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11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2
f(15) = 1 · 15 − 1 + 8 = 7, 5 − 1 + 1 = 7, 5 → Bei x = 15, d.h. bei
2 2 15+1 2 2
maximaler Füllhöhe, liegt der Schwerpunkt ebenso 7,5 über dem Dosenboden!
b) V DOSE = r 2 π · h
Bedeutung im Sachzusammenhang T iP (3|3) siehe 1b)
→ Bei einer Füllhöhe von 3cm(x = 3) liegt der Schwerpunkt bei(f(3) = 3)
genau auf gleicher Höhe.
c) x =? f(x) ≤ 5cm
→ 1x − 1 + 8
2 2 x+1
≤ 5
1
2
1
2
x+1
≤ 5, 5 | · (x + 1)
x · (x + 1) + 8 ≤ 5, 5 · (x + 1)
1
2 x2 + 1 x + 8 ≤ 5, 5x + 5, 5 | − 5, 5x − 5, 5
2
1
2 x2 − 5x + 2, 5 ≤ 0
Lösung über 1. Quadratische Ergänzung
1
2 x2 − 5x + 2, 5 ≤ 0 | · 2
x 2 − 10x + 5 ≤ 0
x 2 − 10x + 5 2 − 5 2 + 5 ≤ 0
(x − 5) 2 ≤ 20 | √ □
|x − 5| ≤ √ 20 = 2 √ 5
x 1 ≤ 5 + √ 20 ≈ 9, 47
x 2 ≥ 5 − √ 20 ≈ 0, 57
→ I = [5 − √ 20; 5 + √ 20]
≈ 0, 57 ≈ 9, 47
Näherungswert aus Abbildung 2:
f(6) = 7, 5 = f(15) = f MAX
f(1) = 1 2 − 1 2 + 8 2 ≤ 5 → 4 ≤ 5
ab x = 1 schon kleiner
→ T iP (3|3) → x = 3 am kleinsten!
→ dann wieder aufsteigend, aber langsamer
z.B. Mittelwert zwischen 3 und 15 wählen
x = 3+15
2
= 9 x = 9
I = [1; 9] (genau, durch Berechnung!)
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
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