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0.3 Stochastik 0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete Formel)
0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete
Formel)
0.3.7.1 Binomialverteilung
1. Bedingung: die Wahrscheinlichkeit p bleibt immer gleich
z.B. Würfeln Augensumme 6 → p = 1 6
2. Der Vorgang wird n-mal wiederholt
z.B. 100x Würfeln
3. Festlegung wie oft das Ereignis eintritt (wie viele Treffer es gibt)
x = k z.B. 11x „sechs gewürfelt “→ x = 11
4. Formel: P (x = k) = ( )
n
k · pk · (1 − p) n−k
Beweis: n = 100 p = 1 k = 11
6
Einsetzten:
( ) 100
·
11
( 1
6
) 11·(
1 − 1 6) 100−11
=
( ) ( ) ( ) 100 1 5 89
·
11· = 0, 035023537
11 6 6
≈ 3, 5%
Diese Formel ist nur für genau k Treffer zu verwenden. Sobald es mehr, mindestens,
höchstens oder weniger Treffer sind, musst Du die Bernoulli-Kette verwenden.
0.3.7.2 Beispiele Bernoullikette (immer Tafelwerk kumulativ verwenden!)
zum Beispiel: n = 100 p = 1 ; Würfeln einer sechs
6
1. Höchstens 10 mal eine sechs x ≦ k → x ≦ 10
Pp n (x ≦ k) → P 100 1
6
(x ≦ 10) = P 100 1
6
(x = 0) + P 100 1
6
(x = 1) + ... + P 100 1 (x = 10)
6
↓ ↓ bis ↓
Tabbelenwerk Kumulativ 0 Treffer 1 Treffer → 10 Treffer
P 100 1 (x ≦ 10) = 0, 04270 ≈ 4, 3%
6
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
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