt sind! 

P (B) = ⎝ 10 ⎠ · 0, 4 5 · 0, 5 6 

5 

⎛ ⎞ 

P (C) = ⎝ 10 ⎠·0, 1 5·(0, 4) 5 

5 

p 1 = 0, 1 

⎛ ⎞ 

⎝ 10 ⎠ → Stellenberechnung 

5 

⎛ ⎞ 

⎝ 10 ⎠ → Stellenverteilung 

5 

0, 1 5 → 

3. Unter 10 wenigstens ein Gegner → x ≥ 1 

P Gegner : P (x ≥ 1) = 1 − PP 10 

G 

(x = 0) ≥ 0, 99 

Berechnung: 

1 − Pp 10 (x = 0) ≥ 0, 99 | − 1 

−Pp 10 (x = 0) ≥ −0, 01 | · (−1) V ORSICHT ! 

P 10 

⎛ p (x = 0) 

⎞ 

≤ 0, 01 

⎝ 10 ⎠ · p 0 · (1 − p) 10 

0 

≤ 0, 01 

(1 − p) 10 ≤ 0, 01 | 1 ) 

10 

1 − p ≤ 0, 01 1 10 | − 1 

−p ≤ 0, 01 1 10 − 1 | · (−1) V ORSICHT ! 

p ≥ 1 − 0, 01 1 10 

p ≥ 1 − 10√ 0, 01(V − 10√ 0, 01 + 1) ≈ 0, 37 

p ≥ 37% 

Antwort: Der Anteil der Gegner muss unter den Badegästen mindestens 37% sein! 

4. Annahme der Hypothese H 0 bei A = {h + 1, ..., 200} 

Ablehnung der Hypothese H 0 bei Ā = {0, ..., h} 

p 0 ≥ 0, 55 

Ā Irrtümliche Ablehnung von H 0 , wenn H 0 eintritt, wir uns aber irrtümlicherweise 

dagegen entscheiden. 




Seite 146

11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.6 Stochastik Aufgabengruppe II 

Die Wahrscheinlichkeit dafür soll höchstens 5% sein! P 200 

0,55(x ≤ k) ≤ 0, 05 

Tabelle (200|0, 55|k) → kummulativ! 

k = 97 

→ Ā = {0, ..., 97} 

A = {98, ...200} 

Bei höchstens 97 der Gegnern wird die Vermutung des Gemeinderates abgelehnt! 

11.1.6 Stochastik Aufgabengruppe II 

1. a) Es handelt sich um ein Benoulli-Experiment, dabei helfen Dir die Formeln: 

⎛ 

Bp n (x = k) = ⎝ n k 

⎞ 

⎠ · p k · (1 − p) n−k 

(n = Anzahl der Versuche, p = Wahrscheinlichkeit, k = Anzahl der Treffer) 

oder Tabellenwerk 

P n p (x ≥ k) = B n p (x ≥ k) mindestens k Treffer 

P n p (x > k) = B n p (x > k) mehr als k Treffer 

P n p (x ≤ k) = B n p (x ≤ k) höchstens k Treffer 

P n p (x < k) = B n p (x < k) weniger als k Treffer 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

Tabellenwerk 

kummulativ 

Hier: B0,1 200 (20 ≤ x ≤ 25) ⇒ B0,1 200 (x ≤ 25) − B0,1 200 (x ≤ 19) = 0, 895 − 0, 4655 = 

0, 434 ˆ=43, 4% 

25 

0 19 20 

υ 

⎛ ⎞ 

b) P0,1 200 (x = 20) = ⎝ 240 ⎠ · 0, 1 20 · 0, 9 240−2 = 0, 063 ˆ=6, 3% 

20 

Wiederum ein Bernoulli-Experiment! 

c) Unabhängigkeit bedeutet: w: weiblich v: vegetarisch 

P (A∩B) = P (A) · P (B) P (w∩v) =: 6 Frauen essen vegetarisch, 6 aus 240. 




Seite 147


P (w∩v) = P (w) · P (v) 

6 

Hier: = x · 20 | · 240 2 : 20 

240 240 240 

6·̸240·̸240 12 

x = = 72 

̸240·̸20 

→ 72 Frauen sind an Bord 

2. a) Es geht hier um einen Nullhypothesentest, bei dem die Entscheidungsregel berechnet 

werden soll. 

H 0 : p 0 ≤ 0, 15 Annahmebereich A = {0, ..., k} → höchstens 15% wünschen 

das Angebot, d.h. man nimmt höchstens bei k Personen die Hypothesen an! 

AblehnungĀ = {k + 1, ..., 200} 

Nun berechnet man die irrtümliche Ablehnung der H 0 ! 

D.h. den Fehler, dass die H 0 eintritt, man sich jedoch für Ā enschieden hat. 

Der Fehler soll unter 5% bleiben. 

P0,15(x 200 ≥ k + 1) ≤ 0, 05 

Berechnung: 

P0,15(x 200 ≥ k + 1) ≤ 0, 05 

1 − P0,15(x 200 ≤ k) ≤ 0, 05 | − 1 

−P0,15(x 200 ≤ k) ≤ −0, 95 | · (−1) 

P0,15(x 200 ≤ k) ≥ 0, 95 → Tabellenwerk! kummulativ 

k = 38 

A = {0, ..., k}... Ā = {39, ..., 200} 

d.h. Wenn mindestens 39 Personen das Angebot wollen, wird unsere Hypothese 

H 0 p 0 ≤ 0, 15 abgelehnt! 

b) Wird irrtümlich auf das Angebot verzichtet heißt das, dass mehr als 15% der 

Passagiere das Angebot wollen. Der Test liefert jedoch das Gegenteil → falsch! 

p 0 ≤ 0, 15 

Wird das Angebot irrtümlich angeboten, wünschen es doch höchstens 15%. 

Der Test liefert jedoch, dass es mehr wollen. In 2a) haben wir diesen Fehler 

möglichst klein gehalten(≤ 0, 05(5%)), d.h. es is der Fluggesellschaft wichtig 

keinen finanziellen Verlust zu bekommen. 




Seite 148


3. a) Vierfeldertafel 

K 

x 

B 0, 91 0, 05 0, 96 

(0, 94 − 0, 03) 

¯B (0, 04 − 0, 01) (0, 06 − 0, 05) 

0, 03 0, 01 0, 04 

0, 94 0, 06 1 

¯K 

(1 − 0, 06) 

x = 0, 91 P (B ∩K) ⇒ Beleuchtung und Klimaanlage funktionieren einwandfrei 

oder weder B noch K sind mangelhaft. 

b) Es handelt sich um eine Bedingte Wahrscheinlichkeit, die Bedingung ist, dass 

die Beleuchtung nicht einwandfrei funktioniert. 

P ¯B( ¯K) = 

P ( ¯B∩ ¯K) 

P ( ¯B) = 0,01 

0,04 

= 0, 25 ˆ=25% 

c) 1. P ( ¯K) = 0, 04 

2. P (K) = 1 − 0, 04 = 0, 96 

3. (Mindestens ein Mangel) P ( ¯B ∪ ¯K) = 1−P (B ∩K) = 0, 05 → P (B ∩K) = 

1 − 0, 05 = 0, 95 

4. P (Mindestens ein Mangel liegt vor) = 0, 05 

P ( ¯B ∪ ¯K) = 0, 05 

P ¯B∪ ¯K( ¯B) = 0, 4 → bedingte Wahrscheinlichkeit 

Merke: 

P A (B) = P (A∩B 

P (A) 

Hier: 

P (( ¯B∪ ¯K)∩ ¯B) 

P ( ¯B∪ ¯K) = 0, 4 

P (( ¯B ∪ ¯K) ∩ ¯B) = 0, 4 · 0, 05 = 0, 02 




Seite 149

• 

• 

11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I 

5 

4 

3 

2 

1 

¯K 

¯B 

0 

0 1 2 3 4 5 

→ ( ¯B ∪ ¯K) ∩ ¯B = ¯B 

→ d.h. ¯B ∪ ¯B beinhaltet ganz ¯B 

→ P (( ¯B ∪ ¯K) ∩ ¯B) = P ( ¯B) = 0, 02 

→ P (B) = 1−0, 02 = 0, 98 nun können wir die Vierfeldertafel vervollständigen: 

k ¯k 

B 0, 95 0, 03 0, 98 

¯B 0, 01 0, 01 0, 02 

0, 96 0, 04 1 

11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I 

1. a) # » nE 

B 

C 

A 

# » 

AB = #» B − #» A = 

# » 

AC = #» C − #» A = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

−80 − 0 

60 − 60 

60 − 0 

−80 − 0 

0 − 60 

60 − 0 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

−80 

0 

60 

−80 

−60 

60 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ : 20 = ⎜ 

⎝ 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ : 20 = ⎜ 

⎝ 

−4 

0 

3 

4 

3 

−3 

⎞ 

⎟ 

⎠ = AB # » ∗ 

⎞ 

⎟ 

⎠ = AC # » ∗ 




Seite 150


# » 

nE = AB # » ∗ × AC # » 

∗ = 

−4 /// 4/ 

⎛ 

⎞ ⎛ 

# » 

0 3 

0 · (−3) − 3 · 3 

nE = 

3 −3 

= ⎜ 3 · 4 − (−4) · (−3) ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

−4 4 

−4 · 3 − 0 · 4 

∣ 0 3 ∣ 

#» 

E : nE # » ◦ ( X #» − A) #» ⎛ ⎞ ⎛ = 0 ⎞ 

3 x 1 − 0 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ x 

⎝ 2 − 60 ⎟ 

⎠ = 0; 3x 1 + 4x 3 = 0 

4 x 3 − 0 

−9 

0 

−12 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ : 3 = ⎜ 

⎝ 

3 

0 

4 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

→ x 2 fehlt → parallel zur x 2 -Achse 

→ Konstante fehlt → E geht durch den Ursprung 

E geht durch den Ursprung und enthält die x 2 -Achse. 

x 3 

E 

C 

B 

A 

x 2 

x 1 




Seite 151


Winkel ϕ von Ebene E und E x1 ,x 2 

nE◦ 

Schnittwinkel von Ebenen: cos ϕ = # » nE # » x1 ,x 2 

z 

| nE|· # » nE # » x1 ,x 2 

3 

2 

1 

3 

⎛ ⎞ ⎛ 

→ # » 0 

nE x1 ,x 2 

ist z.B. ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ oder ⎜ 

⎝ 

# » 

1 

hE x1 ,x 2 

usw. jeder Vektor der x 3 -Achse! 

x 

→ cos ϕ = 

∣ 

2 

1 

1 2 3 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 

3 0 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

4 1 

√ 

= 

3 2 +0 2 +4 2· 

√0 2 +0 2 +1 2 

y 

∣ 3·0+0·0+4·1 

b) Wir zeigen: 

( AB # » = OC)und # » OA # » ⊥ OC 

# » 

⎛ ⎞ 

⎫ 

| AB| # » 

−80 

= 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

60 

⎪⎬ 

⎛ ⎞ 

paralell und gleich lang 

| OC| # » 

−80 

= 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

∣ 60 ∣ 

⎪⎭ 

∣ ∣ √ ∣∣ ∣∣ 

25·√ 

1 

= 

5 

∣ = 0, 8 

4 

→ ϕ = 36, 9 ◦ 

0 

0 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Nun zeigen wir noch: 

# » 

OA ⊥ AB # » oder OC # » ⊥ OA # » → OA # » ◦ AB # » 

# » 

= 0 OC ◦ OA # » 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎛ = 0⎞ 

⎛ 

0 −80 

⎜ 60 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = 0 + 0 + 0 = 0 → OA # » ⊥ AB 

# » −80 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 

⎝ 

0 60 

60 

→ OABC ist ein Rechteck! 

0 

60 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 0 




Seite 152

• 


A ROABC = l · b = | OA| # » · | AB| # » oder | OC| # » · | CB| # » oder | AB| # » · | BC| # » . . . 

A R = √ √ 

0 2 + 60 2 + 0 2 · (−80) 2 + 0 2 + 60 2 = 60 · 100 = 6000[FE] 

d) 

c) Da das Grundbuch auf die Pläne von 3-Dimensional auf 2 Dimensional reduzieren 

muss, wählt man die Draufsicht von oben. Dies bedeutet die x 3 -Werte 

fallen weg, d.h. man setzt die x 3 -Werte = 0. Damit liegen alle Punkte in der 

x 1 , x 2 -Ebene. 

→ A liegt schon drin 

→ aus B(−80|60|60) wird B ′ (−80|60|0) 

→ aus C(−80|0|60) wird C ′ (−80|0|0) 

Die neue A ROAB ′ C ′ = | OA| # » · | AB # »′ 

| = √ 0 2 + 60 2 + 0 2 · √(−80) 2 + 0 2 + 0 2 = 

4800[FE] 

H 

d 

d 

C 

d 

B 

D 

A 

Wenn ng # » ◦ # » 

⎛ nE = ⎞ 0 ⎛ ⎞ → g ‖ E → g hat immer den gleichen Abstand zu E 

4 3 

⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟ = 12 + 50 + (−12) = 0 → passt! 

⎝ ⎠ 

−3 4 

Abstand: d(g, E) =? Bestimme die Hesseform von E und setze z.B. den Aufpunkt 

von g ein! ∣ (oder einen anderen Punkt, der auf der Geraden liegt!) 

∣∣∣ E H = ∣ 

= √3 2 +4 2 ∣ 3·(−20)+4·40 

∣ = ∣ 100 

∣ = 20 

∣ 3x 1+4x 3 +0 

5 

5 




Seite 153


e) 

H 

C 

B 

D 

• 

M 

M(−40|30|30) 

A 

allgemeiner Geradenpunkt von g 

H g (20 + ⎛4t|40 + 5t|40 + 3t) ⎞ ⎛ ⎞ 

−20 + 4t − (−40) 20 + 4t 

# » 

MH = ⎜ 40 + 5t − 30 ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ 10 + 5t ⎟ 

⎝ ⎠ 

40 − 3t + 30 10 − 3t 

| MH # » √ 

g | = (20 + 4t) 2 + (10 + 5t) 2 + (10 − 3t) 2 = √ 400 + 160t + 16t 2 + 100 + 100t + 25t 2 + 

√ 

600 + 200t + 50t 

2 

Die Länge ist minimal, wenn der Radikand minimal ist. 

d(t) = 600 + 200t + 50t 2 ableiten und das Minimum suchen! 

d ′ (t) = 200 + 100t = 0 

t = −2 

d ′′ (t) = 100 > 0 → Minimum bei t = 2 

d Minimum = 600 + 200 · (−2) + 50 · (−2) 2 = 400 

| MH # » 

g | = √ d Minimum = √ 400 = 20 




Seite 154

• 

• 

• 

11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

f) OV # » 

0 = OM # » 0 

−40 0 −40 

+ ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ · 15 = ⎜ 30 ⎟ 

⎝ ⎠ + ⎜ 15 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 45 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 

30 0 30 

#» 

V 0 (−40|45|30) ⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

# » 

MV N : parallel zu OC # » −80 

= ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ mit | OC| # » 

−80 

# » 

= 100 OC ◦ = 1 · 

⎜ 

100 

0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

60 

60 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

→ OV # » 

M = OM+15· # » OC # » −40 −80 −40 −12 

◦ = ⎜ 30 ⎟ 

⎝ ⎠ + 15 

⎜ 

100 

0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 30 ⎟ 

⎝ ⎠ + ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = 

30 

60 30 9 

⎛ ⎞ 

−52 

⎜ 30 ⎟ 

⎝ ⎠ 

39 

V N (−52|30|39) 

11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II 

1. a) rechtwinklig bei C 

→ AC # » ◦ BC # » 

⎛ ⎞ ⎛ = 0 ⎞ 

−3 −8 

⎜ −6 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 8 ⎟ 

⎝ ⎠ = 24 − 48 + 24 = 0 # » 

AC ⊥ BC # » rechtwinklig 

−6 −4 

Berechnung ⎛ der⎞ 

Katheten: 

⎫ 

−3 

# » 

AC = ⎜ 6 ⎟ 

⎝ ⎠ ; | AC| # » √ 

= (−3) 2 + (6 2 ) + (−6) 2 = √ 81 = 9 

−6 

⎪⎬ # » 

