abicrasher
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Mathematik-Studio<br />
Garmisch-Partenkirchen<br />
Alexander Pernsteiner<br />
Dipl. Mathematiker<br />
„Abi-Crasher“<br />
Mathematik<br />
c○<br />
Alexander Pernsteiner<br />
Stand:<br />
2016–01–17
Liebe Schülerinnen, liebe Schüler<br />
ich möchte mich kurz bei euch vorstellen. Mein Name ist Alexander Pernsteiner,<br />
ich bin verheiratet und habe 3 Kinder.<br />
Seit über 18 Jahren gebe ich, in meinem Unternehmen<br />
„Mathematik-Studio Alexander Pernsteiner“, privat Mathematik-Unterrichte für Schüler<br />
in allen Jahrgangsstufen und für alle Schularten. Hier bereite ich auch viele meiner Schüler<br />
direkt auf das Mathematikabitur vor.<br />
Früher für das G9 und nun seit geraumer Zeit für das G8 Abitur.<br />
Die Ansprüche sind enorm und in der Schule habt ihr nur selten die Zeit euch intensiv<br />
und systematisch auf die Abschlussprüfung vorzubereiten.<br />
Der Stark-Verlag bietet ja schon immer sein Prüfungsvorbereitungsbuch an. Dort sind die<br />
Prüfungen der letzten Jahre mit ausführlichen Lösungsschablonen aufbereitet.<br />
Warum dann dieses neue Buch bzw. diese neue PDF-Datei?<br />
Ganz einfach! Ich habe für euch die Abituraufgaben der G8 Jahrgänge in die Themengebiete<br />
aus Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik und die damit verbundenen Teilgebiete<br />
zerlegt oder besser gesagt „mathematisch seziert“.<br />
Des weiteren sind den einzelnen Themen aus diesen Stoffgebieten die jeweiligen Abituraufgaben<br />
konkret zugeordnet. Jeder von euch kann sich damit selbständig und gezielt<br />
alleine durch die Abituraufgaben durcharbeiten. Zusätzlich habe ich für euch eine<br />
Abiturformelsammlung entwickelt, die mit den Abituraufgaben und Themengebieten<br />
sinnvoll verlinkt ist. Ich glaube mal, wer sich auf´s Abi vorbereiten will, kann das nun<br />
auch!<br />
Der Abi Crasher geht dieses Jahr in seine erste Testphase und kostet nur einen Unkostenbeitrag<br />
von 4,99efür eine Einzellizenz und 0,99eje Schüler für Schullizenzen, wobei hier<br />
die Lehrerlizenz kostenfrei ist.<br />
Ihr könnt ihn auf meiner Homepage nach Anfrage unter alex-pernsteiner.de<br />
oder unter meiner E-mail: kontakt@alex-pernsteiner.de anfordern und ihn dann downloaden!<br />
Ich bitte euch mein Urheberrecht zu respektieren und den Abi Crasher nur selbst zu<br />
verwenden. Jede Vervielfältigung (z.B. für Schulklassen oder Schulen) muss vorher mit<br />
mir abgesprochen werden!
Wir befinden uns noch immer in der Aufbau- und Testphase, deshalb sind Fehler bei der<br />
Bearbeitung und der Eingabe sicherlich noch möglich, bzw. Realität. Wir kontrollieren<br />
unsere Eingaben natürlich ständig und sorgfältig , doch Nobody is perfect und schon gar<br />
nicht wir Menschen. . .<br />
Große Bitte: Fehler bitte sofort an uns melden, damit wir sie ausbessern können. Konstruktive<br />
Feedbacks sind immer erwünscht!<br />
Unsere Kontaktadresse: kontakt@alex-pernsteiner.de<br />
In diesem Sinne viel Erfolg mit unserem Abi Crasher.<br />
Euer Alexander Pernsteiner, Diplom Mathematiker<br />
und das Team:<br />
Dominik Gilg,<br />
Simon Sommer,<br />
Maximilian Muth,<br />
Magdalena Preimesberger,<br />
Master Eingabe<br />
Eingabe<br />
Homepage Koordinator<br />
Pitodesign<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
designed mit L A TEXvon Dominik Gilg<br />
3
Inhaltsverzeichnis<br />
Formelsammlung: Erweiterung der ISB Merkhilfe 8<br />
0.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
0.1.1 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
0.1.2 Wichtige Grenzwerte allgemein für r ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
0.1.3 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
0.1.4 Integrale / Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
0.1.5 Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
0.2 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
0.2.1 Aufstellen von Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
0.2.2 Aufstellen von Ebenengleichungen<br />
Parameterform/Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
