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11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2
A 2 = ∫ 3
0 g(x)dx
A 2 besteht aus einer Rechtecksfläche A R = l · b; l = 3; b = c; A R = 3 · c
und der Integralfläche von f(x) von 0 bis 3(nur um c Einheiten noch oben
verschoben).
Zusammen: A 2 = ∫ 3
0 f(x)dx + 3c
3. a) g 1,4 (x) = 2x · e −0,5x2 + 1, 4 siehe Kopie Tabelle eingeben von −3 bis 3 für
x, Werte einzeichnen
Die Zeichnung zeigt, dass die Geburtenziffer zwischen
x ∈ [0, 4; 1, 8]
> 2, 1 Startjahr 1955 ˆ=x = 0 0,1 entspricht einem Jahr
Zeitraum: 1959 − 1973 → 1959; x = 0, 4 +4 Jahre
b) Künftige Entwicklung aufgrund des Modells
→ 1973; x = 1, 8 +18 Jahre
lim g 1,4(x) =?; lim (2 + ∞) ·
x→+∞ x→+∞ e−0,5(+∞)2 + 1, 4 = 1, 4
+∞ · 0 +1, 4
auch aus 2a) ersichtlich,
da
lim f(x) = c; c = 1, 4
x→+∞
Die Geburtenziffer wird sich nach Grundlage des Modells langfristig auf den
Wert 1,4 zu bewegen, aber nicht unterschreiten!
c) Erklärung:
Die statistische Abnahme, d.h. die steilste negative Steigung (statistische Abnahme
der Geburtenziffer)
Diese findet man immer am Wendepunkt!
Danach nimmt die negative Steigung wieder ab, d.h. die Abnahme der Geburtenziffer
wird wieder schwächer!
Lösungsweg rechnerisch zwar nicht erforderlich, aber einfacher und verständlicher!
1.
u · v
f ′ 1,4(x) = f ′ (x) = 2e −0,5x2 · (1 − x 2 ) aus 1a)
u ′ · v + u · v ′
f ′′ (x) = 2e −0,5x2 · (−x) · (1 − x 2 ) + 2e −0,5x2 · (−x) Produktregel:
(u · v) ′ = u ′ · v + u · v ′
= 2e −0,5x2 [(−x) · (1 − x 2 ) + (−2x)]
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
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