⎛ ⎞ 

AC ist die kürzere Kathete 

−8 

# » 

BC = ⎜ 8 ⎟ 

⎝ ⎠ ; | BC| # » √ 

= (−8) 2 + 8 2 + (−4) 2 = √ 144 = 12 

−4 

⎪⎭ 

b) → r ist die Höhe im △ABC 

C 

r=hc 

A M 1 

c 

B 

r = d(C; AB) = CM # » 

1 

1. CM # » 

1 ⊥ AB # » → CM # » 

1 ◦ AB # » = 0 




Seite 155


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

m 1 1 

5 

2. M 1 liegt auf g # » 

AB → ⎜ m 

⎝ 2 ⎟ 

⎠ = ⎜ 7 ⎟ 

⎝ ⎠ + t · ⎜ −14 ⎟ 

⎝ ⎠ 

m 3 3 −2 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1. CM # » m 1 − (−2) m 1 = ⎜ m 

⎝ 2 − 1 ⎟ 

⎠ = 1 + 2 5 

⎜ m 

⎝ 2 − 1 ⎟ 

⎠ ◦ ⎜ −14 ⎟ 

⎝ ⎠ = 0 

m 3 − (−3) m 3 + 3 −2 

⎛ ⎞ 

5 

# » 

AB = ⎜ −14 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−2 

5(m 1 + 2) − 14(m 2 − 1) − 2(m 3 + 3) = 0 

5m 1 + 10 − 14m 2 + 14 − 2m 3 − 6 = 0 

5m 1 − 14m 2 − 2m 3 + 18 = 0 

2. m 1 = 1 + 5t 

m 2 = 7 − 14t 

m 3 = 3 − 2t 

2. in 1. und nach t auflösen 

5(1 + 5t) − 14(7 − 14t) − 2(3 − 2t) + 18 = 0 

5 + 25t − 98 + 196t − 6 + 4t + 18 = 0 

225t = 81 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 

5 

M 1 ∈ g → ⎜ 7 ⎟ 

⎝ ⎠ + 81 · 

⎜ 

225 

−14 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 

−2 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

→ CM # » 1 

5 

1 = ⎜ 7 ⎟ 

⎝ ⎠ + 225· 

81 

⎜ −14 ⎟ 

⎝ ⎠ − ⎜ 

⎝ 

3 −2 

⎛⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎞ 

⎛ ⎞ 

405 

1080 

3 

225 

225 

⎜⎜ 

− 1134 

⎟ 

⎝⎝ 

225 ⎠ + ⎜ 6 ⎟⎟ 

⎝ ⎠⎠ = 216 

⎜ ⎟ 

⎝ 225 ⎠ 

− 162 

1188 

6 

225 

225 

−2 

1 

−3 

t = 81 

225 

⎞ 

⎛⎛ 

⎟ 

⎠ ⇒ CM # » 

1 = ⎜⎜ 

⎝⎝ 

1 

7 

3 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ + 81 · 

⎜ 

225 ⎝ 

5 

−14 

−2 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ − ⎜ 

⎝ 

−2 

1 

−3 

⎞⎞ 

⎟⎟ 

⎠⎠ 

| CM # » 

1 | = √ ( 1080 

225 )2 + ( 216 

225 )2 + ( 1188 

225 )2 = 7, 2 

1 

oder · √1080 

225 2 + 216 2 + 1188 2 = 7, 2 




Seite 156

• 

• 

• 


Elementargeometrisch: 

C 

r=hc 

A p M q 

1 

B 

c 

I a 2 = c · q a = BC # » ⎫ 

= 12 ⎬ 

II b 2 = c · p b = AC # » = 9 ⎭ Kathetensatz 

III h 2 = p · q c = √ a 2 + b 2 = 15 Höhensatz 

I a 2 = c · q → q = a2 c 

II b 2 = c · p → p = b2 c 

I und II in III 

h 2 = b2 c · a2 c = a2·b 2 

c 2 = 122·9 2 

15 2 = 7, 2 

oder über Flächenformel △ 1 2 g · h 

A 1 = 1 · a · b 2 A 1 = A 2 ; A 2 = 1 · c · h 2 c 

1 2 2 c h c = 7, 2 

c) E ABC 

B C 

#» n E 

A 

1. nE # » = ( AB # » × AC) 

# » 

2. E : nE # » ◦ ( X #» − A) #» = 0 

+5 //////// − 3 

⎛ 

−14 − 6 

84 − 12 

# » 

1. 

−2 − 6 

nE = ⎜ 6 + 30 

⎝ 

5 − 3 

−30 − 42 

∣ −14 − 6 ∣ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

2 x 2. ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ 1 − 1 

⎜ x 

⎝ 2 − 7 ⎟ 

⎠ = 0 

−2 x 3 − 3 

E : 2x 1 − 2 + x 2 − 7 − 2x 3 + 6 = 0 

E : 2x 1 + x 2 − 2x 3 − 3 = 0 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

d) BS # » 11, 5 − 6 5, 5 

= ⎜ 4 − (−7) ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ 11 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−6 − 1 −7 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

72 

36 

−72 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ : (36) = ⎜ 

⎝ 

2 

1 

−2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 




Seite 157


S 

#» n E 

A 

#» n E 

→ 

Neigungswinkel δ 

B 

A 

δ α B 

E 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

2 5, 5 

⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 11 ⎟ 

⎝ ⎠ 

nE◦ 

cos α = # » BS 

# » 

| nE|·| # » BS| # » = −2 −7 

√ 

9·√ 

200,25 

⇒ α = 32 ◦ 

δ = 90 ◦ − α = 90 ◦ − 32 ◦ = 58 ◦ 

Merke : 

cos α = 

#» a ◦ #» b 

| #» a |·| #» b | 

⎛ ⎞ ⎡⎛ 

⎞ ⎛ 

V ABCS = 1 · ( AB # » ◦ ( AC # » × AS)) # » 

5 −3 1, 5 

= 1 ⎜ 

6 6 

−14 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎢⎜ 

−6 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ × ⎜ −3 

⎝ 

∣ −2 −6 −9 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

5 36 

1 

⎜ 

6 

−14 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ −90 ⎟ 

⎝ ⎠ 

∣ −2 72 ∣ 

1 

|180 + 1260 − 144| = 216 VE 

6 

⎞⎤ 

⎟⎥ 

⎠⎦ 

∣ 

= 

oder v = 1G · h G = A 3 D ABC 

A △ABC = 1g · h = 1 · 9 · 12 = 54 

2 2 

h = d(S; E) Hesseform von E ∣ H 

S(11, 3|4| − 6) in E H = ∣ 2x 1+x √ 2 −2x 3 −3 ∣∣ 

4+1+4 

h = d(S|E) = ∣ 2·11,3+4·−2·(−6)−3 

∣ ∣ = ∣ 3 

∣ 

36 

∣ = 12 

3 

h = 12 

→ V = 1 · 54 · 12 = 216 VE 

3 

e) 




Seite 158

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 


P 2 S P 1 

g ‖ E 

E 

C 

A B 

h = d(P, E) = d(S; E) immer gleicher Abstand von g und E 

→ A △ABC gleich und h gleich 

→ V ABCP bleibt stets gleich! 

f) 

#» n E 

C 

P 

M AB 

B 

Der Umkreis ist der Thaleskreis über AB, # » der Hypotenuse des △ABC! 

→ r = 1 # » 

AB = 1 · 15 = 7, 5 

2 2 ⎡⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎤ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

# » 

M AB = 1( A #» + B) #» 1 6 

7 3, 5 

= 1 ⎢⎜ 

2 2 

7 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ + ⎜ −7 ⎟⎥ 

⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜ 

2 

0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 1 

4 2 

M AB (3, 5|0|2) 

Frage: Ist M # » 

AB S ein Vielfaches von nE? 

# » 

Dann wäre M # » 

AB zugleich Höhenfußpunkt! 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

11, 5 − 3, 5 8 

# » 

M AB S = ⎜ 4 − 0 ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ 4 ⎟ ; h im Kegel?! 

⎝ ⎠ 

−6 − 2 −8 

⎛ ⎞ 

h · nE # » 8 

= ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−8 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎫ 

2 8 2h = 8 

⎪⎬ 

h · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ → 1h = 4 h = 4 

−2 −8 −2h = −8 

⎪⎭ 

→ M # » 

AB ist auch ein Höhenfußpunkt 




Seite 159


V Kegel : 1 3 r2 π · h = 1 3 · 7, 52 π · # » M AB S = 1 3 · 7, 52 π · √64 + 16 + 64 = 1 3 · 7, 52 π · 12 ≈ 

706, 858 

Prozentwert: V Kegel−V Pyramide 

V Kegel 

= 706,858−216 

706,858 

· 100% = 227, 2% 



1. a) Setze 

ln(x + 3) → (x + 3) > 0 x > −3 D =] − 3; +∞[ 

f ′ (x) = 1 

x+3 · 1 Merke: 

b) g(x) = 3 

x 2 −1 

g ′ (x) = 0·(x2 −1)−3·2x 

(x 2 −1) 2 = − 6x 

2 −1) 

Merke: 

ln f(x) → f(x) > 0 

Der Nenner darf nicht 0 werden! 

Setze: x 2 − 1 = 0 x 2 = 1 → x = ±1 → D f = R\{−1; +1} 

2. a) f(x) = 5 − x 2 oder 5 − 3x 2 oder 5 − 1 2 x2 

Der höchste Punkt muss bei (0|5) liegen. 




Seite 160


5 

4 

3 

2 

1 

−4 

−3 

−2 

−1 

−1 

1 2 3 

−2 

b) Nicht differenzierbar bedeutet stetig bei x = 5, aber nicht ableitbar! 

Am besten wählt man die Betragsfunktion! 

f(x) = |x| und verschiebt sie um 5 Einheiten nach rechts 

→ f(x) = |x−5| → Die Funktion ist stetig, doch ihre Grenzwerte lim f ′ (x) ≠ 

x→5 + 

lim f ′ (x), d.h. wenn man sich von rechts annähert hat man eine andere Steigung 

als wenn man sich von links annähert! 

x→5 − y 

5 

x 

→ die Funktion ist nicht diffenrenzierbar (oder ableitbar) an der Stelle x = 5 

3. a) 

1 

−π 

−π 

2 

−1 

π 

π 

2 

f(x) = sin x → p = 2π (Periode) 

⇒ f(x) = sin 2x (2 = b) → p = 2π = 2π = π d.h. alle π kommt eine Nullstelle! 

b 2 2 

Wähle z.B. x 1 = 0; x 2 = π oder x 2 1 = π; x 2 2 = π usw. 

(Geht natürlich auch nach links ins Negative) 

z.B. x 1 = −π; x 2 = − π 2 




Seite 161


b) ∫ 2 

0 f(x) dx = ∫ 2 

0 sin(2x) dx = [ − 1 cos 2 2x] 2 

= − 1 cos 4 + 1 cos 0 ≈ 0, 827 

0 2 2 

Merke : 

∫ sin(k · x) dx = − 

1 

∫ cos(k · x) dx = 

1 

k 

k 

cos(k · x) + c 

sin(k · x) + c 

Der Wert des Integrals entspricht nicht dem Wert der Fläche, da das Integral 

von 0 bis π positiv ist und von π bis 2 negativ! Das Integral verrechnet den positiven 

und negativen Wert!(Flächenbilanz!) Für die Fläche müsste der 

2 2 

negative 

Teil mit Betrag positiv gemacht und zum positiven Teil addiert werden! 




Seite 162


4. Um f ′ (x) zu skizzieren benötigt man die Steigung der Tangente an f(x). Einfach 

einmal ableiten, die Steigung bestimmen und dann einsetzen 

x = −1 ist m t = y = 2,2 x 1 → f ′ (−1) = 2, 2 

x = 0 ist m t = 2 = 2 1 → f ′ (0) = 2 

z.B. 

x = 1 ist m t = 1,5 1 → f ′ (1) = 1, 5 

x = 2 ist m t = 1,1 1 → f ′ (2) = 1, 1 

x ≈ 3, 3 Hochpunkt → f ′ (3, 3) = 0 

x = 4 ist m t = −1 1 → f ′ (4) = −1 

x = 5 → m t = nicht ablesbar, aber sehr groß negativ 

lim f ′ (x) = −∞ 

x→5 


1. a) Es gibt 2 mögliche Achsenschnittpunkte 

1. f(x) = 0 → Nullstelle 

2e x 

e x +9 = 0 → 2ex = 0` geht nicht, da e x nie Null wird → kein Schnittpunkt mit 

der x-Achse 

oder 2. f(0) = . . . Schnittpunkt mit der y-Achse 

f(0) = 2·e0 

e 0 +9 = 2 

1+9 = 1 5 = 0, 2 → Schnittpunkt mit der y-Achse bei S y(0|0, 2) 

b) lim 

x→+∞ 

lim 

x→−∞ 

c) Monotonie: 

////·2 

2·e +∞ 

= e +∞ 

e +∞ +9 ////·(1+ e +∞ 9 

2·e −∞ 

e −∞ +9 = 2·0+ 

0 + +9 = 0 

e +∞ ) = 2 1 = 2 

Monotonie: 

→ Bestimme f ′ (x) (Quotientenregel) 

→ Setze f ′ (x) = 0 (Setze Zähler =0) 

→ Bestimme Monotonietabelle 

f ′ (x) = 2ex (e x +9)−2e x·ex 

(e x +9) 2 = 2e2x 

f ′ (x) = 0 → 

//// +18e x −2e //// 2x 

(e x +9) 2 = 18ex 

(e x +9) 2 

18ex = 0 → 18e x ≠ 0 → keine Extremwerte 

(e x +9) 2 

Monotonieverhalten: 

18e x >0 

(e x +9) 2 >0 → immer > 0 → G f streng monoton steigend! 




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d) Tangente bestimmen y = mx + t bei S(0|0, 2) 

m = f ′ (0) = 

18e0 = 18 = 18 = 0, 18 

(e 0 +9) 2 (10) 2 100 

y = 0, 18 · x + t Setze S y (0|0, 2) ein 

0, 2 = 0, 18 · 0 + t → t = 0, 2 → y = 0, 18 · x + 0, 2 

e) hier: ∫ 4 

0 

2e x 

e x +9 

hier: f ′ (x) = e x f(x) = e x + 9 

Formel zur Integration: 

∫ f ′ (x) 

dx = ln |f(x)| + c 

f(x) 

die 2 lässt du als Faktor im Zähler einfach mit · stehen Diese Formel funktioniert, 

wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht! 

→ [2 · ln |e x + 9|] 4 0 = 2 · [ln |e 4 + 9| − ln |e 0 + 9|] = 2 · ln |e 4 + 9| − ln |10| ≈ 3, 7 

f) Die Umkehrbarkeit hast du schon in 1c) bewiesen! Ist eine Funktion G f streng 

monoton steigend(fallend), dann ist sie umkehrbar! In 1c) haben wir gezeigt, 

dass G f streng monoton steigt! 

→ G f ist umkehrbar! Wir nennen sie G f −1 

Nun zur Definitionsmenge und Wertemenge von f −1 (x) 

Es gilt immer D f = W f −1, also D f = R = W f −1 und W f = D f −1 

W f =]0; 2[ siehe Grenzwerte aus 1b) 

→ D f −1 =]0; 2[ d.h. der Graph von G f −1 ist nur von ]0; 2[ definiert, nimmt aber 

als W f −1 = R alle y-Werte an. 

Zeichnerisch bekommt man G f −1 aus G f , indem man G f an der Winkelhalbierenden 

des I. und III. Quadranten spiegelt! 

