abicrasher

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0.2 Analytische Geometrie
3. Bedingung
0.2.3 Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen
in Koordinatenform bzw. Normalenform
E
rechter Winkel aus dem Skalarprodukt
#» n E
B
E : #» n E ◦ # » AX = 0
A
#»
X − #» A
E : #» n E ◦ ( #» X − #» A) = 0, wobei X der allgemeine Punkt in E sein soll!
Beispiel:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2
# »
AB = ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ; AC # » 1
= ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
0
3
aus dem Vektorprodukt/Kreuzprodukt erhält man #» ⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ n E ⎞
# »
AB × AC # » 1 · 3 − 0 · 2 3
1
= ⎜ 0 · 1 − 2 · 3 ⎟
⎝
⎠ = ⎜ −6 ⎟
⎝ ⎠ : 3 = ⎜ −2 ⎟
⎝ ⎠ = #» n E
2 · 2 − 1 · 1 3
1
X
C
⎛
→ E : ⎜
⎝
1
−2
1
⎞ ⎛
⎟
⎠ ◦ ⎜
⎝
x 1 − 1
x 2 − 2
x 3 − 3
⎞
⎟
⎠ = 0 → 1 · (x 1 − 1) + (−2) · (x 2 − 2) + 1 · (x 3 − 3) = 0
→ x 1 − 1 − 2x 2 + 4 + x 3 − 3 = 0
→ E : x 1 − 2x 2 + x 3 = 0
Merke:
So kannst Du jede Parameterform in die Koordinaten- bzw. Normalenform leicht
umwandeln wenn E : #» x = k · AB # » + l · AC # » oder #» x = k · #» u + l · #» v .
Weg:
1.
2.
# »
AB × AC # » = #» n E
#» n E ◦ ( X #» − A) #» = 0
3. Skalarprodukt ausmultiplieren
4. Sortieren und zusammenfassen
A
B
C
E
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
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