0.2.3 Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen<br />
in Koordinatenform bzw. Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
0.2.5 Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
0.2.6 Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
0.2.7 Formeln Oberstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
0.3 Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
0.3.1 Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
0.3.2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
0.3.3 Das Baumdiagramm und seine Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . 61<br />
0.3.4 Erwartungswert / Varianz / Standardabweichung . . . . . . . . . . 62<br />
0.3.5 einer Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
n!<br />
0.3.6 Grundformeln der Kombinatorik n!; ; ( )<br />
n<br />
n−k k ; n<br />
k<br />
. . . . . . . . . . . 64<br />
0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete Formel) . 66<br />
0.3.8 Urnenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
0.3.9 Der Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1 Abitur-Check Gebrochenrationale Funktionen 74<br />
2 Abitur-Check Exponential-Funktion e x 76<br />
3 Abitur-Check ln-Funktionen 78<br />
4 Abitur-Check Ganzrationale(Polynom- ) Funktionen 79<br />
5 Abitur-Check Wurzelfunktionen 80<br />
6 Abitur-Check Trigonometrische Funktionen 81<br />
7 Sonstige Analysis aus den G8 Abiturjahrgängen 2011-13 82<br />
8 Abitur-Check„Analytische Geometrie“ 83<br />
9 Abitur-Check„Wahrscheinlichkeitsrechnung“ 86
10 Abituraufgaben 2011-2013 88<br />
10.1 G8 Abitur 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
10.1.1 G8 Abitur 2011 Analysis I Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
10.1.2 G8 Abitur 2011 Analysis I Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
10.1.3 G8 Abitur 2011 Analysis II Teil 1 & 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
10.1.4 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
10.1.5 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
10.1.6 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
10.1.7 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
10.2 G8 Abitur 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
10.2.1 G8 Abitur 2012 Analysis I Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
10.2.2 G8 Abitur 2012 Analysis I Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
10.2.3 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
10.2.4 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
10.2.5 G8 Abitur 2012 Stochastik Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
10.2.6 G8 Abitur 2012 Stochastik Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
10.2.7 G8 Abitur 2012 Geometrie Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
10.2.8 G8 Abitur 2012 Geometrie Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
10.3 G8 Abitur 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
10.3.1 G8 Abitur 2013 Analysis I Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
10.3.2 G8 Abitur 2013 Analysis I Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
10.3.3 G8 Abitur 2013 Analysis II Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
10.3.4 G8 Abitur 2013 Analysis II Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
10.3.5 G8 Abitur 2013 Stochastik Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
10.3.6 G8 Abitur 2013 Stochastik Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
10.3.7 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
10.3.8 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11 Musterlösungen Abituraufgaben 2011-2013 129<br />
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129<br />
11.1.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129<br />
11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130<br />
11.1.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br />
11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
11.1.5 Stochastik Aufgabengruppe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />
11.1.6 Stochastik Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150<br />