2. a) Wachstum in den ersten 2 Monaten 

Start: f(0) = 2e0 

e 2 +9 = 0, 2 

nach 2 Monaten: f(2) = 2e2 

e 2 +9 ≈ 0, 9 

Wachstum f(2) − f(0) = 0, 9 − 0, 2 = 0, 7[m] ˆ=70[cm] 

das Wachstum in den ersten zwei Monaten betrug also 70cm! 

b) Höhe 1, 5 → f(x) = 1, 5 




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→ 2ex 

e x +9 

= 1, 5 | · (e x + 9) 

2e x = 1, 5(e x + 9) 

2e x = 1, 5e x + 13, 5 | − 1, 5e x 

0, 5e x = 13, 5 | : 0, 5 

e x = 27 | · ln 

x = ln 27 ≈ 3, 3 

nach circa 3,3 Monaten hat sie die Höhe von 1,5m erreicht! 

c) Das schnellste Wachstum ist dort wo man die größte Steigung f ′ (x) an G f ist. 

Die Steigung ist am steilsten wo die Krümmung sich wendet! 

Am Graphen ungefähr bei x M = 2 − 2, 5 

Rechnerisch Wendepunkt bestimmen: 

18e x·(e ///////−18e x +9) 2 x·2·(e //////·e x +9) x 

f ′′ (x) = 0 f ′′ (x) = 

−18e 2x +162e x 

(e x +9) 3 = ex (−18e x +162) 

(e x +9) 3 = 0 

Zähler = 0 e x · (−18e x + 162) = 0 

e x ≠ 0 −18e x + 162 = 0 

e x = 162 

18 | · ln 

x = ln 9 ≈ 2, 2 → x M ≈ 2, 2 

(e x +9)̸4 3 = 18ex (e x +9)−36e 2x 

(e x +9) 3 = 18e2x +162e x −36e 2x 

(e x +9) 3 = 

Die maximale Wachstumsrate pro Tag erhältst du, indem du x M 

f ′ (2, 2) einsetzt, denn dort wächst die Blume ja am schnellsten! 

d.h. f ′ (2, 2) = 0, 5[m] 

Das Wachstum ist ja in Monaten angegeben: 

≈ 2, 2 in 

Teile also 0, 5m : 30, dann hast du die maximale Wachstumsrate pro Tag 

≈ 0, 5m : 30 ≈ 1, 7 cm 

Tag 

d) Wenn f(x) = 0 für x = 14 Tage− ≈ 0, 5 Monate, dann stimmt die Behauptung, 

dann wäre die Auskeimung ca. 14 Tage = −0, 5 Monate (- wegen der 

Beobachtungszeit!)vor dem Beobachtungsbeginn erfolgt: 

Rechnung: 

0, 18x + 0, 2 = 0 

0, 18x = −0, 2 

x = −0, 2 · 0, 18 ≈ −1, 1 

Die Annahme ist also falsch! Sie steht nicht im Einklang mit der Realität! 




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e) Parameterfunktionen: 

Die neue Saat wächst doppelt so schnell, sie braucht für jede Höhe nur die 

Hälfte der Zeit 

→ x T = 1 2 x 

gleich Höhe der beiden Sorten, wenn 

g T (x T ) = f(x) 

g T ( 1 x) = f(x) 

2 

I geht nicht, da f(x + k) eine Verschiebung längs der negativen x-Achse bedeutet! 

Es gilt aber: g(0) = f(0 + k) ⇒ f(k) > f(0) → g(0) ≠ f(0) 

II geht nicht, da k · f(x) eine Vervielfachung der y-Werte (der Höhe) bedeutet, 

aber g(0) = k · f(0) → f(0) = g(0) = k · f(0) nur für k = 1, dann wäre aber 

g(x) = f(x) 

f) Es passt III: 

y = f(kx) = 2·ekx 

e kx +9 

aus f(x) = g T ( 1 2 x) → f(2 · x) = g T ( 1 2 · 2x) 

→ g T (x) = f(2x) → k = 2 


1. Setze den Nenner = 0 

x 2 + 4x + 3 = 0 

Lösungsmöglichkeiten: 

1. Formel: x 1,2 = −b±√ b 2 −4ac 

a = 1; b = 4; c = 3; 

2a 

x 1,2 = −4±√ 4 2 −4·1·3 

= −4±2 → x 

2·1 2 1 = −3; x 2 = −1 

⇒ D f = R\{−3; −1} 




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2. Quadratische Ergänzung: 

x 2 + 4x + 2 2 − 2 2 + 3 = 0 

(x + 2) 2 − 4 + 3=0 

(x + 2) 2 − 1=0 

(x + 2) 2 =1| √ 

x + 2 = ±1 

x 1 = −2 + 1 = −1 

x 2 = −2 − 1 = −3 

3. Faktorisieren: 

(x + 3) · (x + 1) = 0 

→ x 1 = −3; x 2 = −1 

Nullstelle: Setze den Zähler = 0 

f(x) = 0 2x + 3 = 0 x = − 3 2 → N(− 3 2 |0) 

2. a) Bestimme G ′ (x) und setze g’(x)=0 

g(x) = x · e −2x Produktregel (u · v) ′ = u ′ · v + u · v ′ 

= 1 · e −2x + x · e −2x · (−2) 

= e −2x − 2x · e −2x Wichtig klammere e −2x aus 

e −2x (1 − 2x) 

Setze g ′ (x) = 0 → e −2x · (1 − 2x) = 0 Es kann nur der e-freie Teil null werden! 

1 − 2x = 0 → x = 1 2 

g( 1 2 ) = 1 2 · e−2·( 1 2 ) = 1 2 · e−1 = 1 2e y-Wert 

⇒ P ( 1 2 | 1 2e ) 

b) lim 

x→−∞ g(x) = (−∞) · e−2(−∞) = (−∞) · e +∞ = (−∞) · (+∞) = −∞ 

lim 

x→+∞ g(x) = (+∞) · e−2∞ = (−∞) · 0 = 0 

Merke: 

e −∞ = 1 

e +∞ 

ganz klein 




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3. a) f(x) = ln x 

−f(x) → Spiegelung an der x-Achse 

−f(x) = − ln x 

−f(x)+c → Verschiebung in y-Richtung, hier c = +3, also 3 Einheiten nach oben 

−f(x) + c → h(x) = − ln x + 3 

b) Tangente: y = mx + t P (1|h(1)) → h(1) = − ln 1 + 3 = 3 → P (1|3) 

→ Bestimme m = f ′ (1) 

→ Setze P (1|3) in y = mx + t ein 

Merke: 

(ln x) ′ = 1 x 

f ′ (x) = − 1 x 

m = f ′ (1) = − 1 1 = −1 

y = −1x + t 

3 = −1 · 1 + t| + 1 

→ t = 4 

Tangente: y = −1x + 4 

4. a) Jede Integralfunktion hat mindestens eine Nullstelle, denn es gilt: 

∫ x 

a 

f(t)dt = 0, wenn x = a gilt 

∫ a 

a 

f(t)dt = 0 

die untere Integralgrenze ist also immer eine Nullstelle 

Wenn F (x) eine quadratische Funktion ist, kann es zwei Null- 

b) ∫ x 

−1 f(t)dt 

stellen geben. 

z.B. f(x) = a · x 2 + c wenn a < 0 ist und c > 0(oder umgekehrt a > 0 ist und 

c < 0) 

f(x) = −x 2 + 2 

→ d.h. f(x) muss eine lineare Funktion sein! 

z.B. f ′ (x) = −x oder 

∫ x 

−1 −tdt = [− t2 2 ]x −1 = −x2 

2 

+ 1 2 




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1. a) Funktionsbestimmung: 

Vorgabe: Quadratische Funktion → p(x) = ax 2 + bx + c 

3 Unbekannte a, b, c → 3 Gleichungen mit 3 Punkten hier A, B und C 

A(−2|0)I 0 = a · (−2) 2 + b · (−2) + c; 0 = 4a − 2b + c 

B(2|0)II 0 = a · 2 2 + b · 2 + c; 0 = 4a + 2b + c 

C(0|5)III 5 = a · 0 2 + b · 0 + c; 5 = c in I und II einsetzen! 

II in I 4a − 2b + 5 = 0 I ′ − 

III in II 4a + 2b + 5 = 0 II ′ 

−4b = 0| : (−4) 

b = 0 in I oder II 

4a + 5 = 0 → 4a = −5 → a = −1, 25 

→ p(x) = −1, 25x 2 + 5 

b) A(−2|0) ∈ q(x)? −0, 11 · (−2) 4 − 0, 81 · (−2) 2 + 5 = 0 → A ∈ q 

B(2|0) ∈ q(x)? −0, 11 · 2 4 − 0, 81 · 2 2 + 5 = 0 → B ∈ q 

q(−x) = −0, 11(−x) 4 − 0, 81 · (−x) 2 + 5 = −0, 11x 4 − 0, 81x 2 + 5 = q(x) 

→ y-Achsensymmetrie 

Merke: 

f(−x) = f(x) → y-Achsensymmetrie 

f(−x) = −f(x) → Punktsymmetrie zum Ursprung 

Extremwertbestimmung: f ′ (x) = 0 

q ′ (x) = −0, 44x 3 − 1, 62x = 0 

x(−0, 44x 2 − 1, 62) = 0 

−0, 44x 2 − 1, 62 = 0 

x 1 = 0 

−0, 44x 2 = 1, 62 

Koordinate: x = 0 in f(0) = 5 → E(0|5) 

x 2 = − 1,62 

0,44 

` keine weiteren Lösungen; 

x 1 = 0 ist einziger Extrempunkt 

y- 




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c) Setze z.B. x = −1 oder x = 1 in q oder p ein und ordne den Wert den entsprechenden 

Graphen zu! 

x = 1 

q(1) = −0, 11 · 1 4 − 0, 81 · 1 2 + 5 = −0, 92 + 5 = 4, 08 

Das Ablesen zeigt, dass dieser Wert zum durchgezogenen Graphen gehört 

x = −1, 5 oder x = 1, 5 geht genauso 

Die x-Werte sollten nicht zu nahe bei x = −2, 0 und x = 2 liegen, da sich hier 

die y-Werte fast nicht unterscheiden! 

d) d(x) maximal bedeutet, dass d ′ (x) = 0 und Maximum(HoP) vorliegen muss! 

d(x) = −0, 11x 4 − 0, 81 2 + 5 − (−1, 25x 2 + 5) 

1. 

= −0, 11x 4 + 0, 44x 2 

2. d ′ (x) = −0, 44x 3 + 0, 88x 

3. d ′ (x) = 0 x · (−0, 44x 2 + 0, 88) = 0 

−0, 44x 2 + 0, 88 = 0 

(x 1 = 0) 

Monotonie: 

−0, 44x 2 = −0, 88 

x 2 = 2 

x 2 = + √ 2 ∈]0; 2[ 

(x 3 = − √ 2) 

f ′ (x) x < √ 2 x > 

+ 0 − → Maximum 

d MAX = −0, 11 · ( √ 2) 4 + 0, 44( √ 2) 2 = −0, 44 + 0, 88 = 0, 44 

e) A = ∫ 2 

−2 q(x)dx = [ −0, 11 · x5 

x3 

− 0, 81 · + 5 3 5x] 2 

−2 

y-Symmetrie: → 2 · [ 

−0, 11 · x5 

x3 

− 0, 81 · + 5 3 5x] 2 

0 

2 · [ 

−0, 11 · 25 

5 

− 0, 81 · 8 

3 + 10] = 14, 27m 2 

f) Ich empfehle als untere Fläche A 1 eine Trapezfläche als Näherungsfläche, die 

Gesamtfläche haben wir ja aus 1e) das Verhältnis von den oberen. 

Fläche A 2 zur unteren A 1 ist A 2 

A 1 

= A−A 1 

A 1 

1. A ist also aus 1e) bekannt 

2. Die Näherungsfläche des Trapezes bestimmen wir folgendermaßen 

A T = a+c 

2 

· h 

3. Nun bestimmen wir A 2 = A − A T 

4. Zum Schluss setzen wir alles ein 

A 2 

A 1 

und haben das Verhältnis annähernd! 




Seite 170


Beachte: Eine Rechnung ist nicht verlangt! 

Nur geeignete Ansätze. 

2. a) Zeichnung herauslesen 

Hochpunkt: t = 4 Wasserdurchfluss 74 m3 

min 

Text: Der Wasserdurchfluss ist 4 min nach Öffnen der Schleuse mit 74 m3 

min am 

größten( an der Beobachtungsstelle!) 

Wendepunkt 1 bei t ≈ 2, 5 

Text: 2,5 Minuten nach Öffnen der Schleuse steigt die Wasserdurchflussmenge 

am stärksten an. Es fließen dabei circa 50 m3 an der Beobachtungsstelle vorbei. 

min 

Wendepunkte 2 bei t ≈ 5, 5 − 5, 8 

Nach circa 5,5-5,8 Minuten nimmt die Wasserdurchflussmenge an der Beobachtungsstelle 

am stärksten ab. Es fließen dabei ca. 55 m3 

min vorbei! 

b) I = ∫ 4 

1 f(t)dt : 

Jedes Quadrat klein entspricht 0, 5 · 5 m3 

min 

= 10 

m3 

min 

= 2, 5 

m3 

min 

jedes große Quadrat 1 · 10 m3 

min 

1. große Quadrat Fläche in A → 4min ˆ= Länge 

2. kleine Quadrateflächen 

20 m3 ˆ= Breite 

min 

3 · 20 m3 

min 

= 60 

m3 

min 

Kästchen abzählen liefert ca. 33-34 ganze Kästchen; 33 · 2, 5 = 82, 5 m3 

min oder 

34 · 2, 5 = 85 m3 

min 

→ ∫ 4 

m3 

1 f(t)dt ≈ 142, 5 

min 

oder 145 m3 

min 

Erklärung: In der Minute 1 bis 4 fließen an der Beobachtungsstelle circa 142,5- 

145m 3 Wasser vorbei. 

oder 1 Minute nach Öffnen der Schleuse ist vorbei. Von da an bis einschließlich 

der 4. Minute fließen circa 142,5-145m 3 Wasser an der Beobachtungsstelle 

vorbei! 




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c) Mittlere Änderungsrate: Sekantensteigung f(x 2)−f(x 1 ) 

x 2 −x 1 

[2; 4] 

x 1 = 2 x 2 = 4 

f(2) = 35 f(4) ≈ 74 

[2; 3] 

x 1 = 2 x 2 = 3 

f(2) = 35 f(3) = 63 

f(t)−f(2) 

lim 

t→2 t−2 

⎫ 

⎬ 

⎭ m s = 74−35 

4−2 

= 19, 5 

⎫ 

⎬ 

⎭ m s = 63−35 

3−2 

= 28 

Lässt man t → 2 laufen, dann wird aus der Sekante( ˆ= mittlere Änderungsrate) 

die Tangente. 

Dies entspricht der momentanen Änderungsrate des Wasserdurchflusses nach 

genau 2 Minuten an besagter Stelle! 

P (2|35) → ablesen aus Zeichnung 


1. Am besten mit einer Vierfeldertafel oder mit einem Baumdiagramm zu lösen. 

→ weibliche Bew. W 3 = 0, 75 

4 

1 

→ männliche Bew. ¯W = 0, 25 

4 

Verhältnis: 3 : 1 → 3T Weiblich, 1T Männlich; 4 Teile → W 3 → ¯W 1 4 4 

Achtung: 80% der weiblichen Bew. le1, 5 ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit 

→ P W (≤ 1, 5) = 80% → P (W ∩ ≤ 1, 5) = 0, 8 · 0, 75 = 0, 6 

→ P ¯W (≤ 1, 5) = 75% → P ( ¯W ∩ ≤ 1, 5) = 0, 75 · 0, 25 = 0, 1875 

nun geht die VFT: 

W ¯W = M 

≤ 1, 5 0, 6 0, 1875 0, 7875 

> 1, 5 0, 15 0, 0625 0, 2125 

0, 75 0, 25 

Lösung: Alle Bewerber schlechter als 1,5(>1,5) sind 0,2125 bzw. 21,25% 

Baumdiagramm: W = 3 4 ⇒ ¯W = 1 4 ; P W (≤ 1, 5) = 0, 8; P ¯W (≤ 1, 5) = 0, 75 




Seite 172


0,8 ≤1,5 P(W∩ ≤ 1, 5) = 0, 75 · 0, 8 

0,75 

W 

0,2 >1,5 P(W∩ > 1, 5) = 0, 75 · 0, 2 

0 

0,25 

¯W 

0,75 ≤1,5 P( ¯W∩ ≤ 1, 5) = 0, 25 · 0, 75 

P W (n > 1, 5) 

0,25 

>1,5 

P( ¯W∩ > 1, 5) = 0, 25 · 0, 25 

Lösungszweige: P (> 1, 5) = P (W ∩ > 1, 5) + P ( ¯W ∩ > 1, 5) = 0, 75 · 0, 2 + 0, 25 · 

0, 25 = 0, 2125 → 21, 25% 

⎛ ⎞ 

2. a) Der vorgegene Term ⎝ 15 ⎠ · ( 1 3 

5 

)5 · ( 2 3 )10 gehört zum Urnenmodell mit zurücklegen! 

