abicrasher

11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.7 Geometrie Aufgabengruppe I
∣ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−2 0
⎜ −8 ⎟
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
#»
Formel: sin α =
vg◦ nE
# »
∣ | vg|·| #» nE|
# »
∣ = −1 0
∣
√
(−2) 2 +(−8) 2 +(−1) 2·√1
= ∣ √−8
∣∣ 69·1 = √8
69
→ SHIFT sin α
∣
→ α = 74, 4
⎡⎛
⎞ ⎛ ⎞⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
e) M GH = 1( G+ #» H) #» 2 2
4 2
= 1 ⎢⎜
2 2
4 ⎟
⎣⎝
⎠ + ⎜ 6 ⎟⎥
⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜
2
10 ⎟
⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ → M # »
GH
(2|5|1, 5)
2 1
3 1, 5
M liegt 1,5 über dem Boden, da x 3 = 1, 5. Wenn MH # » < 1, 5, dann berührt das
Fenster ⎛den Boden⎞nicht!
⎛ ⎞
2 − 2 0
# »
MH = ⎜ 6 − 5 ⎟
⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ → | # » √
MH| = 0 2 + 1 2 + (−0, 5) 2 = √ 1, 25 ≈
1 − 1, 5 −0, 5
1, 12
| MH| # » = 1, 12 < 1, 5, deshalb kann das Fenster den Boden bei der Drehung
nicht berühren!
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 1
f) k : #» x = ⎜ 5, 5 ⎟
⎝ ⎠ + λ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
0, 4 0
x 1 = 0 + 1λ⎫
→ k verläuft parallel zur x 1 -Achse und damit auch zu CD ¯
x 2 = 5, 5 ⎬
unabhängig von λ;
x 3 = 0, 4 ⎭
x 2C = x 2D = 6 → Die Tiefe des Möbelstücks ist x 2C − x 2G = 6 − 5, 5 =
0, 5[m] ˆ=50[cm]
g) # » GH verläuft parallel verschoben zur x 2 , x 3 Koordinatenebene, da, G(2|4|2) und
H(2|6|1), gleiche x 1 = 2 Werte haben. Die einfachste Form einer Ebene E wäre
hierfür E : x 1 = 2.
Diese Ebene schneidet die Gerade k in einem Punkt R auf der vorderen Oberkante
des Möbelstücks, wo sich k ja bewegt!
Wenn dann MR # » > MH # » kann das Fenster (immer) geschwenkt werden ohne
das Möbelstück zu berühren!
Rechnung:
E ∩ k ⎛ x 1 = ⎞2 → k ⎛: x 1 ⎞= 0 + ⎛1t → ⎞0 + 1t = 2 → t = 2 in k
0
1 2
k : #» x = ⎜ 5, 5 ⎟
⎝ ⎠ + 2 · ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ = ⎜ 5, 5 ⎟ → R(2|5, 5|0, 4)
⎝ ⎠
0, 4 0 0, 4
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
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