11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155<br />
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br />
11.2.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br />
11.2.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163<br />
11.2.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166<br />
11.2.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<br />
11.2.5 Stochastik Aufgabengruppe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172<br />
11.2.6 Stoachastik Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176<br />
11.2.7 Geometrie Aufgabengruppe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179<br />
11.2.8 Geometrie Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182<br />
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186<br />
11.3.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186<br />
11.3.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188<br />
11.3.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192<br />
11.3.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195<br />
11.3.5 Stochastik Aufgabengruppe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198<br />
11.3.6 Stochastik Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200<br />
11.3.7 Geometrie Aufgabengruppe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202<br />
11.3.8 Geometrie Aufgabengruppe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
0.1 Analysis 0.1 Analysis<br />
Formelsammlung: Erweiterung der ISB<br />
Merkhilfe<br />
0.1 Analysis<br />
0.1.1 Grenzwerte<br />
0.1.2 Wichtige Grenzwerte allgemein für r ∈ N<br />
x r<br />
1 a) lim<br />
x→−∞ e = 2 Fälle:<br />
x<br />
• r=ungerade:<br />
• r=gerade:<br />
x r<br />
b) lim<br />
x→+∞ e = x<br />
x r<br />
lim<br />
x→−∞ e = (−∞)r<br />
x e −∞<br />
= (−∞)r · e +∞ = −∞<br />
x r<br />
lim<br />
x→−∞ e = (−∞)r<br />
x e = −∞ (−∞)r · e +∞ = +∞<br />
lim<br />
x→+∞<br />
∞ r<br />
e∞ → wächst immer schneller = 0<br />
ln x<br />
2 a) lim =da x → D<br />
x→−∞ x r E = R +<br />
lnx<br />
b) lim<br />
x→+∞ x r<br />
= ln(∞)<br />
(+∞) r = 0<br />
↘ wächst schneller<br />
3 a) lim<br />
x→−∞ xr · ln x = D ∈ R +<br />
b) lim<br />
x→+∞ xr · lnx = +∞<br />
c) lim<br />
x→0 + xr · lnx = (0 + ) r · ln(0 + ) = 0<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 8
0.1 Analysis 0.1.2 Wichtige Grenzwerte allgemein für r ∈ N<br />
4 a) lim<br />
x→−∞ xr · e x = 0<br />
b) lim<br />
x→+∞ xr · e x = +∞<br />
0.1.2.1 Grenzwerte bei gebrochenrationalen Funktionen<br />
Gebrochenrationale Funktionen mit Polynomen im Zähler z(x) und Nenner n(x) →<br />
f(x) = z(x)<br />
n(x)<br />
0.1.2.2 waagrechte Asymptote y=0<br />
Grad von n(x) größer als von z(x)<br />
n, z Grad<br />
des<br />
größten<br />
Polynoms<br />
n > z<br />
z.B.:<br />
x 4 + 3x 3 + 5x 2<br />
lim<br />
x→±∞ x 6 + 15x 3<br />
⇒ y = 0 waagerechte Asymptote<br />
= 0 egal ob +∞ oder −∞<br />
0.1.2.3 waagrechte Asymptote y = a b<br />
lim<br />
x→±∞<br />
5x 4 + 3x 3 + 15<br />
18x 4 + 25x 2 − 17 = 5 18<br />
lim<br />
x→±∞<br />
ax n + bx n−1<br />
1 + ...<br />
bx n + b 1 x n−1 + ... = a b<br />
n(x) = z(x)<br />
⇒ Der größte Polynom entscheidet!<br />
→ y = a b<br />
waagrechte Asymptote<br />
0.1.2.4 schräge Asymptote (Durch Polynomdivision!)<br />
5x 3 + 10x − 7<br />
lim<br />
x→±∞ 4x 2 − 8<br />
= ±∞ z = n + 1<br />
y = m · x + t schräge Asymptote, wenn z = n + 1<br />
Beispiel: 10x3 + 5x 2 − 7<br />
z = 3; n = 2<br />
5x 2 − 3<br />
Berechnung der schrägen Asymptote durch Polynomdivision<br />
z.B. n = 3 → z = 4<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 9
0.1 Analysis 0.1.2 Wichtige Grenzwerte allgemein für r ∈ N<br />
(<br />
→<br />
10x 3 + 5x 2 − 7 ) : ( 5x 2 − 3x ) = 2x + 11 5 + 33<br />
5 x − 7<br />
5x 2 − 3x<br />
− 10x 3 + 6x 2<br />
11x 2<br />
− 11x 2 + 33 5 x<br />
33<br />
5 x<br />
33<br />
11<br />
lim 2x +<br />
x→±∞ 5 + + x − 7<br />
5<br />
5x 2 − 3x = ±∞<br />
→ y = 2x + 11 5<br />
schräge Asymptote<br />
0.1.2.5 Sonstige Grenzwerte<br />
Verhalten im Unendlichen bei grundlegenden Funktionen<br />
Verhalten für x → ∞<br />
Verhalten für x → −∞<br />
lim<br />