Da jeder Bewerber höchstens einmal teilnehmen kann bzw. darf funktioniert 

dieses Modell nicht. 

Die Wahrscheinlichkeit verändert sich von Zug zu Zug, bleit nicht 1 3 bzw. 2 3 . 

Deshalb handelt es sich um das Urnenmodell ohne Zurücklegen! 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎝ K ⎠· ⎝ N − K ⎠ 

k n − k 

b) Die Formel dazu lautet: P (x) = ⎛ ⎞ 

⎝ N n 

⎠ 

hier: N = 30; ⎛ n = ⎞15; ⎛ k = 10; K ⎞= 20⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

⎝ 20 30 − 20 

⎠· ⎝ ⎠ ⎝ 20 ⎠· ⎝ 10 ⎠ → 5 aus 10 Jungs 

→ P (x) = 

10 

⎛ 

15 − 10 

⎞ = 

10 

⎛ ⎞ 

5 

⎝ 30 ⎠ 

⎝ 30 ⎠ → 15 aus 30 Bewerbern 

= 0.30015 = 

15 

15 

30, 02% 




Seite 173


3. a) Zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen Wert festlegen: 

0 → 2x → 2 6 

1 → 3x → 3 6 

2 → 1x → 1 6 

x 0 1 2 Augenzahl 

P (x) 

2 

6 

3 

6 

1 

Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 

6 

Wie kann der Kandidat zwei Aufgaben lösen? 

0; 2 → erst keine, dann 2 

2; 0 → erst 2, dann keine 

1; 1 → jeweils 1 

Berechnung: ⎫ 

0; 2 2 · 1 

6 6 ⎪⎬ 

2; 0 1 · 2 2 · 1 + 1 · 2 + 3 · 3 = 13 

6 6 6 6 6 6 6 6 36 

1; 1 3 · 3 ⎪⎭ 

6 6 

b) In der Tabelle fehlt nur ein Wert. 

Zusammen muß die Wahrscheinlichkeit ja 1 ergeben. 

Also gilt: 1 + 1 + 12 + x + 1 = 1 und damit 

9 3 36 36 

x = 1 − ( 1 + 1 + 12 + 1 ) = 1 9 3 36 36 6 

→ P (x = 3) = 1 6 

c) Zuerst keine Matheaufgabe zu lösen sind P (x = 0) = 1 9 

Hier handelt es sich um ⎛ eine ⎞ Binominalverteilung 

Formel: P (x = k) = ⎝ n ⎠ · p k · (1 − p) n−k 

k 

⎛ ⎞ 

hier: Genau ein Kandidat → P (x = 1) = ⎝ 10 ⎠·( 1 9 

1 

)1·( 8 9 )9 = 0, 38493 = 38, 5% 

Tabellenwerk Binominalverteilung 

d) Das ist eine typische 3x Mindestens Aufgabe 

. . . mind. teilnehmen → n gesucht 

. . . wenigstens(mindestens) ein Kandidat → P (x ≥ 1) 

. . . mehr als 90% (leicht abgewandelt) > 0, 9 

(mindestens wäre (≥ 0, 9)) und p = 1 9 

Ansatz: 

P n 1 (x ≥ 1) > 0, 90 

9 

Mindestens ein Kandidat, der keine Matheaufgabe lösen kann! 

Lösungsweg: Gegenereignis 




Seite 174


→ 1 − P n 1 (x = 0) > 0, 9 | − 1 

9 

−P n 1 (x = 0) > −0, 1 | · (−1) 

9 

⎛ 

+P n 1 (x = 0) 

⎞ 9 

< 0, 1 

⎝ n 0 

⎠ · ( 1 9 )0 · ( 8 9 )n < 0, 1 

→ ( 8 9 )n < 0, 1 | ln 

n · ln( 8 9 ) < ln 0, 1 | : ln( 8 9 ) 

ln 0,1 

n > = 19, 55 

ln( 8 9 ) 

Es müssen also mind. 20 Kandidaten teilnehmen! 

e) Hier ist ein Baumdiagramm zu empfehlen: Kuvert A und B → P (A) = 

1 

∧ P (B) = 1(50%) 

2 2 

A − P (A∩rot/rot) = 1 · 2 · 1 

2 5 4 

P A(rot1) = 2 5 ; P A(rot2) = 1 4 → P A(rot/rot) = 2 5 · 1 

4 

1 

2 

0 

1 

2 

Ā = B − P (B∩rot/rot) = 1 2 · 2 

5 · 1 

4 

P B (rot1) = 3 5 ; P B(rot2) = 2 4 → P B(rot/rot) = 3 5 · 2 

4 

P (rot/rot) = 1 2 · 2 

5 · 1 

4 + 1 2 · 3 

5 · 2 

4 = 1 5 → 20% 

f) Tatsächlich Rot deutet auf eine bedingte Wahrscheinlichkeit hin → P (B∩2rot), 

aus dem Baum ersichtlich 

Sie ist: 1 · 3 · 2 

2 5 4 

Wir folgern: P 2rot (B) = P (2rot∩B) 

= 1 2 · 3 

5 · 2 

4 

P (2rot) 1 

5 (aus e)) = 3 4 ˆ=75% 




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11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.6 Stoachastik Aufgabengruppe II 

11.2.6 Stoachastik Aufgabengruppe II 

1. Es bietet sich eine Vierfeldertafel an, aus der alle Daten entnommen werden können. 

P (¯n) = 0, 88 → P (n) = 1 − 0, 88 = 0, 12 

P (v) = 0, 18 → P (¯v) = 1 − 0, 18 = 0, 82 

Achtung: P R (v) = 0, 6 ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, also nicht in der VFT! 

Es gilt: P R (v) = P (R∩v) → P (R ∩ v) = P 

P (R) R (v) · P (R) = 0, 6 · 0, 12 = 0, 072 

Jetzt können wir die VFT vervollständigen: 

R ¯R 

v 0, 072 0, 108 0, 18 

¯v 0, 048 0, 772 0, 82 

0, 12 0, 88 1 

a) „noch nicht gelesen“ ¯R ist Bedingung → P ¯R(v) 

→ P ¯R(v) = P ( ¯R∩v) 

P ( ¯R) = 0,108 ≈ 0, 12273 ≈ 12, 3% 

0,88 

b) P ( ¯R∪ ¯v) Eine aus den befragten zufällig ausgewählte Person hat das Buch zum 

Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen oder die Verfilmung noch nicht 

gesehen. 

Berechnung: P ( ¯R ∪ ¯v) = P ( ¯R) + P (¯v) − P ( ¯R ∩ ¯v) VFT! 

= 0, 88 + 0, 82 − 0, 772 = 0, 928 = 92, 8% 

2. Bestimmung der Entscheidungsregel von einem Signifikanztest 

p o ≤ 0, 15 

A 

Ā 

0 . . . k k + 1 . . . 100 

→ Annahmebereich von {0 . . . k} = A 

rechtsseitiger Test, da der Ablehnungsbereich rechts liegt! 

→ Ablehnungsbereich von {k + 1 . . . 100} = Ā 

Berechne die irrtümlich Ablehnung der Nullhypothese 

P0,15(x 100 ≥ k + 1) ≤ 0, 10 = Signifikanzniveau mit Fehler unter 10% 

1 − P0,15(x 100 ≤ k) ≤ 0, 10 | − 1 

−P0,1500(x 1 ≤ k) ≤ −0, 9 | · (−1) 

P 1 0,1500(x ≤ k) ≥ 0, 9 Tafelwerk kummuliert! Achtung! 

k = 20 

→ Ā = {21 . . . 100}; A = {0 . . . 20} 

Lesen mindestens 21 Jugendliche den Roman, wird die Nullhypothese abgelehnt! 




Seite 176


3. Kombinatorik 

α) nicht unterschieden → ohne Rechenfolge/ohne Wiederholung, da jeder nur einen⎛ 

Platz ⎞ bekommen ⎛ ⎞ kann! 

→ ⎝ n ⎠ = ⎝ 8 ⎠ = 56 

k 5 

8 SHIFT nCr 5 

β) Personen werden unterschieden → 8 SHIFT nPr 5 

aber keine Wiederholung oder 8 · 7 · 6 · 5 · 4( 8! 

⎛ ⎞ 

(8−5) ) 

oder ⎝ n ⎠ · k! = 56 · 5! = 6720 

k 

(1 Gast → ) 8 Möglichkeiten · (2 Gast) 7 Möglichkeiten · (3 Gast) 6 Möglichkeiten 

· (4 Gast) 5 Möglichkeiten · (5 Gast) 4 Möglichkeiten 

→ gemeinsames Erscheinen von Ehrengästen/Ehepaare/Bekannte 

→ Ablehnen eines Platzes 

4. a) Binominalverteilungen: 

A Vorhang funktioniert ⎛ ⎞ immer n = 15; k = 15; ⎛ p = ⎞0, 9; 1 − p = 0, 1 

Bp n (x = k) = ⎝ n ⎠ · p k · (1 − p) n−k = ⎝ 15 ⎠ · 0, 9 15 · 0, 1 0 = 0, 9 15 = 

k 

15 

0, 20589 ≈ 20, 6% 

B Vorhang funktioniert ⎛ ⎞ vier mal am Anfang 

→ 0, 9 4 → ⎝ n ⎠ fällt weg, da die Stellen 1-4 genau festgelegt sind! 

k 

⎛dann geht ⎞ er 2 mal nicht aus 11 Versuchen 

⎝ 11 ⎠ · 0, 1 2 · 0, 9 9 

2 

oder 

er ⎛ geht ⎞9 mal aus 11 Versuchen 

⎝ 11 ⎠ · 0, 9 9 · 0, 1 2 

9 

⎛ ⎞ 

⎛ 

→ 0, 9 4 · 0, 1 2 · 0, 9 9 · ⎝ 11 ⎠ oder 0, 9 4 · 0, 1 2 · 0, 9 9 · ⎝ 11 

2 

9 

13, 98% 

⎞ 

⎠ = 0, 13980 ≈ 




Seite 177


b) Bedeutung Urnenmodelle: da p = 0, 9 und 1 − p = 0, 1 fest bleiben, kann 

es ⎛ sich ⎞ nur um das Urnenmodell mit zurücklegen, mit Reihenfolge handeln: 

⎝ n ⎠ · p k · (1 − p) n−k 

k 

Simulation n = 10 Kugeln, davon sind 9 gleichfarbig und 1 andersfarbig: 

→ p = 9 

10 → 1 − p = 1 

10 

p = 0, 9 bedeutet dann, dass der Schließmechanismus funktioniert und 1 − p = 

0, 1 es muss mit der Hand gezogen werden. 

c) Binominalverteilung: → E = n · p; n = 15; p = 0, 1 

= 15 · 0, 1 = 1, 5 

√ 

δ(x) = n · p · (1 − p) = √ 15 · 0, 1 · 0, 9 ≈ 1, 2 

Intervall: [M − δ; M + δ] → abweichen um ±δ(Standardabweichung) 

[1, 5 − 1, 2; 1, 5 + 1, 2] = [0, 3; 2, 7] 

−1, 2 +1, 2 

0 x ≥ 3 

0, 3 2, 7 

3 

1, 5 

P(x = 0) P(x ≥ 3) 

→ mehr als 1 Standardabweichung ist links und rechts vom Intervall 

P Gesucht P (x = 0) = 0, 20589 + P (x = 3) + P (x = 4) + . . . 

Tabellenwerk +P 15 

0,1(x ≥ 3) = 1 − P 15 

0,1(x ≤ 2) = 1 − 0, 81594 

P Gesucht 0, 20589 + 1 − 0, 81594 = 0, 38995 




Seite 178



1. a) Normalenform 

1. Vektoren AB # » und AD 

# » 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

3 − 0 3 

# » 

AB = ⎜ 2 − 2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 − 3 0 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 − 0 0 

# » 

AD = ⎜ 6 − 2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 − 3 −2 

2. Vektorprodukt für nE 

̸ 3 ̸ 0 

⎛ 

# » 

AB × AD # » 

0 4 

= 

0 −2 

= ⎜ 

⎝ 

3 0 

∣ 0 4 ∣ 

⎛ ⎞ 

0 

→ nE = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

0(−2) − 0 · 4 

0 · 0 − 3 · (−2) 

3 · 4 − 0 · 0 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

0 

6 

12 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ : 6 = ⎜ 

⎝ 

0 

1 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

3. Normalenform: 

⎛ ⎞ 

0 

E : ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ( #» x − #» a ) = 0 

2 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 x 1 − 0 

→ ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ x 

⎝ 2 − 2 ⎟ 

⎠ = 0 

2 x 3 − 3 

0 · (x 1 − 0) + 1 · (x 2 − 2) + 2 · (x 3 − 3) = 0 

x 2 − 2 + 2x 3 − 6 = 0 

→ E : x 2 + 2x 3 − 8 = 0 

b) Abstand/Punkt Ebene 

Bestimme Hesseform von E; | # » nE| = √ 0 2 + 1 2 + 2 2 = √ 5 

E H : 

1 √5 · (x 2 + 2x 3 − 8) 

R in E H d(R, E) = ∣ ∣ ∣ 

1 √5 · (0 + 2 · 0 − 8) ∣ ∣ ∣ = 

∣ ∣∣ 1 √5 · 8 ∣ ∣ ∣ = 

8 √5 = 8√ 5 

5 




Seite 179


c) C,H,K verschieben sich jeweils nur um die x 1 -Werte, da die x 2 , x 3 -Werte parallel 

zu AD # » und somit zur x 2 , x 3 -Ebene sind! 

G(2|4|2) → C(1|4|2) 

C(3|6|1) → H(2|6|1) → K(1|6|1) 

Fläche Fenster → Rechtecksfläche 

A R = l · b b = 1 l = | HG| 

# » 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

2 − 3 0 

# » 

HG = ⎜ 4 − 6 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ → | HG| # » = √ 0 2 + 2 2 + 1 2 = √ 5 

2 − 1 1 

→ A R = 1 · √5 

= √ 5[m 2 ] 

d) Zuerst E bestimmen: 

E liegt in der x 1 , x 3 -Koordinatenebene. 

D.h. einfachste Form⎛kein⎞x 2 -Wert. 

→ x 2 = 0 und nE # » 0 

= ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 

g in E 

⎛ 

g : #» x = G #» + k · V #» = ⎜ 

⎝ 

2 

4 

2 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ + k · ⎜ 

⎝ 

−2 

−8 

−1 

⎞ 

⎟ 

⎠ nur in die x 2-Koordinate einsetzen! 

g : x 2 = 4 − 8t → 4 − 8t = 0 → t = 1 2 

t = 1 wieder in g eingesetzt liefert uns S! 

2⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

2 −2 1 

#» 

S = ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ + 1 ⎜ 

2 

−8 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟ → S(1|0|1, 5) 

⎝ ⎠ 

2 −1 1, 5 

Winkel zwischen Geraden ⎛ g und ⎞ Ebene E: ⎛ 

−2 

Wir brauchen nur vg = ⎜ −8 ⎟ 

⎝ ⎠ und nE = ⎜ 

⎝ 

−1 

0 

1 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 




Seite 180


∣ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 

−2 0 

⎜ −8 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

#» 

Formel: sin α = 

vg◦ nE 

# » 

∣ | vg|·| #» nE| 

# » 

∣ = −1 0 

∣ 

√ 

(−2) 2 +(−8) 2 +(−1) 2·√1 

= ∣ √−8 

∣∣ 69·1 = √8 

69 

→ SHIFT sin α 

∣ 

→ α = 74, 4 

⎡⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎤ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

e) M GH = 1( G+ #» H) #» 2 2 

4 2 

= 1 ⎢⎜ 

2 2 

4 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ + ⎜ 6 ⎟⎥ 

⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜ 

2 

10 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ → M # » 

GH 

(2|5|1, 5) 

2 1 

3 1, 5 

M liegt 1,5 über dem Boden, da x 3 = 1, 5. Wenn MH # » < 1, 5, dann berührt das 

Fenster ⎛den Boden⎞nicht! 

