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11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2
f(x) = h(x)
2x · e −0,5x2 =
2
· x| − 2 · x
e 2 e 2
2x · e −0,5x2 − 2 · x
e 2 = 0
x(2e −0,5x2 − 2 e 2 ) = 0
Merke:
x 1 = 0; Setze Klammer 2 · e −0,5x2 − 2 e 2 = 0
1
e k
2 · e −0,5x2 = 2 e 2 | : 2
e −0,5x2 = 1 e 2
wenn Basis gleich, setze → −0, 5x 2 = −2
= e −2
= e −k
Exponenten gleich x 2 = 4 → x 2 = 2; x 3 = −2
B = ∣ ∫ 2 ∣ 0 (f(x) − h(x))dx∣ ∣ F (x) − H(x)
A 2 x ≥ 0 → B = ∫ 2
0 (f−h)dx = [ ]
2 − 2e −0,5x2 − ̸2 2
· x2 = [ ] 2
2 − 2e −0,5x2 − x2
e 2 ̸2 0 e
[ 2 0
aus 1d) 2 − 2e −2 − 4 − (2 − 2e 0 − 0) ]
( e 2
2 − 2
2
− 4 − ̸ 2+ ̸ 2 ) = (2 − 6 )
e 2 e 2 e 2
2. a) g c (x) = f(x) + c = 2x · e 0,5x2 + c
g ′ c(x) = f ′ (x) = 0 → g c (x) hat den gleichen x-Wert als Hochpunkt
x H = 1
g c (1) = f(1) + c
1
2 √ + c → HoP(1| 1
e 2 √ + c) e
Abstand lim g c(x) = lim f(x) + c = 0 + c = c
x→+∞ x→+∞
Wenn f(x) gegen +∞ gegen null geht, muss g c (x) logischerweise gegen c gehen!
b) g c (x) = 2x · e −0,5x2 + c HoP von f(x) bei NoP (1| 1
2 √ e )
TiP von f(x) bei T iP (−1| − 1
2 √ e )
α) Wenn c > 1
2 √ e oder c < − 1
2 √ e ist liegt g c(x) komplett oberhalb der x-Achse
→ keine Nullstelle
β) Wenn c = 1
2 √ und c = − 1
e 2 √ e
Nullstelle!
dann berührt g(x) die x-Achse → genau eine
γ) Wenn − 1
2 √ e < c < + 1
2 √ e
c) A 1 = ∫ 3
0 f(x)dx
c○Alexander Pernsteiner
dann gibt es genau zwei Nullstellen
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