x→∞ xn = ∞ für n ∈ N lim<br />
x→−∞ xn = ∞ für n ∈ N, n gerade<br />
1<br />
lim = 0<br />
x→∞ x n für n ∈ N lim<br />
x→−∞ xn = −∞ für n ∈ N, n ungerade<br />
lim<br />
x→∞ ax = ∞ für a ∈ R + 1<br />
, a > 1 lim = 0<br />
x→−∞ x n für n ∈ N<br />
lim<br />
x→∞ ax = 0 für a ∈ R + , a < 1 lim<br />
x→−∞ ax = 0 für a ∈ R + , a > 1<br />
lim<br />
x→∞<br />
lim<br />
x→∞<br />
a x<br />
= ∞ für a ∈ R + , a > 1, n ∈ N lim<br />
x n x→−∞ ax = ∞ für a ∈ R + , a < 1<br />
n√ x = ∞ für n ∈ N, x ≧ 0<br />
lim x→∞ a(x) = ∞ für a ∈ R + , a > 1<br />
lim x→∞ a(x) = −∞ für a ∈ R + , a < 1<br />
0.1.2.6 Senkrechte Asymptote x=a<br />
Die senkrechte Asymptote: Sie ist immer die Definitionslücke<br />
f(x) = 3 setze Nenner = 0 2x − 7 = 0 x = 7 2x − 7<br />
2<br />
→ D f = R\{ 7 2 }<br />
→ x = 7 2<br />
ist senkrechte Asymptote<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 10
0.1 Analysis 0.1.2 Wichtige Grenzwerte allgemein für r ∈ N<br />
AUSNAHME: Die behebbare Definitionslücke<br />
f(x) =<br />
3x<br />
x 2 − 6x =<br />
3x Nullstelle der Zählers x = 0<br />
x(x−6)<br />
Nullstellen des Nenners → D f = R\{0; 6}<br />
x 1 = 0<br />
x 2 = 6<br />
→ Eine gemeinsame Nullstelle des Zählers und Nenners bedeutet eine behebbare Definitionslücke<br />
hier bei x = 0<br />
Grenzwerte bei senkrechten Asyptoten<br />
f(x) = 2<br />
x − 2<br />
2<br />
lim<br />
x→2 + 0 = +∞<br />
+<br />
2<br />
lim<br />
x→2 − 0 = −∞<br />
−<br />
D f = R\{2}<br />
Achtung bei behebbaren Definitionslücken<br />
6<br />
4<br />
2<br />
−4 −2<br />
−2<br />
0 2 4 6 8<br />
−4<br />
−6<br />
−8<br />
Beispiel: oben<br />
3x<br />
= 3 x = 0 beheb-<br />
x·(x−6) x−6<br />
bar!<br />
→<br />
→<br />
3<br />
lim<br />
x→0 − x − 6 = 3<br />
0 − − 6 = −3 6 = −1 2<br />
3<br />
lim<br />
x→0 + x − 6 = 3<br />
0 + − 6 = −3 6 = −1 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 11
0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen<br />
0.1.3 Ableitungen<br />
0.1.3.1 Herleitung der Ableitung<br />
• Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate): f(x) − f(x 0)<br />
x − x 0<br />
• Differentialquotient (lokale/ momentane Änderungsrate): f ′ (x 0 ) = lim x→x0<br />
f(x) − f(x 0 )<br />
x − x 0<br />
• Schreibweisen: f ′ (x) = df(x)<br />
dx<br />
f(x) = x 3<br />
x 0 = 2 lim<br />
x→2<br />
f(x) − f(2)<br />
x − 2<br />
= d dy<br />
f(x) =<br />
dx dx = y′<br />
x 3 − 2 3<br />
= lim<br />
x→2 x − 2 = x3 − 8<br />
x − 2<br />
Polynomdivision:<br />
(<br />
x 3 − 8 ) : ( x − 2 ) = x 2 + 2x + 4<br />
− x 3 + 2x 2<br />
2x 2<br />
− 2x 2 + 4x<br />
4x − 8<br />
− 4x + 8<br />
0<br />
→ lim<br />
x→2<br />
x 2 + 2x + 4 = 2 2 + 2 · 2 + 4 = 12<br />
0.1.3.2 Tangente und Normale<br />
Tangentensteigung im Punkt (2|?) → f(2) = 2 3 = 8 → P (2|8)<br />
1.Beispiel:<br />
f(x) = x 3 ; x = 2 → f ′ (x) = m T ; f ′ (2) = 3·2 2 = 12 → Tangentengleichung: y = m · x + t<br />
f ′ (x) = 3x 2<br />
→ y = 12 · x + t; P(2|8) einsetzen<br />
8 = 12 · 2 + t → t = 8 − 24 = −16 → y = 12x − 16<br />
Normalensteigung: m n = − 1<br />
m T<br />
= − 1<br />
12<br />
Normalengleichung: y = m n · x + t = − 1 12<br />
im Punkt P(2|8)<br />
P(2|8) einsetzen<br />
gleiche Funktion f(x) = x 3 → y = − 1<br />
12 x + t 8 = − 1<br />
12 · 2 + t<br />
t = 8 + 2<br />
12 = 8 1 6 = 49 6<br />
→ y = − 1<br />
12·x+ 49 6<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 12
0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen<br />
2. Beispiel:<br />
Bestimmung der Tangente an der Stelle:<br />
1○ f(x) =<br />
x 3<br />
(x 2 − 1) ; P (x 0|y 0 )<br />
2○ f ′ (x) = x4 − 3x 2<br />
(x 2 − 1) 2 = m T ; f ′ (x) schon berechnet mit Hilfe der Quotientenregel<br />
3○ y = m T · x + t → y 0 = m T · x 0 + t<br />
MERKE: f ′ (x 0 ) = m T<br />
1○ x = 2 f(2) = 23<br />
2 2 − 1 = 8 3<br />
P<br />
(<br />
2| 8 )<br />
3<br />
2○ m T = f ′ (2) = 24 − 3 · 2 2 16 − 12<br />
=<br />
(2 2 − 1)<br />
2<br />
9<br />
= 4 9<br />
3○ y = m · x + t<br />
y = 4 9 · x + t<br />
8<br />
3 = 4 9 · 2 + t<br />
8<br />
3 − 8 9 = t<br />
24<br />
9 − 8 9 = t<br />
t = 16<br />
9 →Tangente: t(x) = 4 9 · x + 16<br />
9<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 13
