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0.2 Analytische Geometrie 0.2.6 Schnittwinkel 0.2.6 Schnittwinkel 0.2.6.1 Gerade mit Gerade Voraussetzung: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 g : #» x = ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ → #» u 2 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 h : #» x = ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ + l · ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ → #» v 3 2 Merke: Der Schnittpunkt ist immer der spitze Winkel! S • α g #» u #» v h α α α′ α ′ Die beiden Schnittwinkel α und α ′ sind zusammen 180 ◦ → α + α ′ = 180 ◦ Bekommst du durch Rechnung ⎛ den ⎞ ⎛stumpfen ⎞ ∢α ′ machst du ∢α = 180 ◦ − ∢α ′ 1 0 ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ u Formel: cos α = #» ◦ #» v | u #» |·| #» = 1 2 √ v | 1 2 +1 2 +1 2·√0 = 1·0+1·1+1·2 √ 2 +1 2 +2 3·√ 2 5 cos α = √ 3 15 (SHIFT cos) → ∢α = 39, 23 ◦ 0.2.6.2 Gerade mit Ebene E : ⎛x 1 + ⎞2x 2 − 5x ⎛ 3 + ⎞5 = 0 0 1 g : ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 ) ϕ ′ ( 1 2 −5 #» n E E Schnittwinkel P ∢ϕ ′ = 90 ◦ − ϕ ′ ∣ | n #» E |·| n #» g| → cos(ϕ ′ ) = ∣ ∣ ∣ #» n E ◦ #» n g Merke: cos(90 ◦ − ϕ) = sin(ϕ) ∣ = cos(90 ◦ − ϕ) c○Alexander Pernsteiner Abi – Crasher Inhaltsverzeichnis Seite 48
• • 0.2 Analytische Geometrie 0.2.6 Schnittwinkel ∣ → sin(ϕ) = ⎛ ⎜ ⎝ n ∣ #» E ◦ n #» g | n #» E |·| n #» ∣ g| = ∣ ⎞ ⎛ ⎞∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 2 ⎟ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ −5 1 √ 5·√ 3 = ∣ 1+2−5 √ 15 ∣ ∣∣ = ∣ ∣∣ −2 √ 15 ∣ ∣∣ ⇒ ϕ=30,09 ◦ 0.2.6.3 zwischen zwei Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ #» 0 #» a = ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ , #» 2 α b b = ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 5 #» a ∣⎛ ⎞ ⎛ ⎞∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠· ⎝ ⎠ #» #» cos α = a ◦ b ∣ | #» a |·| #» b | ∣ = 2 5 √ 4·√ 30 = √ 10 120 ⇒ ∢α = 24, 09 ◦ 0.2.6.4 Ebene/Ebene | n #» E |·| n #» ∣ F | cos α = ∣ #» ∣ n E ◦ n #» F #» n F F E E : x 1 + 2x 2 − 3x 3 − 5 = 0 F : −2x ⎛ 1 − x⎞ 2 + x 3 − 3 = 0 ⎛ 1 #» n E = ⎜ 2 ⎟ #» n ⎝ ⎠ F = ⎜ ⎝ −3 −2 −1 1 ⎞ ⎟ ⎠ c○Alexander Pernsteiner Abi – Crasher Inhaltsverzeichnis Seite 49
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