abicrasher

11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.8 Geometrie Aufgabengruppe II
cos ϕ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 0
⎜ −2 ⎟
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
−3 −3
√
0 2 +(−2) 2 +(−3) 2·
√0 = √ 0−8−9
2 +4 2 +(−3) 13·√ 2 25
= 1
5 √ → ϕ = 86, 13 6◦ (cos ϕ −1 )
d) Der Punkt P muss in der Mitte von A und B liegen.
So teilt er die Grundfläche ABC(da die Höhe h 0 gleich bleibt!) in zwei gleiche
Teile. Die Höhe des Prismas bleibt mit h Prisma = # » CT auch gleich, so teilt die
Ebene F aus den Punkte ⎡⎛
F,C,T ⎞ ⎛in zwei ⎞⎤gleich⎛
große⎞
Volumenkörper!
⎛ ⎞
#»
P = 1( A #» + B) #» 10 10 20 10
= 1 ⎢⎜
2 2
2 ⎟
⎣⎝
⎠ + ⎜ 8 ⎟⎥
⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜
2
10 ⎟
⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ → P (10|5|0)
0 0
0 0
e) Anmerkung: Es würde ⎛ auch der ⎞ Mittelpunkt ⎛ ⎞ von R und S gehen!
Q = 1( R #» + S #» 2 + 2 2
) = 1 ⎜
2 2
3 + 2 ⎟
⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟ → Q(2|5|0) 1. Teilkörper: ABCT ist
⎝ ⎠
0 + 0 0
eine dreiseitige Pyramide
V P y = 1 · G · h = 1 · △ABC · | CT # » |
3 3
1
9 · 8 = 24
3
Somit ist schon klar, dass die Volumen nicht gleich sein können, denn V Ges =
72(10)
→ V 2. Teilkörper = 72 − 24 = 48
analog kann man auch mit Teilkörper 2 beginnen
2. Teilkörper: ABRST ist eine vierseitige Pyramide mit Grundfläche ABRS als
Rechtecksfläche und: Höhe h P y = x 3 t = 3
V P y = 1 3 G · h
G = l · b = | # » AB| · | # » BS| = |8 − 2| · |10 − 8| = 6 · 8 = 48
→ V P y = 1 · 48 · 3 = 48
3
V Rest = 72 − 48 = 24
f) 1. W liegt in der Ebene BSCT
2. r = | # » W M|, also der Abstand von M zur Ebene BSCT
3. Bestimme Hesseform von E BSCT
⎛ ⎞
E H : | nE| # » = √ 0 2 + 3 2 + 4 2 = √ 0
25 = 5(nE = ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ )
4
→ E H : 1 · (3x 5 2 + 4x 3 − 24)
Setze M in E H ein d(M, E) = 1 5
1, 5 → M(5|6, 5|3)
· (3 · 6, 5 + 4 · 3 − 24) =
7,5
5 = 1, 5 → r =
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
Inhaltsverzeichnis
Seite 184