0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen<br />
Nun bestimmen wir die Normale im Punkt P (2| 8 3 )<br />
Du brauchst:<br />
1○ f(x) =<br />
x 3<br />
(x 2 − 1) ; P (x 0|y 0 )<br />
2○ f ′ (x) = x4 − 3x 2<br />
(x 2 − 1) 2 = m t; f ′ (x) schon umgerechnet mit Quotientenregel<br />
3○ y = m n · x + t → y 0 = m n · x 0 + t<br />
4○ m n = − 1 m t<br />
P<br />
(<br />
2| 8 )<br />
3<br />
m n = − 1 m t<br />
m n = − 1 4<br />
9<br />
= − 9 4<br />
y = − 9 4 · x + t<br />
8<br />
3 = −9 4 · 2 + t<br />
8<br />
3 = −18 4 + t<br />
t = 8 3 +9 2 = 16<br />
6 +27 6 = 43<br />
6 → y = −9 4 x+43 6 (Normalengleichung!)<br />
0.1.3.3 Ableitung der Grundfunktionen und die Ableitungsregeln<br />
f(x) = a → f ′ (x) = 0 → jede Zahl abgeleitet ergibt 0!!<br />
f(x) = 1 · x → f ′ (x) = 1<br />
f(x) = a · x<br />
f(x) = x 2<br />
f(x) = a · x 2<br />
→ f ′ (x) = a<br />
→ f ′ (x) = 2x<br />
→ f ′ (x) = 2a · x<br />
f(x) = x 3 → f ′ (x) = 3x 2<br />
f(x) = a · x 3 → f ′ (x) = 3a · x 2<br />
.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 14
0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen<br />
.<br />
Potenzregel für n ∈ N<br />
MERKE:<br />
f(x) = x n<br />
→ f ′ (x) = n · x n−1<br />
Faktorregel dazu<br />
MERKE:<br />
f(x) = a · x n<br />
→ f ′ (x) = a · n · x n−1<br />
Potenzregel für n ∈ Z − n = −1; −2; −3; ... n ≠ 0<br />
Gleiche Anwendung aus x n → n · x n−1<br />
f(x) = x −1 = 1 x<br />
→ f ′ (x) = −1 · x −1−1 = −1 · x −2 = − 1 x 2<br />
f(x) = x −2 = 1 x 2 → f ′ (x) = −2x −3 = − 2 x 3<br />
f ′ (x) = x −3 = 1 x 3<br />
MERKE:<br />
f(x) = x n<br />
→ f ′ (x) = −3x −4 = −3<br />
x 4<br />
.<br />
→ f ′ (x) = n · x n−1<br />
Potenzregel für n ∈ Q; n ≠ 0<br />
↗ ACHTUNG WURZELN!<br />
f(x) = √ x = x 1 2 → f ′ (x) = 1 2 · x 1 2 −1 = 1 2 · x− 1 2 = 1<br />
f(x) = 3√ x = x 1 3 → f ′ (x) = 1 3 · x 1 3 −1 = 1 3 · x− 2 3 = 1<br />
2x 1 2<br />
3x 2 3<br />
= 1<br />
2 √ x<br />
= 1<br />
3 3√ x 2<br />
f(x) = 4√ x = x 1 4 = f ′ (x) = 1 4 x 1 4 −1 = 1 4 · x− 3 4 = 1<br />
4 · x 3 4<br />
=<br />
1<br />
4 · 4√ x 3<br />
MERKE:<br />
n√<br />
xm = x m n<br />
→ f ′ (x) = m n · x m n −1<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 15
0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen<br />
Beispiele:<br />
5√<br />
x3 = x 3 5 → f ′ (x) = 3 5 · x 3 5 −1 = 3 5 · x− 2 5 = 3<br />
5 · x 2 5<br />
=<br />
3<br />
5 · 5√ x 2<br />
12 √ x 11 = x 11<br />
12 → f ′ (x) = 11<br />
12 · x 11<br />
12 −1 = 11<br />
12 · x− 1 12 = 11<br />
12 · x 1<br />
12<br />
=<br />
11<br />
12 · 12√ x<br />
MERKE:<br />
f(x) =<br />
√g(x) = g′ (x)<br />
√<br />
2 · g(x)<br />
Wichtig und einfach dargestellt<br />
z.B. ( √ 4x 3 ) ′ =<br />
12x2<br />
2 · √4x 3<br />
Nun zu den Exponentialfunktionen<br />
MERKE:<br />
↓<br />
f(x) = e x → f ′ (x) = e x e: Eulerische Zahl (TR!)<br />
f(x) = e kx<br />
f(x) = e g(x)<br />
→ f ′ (x) = e k·x · k = k · e kx<br />
→ f ′ (x) = e g(x) · g ′ (x) = g ′ (x) · e g(x)<br />
f(x) = e x3<br />
→ f ′ (x) = e x3 · 3x 2 = 3x 2 · e x3<br />
f(x) = e √ x<br />
→ f ′ (x) = e √x 1<br />
·<br />
2 √ x = 1<br />
2 √ x · e√ x<br />
Ist die e-Funktion mit anderen Funktionen verknüpft oder verkettet benützt Du die entsprechenden<br />
Ableitungsregeln.<br />
Produktegel (f(x) · g(x)) ′ = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x)<br />
Quotientenregel:<br />
( ) ′<br />
f(x)<br />
= f ′ (x) · g(x) − f(x) · g ′ (x)<br />
g(x)<br />
[g(x)] 2<br />
Kettenregel z.B. (f(g(k(x)))) ′ = f ′ (g(k(x))) · g ′ (k(x)) · k ′ (x)<br />
z.B. f(x) =<br />
√<br />
(e 2x + 5) 3 =<br />
Zu den Regeln später mehr!<br />
↓ ↓ ↘<br />
1<br />
·3(e<br />
(2 ·<br />
√(e 2x +5) 2 ·e 2x·2<br />
2x + 5) 3 ↓<br />
Nachdifferenzieren: ( e kx) ′<br />
→ e<br />
kx · k<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 16
0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen<br />
Die allgemeine Exponentialfunktion:<br />
f(x) = b x → f ′ (x) = b x · lnb<br />
ln = log e → Logarithmus zur Basis von e<br />
z.B. f(x) = 2 x → f ′ (x) = 2 x · ln 2<br />
Nun wichtige Regeln zum Ableiten von Logarithmusfunktionen<br />
f(x) = log e<br />