⎛ ⎞ 

2 − 2 0 

# » 

MH = ⎜ 6 − 5 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ → | # » √ 

MH| = 0 2 + 1 2 + (−0, 5) 2 = √ 1, 25 ≈ 

1 − 1, 5 −0, 5 

1, 12 

| MH| # » = 1, 12 < 1, 5, deshalb kann das Fenster den Boden bei der Drehung 

nicht berühren! 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 1 

f) k : #» x = ⎜ 5, 5 ⎟ 

⎝ ⎠ + λ ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0, 4 0 

x 1 = 0 + 1λ⎫ 

→ k verläuft parallel zur x 1 -Achse und damit auch zu CD ¯ 

x 2 = 5, 5 ⎬ 

unabhängig von λ; 

x 3 = 0, 4 ⎭ 

x 2C = x 2D = 6 → Die Tiefe des Möbelstücks ist x 2C − x 2G = 6 − 5, 5 = 

0, 5[m] ˆ=50[cm] 

g) # » GH verläuft parallel verschoben zur x 2 , x 3 Koordinatenebene, da, G(2|4|2) und 

H(2|6|1), gleiche x 1 = 2 Werte haben. Die einfachste Form einer Ebene E wäre 

hierfür E : x 1 = 2. 

Diese Ebene schneidet die Gerade k in einem Punkt R auf der vorderen Oberkante 

des Möbelstücks, wo sich k ja bewegt! 

Wenn dann MR # » > MH # » kann das Fenster (immer) geschwenkt werden ohne 

das Möbelstück zu berühren! 

Rechnung: 

E ∩ k ⎛ x 1 = ⎞2 → k ⎛: x 1 ⎞= 0 + ⎛1t → ⎞0 + 1t = 2 → t = 2 in k 

0 

1 2 

k : #» x = ⎜ 5, 5 ⎟ 

⎝ ⎠ + 2 · ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 5, 5 ⎟ → R(2|5, 5|0, 4) 

⎝ ⎠ 

0, 4 0 0, 4 




Seite 181


⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

2 − 2 

0 

# » 

MR = ⎜ 5, 5 − 5 ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ 0, 5 ⎟ 

⎝ ⎠ → | # » √ 

MR| = 0 2 + 0, 5 2 + (−1, 1) 2 = 1, 21 

0, 4 − 1, 5 −1, 1 

# » 

MR > MH # » → 1, 21 > 1, 12 → Das Fenster kann bedenkenlos geschwenkt 

werden! 


1. a) Besondere Lage ⎫ der Grundfläche ABC 

A(10|2|0) ⎪⎬ 

B(10|8|0) alle drei Punkte haben den x 1 -Wert =10 

C(10|4|5) 

⎪⎭ 

d.h. sie unterscheiden sich nur durch die x 2 und x 3 -Werte 

→ Sie liegen in der um +10 in x 1 -Richtung verschobenen und parallelen x 2 , x 3 - 

Koordinatenebene! 

V Prisma = G · W Prisma G = 1gh 2 D g = | AB| # » h D = d(C; AB) 

# » 

h Prisma = cT # » oder BS # » oder AR 

# » 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

g = AB # » 10 − 10 0 

= ⎜ 8 − 2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 6 ⎟ 

⎝ ⎠ → | AB| # » = √ 0 2 + 6 2 + 0 2 = 6 

0 − 0 0 

h D : x 3 -Wert von C, da AB in der x 1 , x 2 -Ebene liegen 

x 3 = 3 → h D = 3 

G ABC = 1gh = 16 · 3 = 9 

2 2 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

h Prisma = CT # » 2 − 10 −8 

= ⎜ 4 − 4 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ → | CT # » | = 

3 − 3 0 

h Prisma = 8 

→ V = G · h Prisma = 9 · 8 = 72 

√ 

(−8) 2 + 0 2 + 0 2 = 8 → 

oder mit den Vektorformeln 

V = 1 AB # » ◦ ( AC # » × AR) # » ∣ 2 

∣ oder 

1 

∣ BA # » ◦ ( BC # » × BS) # » ∣ 2 

∣ 

⎡⎛ 

⎞ ⎡⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎤⎤ 

⎡⎛ 

⎞ ⎡⎛ 

⎞ ⎛ 

0 10 − 10 2 − 10 

0 0 −8 

V = 1 ⎢⎜ 

2 

6 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ ◦ ⎢⎜ 

4 − 2 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ × ⎜ 2 − 2 ⎟⎥⎥ 

= 1 ⎢⎜ 

⎝ ⎠⎦⎦ 

2 

6 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ ◦ ⎢⎜ 

2 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ × ⎜ 0 

⎝ 

∣ 0 3 − 0 0 − 0 ∣ ∣ 0 3 0 

⎡⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎤ 

0 0 

1 

⎢⎜ 

2 

6 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ ◦ ⎜ −24 ⎟⎥ 

= 1 ⎝ ⎠⎦ 

|0 − 144 + 0| = 1 |−144| = 72 

2 2 ∣ 0 10 ∣ 

⎞⎤⎤ 

⎟⎥⎥ 

= 

⎠⎦⎦ 

∣ 




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b) E aus der Seitenfläche BST C 

1. Zwei Vektoren, ⎛ die die ⎞ Ebene ⎛ aufspannen ⎞ 

z.B. BS # » 2 − 10 −8 

= ⎜ 8 − 8 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 − 0 0 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

und BC # » 10 − 10 0 

= ⎜ 4 − 8 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ −4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 − 0 3 

2. Normalenvektor bestimmen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

nE = BS # » × BC # » −8 0 

= ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ × ⎜ −4 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 

⎝ 

0 3 

⎛ ⎞ 

0 

⎜ 24 ⎟ 

⎝ ⎠ : 8 

32 

⎛ ⎞ 

0 

→ nE = ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

4 

3. Normalenform: E : #» n ◦ ( #» x − #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b ) = 0 

0 x ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ 1 − 10 

⎜ x 

⎝ 2 − 8 ⎟ 

⎠ = 0 

4 x 3 − 0 

0 · (x 1 − 10) + 3 · (x 2 − 8) + 4 · (x 3 ) = 0 

3x 2 − 24 + 12x 3 = 0 

E : 3x 2 + 12x 3 − 24 = 0 

c) Winkel zwischen zwei Seitenkanten: 

0 · 3 − 0 · (−4) 

0 · 0 − (−8) · 3 

(−8) · (−4) − 0 · 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

F ormel : 

cos ϕ = #» a ◦ #» b 

| #» a |·| ⃗ b| 

#» a = 

# » 

CA = 

#» b = 

# » 

CB = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

10 − 10 

2 − 4 

0 − 3 

10 − 10 

8 − 4 

0 − 3 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

0 

−2 

−3 

0 

4 

−3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 




Seite 183


cos ϕ = 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 0 

⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−3 −3 

√ 

0 2 +(−2) 2 +(−3) 2· 

√0 = √ 0−8−9 

2 +4 2 +(−3) 13·√ 2 25 

= 1 

5 √ → ϕ = 86, 13 6◦ (cos ϕ −1 ) 

d) Der Punkt P muss in der Mitte von A und B liegen. 

So teilt er die Grundfläche ABC(da die Höhe h 0 gleich bleibt!) in zwei gleiche 

Teile. Die Höhe des Prismas bleibt mit h Prisma = # » CT auch gleich, so teilt die 

Ebene F aus den Punkte ⎡⎛ 

F,C,T ⎞ ⎛in zwei ⎞⎤gleich⎛ 

große⎞ 

Volumenkörper! 

⎛ ⎞ 

#» 

P = 1( A #» + B) #» 10 10 20 10 

= 1 ⎢⎜ 

2 2 

2 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ + ⎜ 8 ⎟⎥ 

⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜ 

2 

10 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ → P (10|5|0) 

0 0 

0 0 

e) Anmerkung: Es würde ⎛ auch der ⎞ Mittelpunkt ⎛ ⎞ von R und S gehen! 

Q = 1( R #» + S #» 2 + 2 2 

) = 1 ⎜ 

2 2 

3 + 2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟ → Q(2|5|0) 1. Teilkörper: ABCT ist 

⎝ ⎠ 

0 + 0 0 

eine dreiseitige Pyramide 

V P y = 1 · G · h = 1 · △ABC · | CT # » | 

3 3 

1 

9 · 8 = 24 

3 

Somit ist schon klar, dass die Volumen nicht gleich sein können, denn V Ges = 

72(10) 

→ V 2. Teilkörper = 72 − 24 = 48 

analog kann man auch mit Teilkörper 2 beginnen 

2. Teilkörper: ABRST ist eine vierseitige Pyramide mit Grundfläche ABRS als 

Rechtecksfläche und: Höhe h P y = x 3 t = 3 

V P y = 1 3 G · h 

G = l · b = | # » AB| · | # » BS| = |8 − 2| · |10 − 8| = 6 · 8 = 48 

→ V P y = 1 · 48 · 3 = 48 

3 

V Rest = 72 − 48 = 24 

f) 1. W liegt in der Ebene BSCT 

2. r = | # » W M|, also der Abstand von M zur Ebene BSCT 

3. Bestimme Hesseform von E BSCT 

⎛ ⎞ 

E H : | nE| # » = √ 0 2 + 3 2 + 4 2 = √ 0 

25 = 5(nE = ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ ) 

4 

→ E H : 1 · (3x 5 2 + 4x 3 − 24) 

Setze M in E H ein d(M, E) = 1 5 

1, 5 → M(5|6, 5|3) 

· (3 · 6, 5 + 4 · 3 − 24) = 

7,5 

5 = 1, 5 → r = 




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Den Berührpunkt W erhält man als Schnittpunkt von der Lotgeraden l und 

der Ebene BSCT 

1. Bestimme l: #» h E = #» ⎛ ⎞ v l ; ⎛M ∈⎞l 

5 

0 

l : X = ⎜ 6, 5 ⎟ 

⎝ ⎠ + λ · ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ → nE 

# » 

3 

4 

2. Schneide l mit E → l ∩ E = {w} 

l in E einsetzen 

E : 3x 2 + 4x 3 − 24 = 0 

3(6, 5 + 3λ) + 4(3 + 4λ) − 24 = 0 

19, 5 + 9λ + 12 + 16λ − 24 = 0 

25λ + 7, 5 = 0 

25λ = −7, 5 

λ = −0, 3 

3. Setze λ ⎛= −0, 3⎞ 

in l ein⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

5 

0 5 

l · #» x = ⎜ 6, 5 ⎟ 

⎝ ⎠ − 0, 3 ⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 5, 6 ⎟ → W (5|5, 6|1, 8) 

⎝ ⎠ 

3 

4 1, 8 

g) Gesucht: | # » MM| ∗ 

Wir brauchen M ∗ 

Die Kugel rollt hinab berührt die x 1 , x 2 -Koordinatenebene wenn M ∗ von dieser 

Ebene x 1 , x 2 den Abstand r = 1, 5 hat. Da x 1 = x 2 = 0, muss x 3 = 1, 5 

Die Gerade auf der sich der Mittelpunkt bewegt lautet: g : #» x = m #» + t · vg #» 

vg 

#» 

ˆ= CB 

# » 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

5 

0 

g : #» x = ⎜ 6, 5 ⎟ 

⎝ ⎠ + t · ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ → x 3 = −3 + 3t = 1, 5 

3 

−3 

t = 0, 5⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

5 

0 5 

#» 

M ∗ = ⎜ 6, 5 ⎟ 

⎝ ⎠ + 0, 5 · ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 8, 5 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 

−3 1, 5 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

5 − 5 

0 

# » 

MM ∗ = ⎜ 8, 5 − 6, 5 ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1, 5 − 3 −1, 5 

→ | MM # » √ 

∗ | = 0 2 + 2 2 + (−1, 5) 2 = 2, 5 




Seite 185




1. a) Definitionsmenge: √ 3x + 9 

Der Radikand unter der Wurzel muss größer oder gleich Null sein. 

3x + 9 ≥ 0 

3x ≥ −9 

x ≥ −3 

D g [−3; +∞[ oder D g = {x|x ≥ −3} 

Nullstelle: g(x) = 0 setzen! 

√ 3x + 9 = 0 | 

2 

b) 

3x + 9 = 0 

x = −3 N(−3|0) 

Merke: 

√ 

| f(x)| ′ = 1f ′ (x) 

√ 

2 

f(x) 

y = mx + t m = f ′ (x) = 1·3 

2 √ ; aus 

3x+9 

m = f ′ (0) = 

2·√0+9 3 = 1 2 

Setze P (0|3) ein 3 = 1 · 0 + t 2 

t = 3 → y = 1 2 x + 3 

2. Funktionsterme bestimmen aus Wertemenge 

a) 

W f = [2; +∞] D f = R → z.B. Parabeln der Form 

f(x) = +x 2 + 2 oder 

f(x) = 2x 2 + 2 = 3x 2 + 2 usw. 




Seite 186


b) 

W f = [−2; 2] D f = R eine Wertemenge, die zwischen zwei festen Werten liegt, 

erfüllen z.B. sin − und cos -Funktionen 

hier z.B. f(x) = 2 · sin x oder f(x) = 2 · cos x 

Entscheidend dabei ist die Amplitude 2 

3. Bei einer Gleichung mit mehreren Faktoren in Klammern setzt du einfach alle Klammern 

getrennt Null! 

d.h. 

ln x − 1 = 0 ; e x − 2 = 0 ; 

1 

x 

ln x = 1|e e x = 2|ln 

1 

x 

x = e 1 e = ln 2 1 = 3x 

→ Lösungen: 

x 1 = e 

N 1 (e|0) 

x 2 = ln 2 N 2 (ln 2|0) 

x 3 = 1 3 

N 3 ( 1 3 |0) 

1 

= x 3 

4. Wichtig: f(x) ist die Steigungsfunktion von F (x), da gilt F ′ (x) = f(x) 

aus f(x) können wir herleiten: 

1. für x < 0 gilt f(x) > 0 → F (x) steigt von ] − ∞; 0[ 

2. für x > 0 gilt f(x) < 0 → F (x) fällt bis ca. 2,3 → x ←]0; 2, 3[ F (x) fällt 

3. aus 1. und 2. folgt bei x 1 = 0 hat F (x) einen Hochpunkt H(0|?) 

4. für x 2 ≈ 2, 3 hat f(x) eine Nullstelle 

5. für x > 2, 3 gilt f(x) > 0 → F (x) steigt wieder bis ∞ x ∈]2, 3; +∞[ F (x) 

steigt! 

6. Da gilt: bis x = 2, 3 fällt F (x) und danach steigt F (x), haben wir bei x ≈ 2, 3 

eine Tiefpunkt T(2,3,?) 

∫ 

aus F (x) = x f(t)dt folgern wir: 

1 

7. 

8. 

1∫ 

f(t)dt = 0 obere und untere Intralgrenze ist gleich → Nullstelle bei x = 1 

1 

1∫ 

−1,2 

f(t)dt = 0 Flächenbilanz ist ca. 0 → bei x = −1, 2 hat F (x) eine weitere 

Nullstelle 




Seite 187


9. 

