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11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.8 Geometrie Aufgabengruppe II
Den Berührpunkt W erhält man als Schnittpunkt von der Lotgeraden l und
der Ebene BSCT
1. Bestimme l: #» h E = #» ⎛ ⎞ v l ; ⎛M ∈⎞l
5
0
l : X = ⎜ 6, 5 ⎟
⎝ ⎠ + λ · ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ → nE
# »
3
4
2. Schneide l mit E → l ∩ E = {w}
l in E einsetzen
E : 3x 2 + 4x 3 − 24 = 0
3(6, 5 + 3λ) + 4(3 + 4λ) − 24 = 0
19, 5 + 9λ + 12 + 16λ − 24 = 0
25λ + 7, 5 = 0
25λ = −7, 5
λ = −0, 3
3. Setze λ ⎛= −0, 3⎞
in l ein⎛
⎞ ⎛ ⎞
5
0 5
l · #» x = ⎜ 6, 5 ⎟
⎝ ⎠ − 0, 3 ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ = ⎜ 5, 6 ⎟ → W (5|5, 6|1, 8)
⎝ ⎠
3
4 1, 8
g) Gesucht: | # » MM| ∗
Wir brauchen M ∗
Die Kugel rollt hinab berührt die x 1 , x 2 -Koordinatenebene wenn M ∗ von dieser
Ebene x 1 , x 2 den Abstand r = 1, 5 hat. Da x 1 = x 2 = 0, muss x 3 = 1, 5
Die Gerade auf der sich der Mittelpunkt bewegt lautet: g : #» x = m #» + t · vg #»
vg
#»
ˆ= CB
# »
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
5
0
g : #» x = ⎜ 6, 5 ⎟
⎝ ⎠ + t · ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ → x 3 = −3 + 3t = 1, 5
3
−3
t = 0, 5⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
5
0 5
#»
M ∗ = ⎜ 6, 5 ⎟
⎝ ⎠ + 0, 5 · ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ = ⎜ 8, 5 ⎟
⎝ ⎠
3
−3 1, 5
⎛
⎞ ⎛ ⎞
5 − 5
0
# »
MM ∗ = ⎜ 8, 5 − 6, 5 ⎟
⎝
⎠ = ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
1, 5 − 3 −1, 5
→ | MM # » √
∗ | = 0 2 + 2 2 + (−1, 5) 2 = 2, 5
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
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