= ln x → f ′ (x) = 1 x<br />
f(x) = ln ax → f ′ (x) = 1<br />
a · x · a = 1 x<br />
f(x) = ln g(x) → f ′ (x) = 1<br />
g(x) · g′ (x) = g′ (x)<br />
g(x)<br />
WICHTIG!<br />
Beispiel: ln 3x 2 → f ′ (x) = 1 6x · 6x =<br />
3x2 3x = 2 2 x<br />
Die allgemeine Logarithmusfunktion:<br />
f(x) = log a (x) ⇒ f ′ (x) = 1 x ·<br />
f(x) = log 3 (x) → f ′ (x) = 1<br />
x · ln 3<br />
f(x) = log 1,5 (x) → f ′ 1<br />
(x) =<br />
x · ln 1, 5<br />
1<br />
ln a = 1<br />
x · ln a<br />
Ableitungen bei den trigonometrischen Funktionen<br />
f(x) = sin x → f ′ (x) = cos x<br />
f(x) = cos x → f ′ (x) = − sin x<br />
f(x) = tan x → f ′ (x) = 1 cos 2 x tan2 x<br />
f(x) = sin g(x) → f ′ (x) = cos g(x) · g ′ (x)<br />
f(x) = cos g(x) → f ′ (x) = − sin g(x) · g ′ (x)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 17
0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen<br />
Beispiel: sin g(x) = sin 3x → f ′ (x) = cos 3x · 3 = 3 cos 3x<br />
cos x 2 → f ′ (x) = − sin x 2 · 2x = −2x · sin x 2<br />
Wichtige Ableitungsregeln und ihre Anwendung<br />
Produktregel (f · g) ′ = f ′ · g + f · g ′<br />
f(x) = 3x 2 · e x2 → f ′ (x) = 6x · e x2 + 3x 2 · e x2 · 2x = e x2 · (6x + 6x 3 )<br />
f(x) = ln 3x · √x → f ′ (x) = 1<br />
3x · 3 · √x 1<br />
+ ln 3x ·<br />
2 √ x<br />
1<br />
x · √x ln 3x<br />
+<br />
2 √ x<br />
f(x) = (2x + 5) · (6x − 7) = 2 · (6x − 7) + (2x + 5) · 6 = 24x + 16<br />
usw. · · ·<br />
Quotientenregel:<br />
Häufig nötig bei gebrochenrationalen Funktionen<br />
Beispiel:<br />
( ) 2x + 5 ′<br />
= 2 · ( ) ′ (x2 + 1) − (2x + 5) · 2x<br />
f<br />
= f ′ · g − f · g ′<br />
x 2 + 1<br />
(x 2 + 1) 2 g g 2<br />
= 2x2 + 2 − 4x 2 − 10x<br />
= −2x2 − 10x + 2<br />
(x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2<br />
( ) ′<br />
3x + 1<br />
= 3 · (x + 3)2 − (3x + 1) · 2 · (x + 3) 1 · 1<br />
(x + 3) 2 (x + 3) 4<br />
= (x + 3)1 · [3(x + 3) − (3x + 1) · 2]<br />
(x + 3) 4<br />
=<br />
3(x + 3) − 6x − 2<br />
= −3x + 7<br />
(x + 3) 3 (x + 3) 3<br />
Kettenregel:<br />
Sie ist die wichtigste Regel, da sie uns ermöglicht Funktionen,<br />
die verknüpft / verkettet sind abzuleiten.<br />
Sie verbindet meist mehrere Regeln miteinander.<br />
Hier noch ein Beispiel:<br />
√<br />
Wurzel / Potenz: f(x) = (2x + 5 3 ) =<br />
f ′ (x) =<br />
=<br />
1<br />
√<br />
2 (2x + 5) · 3(2x + 5)2 · 2<br />
=<br />
3 1<br />
6 · (2x + 3) 2<br />
√<br />
2 (2x + 5) = 3 √<br />
· (2x + 5)2<br />
3 (2x + 5) 3<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 18
0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen<br />
Wurzelregel:<br />
√<br />
f(x) = g(x)<br />
1<br />
2 ·<br />
√g(x) · g′ (x)<br />
Ableiten<br />
Spezielle Ableitungen erhältst Du bei den Gebrochenrationalen Funktionen!<br />
f(x) = z(x)<br />
n(x)<br />
Die Ableitung führst Du immer mit der Quotientenregel durch!<br />
f ′ (x) = z′ (x) · n(x) − z(x) · n ′ (x)<br />
[n(x)] 2<br />
BEACHTE dabei, dass Zähler z(x) und Nenner n(x) eigene Funktionen sind, die Du mit<br />
den entsprechenden Regeln ableiten musst!<br />
z(x) : Polynom f(x) = x2 + 5x<br />
n(x) : Polynom<br />
x + 5<br />
→ f ′ (x) = (2x + 5) · (x + 5) − (x2 + 5x)<br />
(x + 5) 2<br />
Bestimme D, Setze Nenner = 0 = 2x2 + 10x + 5x + 25 − x 2 − 5x<br />
(x + 5) 2<br />
x + 5 = 0<br />
x = −5 → D = R\{−5} = x2 + 10x + 25<br />
(x + 5 2 ) → wird meist nicht<br />
=<br />
(x + 5)2<br />
(x + 5) 2 = 1<br />
ausmultipliziert<br />
0.1.3.4 1. Ableitung: Schema Extremwertbestimmung und Monotonieverhalten<br />
Allgemeines Schema:<br />
1. Bestimme f ′ (x)<br />
2. setze f ′ (x) = 0; löse die Gleichung!<br />
→ x Werte der Extrempunkte<br />
3. Bestimme die Monotonietabelle mit f ′ (x) → wo steigt und fällt der Graph, d.h. wo<br />
hat er einen Hoch-, Tief- oder Terassenpunkt<br />
4. Setze die x-Werte von 2 in f(x) ein, so erhältst Du die y-Werte der Extrempunkte<br />
Beispiele siehe Unterpunkt 6 bei allen Abituraufgabe-Check Funktion<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 19
0.1 Analysis 0.1.3 Ableitungen<br />
0.1.3.5 2. Ableitung: Schema Wendepunktbestimmung und Krümmungsverhalten<br />
1. Bestimme f ′′ (x)<br />