0∫ 

f(t)dt : negatives Integral und umgekehrte Integration von rechts nach links 

1 

→ Integralwert ist positiv! 

bei x = 0 ist der Hochpunkt, der Integralwert ist eine Dreickecksfläche mit 

A △ = 1 · 1 · 1 = 0, 5 → HoP (0| ≈ 0, 5) 

2 ∣ 0∫ 

∣∣∣∣ 10. 

f(t)dt 

∣−1,2 

∣ = 0∫ 

f(t)dt 

= 0 → bei x = 1 Nullstelle, siehe auch Nr. 8 

1 ∣ ∣ ≈2,3 

∫ 

∣∣∣∣ 11. 

f(t)dt 

∣ 1 ∣ = ≈2,8 ∫ 

≈2,3∣ → ≈2,8 ∫ 

f(t)dt = 0 → F (x) hat bei x ≈ 2, 8 die letzte 

1 

Nullstelle 

12. bei x ≈ 2, 3 ist der minimale Wert(Nr. 6) → 2,3 ∫ 

1 

f(t)dt = y-Wert des Tiefpunkts, 

der Wert ist negativ und in etwa eine Rechtecksfläche mit b=1,3; l=1 

A R = 1, 3 · 1 = 1, 3 → T iP (2, 3| − 1, 3) 

y 

f(x) 

1 

F(x) 

−2 

−1 

−1 

1 2 3 

x 


f(x) = 2x · e −0,5x2 

1. a) Symmetrie 

Setze −, x in f(x) ein 

1. f(−x) = f(x) y-Achsensymmetrie 

2. f(−x) = −f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung 

hier: f(−x) = 2 · (−x) · e −0,5·(−x)2 = −2x · e −0,5·x2 = −f(x) 

→ Punktsymmetrie zum Ursprung 

lim 2x · e−0,5·(∞)2 = +∞ · 0 + = 0 

x→+∞ 

b) Extremwerte bestimmen 

1. f ′ (x) bestimmen 

2. f ′ (x) = 0 setzen 

3. Monotonieverhalten: HoP, TiP, TeP 

4. y-Werte der Extremwerte bestimmen druch einsetzen in f(x) 




Seite 188


1. 

f ′ (x) 

= 2 · e −0,5x2 + 2x · e −0,5x2 · (−x) 

= 2 · e −0,5x2 − 2x 2 · e −0,5x2 

= e −0,5x2 · (2 − 2x 2 ) 

2. 

3. 

4. 

f ′ (x) e −0,5x2 wird nie null! ·(2 − 2x 2 ) = 0 Setze e-freien Teil = 0 

f ′ (x) 

2 − 2x 2 = 0 

x < −1 −1 < x < 1 x > 1 

− 0 + 0 − 

x 2 = 1 x 1 = −1; x 2 = +1 

y-Wert f(−1) = 2 · e −0,5·(−1)2 f(1) = 2 · e −0,5·12 

= −2 · e −0,5 = −2 = − 2 e 0,5 √ e 

= 2 · e −0,5 = 2 

e 0,5 

→ T iP (−1| − √ 2 e 

) → HoP (1| √ 2 e 

) 

= 2 √ e 

c) m s = f(0,5)−f(−0,5) 

0,5−(−0,5) 

1, 76 

= △y 

△x = 2·0,5·e−0,5(0,5)2 −2(−0,5)·e −0,5(−0,5)2 

1 

= e − 1 8 +e − 1 8 = 2·e − 1 8 ≈ 

m t = f ′ (0); aus 1b) f ′ (x) = 2 · e −0,5x2 · (1 − x 2 ) 

m t = f ′ (0) = 2 · e 0 · (1 − 0 2 ) = 2 

Abweichung: mt−ms 

m t 

· 100% = 2−1,76 

2 

· 100 ≈ 12% 

d) Fläche bestimmen zwischen x-Achse und f(x) und x ≥ 0 

A (u) = ∫ u 

0 f(x)dx =? 

f(x) = 2x · e −0,5x2 

F (x) = 2 − 2e −0,5x2 + 4, da 

F ′ (x) = −2 · e −0,5x2 · (−x) + 2x · e −0,5x2 = f(x) 

→ A (u) = [2 − 2e −0,5x2 ] u 0 = 2 − 2e −0,5u2 − (2 − 2e 0 ) = 2 − 2e −0,5u2 

lim 2 − 2e−0,5·(+∞)2 = 2 − 0 = 2 Geometrische Deutung: 

u→+∞ 

Die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Positiven hat 

einen endlichen Wert, und zwar 2. 

e) Setze: 




Seite 189


f(x) = h(x) 

2x · e −0,5x2 = 

2 

· x| − 2 · x 

e 2 e 2 

2x · e −0,5x2 − 2 · x 

e 2 = 0 

x(2e −0,5x2 − 2 e 2 ) = 0 

Merke: 

x 1 = 0; Setze Klammer 2 · e −0,5x2 − 2 e 2 = 0 

1 

e k 

2 · e −0,5x2 = 2 e 2 | : 2 

e −0,5x2 = 1 e 2 

wenn Basis gleich, setze → −0, 5x 2 = −2 

= e −2 

= e −k 

Exponenten gleich x 2 = 4 → x 2 = 2; x 3 = −2 

B = ∣ ∫ 2 ∣ 0 (f(x) − h(x))dx∣ ∣ F (x) − H(x) 

A 2 x ≥ 0 → B = ∫ 2 

0 (f−h)dx = [ ] 

2 − 2e −0,5x2 − ̸2 2 

· x2 = [ ] 2 

2 − 2e −0,5x2 − x2 

e 2 ̸2 0 e 

[ 2 0 

aus 1d) 2 − 2e −2 − 4 − (2 − 2e 0 − 0) ] 

( e 2 

2 − 2 

2 

− 4 − ̸ 2+ ̸ 2 ) = (2 − 6 ) 

e 2 e 2 e 2 

2. a) g c (x) = f(x) + c = 2x · e 0,5x2 + c 

g ′ c(x) = f ′ (x) = 0 → g c (x) hat den gleichen x-Wert als Hochpunkt 

x H = 1 

g c (1) = f(1) + c 

1 

2 √ + c → HoP(1| 1 

e 2 √ + c) e 

Abstand lim g c(x) = lim f(x) + c = 0 + c = c 

x→+∞ x→+∞ 

Wenn f(x) gegen +∞ gegen null geht, muss g c (x) logischerweise gegen c gehen! 

b) g c (x) = 2x · e −0,5x2 + c HoP von f(x) bei NoP (1| 1 

2 √ e ) 

TiP von f(x) bei T iP (−1| − 1 

2 √ e ) 

α) Wenn c > 1 

2 √ e oder c < − 1 

2 √ e ist liegt g c(x) komplett oberhalb der x-Achse 

→ keine Nullstelle 

β) Wenn c = 1 

2 √ und c = − 1 

e 2 √ e 

Nullstelle! 

dann berührt g(x) die x-Achse → genau eine 

γ) Wenn − 1 

2 √ e < c < + 1 

2 √ e 

c) A 1 = ∫ 3 

0 f(x)dx 


dann gibt es genau zwei Nullstellen 



Seite 190


A 2 = ∫ 3 

0 g(x)dx 

A 2 besteht aus einer Rechtecksfläche A R = l · b; l = 3; b = c; A R = 3 · c 

und der Integralfläche von f(x) von 0 bis 3(nur um c Einheiten noch oben 

verschoben). 

Zusammen: A 2 = ∫ 3 

0 f(x)dx + 3c 

3. a) g 1,4 (x) = 2x · e −0,5x2 + 1, 4 siehe Kopie Tabelle eingeben von −3 bis 3 für 

x, Werte einzeichnen 

Die Zeichnung zeigt, dass die Geburtenziffer zwischen 

x ∈ [0, 4; 1, 8] 

> 2, 1 Startjahr 1955 ˆ=x = 0 0,1 entspricht einem Jahr 

Zeitraum: 1959 − 1973 → 1959; x = 0, 4 +4 Jahre 

b) Künftige Entwicklung aufgrund des Modells 

→ 1973; x = 1, 8 +18 Jahre 

lim g 1,4(x) =?; lim (2 + ∞) · 

x→+∞ x→+∞ e−0,5(+∞)2 + 1, 4 = 1, 4 

+∞ · 0 +1, 4 

auch aus 2a) ersichtlich, 

da 

lim f(x) = c; c = 1, 4 

x→+∞ 

Die Geburtenziffer wird sich nach Grundlage des Modells langfristig auf den 

Wert 1,4 zu bewegen, aber nicht unterschreiten! 

c) Erklärung: 

Die statistische Abnahme, d.h. die steilste negative Steigung (statistische Abnahme 

der Geburtenziffer) 

Diese findet man immer am Wendepunkt! 

Danach nimmt die negative Steigung wieder ab, d.h. die Abnahme der Geburtenziffer 

wird wieder schwächer! 

Lösungsweg rechnerisch zwar nicht erforderlich, aber einfacher und verständlicher! 

1. 

u · v 

f ′ 1,4(x) = f ′ (x) = 2e −0,5x2 · (1 − x 2 ) aus 1a) 

u ′ · v + u · v ′ 

f ′′ (x) = 2e −0,5x2 · (−x) · (1 − x 2 ) + 2e −0,5x2 · (−x) Produktregel: 

(u · v) ′ = u ′ · v + u · v ′ 

= 2e −0,5x2 [(−x) · (1 − x 2 ) + (−2x)] 




Seite 191


2e −0,5x2· [−x + x 3 − 2x] = 0 

> 0 +x 3 − 3x = 0 Setze e-freien Teil=0 

x(x 2 − 3) = 0 

2. f(x) ′′ = 0 → x 1 = 0 x 2 − 3 = 0 

x 2 = 3 

x 2 = √ 3 (x 3 = − √ 3) 

Startwert 

Krümmungsverhalten: 

√ 

x < 3 x > 

f(x) ′′ − W eP + 

rechtsgekr. 0 linksgekr. 


1. Definitionsmenge: 

hier: f(x) = ln(2013x) 

Merke: Definitionsmenge 

ln f(x) → f(x) > 0 

Argument > 0 → 2013 − x > 0 | + x 

2013 > x → x < 2013 D f =] − ∞; 2013[ o. {x|x < 2013} 

Verhalten an den Rändern: 

lim f(x) = ln(2013 − (−∞)) = ln(2013 + ∞) = +∞ 

x→−∞ 

Merke: 

ln(+∞) = +∞ 

lim f(x) = 

x→2013 ln(0+ ) = −∞ 

− 




Seite 192


Merke: 

ln x→0 (x) = −∞ 

f(x) = 0 → ln(2013 − x) = 0 |e □ 

2013 − x = e 0 

Nullstelle: 

−x = 1 − 2013 

−x = −2012 

x = 2012 N(2012|0) 

Schnittpunkt y-Achse 

f(0) = ln(2013 − 0) = ln(2013) ≈ 7, 61 y(0| ln 2013) 

2. f(x) = x sin x 

f ′ (x) = 1 · sin x + x · cos x Produktregel 

f ′′ (x) = cos x + 1 · cos x + x · (− sin x) Produktregel 

= 2 cos x − x · sin 

f ′′ (0) = 2 cos 0 − 0 · sin 0 = 2 positiver Wert → Linkskrümmung 

Krümmungsverhalten um x = 0, da f ′′ (x) ≠ 0 kann kein Wendepunkt und somit 

auch kein Krümmungswechsel vorliegen. 

f ′′ (x) x < 0 0x > 0 

+ + + 

3. a) Skizze ? 

b) d(x) = e −x − x 3 Newtonverfahren x n = x 0 = 1 (vorgegeben!) 

Bestimme 

d ′ (x) = e −x · (−1) − 3x 2 = −e −x − 3x 2 

Setze: x 0 = 1 in d(x) und d ′ (x) ein. 

f(x 0 ) = f(1) = e −1 − 1 3 = e −1 − 3 

x n+1 = x n − f(xn) 

f ′ (x n) 

f ′ (x 0 ) = f ′ (1) = −e −1 − 3 · 1 = −e −1 − 3 




Seite 193

• 

• 

• 

• 

• 


Setze alle Werte in die Newtonformel: x 1 = x 0 − f(x 0) 

f ′ (x 0 ) = 1 − e−1 −1 

−e −1 −3 

4. a) Es handelt sich hier um zwei Halbkreisflächen 

r = 1; A Kreis = r 2 π → A Halbkreis = 1 2 r2 π = 1 2 12 π = 1 2 π 

≈ 0, 81 

Nun zu den Integralen 

∫ 

F (x) = x f(t)dt 

0 

∫ 

F (0) = − 0 f(t)dt = 0, obere und untere Integralgrenze gleich → Wert ist 0 

F (2) = 2 ∫ 

0 

0 

f(t)dt = 1 π, siehe Zeichnung: das Integral von 0 bis 2 beschreibt eine 

2 

komplette Halbkreisfläche mit r=1 und Inhalt 1π 

2 

F (−2) = −2 ∫ 

f(t)dt = − 1 π Zeichnung: Integriert wird von rechts nach links, da 

2 

0 

die größere Integralgrenze unten steht → der Integralwert ist negativ. 

Der Wert des Integrals beschreibt wiederrum eine komplette Halbkreisfläche 

mit r=1 und Wert 1 2 π → − 1 2 π 

b) Zeichnung: 

−3 −2 

2 

1 

−1 

2 −1 

1 −2 

(−2| ≈ −1, 57) 

(2| ≈ 1, 57) 

1 2 3 




Seite 194


1 F (−2) = − 1 π ≈ −1, 57, danach steigt die Kurve an, Maximal bis zu F(-1), 

2 

danach steigt die Kurve zwar weiter aber wieder langsamer! 

2 F (0) = 0, siehe a), danach verhält sich die Kurve wie zwischen -2 und 0 

3 F (2) = 1 π ≈ 1, 57, siehe a) 

2 


1. a) Definitionslücke x = −1 → senkrechte Asymptote 

schräge oder waagrechte Asymtote über 

lim f(x) 

x→±∞ 

lim 

x→−∞ 

lim 

x→+∞ 

1 

2 (−∞) − 1 2 + 8 

−∞+1 = −∞ − 1 2 + 0 = −∞ 

1 

2 (+∞) − 1 2 + 8 

+∞+1 = +∞ − 1 2 + 0 = +∞ ⎫ 

⎪⎬ 

⎪ ⎭ 

→ kein fester Grenzwert 

→ schräge Asymptote 

Die schräge Asymtote ist in diesem Fall, der Teil, der nicht gegen 0 läuft also 

a(x) = 1 2 x − 1 2 . 

Das bedeutet, dass sich der Graph von f bei ganz großen negativen und positiven 

Werten an a(x) = 1 2 x − 1 2 annähert! 

Rechnerisch zeigen, dass f(x) a(x) nicht schneidet! 

f(x) = a(x) 

Gleichsetzen: 

b) Extremwertbestimmung: 

1. f ′ (x) bestimmen 

2. f ′ (x) = 0 setzen 

3. Monotonieverhalten 

1 

2 2 x+1 

= 1x − 1 2 2 

| − 1x − 1 2 2 

8 

x+1 

= 0 | · (x + 1) 

8 = 0 `kein Schnittpunkt möglich! 

4. y-Wert von Extremwert berechnen 

1. f ′ (x) = 1 2 + 0·(x+1)−8·1 

(x+1) 2 = 1 2 − 8 

(x+1) 2 

2. f ′ 1 

(x) = 0 − 8 

−8 

= 0; = − 1|·(−1); 8 

= 1 2 (x+1) 2 (x+1) 2 2 (x+1) 2 2 

16 = (x + 1) 2 | √ □; ±4 = (x + 1) 

x 1 = −5; x 2 = 3 

überkreuz multiplizieren ; 




Seite 195


3. Monotonietabelle von f ′ (x) = 1 2 − 8 

(x+1) 2 

4. y-Werte 

f(x) 

f(−5) = 1 · (−5) − 1 + 8 = − 5 − 1 + 8 

2 2 (−5)+1 2 2 (−4) 

→ HoP(−5| − 5) 

f(3) = 1 2 · 3 − 1 2 + 8 

3+1 = 3 2 − 1 2 + 2 = 3 

→ TiP(3|3) 

2. a) f(x) = 1 2 x − 1 2 + 8 

x+1 

g(x) : x → x − 1 

g(x) → f(x − 1) + 1 

x < −5 < x < 3 x > 3 

+ 0 − 0 + 

HOP 

TIP 

x = −5 x = 3 

= −3 − 2 = −5 

→ g(x) = 1 2 (x − 1) − 1 2 + 8 

(x−1)+1 + 1 = 1 2 x − 1 2 − 1 2 + 8 x + 1 = 1 2 x− ̸ 1 + 8 x + ̸ 1 = 

1 

2 x + 8 x = g(x) 

Punktsymmetrie zum Ursprung 

g(−x) = −g(x) 

Einsetzen: g(−x) = 1 2 (−x) + 8 

(−x) = − 1 2 x − 8 x = −( 1 2 + 8 x ) = −g(x) 

b) f(x) = 1x − 1 + 8 → Merke es gilt: 8·1 

2 2 x+1 1x+1 

F (x) = 1 · x2 − 1 + 8 · ln |x + 1| + c 

2 2 2 

8·f ′ (x) 

f(x) 

→ ∫ 8·f ′ (x) 

f(x) 

= 8 · ln(f(x)) 

Also gilt: ∫ 4 

0 f(x)dx = [ 1 

4 x2 − 1x + 8 · ln |x + 2 1|] 4 

0 

= 1 · 4 42 − 1 · 4 + 8 · ln |5| − (0 − 0 + 8 · ln 1) = 4 − 2 + 8 · ln 5 = 2 + 8 · ln 5 

2 

I = ∫ −2 

−6 f(x)dx =? 

