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0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 −2 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ◦ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ −3 1 ∣ → cos α √ 14·√ 6 = ∣ √ −7 ∣∣ 84 → α = 40, 2 ◦ 0.2.7 Formeln Oberstufe 0.2.7.1 Skalarprodukt(Standard!) ⎛ #» #» a ◦ b = ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ ⎞ a 1 b 1 a 2 ⎟ ⎠ ◦ ⎜ b ⎝ 2 ⎟ a 3 b 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 −3 ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ◦ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ 2 −1 ⎠ = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + a 3 · b 3 = 1 · (−3) + 1 · (−5) + 2 · (−1) = −10 Verwendung: #» a ⊥ #» b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 −3 1. #» #» a ◦ b = 0 ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ◦ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ = −3 + 0 · 3 + (−3) · (−1) = 0 → #» a ⊥ #» b −3 −1 #» b • #» a d.h. wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen zwei Vektoren, hier #» a und #» b aufeinander senkrecht!(weil cos α = #» a ◦ #» b | #» a |·| #» = 0, wegen cos b | 90◦ = 0!!) 2. Winkel ziwschen zwei Vektoren b α #» a cos α = ⎛ ⎜ ⎝ #» a ◦ #» b | #» a |·| #» = b | 3. √ #» a · #» a = | #» a | ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 ⎟ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 √ 3·√ 5 = √ 3 15 → α = 39, 23 ◦ c○Alexander Pernsteiner Abi – Crasher Inhaltsverzeichnis Seite 50
• • 0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎟ ⎠ ◦ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ = 1 + 4 + 9 = 14 3 √ 14 = | #» a | Analog: #» a = √ 1 2 + 2 2 + 3 2 = √ 14 4. Mittelpunkt zwischen zwei ⎛Punkten ⎞ A und⎛B ⎞ #» M = 1( A #» + B) #» 2 1 2 #» #» A = ⎜ 1 ⎟ B = ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 −5 1 + 2 #» M = 1 ⎜ 2 1 − 3 ⎟ ⇒ M(1, 5| − 1| − 2) ⎝ ⎠ 1 − 5 ⎛ ⎞ Schwerpunkt: S #» = 1( A+ #» B+ #» C) #» 3 −3 #» C = ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 5 im Dreieck: S #» 0 = 1 ⎜ 3 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ S(0| − 2| 1) 3 3 1 #» S = 1 3 ⎛⎛ ⎜⎜ ⎝⎝ 1 1 1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ 2 −3 −2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ −3 0 5 ⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠ 0.2.7.2 Vektor-/Kreuzprodukt ⎛ #» n = #» #» a × b = ⎜ ⎝ Einfache ⎛ Formel: ⎞ a 2 b 3 − a 3 b 2 ⎜ a ⎝ 3 b 1 − a 1 b 3 ⎟ ⎠ a 1 b 2 − a 2 b 1 ⎞ ⎛ ⎞ a 1 b 1 a 2 ⎟ ⎠ × ⎜ b ⎝ 2 ⎟ ⎠ a 3 b 3 Aussage: #» n steht auf #» a und #» b senkrecht! #» n ϕ #» a #» b #» n ⊥ #» a und #» n ⊥ #» b Es gilt auch: #» n = #» a × #» b = | #» a | ◦ | #» b | · sin ϕ c○Alexander Pernsteiner Abi – Crasher Inhaltsverzeichnis Seite 51
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