2. Setze f ′′ (x) = 0 und löse! → x-Werte des Wendepunktes (Flachp.)<br />
3. Bestimme die Krümmungstabelle → wo ist der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt<br />
→ Wendepunkt oder Flachpunkt<br />
4. Setze die x-Werte von 2 in f(x) ein, so erhältst du die y-Werte<br />
Beispiele siehe unter Punkt 7 (2. Ableitung) bei allen Funktionstypen<br />
0.1.3.6 Kurvenuntersuchung / Kurvendiskussion: MERK PUNKTE<br />
Siehe AbiturCheck: alle Funktionstypen Nr. 1 bis Nr. 11<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 20
0.1 Analysis 0.1.4 Integrale / Stammfunktionen<br />
0.1.4 Integrale / Stammfunktionen<br />
0.1.4.1 Formeln der Integralrechnung und Stammfunktionen<br />
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung<br />
Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion f ist eine Stammfunktion von f.<br />
I(x) =<br />
∫x<br />
a<br />
f(t) dt ⇒ I ′ (x) = f(x) z.B. = I(x) =<br />
Bestimmtes Integral<br />
∫x<br />
2<br />
t 2 dt =<br />
[ t<br />
3<br />
3<br />
] x<br />
2<br />
= x3<br />
3 − 8 3 = I(x)<br />
→ I ′ (x) = 3x2<br />
3 = x2 = f(x)<br />
= F (x)−F (2) = x3<br />
3 − 23<br />
3 =<br />
∫<br />
I(x) = b<br />
f(x) dx = F (b) − F (a) = [F (x)] b a<br />
(F ist eine Stammfunktion von f)<br />
a<br />
∫ 5 [ ] x<br />
Beispiel: x 2 3 5<br />
dx =<br />
3<br />
2<br />
2<br />
= F (5) − F (2) = 53<br />
3 − 23<br />
3 = 125<br />
3 − 8 3 = 117<br />
3<br />
Unbestimmte Integrale<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
x r dx = xr+1<br />
+ C (r ≠ −1)<br />
r + 1<br />
sin x dx = − cos x + C<br />
e x dx = e x + C<br />
Weil gilt:<br />
∫<br />
∫<br />
∫ 1<br />
x dx = ln |x| + C → (ln|x| + C)′ = 1 x<br />
cos x dx = sin x + C → (sin x + C) ′ = cos x<br />
ln x dx = −x + x · ln x + C → (−x + x ln x + C) ′ =<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
= −x + 1 · ln x + x · 1<br />
x =<br />
Seite 21
0.1 Analysis 0.1.4 Integrale / Stammfunktionen<br />
∫ f ′ (x)<br />
dx = ln |f(x)| + C<br />
f(x)<br />
∫<br />
f ′ (x) · e f(x) dx = e f(x) + C<br />
= −1 + ln x + 1 = ln x = ln x<br />
(e f(x) + C) ′ = e f(x) · f ′ (x)<br />
↓<br />
Nachdifferenzieren<br />
∫<br />
f(ax + b) dx = 1 · F (ax + b) + C (F ist eine Stammfunktion von f)<br />
a<br />
∫<br />
f(2x + 3) dx = 1 2 · F (2x + 3) + C → (1 2 · F (2x + 3))′ = 1 2 F ′ (2x + 3) · 2 =<br />
= F ′ (2x + 3) = f(2x + 3)<br />
Da fast der gesamte Inhalt der Schulintegralrechnung auf Verwendung von Stammfunktionen<br />
komprimiert werden kann, folgt eine Zusammenstellung der Stammfunktionen der<br />
Elementarfunktionen<br />
Vor allem zur Verwendung von Flächenberechnungen<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx = F (b) − F (a)<br />
∫<br />
f(x) dx = F (x) + C<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 22
0.1 Analysis 0.1.4 Integrale / Stammfunktionen<br />
Stammfunktionen der Elementarfunktionen:<br />
f(x) = 0 ⇒ F (x) = c<br />
f(x) = 1 ⇒ F (x) = x + c<br />
f(x) = x ⇒ F (x) = x2<br />
2 + C<br />
.<br />
f(x) = x n ⇒ F (x) = xn+1<br />
n + 1 + C<br />
f(x) = sin x ⇒ F (x) = − cos x + C<br />
n ≠ −1<br />
f(x) = cos x ⇒ F (x) = sin x + C<br />
f(x) = 1 x 2 ⇒ F (x) = − 1 x + C<br />
f(x) = 1 √ x<br />
⇒ F (x) = 2 √ x + C<br />
f(x) = 1 x<br />
⇒<br />
F (x) = ln |x| + C<br />
f(x) = e x ⇒ F (x) = e x + C<br />
f(x) = e k·x ⇒ F (x) = 1 k · ek·x + C<br />
f(x) = g′ (x)<br />
g(x)<br />
f(x) = n√ x m = x<br />
⇒<br />
F (x) = ln |g(x)| + C<br />
m<br />
n ⇒ F (x) = x m n +1<br />
m<br />
+ 1 n<br />
f(x) = ln x ⇒ F (x) = x · ln x − x + C<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 23
0.1 Analysis 0.1.4 Integrale / Stammfunktionen<br />
0.1.4.2 Das bestimmte Integral: Hilfsmittel zur Flächenberechnung<br />
5<br />
y<br />
4<br />
3<br />
y = (fx)<br />
2<br />
1<br />
A =<br />
∫b<br />
a<br />
f(x) dx = F (b) − F (a)<br />
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x<br />
a=0,5<br />
−1<br />
b=9,5<br />
∫9,5<br />
0,5<br />
f(x) dx = F (9, 5) − F (0, 5)<br />
y<br />
4<br />
a = 9.7<br />
b = 0.6<br />
2<br />
A 1<br />
A 2<br />
A 3<br />
A 4<br />
−2 0 2 4 6 8 10 12<br />
x<br />
∫ b<br />
a<br />
−2<br />