Punktsymmetrie von f(x) zu P (−1| − 1) 

x = −1 senkrechte Asymptote 

Rechtecksfläche: 

l = 4; b = 2 (negativ, da unter x-Achse) 

→ I = ∫ −2 

−6 f(x)dx = −4·2− ∫ 4 

0 f(x)dx = −4·2−(2+8·ln 5) = −8−2−8 ln 5 = 

−10 − 8 ln 5 

3. a) f(x) = 1x − 1 + 8 

2 2 x+1 

f(0) = 0 − 1 + 8 = − 1 + 8 = 7, 5 → Bei x = 0, d.h. die Füllhöhe ist Null, 

2 0+1 2 

keine Flüssigkeit in der Dose, dann liegt der Schwerpunkt 7,5 über dem Boden! 




Seite 196


f(15) = 1 · 15 − 1 + 8 = 7, 5 − 1 + 1 = 7, 5 → Bei x = 15, d.h. bei 

2 2 15+1 2 2 

maximaler Füllhöhe, liegt der Schwerpunkt ebenso 7,5 über dem Dosenboden! 

b) V DOSE = r 2 π · h 

Bedeutung im Sachzusammenhang T iP (3|3) siehe 1b) 

→ Bei einer Füllhöhe von 3cm(x = 3) liegt der Schwerpunkt bei(f(3) = 3) 

genau auf gleicher Höhe. 

c) x =? f(x) ≤ 5cm 

→ 1x − 1 + 8 

2 2 x+1 

≤ 5 

1 

2 

1 

2 

x+1 

≤ 5, 5 | · (x + 1) 

x · (x + 1) + 8 ≤ 5, 5 · (x + 1) 

1 

2 x2 + 1 x + 8 ≤ 5, 5x + 5, 5 | − 5, 5x − 5, 5 

2 

1 

2 x2 − 5x + 2, 5 ≤ 0 

Lösung über 1. Quadratische Ergänzung 

1 

2 x2 − 5x + 2, 5 ≤ 0 | · 2 

x 2 − 10x + 5 ≤ 0 

x 2 − 10x + 5 2 − 5 2 + 5 ≤ 0 

(x − 5) 2 ≤ 20 | √ □ 

|x − 5| ≤ √ 20 = 2 √ 5 

x 1 ≤ 5 + √ 20 ≈ 9, 47 

x 2 ≥ 5 − √ 20 ≈ 0, 57 

→ I = [5 − √ 20; 5 + √ 20] 

≈ 0, 57 ≈ 9, 47 

Näherungswert aus Abbildung 2: 

f(6) = 7, 5 = f(15) = f MAX 

f(1) = 1 2 − 1 2 + 8 2 ≤ 5 → 4 ≤ 5 

ab x = 1 schon kleiner 

→ T iP (3|3) → x = 3 am kleinsten! 

→ dann wieder aufsteigend, aber langsamer 

z.B. Mittelwert zwischen 3 und 15 wählen 

x = 3+15 

2 

= 9 x = 9 

I = [1; 9] (genau, durch Berechnung!) 




Seite 197



1. 

a) Binominalverteilung ⎛ ⎞ x ˆ=Anzahl der Blutspender der Blutgruppe A 

Formel: ⎝ n ⎠ · p k · (1 − p) n−k P A = 37% + 6% = 43% = 0, 43 

k 

⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

Ges: P0,43(x 25 = 10) = ⎝ 25 ⎠·0, 43 10·(1−0, 43) 25−10 = ⎝ 25 ⎠·0, 43 10·0, 57 15 ≈ 

10 

10 

0, 15388 ≈ 15, 4% 

b) Bernoullikette x ˆ=Anzahl der Blutgruppe 0 und Rh + 

Formel: P n p (x ≥ k) = 1 − P k p (x ≤ k − 1) 

P 25 

0,35(x ≥ 13) = 1 − P 25 

0,35(x ≤ 12) 

Tafelwerte n = 25; p = 0, 35, k = 13 kummulativ! 

Erläuterung: P 0Rh + 

= 35% = 0, 35 Mehr als die Hälfte der Spender 25 : 

2 = 12, 5 → 13 Spender 

P 25 

0,35(x ≥ 13) = 1 − P 25 

0,35(x ≤ 12) = 1 − 0, 93956 ≈ 6% 

c) Spenderblut für Empfänger Blutgruppe B und Rh- aus Tabelle P BRh− = P 0Rh− + 

P BRh− = 6% + 2% = 8% = 0, 08 

p = 0, 08, n =? 

„Mindestens/Mindestens/Mindestens-Aufgabe“ leicht abgewandelt! 

P n 0,08(x ≥ 1) > 0, 95 

„mindestens ein Blutspender geeignet“ Wahrscheinlichkeit mehr als (>) 

95% 

⎛ 

⎝ n 0 

1 − P0,08(x n = 0) > 0, 95 | − 1 Umformung 

−P0,08(x n = 0) > −0, 05 | · (−1) 

⎞ 

P0,08(x n = 0) < 0, 05 Ungleichheitszeichen umdrehen 

⎠ · 0, 08 0 · (0, 92) n < 0, 05 

1 · 1 · 0, 92 n < 0, 05 | ln 

n · ln 0, 92 < ln 0, 05 | : ln 0, 92 < 0 Ungleichheitszeichen umdrehen 

ln 0,05 

n > = 35, 9 → n = 36 

ln 0,92 

Es müssten mindestens 36 Personen Blut spenden, damit die Kriterien erfüllt 

wären! 




Seite 198


2. Am besten eine Vierfeldertafel aufstellen, wobei hier erst zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten 

aufgelöst werden müssen! 

VFT in % 

S 

T 0, 07363 0, 77937 0, 85300 

¯T 0, 00037 99, 14663 99, 14700 

¯S 

0, 07400 99, 92600 100% 

„Wenn,dann“ → Bedingte Wahrscheinlichkeiten 

P S (T ) = 99, 5% → P S(T ) = P (S∩T ) 

P (S) 

→ P (S∩T ) = P S(T ) ·P (S) = 99, 5%·0, 074% : 100 = 

0, 07363% 

Erneut eine bedingte Wahrscheinlichkeit 

P S(T ) = 0, 078% → P S(T ) = P ( ¯S∩T ) 

P S 

→ P ( ¯S ∩ T ) = P ¯S(T ) · P ¯S = 0, 78 · 99, 926 = 

77, 94 : 100 = 0, 7794 (:100 wegen Wahrscheinlichkeiten in %) 

a) P (S ∪ T ) Die Stoffwechselkrankheit oder das Testergebnis ist positiv liegen 

nicht vor! 

P (S ∪ T ) = P (S ∩ T ) 

Testergenis ist negativ! 

Die Stoffwechselkrankheit liegt nicht vor und das 

b) aus Tabelle: P (T ) = 0, 85% 

P (T ∩S) 

P T (S) = = 0,0736 · 100% ≈ 8, 6% 

P (T ) 0,853 

Wenn das Testergebnis positiv ist, dann haben 8,6% die Stoffwechselkrankheit. 

c) P (S ∩ ¯T ) = 0, 00037% · 1Mio = 0, 00037% · 10 6 : 100 = 3, 7 

Bei 1 Mio. getesteten Kindern würde man 3,7 Kinder erwarten bei denen die 

Stoffwechselkrankheit vorliegt, der Test aber negativ wäre, also man die Krankheit 

nicht erkennen würde, obwohl sie vorliegt! 

3. a) Baumdiagramm sinnvoll 

Urne: 3x rot 

3x grün 

3x blau 

Urnenmodell ohne zurücklegen 

0 

3 

9 

3 

9 

r 

g 

Gewinnerereignisse: Es interessieren nur Äste mit rrr,ggg,bbb 

2 

8 

2 

8 

r 

g 

1 

7 

r rrr = 3 · 2 

9 

1 

7 

b b b 

g 

· 1 

8 7 

ggg = 3 9 · 2 

8 · 1 

7 

bbb = 3 9 · 2 

8 · 1 

7 

⎫ 

⎪⎬ 

P (gleicher Farben) 

⎪⎭ 




Seite 199


P (gleicher Farben) = 3 9 · 2 

8 · 1 

7 · 3 = 1 

28 

Tabelle: Gewinn-Verlust 

P(x) 

Gewinn 

1 

28 

Verlust 

Gewinn/Verlust in Euro x − 2 −2(Einsatz) 

Gewinn: xe − 2e(Einsatz) 

27 

28 

b) Erwartungswert: 

negativer Erwartungswert für Spiele ˆ= Gewinn für die Betreiber des „Krankenhauses“ 

beträgt −1, 25 

1 

27 

(x − 2) + (−2) · 

28 28 

= −1, 25 

1 

28 28 28 

= − 5 4 

1 

1 

| : 

28 4 28 4 28 

x = 21 

Es müssten 21 e ausbezahlt werden! 

11.3.6 Stochastik Aufgabengruppe II 

1. a) Vollständige Vierfeldertafel 

b) 

P (I) = 0, 12 → P (Ī) = 0, 88 

P (K) = 0, 44 → P ( ¯K) = 0, 56 

P ( ¯K ∩ I) = 0, 56 · 1 

7 

K ¯K 

I 0, 04 0, 08 0, 12 

Ī 0, 40 0, 48 0, 88 

0, 44 0, 56 1 

= 0, 08 

P I ( ¯K) P (I∩ ¯K) 

= = 0,08 = 2·10 = ⎫ 

22 ⎬ 

P (I) 0,12 3·10 33 

P Ī ( ¯K) P (Ī∩ ¯K) 

= = 0,48 = 6·3 = 18 ⎭ P I( ¯K) = 22 > 33 PĪ ( ¯K) 

P (Ī) 0,88 11·3 33 

Es ist nicht unbedingt sinnvoll, da nur 12% Jungwähler sind und 88% Altwähler, 

d.h. die Gewichtung von Jung zu Alt spricht eindeutig dafür sich (auch) 

sehr intensiv um die Altwähler zu kümmern, da sie mehr Potenzial ausmachen! 

labels2013 2, 1c 

c) P J = 0, 12; n = 48; k = 6 Binominalverteilung B(n, p, k) = Pp n (x = k) = 

⎛ ⎞ 

⎝ n k 

⎠ · p k · (1 − p) n−k 

hier: P 48 

0,12(x = 6) = 


⎛ 

⎝ 48 

6 

⎞ 

⎠ · 0, 12 6 · 0, 88 42 = 0, 170709 ≈ 17, 1% 



Seite 200


labels2013 2, 1d 

d) Signifikanztest: Bestimmen der Entscheidungsregel 

p ≤ p 0 < 50% 

A = {0, . . . , k} 

Ā = {k + 1, . . . , 200} rechtsseitiger Test, da der Anlehnungsbereich bzw. kritische 

Bereich rechts liegt(größer gleich) 

2. a) Rechnung: 

P0,5 200 (x ≥ k + 1) ≤ 0, 05 

1 − P0,500(x 2 ≤ k) ≤ 0, 05 | − 1 

−P0,5 200 (x ≤ k) ≤ −0, 95 | · (−1) 

P0,5 200 (x ≤ k) ≥ 0, 95 Tafelwerk 

k ≥ 112 → A = {0 . . . 112} → Ā = {113 . . . 200} 

b) Die Nullhypothese würde bis 112 Wähler akzeptiert werden, es dürften aber 

maximal 99 sein, denn der Kandidat braucht mehr als 55% der Stimmen also 

mindestens 100 Wähler! 

Es sollte also eine Zusatzkampagne, wie von der Wahlkampfberaterin vorgeschlagen, 

gestartet werden! 

3. a) P (x = 0) = 4 3 · 3 

11 · 2 

10 = 1 

55 

P (x = 1) = 8 · 7 · 6 · 3 = 12 

12 11 10 55 

mit einer Frau besetzt werden → ·3 

(schon angegeben, aber Rechnung zur Erläuterung) 

Die erste, zweite oder dritte Stelle kann 

P (x = 2) = 8 · 7 · 4 · 3 = 2 

12 11 10 55 

mit Frau besetzt! → ·3 

1. und 2., 2. und 3. oder 1. und 3. Stelle 

b) Erwartungswert 

x : 0 1 2 3 

P (x i ) 

1 

55 

12 

55 

28 

55 

14 

55 

E(x) = 0 · 1 

55 + 1 · 12 

55 + 2 · 28 

55 + 3 · 14 

= 2 55 

V ar(x) = (0−2) 2 ·( 1 

55 )+(1−2)2 ·( 12 

55 )+(2−2)2 ·( 33 

55 )+(3−2)2 ·( 14) 

= 6·3 = 18 

55 11·3 33 

c) E(y) = n · p = 3 · 2 = 2 = E(x) 

3 

V (y) = n · p · (1 − p) = 3 · 2 · 1 = 2·11 = 22 

3 3 3·11 33 

→ V ar(y) > V ar(x) 

Die Varianz bedeutet ja auch die quadratische Abweichung vom Erwartungswert. 

Der Erwartungswert ist zwar gleich, aber P (y = k) hat im Durschnitt 

höhere Auschläge. 



Seite 201 

Inhaltsverzeichnis


Bei beiden Varianzen fällt der P (x = 2) und P (y = 2) aus der Rechnung, 

da (2 − 2) 2 · 28 = 0 und (2 − 2) · 0, 42 = 0, 

55 

da P (Y = 0) und P (Y = 3) größer sind als P (X = 0) und P (X = 3) 

P (Y = 1) und P (X = 1) sind nahezu gleich, damit muss V ar(y) > V ar(x) 

sein! 


1. a) Bestimmung von C durch Vektorrechnung: 

D 

C 

A 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

# » 

B OC = OB # » + BC # » = OB # » + AD # » 22 20 − 28 

= ⎜ 10 ⎟ 

⎝ ⎠ + ⎜ 0 − 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = 

0 6 − 0 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

28 −8 20 

⎜ 10 ⎟ 

⎝ ⎠ + ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 10 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 6 6 

→ C(20|10|6) 

Quadrat ABCD 

→ alle 4 Seiten⎛ 

gleich lang⎞ 

und⎛ 

vier rechte ⎞ Winkel ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

Seiten: AB # » 28 − 28 0 

10 − 28 −8 

= ⎜ 10 − 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 10 ⎟ 

⎝ ⎠ ; # » 

BC = ⎜ 10 − 10 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ; 

0 − 0 0 

6 − 0 6 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

20 − 20 0 

# » 

CD = ⎜ 0 − 10 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ −10 ⎟ 

⎝ ⎠ ; DA # » 28 − 20 8 

= ⎜ 0 − 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

6 − 6 0 

0 − 6 6 

Länge: | AB| # » = √ 0 2 + 10 2 + 0 2 = 10; | BC| # » √ 

= (−8) 2 + 0 2 + 6 2 = 10; 

| CD| # » = 

√0 2 + (−10) 2 + 0 2 = 10; | DA| # » = √ 8 2 + 0 2 + 6 2 = 10 

Es reicht bereits | AB| # » = | AD| # » zu zeigen. 

Beweis eines rechten Winkels genügt: z.B. AB # » ⊥ BC 

# » 

Skalarprodukt: AB # » ◦ BC # » = 0 → AB # » ⊥ BC 

# » 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 −8 

⎜ 10 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = 0 + 0 + 0 = 0 → AB # » ⊥ BC 

# » 

0 0 

→ ABCD ist ein Quadrat! 

b) Normalenform der Ebene ABCD 




Seite 202

• 

• 


1. Bestimme z.B. # » AB = 

⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

0 

⎜ 10 ⎟ 

⎝ ⎠ und AD 

# » −8 

⎜ 0 ⎟, sie spannen die Ebene 

⎝ ⎠ 

0 

−6 

auf. 

Es gehen auch CD # » und CD # » oder BA # » und BC 

# » 

2. Nun einen Normalenvektor #» n bestimmen 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

#» # » n = AB × AD # » 10 · 6 − 0 · 0 60 

= ⎜ 0 · 8 − 0 · 6 ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ : 20 

0 · 0 − (−8) · 10 +80 

⎛ ⎞ 

3 

→ #» n = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

+4 

3. Nun die Normalenform 

E : #» n ◦ ( #» x − #» a ) = 0; 

#» 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a ∈ E( Es gehen also auch A,B,C oder D! ) 

3 x 1 − 28 

E : ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ x 

⎝ 2 − 0 ⎟ 

⎠ = 3 · (x 1 − 28) + 0 · (x 2 − 0) + 4 · (x 3 − 0) = 0 

4 x 3 − 0 

E : 3x 1 − 84 + 4x 3 = 0 → 3x 1 + 4x 3 − 84 = 0 

⎛ ⎞ 

0 

c) x 1 , x 2 -Ebene #» n = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

x 3 

( 0 

) 

n x1 ,x 2 

= 0 

1 

x 2 

x 1 

⎛ ⎞ 

3 

n E1 = n ABCD = ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

4 

n 

Winkel Ebene/Ebene: cos ϕ = # » E1 ◦ n # » E2 

SHIFT cos → ϕ = 36, 87 ◦ 

D 

C 

A 

B ⎛ ⎞ 

0 

n E2 = n x1 ,x 2 

= ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

3 0 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

= 4 1 

|n E1 |·|n E2 | 

√ 

3 2 +0 2 +4 2·√1 

= 4 

5·1 = 4 5 




Seite 203


d) 1. E P QRS hat den gleichen #» n wie E ABCD , da □P QRS|| ABCD 

d.h. 

F : #» n ◦ ( #» x − #» b ) = 0 

2. für b kannst du einen Punkt aus der Ebene PQRS einsetzen, am einfachsten 

P(0|0|0) 

→ F : 3x 1 + 4x 3 + 0 = 0; 3x 1 + 4x 3 = 0 

e) V = G · H Die Grundfläche ABQP ist ein Rechteck(,da A und B 

den gleichen x 1 -Wert haben und x 3 ≠ 0 und für P und Q x 1 = 0 ∧ x 3 = 0 gilt! 

Außerdem P # Q » ⊥ P # A, » AB # » ⊥ AP # » → ABQP ist Rechteckfläche ˆ=6) 

Gehen wir bei C,D,R,Q senkrecht zur Fläche ABQP, was der Ebene x 1 , x 2 entspricht, 

so erhalten wir die Höhe des Spats h = 6m(Angabe!) 

h = EC ¯ = F ¯ D = RG ¯ = HS ¯ 

Die Dreicksprismen ABCDEF und PQRSGH sind volumengleich und identisch(kongruent!) 

Entnimmt man Dreieckprisma PQRSGH und setzt es umgekehrt auf ABCDEF 

so erhält man einen geraden Quader für den V Q = V S = G · h gilt! 

f) p = 2, 1 t m = V ·p V = G·h G = l ·b = | AP # » |·| AB| 

# » 

m 3 

h = 6m : 10 = 0, 6m 

| AB| # » = 10 

# » 

AP = 

| AP # » | = 28 (nur x 1 -Wert!) 

Maßstab 1:10(1 LE ˆ= 0,1m) 

# » 

AP = 28 : 10m = 2, 8m 

# » 

AB = 10 : 10m = 1m h = 0, 6m 

⎛ ⎞ 

−28 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ → AP # » = 

0 

→ V = G · h = 2, 8m · 1m · 0, 6m = 1, 68m 3 

m = V · p = 1, 68m 3 · 2, 1 t 

m 3 

g) Gerade h 

≈ 3, 528t 

√ 

(−28) 2 + 0 2 + 0 2 

= 28 oder 

1. der Richtungsvektor #» v ist die Verbindung aus H zu X( #» X ist der Schnittpunkt 

der Diagonale aus A #» und Q #» oder B #» und P #» ) 

#» 

X = 1( B #» + P #» ) = 1( A #» + Q) 

#» ⎛2 ⎞ 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

28 + 0 28 + 10 14 

→ 1 ⎜ 

2 

10 + 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = 1 ⎜ 

2 

0 + 10 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ → X(14|5|0) 

#» 

0 + 0 

0 + 0 0 




Seite 204


#» v = 

# » 

HX = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

14 − 11 

5 − 3 

0 − 6 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

3 

2 

−6 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2. h : H #» + t · #» v oder X #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ t · #» v⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

11 3 

14 3 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ + t · ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ oder ⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ + t · ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

6 −6 

0 −6 

h) Die Kugel liegt in der Ebene DCRS, also um 6 Einheiten in x 3 -Richtung, gegenüber 

der Grundebene ABQP verschoben(parallel!) 

→ der x 3 -Wert von der Kugel muß deshalb 6 sein, x 1 = k 1 und x 2 = k 2 

K(k 1 |k 2 |6) (Punkt auf der Deckfläche) 

aus der Zeichnung folgt: M(m 1 |m 2 |m 3 ) 

→ m 1 = k 1 

→ m 2 = k 2 

→ m 3 = 6 + 8 = 14 

M(k 1 |k 2 |14) 

Grundfläche x 1 , x 2 -Ebene → x 3 = 0 

M• 

⎫ 

Maßstab 

⎪ ⎬ 

r = 0, 8 · 10 = 8 

⎪ ⎭ 

k 

⎫ 

⎪⎬ 

6 

⎪⎭ 




Seite 205

• 

• 

• 


Voraussetzungen: 

1. | # » XH| = 1, 05 

2. d(M, h) = # » BM = 8m 

# » 

BH ≤ 1, 05 

Man muss den Berührpunkt B der Kugel mit der Geraden h bestimmen. 

h 

X 

⎫ 

M • 

⎪⎬ 

B 1,05m 

Deckfläche 

H 

⎪⎭ 

Da 

¯ BM ⊥ h stehen muss ist B(der Berührpunkt) gleichzeitig das Lot von 

M auf h und damit berühren sich Kugel und Stange in B. 

| BH| # » muss ≤ 1, 05 sein, denn die Stange ragt nur um diese Länge aus der 

Deckfläche heraus! 




Seite 206



1. a) Vektorrechnung: Geg.: A,C,D 

# » 

OB = OA # » + AB # » oder OB # » = OC # » + CB 

# » 

oder OB # » = OA # » + DC # » oder OB # » = OD # » + DA 

# » 

# » 

AB = DC # » und CB # » = DA 

# » 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

→ OB # » 12 9 − 0 12 

= ⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ + ⎜ 12 − 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 12 ⎟ 

⎝ ⎠ oder ⎜ 

⎝ 

0 0 − 0 0 

⎛ ⎞ 

12 

⎜ 12 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 

→ B(12|12|0) 

0 

12 

0 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ + ⎜ 

⎝ 

12 − 0 

0 − 0 

0 − 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

oder direkt rauslesen: B 

x 1 = x 1A = 12 

x 2 = x 2C = 12 

x 3 = kein x 3 -Wert = 0 

→ B(12|12|0) 

V = 1G · h G = a · a a = AB ¯ = BC ¯ = CD ¯ = DA ¯ = 12 

3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

oder AB # » 12 − 12 0 

= ⎜ 12 − 0 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 12 ⎟ 

⎝ ⎠ → AB # » = √ 0 2 + 12 2 + 0 2 = 12 

0 − 0 0 

→ G = 12 · 12 = 144[m 2 ] 

→ h : x 3 -Wert von S, da nur er aus der x 1 , x 2 -Ebene herausragt → h = 8m 

V = 1 3 · 144m2 · 8m = 1 3 · 1152m3 = 384m 3 

b) Südliche Außenwand △BCS ⎛ ⎞ ⎛ 

Ebene aus 3 Punkten: z.B. BC # » 0 − 12 −12 

= ⎜ 12 − 12 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 0 

⎝ 

0 − 0 0 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

6 − 12 −6 

# » 

beliebig wählbar BS = ⎜ 6 − 12 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ −6 ⎟ 

⎝ ⎠ 

8 − 0 8 

z.B. CB, # » CS # » oder SB # » und SC 

# » 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Nun ⃗n E bestimmen: Vektorprodukt 




Seite 207


⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

n 

# » 

E = BC # » × BS # » 0 · 8 − 0 · (−6) 

0 

= ⎜ 0 · (−6) − (−12) · 8 ⎟ 

⎝ 

⎠ = ⎜ 96 ⎟ 

⎝ ⎠ 

−12 · (−6) − 0 · (−6) 72 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 

0 

n 

# » ′ E = ⎜ 96 ⎟ 

⎝ ⎠ : 32 = ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

72 

3 

→ E : #» x = ( n # » 

E ) ◦ ( #» x − #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b ) = 0 

0 x 1 − 12 

⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ x 

⎝ 2 − 12 ⎟ 

⎠ = 0 → 0(x 1 − 12) + 4(x − 12) + 3(x 3 − 0) = 0 

3 x 3 − 0 

→ 4x 2 − 48 + 3x 3 = 0 → E : 4x 2 + 3x 3 − 48 = 0 

⎡⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎤ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

#» 

c) 1. M = 1( A+ #» C) #» = 1( B+ #» D) #» 12 0 

12 6 

= 1 ⎢⎜ 

2 2 2 

0 ⎟ 

⎣⎝ 

⎠ + ⎜ 12 ⎟⎥ 

⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜ 

2 

12 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 6 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 0 

0 0 

2. Bestimme die Gerade l, die 1. durch M geht und 2. senkrecht auf die Ebene 

BCS(Außenwand) ⎛ steht! ⎞ ⎛ ⎞ 

l : M #» 

6 0 

+ t · n # » 

E = ⎜ 6 ⎟ 

⎝ ⎠ + t · ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

0 3 

3. Schnittpunkt von l mit E ist L. x 3 -Wert von L ist Höhe h. 

l in E 

x 1 = 6 

x 2 = 6 + 4t; x 3 = 3t 

E : 4 · (6 + 4t) + 3 · (3t) − 48 = 0 

24 + 16t + 9t − 48 = 0 

25t = 24 → t = 24 

⎛ ⎞25 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

in l: H #» 6 0 6 

= ⎜ 6 ⎟ 

⎝ ⎠ + 24 

⎜ 

25 

4 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 9 · 21 

⎟ 

⎝ 25 ⎠ 

72 

0 3 

25 

h = x 3 → x 3 = 72 = 2, 88; h = 2, 88 

25 

d) A △SM1 M 2 

⎛ 

M 1 = 1( S #» + B) #» = 1 ⎜ 

2 2 ⎝ 

⎛ 

M 2 = 1( S #» + #» C) = 1 ⎜ 

2 2 ⎝ 

6 + 12 

6 + 12 

8 + 0 

6 + 0 

6 + 12 

8 + 0 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

⎞ ⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎜ 

⎝ 

9 

9 

4 

3 

9 

4 

⎞ 

⎟ 

⎠ → M 1(9|9|4) 

⎞ 

⎟ 

⎠ → M 2(3|9|4) 




Seite 208


Fläche Dreieck: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

1 

| SM # » 

2 1 × SM # » 

3 −3 

21 

2 | = 1 ⎜ 

2 

3 ⎟ 

⎝ ⎠ × ⎜ 3 ⎟ 

= 1 ⎜ 

⎝ ⎠ 

2 

24 ⎟ 

= ⎝ ⎠ 

2√ 1 212 + 24 2 + 18 2 = 

∣ −4 −4 ∣ ∣ 18 ∣ 

1 

2√ 

900 ≈ 15[m 2 ] Kreuzprodukt/Vektorprodukt 

e) Neigungswinkel gegen die Horizontale 

→ Schnittwinkel aus 1. E ABCD und 2. E BCS 

⎛ ⎞ 

0 

# » 

1. einfachste Form von E ABCD : x 3 = 0 → n = ⎜ 0 ⎟ oder über DA× DC # » = 

⎝ ⎠ 

1 

#» n bestimmen und dann 

#» n ◦ ( 

#» #» x − d ) = 0; liefert auch x3 = 0 

⎛ ⎞ 

0 

2. 

#» n BCS = ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 

n 

Formel: cos ϕ = # » ABCD ◦ n # » BCS 

| n # » ABCD |·| n # » BCS | 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 0 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ ◦ ⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

cos ϕ = 

1 3 

√ 

1·√ 

42+3 2 

= 3 5 |−1 

→ ϕ = 53, 13 ◦ 

Schätzung: 

⎫ 

50 ◦ → 98% 

60 ◦ → 94% →≈ ⎬ 

53◦ ≈ 97, 5% 

⎭ I =]94◦ ; 98 ◦ [ 

→ 10 ◦ ˆ=4% 

1 ◦ ˆ=0, 4% 

3 ◦ ˆ=1, 2% → 98% − 1, 2% = 96, 8% oder 94% + 7 · 0, 4% = 96, 8% 




Seite 209


2. a) 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

8 3 −1 

⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + t ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ + µ · ⎜ 

⎝ 

7 2 −9 

⎞ 

1 

−2 ⎟ 

⎠ 

4 

I8 + 3t = −1 + µ → µ = 9 + 3tinIIundIII 

II1 + 1t = 5 − 2µ II ′ 1 + t = 5 − 2(9 + 3t) 

III7 + 2t = −94µ III ′ 7 + 2t = −9 + 4(9 + 3t) 

II ′ 1 + t = 5 − 18 − 6t → 7t = −14 → t = −2 

III ′ 7 + 2t = −9 + 36 − 12t → −10t = 20 → t = −2 

in I µ = 9 + 3t 

µ = 9 − 6 = 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

8 3 2 

t = −2 in g : #» x = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ − 2 · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ −1 ⎟ → T (2| − 1|3) 

⎝ ⎠ 

7 2 3 

oder 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−1 

1 2 

µ = 3 in h : #» x = ⎜ 5 ⎟ 

⎝ ⎠ + 3 · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ −1 ⎟ → T (2| − 1|3) 

⎝ ⎠ 

−3 

4 3 

b) Punktspiegelung von P an T! 

Wähle z.B. ⎛ t=0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

8 3 8 

g : #» x = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + t · ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ → P ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ ∈ g 

7 2 7 

Q durch von Spiegeln ⎛ von ⎞P an⎛ 

T! ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

# » 

OQ = OT # » + P # T » 2 2 − 8 2 −6 −4 

= ⎜ −1 ⎟ 

⎝ ⎠ + ⎜ −1 − 1 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ −1 ⎟ 

⎝ ⎠ + ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ −3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 3 − 7 3 −4 −1 

oder 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

# » 

OQ = OP # » + 2 P # T » 8 −6 8 −12 −4 

= ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + 2 · ⎜ −2 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟ 

⎝ ⎠ + ⎜ −4 ⎟ 

⎝ ⎠ = ⎜ −3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

7 −4 7 −8 −1 

→ Q(−4| − 3| − 1) 




Seite 210


c) 1. Bestimme | # » T Q| = x 

2. Richtungsvektor von h uh # » normieren 

d.h. Bestimme uh # » ◦ (Länge 1) 

#» 

3. T + x · uh # » ◦ = #» u ( oder #» v ) 

#» 

T − x · uh # » ◦ = #» v ( oder #» u ) 

4. Ordnung des Rechtecks festlegen, d.h. wo liegt #» u , wo liegt #» v 




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