f(x) dx = A 1 − A 2 + A 3 − A 4<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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Inhaltsverzeichnis<br />
b = 10.95<br />
Seite 24<br />
h = 1.2
0.1 Analysis 0.1.4 Integrale / Stammfunktionen<br />
Wichtige Eigenschaften zur Berechnung<br />
1)<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ a<br />
f(x) dx = − f(x) dx<br />
b<br />
F (b) − F (a) = −(F (a) − F (b)) = −(−F (b) + F (a)) = F (b) − F (a)<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
∫ a<br />
a<br />
∫b<br />
f(x) dx = 0 → F (a) − F (a) = 0<br />
k · f(x) = k ·<br />
∫b<br />
a<br />
a<br />
∫b<br />
[f(x) + g(x)] dx =<br />
a<br />
a<br />
a<br />
∫ b<br />
[f(x) − g(x)] dx =<br />
f(x) → k · (F (b) − F (a)) = k · F (b) − k · F (a)<br />
∫b<br />
∫ b<br />
f(x) dx +<br />
f(x) dx −<br />
a<br />
a<br />
a<br />
∫b<br />
∫ b<br />
g(x) dx ⇒ F (b) − F (a) + G(b) − G(a)<br />
g(x) dx<br />
→ (F (b) + G(b)) − (F (a) + G(a))<br />
→ F (b) − F (a) − (G(b) − G(a)) = (F (b) − G(b)) − F (a) + G(a)<br />
(F (b) − G(b)) − (F (a) − G(a))<br />
Flächenberechnung mit Hilfe von Integralrechnung:<br />
Die Fläche zwischen zwei Funktionen<br />
a) zwei Schnittpunkte: x 1 = a; x 2 = b<br />
A = |<br />
∫ b<br />
a<br />
(f(x) − g(x)) dx|<br />
b) drei Schnittpunkte: x 1 = a, x 2 = b, x 3 = c (a < b < c)<br />
∫b<br />
∫c<br />
A = | (f(x) − g(x)) dx| + | (f(x) − g(x)) dx|<br />
a<br />
b<br />
c) vier Schnittpunkte: x 1 = a, x 2 = b, x 3 = c, x 4 = d a < b < c < d<br />
∫b<br />
∫c<br />
∫d<br />
A = | (f(x) − g(x)) dx| + | (f(x) − g(x)) dx| + | (f(x) − g(x)) dx|<br />
a<br />
b<br />
.<br />
c<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 25
0.1 Analysis 0.1.5 Sonstiges<br />
Die Fläche zwischen der Funktion f(x) und der x-Achse<br />
y<br />
2<br />
A B C D F<br />
−2 0 2 4 6 8 10 12<br />
x<br />
−2<br />
Bestimme die Nullstelle: x 1 =a, x 2 =b, x 3 =c, x 4 =d, x 5 =e, x 6 =f,<br />
Integriere von Nullstelle zu Nullstelle!<br />
∫b<br />
A = |<br />
a<br />
∫c<br />
f(x) dx|+|<br />
b<br />
∫d<br />
f(x) dx|+|<br />
c<br />
a = −1.61<br />
∫e<br />
f(x) dx|+|<br />
d<br />
∫ f<br />
f(x) dx|+|<br />
e<br />
f(x) dx|<br />
0.1.5 Sonstiges<br />
0.1.5.1 Newtonverfahren Schema<br />
b = 10.95<br />
h = 1.2<br />
c = 2.5<br />
Das Newton Verfahren am Beispiel einer Polynomfunktion<br />
f(x) = x 3 − 10, 5x 2 + 30x − 22, 5<br />
Analoge Anwendung bei Gebrochenrationalen-, Exponential,<br />
e = 1<br />
Logarithmus-, Wurzelfunktionen<br />
Wobei es recht unwahrscheinlich ist, dass diese Funktionstypten<br />
g = 1<br />
im Abitur verwendet werden!<br />
Zeigen Sie, dass f(x) nur eine Nullstelle hat!<br />
Table eingeben → f(1) = −2 < 0<br />
f(2) => 0<br />
f hat für x ∈ ]1, 2[ eine Nullstelle<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 26
0.1 Analysis 0.1.5 Sonstiges<br />
Berechnen Sie mit Hilfe des Newton Verfahrens die Näherungswerte x 1 , x 2 der Nullstelle!<br />
Formel x n+1 = x n − f(x n)<br />
f ′ (x n )<br />
Startwert im Intervall von ]1, 2[ wählen<br />
Merkhilfe z.B. x 0 = 1, 5<br />
Wir brauchen: f(x) = x 3 − 10, 5x 2 + 30x + 22, 5<br />
f ′ (x) = 3x 2 − 21x + 30<br />
f(1, 5) = 9 4<br />
( ) 21<br />
f ′ (1, 5) =<br />
4<br />
x 1 = x 0 − f(x 9<br />
0)<br />
f ′ (x 0 ) = 1, 5 − 4<br />
x 2 : f(1, 07) = −54, 425<br />
f ′ (1, 07) = 10, 965<br />
x 2 = x 1 − f(x 1)<br />
f ′ (x 1 )<br />
21<br />
4<br />
(Taschenrechner!)<br />
(Taschenrechner!)<br />
= 15<br />
4<br />
≈ 1, 07<br />
(Taschenrechner!)<br />
(Taschenrechner!)<br />
−54, 425<br />
= 1, 07 − = 1, 0749...<br />
10, 965 .<br />
⇒ x = 1,07 ist hierbei schon ein recht passabler Wert!<br />
Anwendungsmöglichkeiten<br />
→ Nullstellen<br />
→ Extrema f ′ (x) = 0<br />
→ Wendepunkte f ′′ (x) ≤ 0<br />
→ Schnittpunkte f(x) = g(x) → f(x) − g(x) = 0<br />
usw. Die Bedingung muss immer lauten .... = 0<br />
AbiurCheck: Punkt 11 Analysis<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 27
0.1 Analysis 0.1.5 Sonstiges<br />
0.1.5.2 Funktionstermbestimmung Schema<br />
AbiturCheck: Punkt 10 Analysis<br />
f(x) = z(x)<br />
n(x)<br />
Der Term hat eine schräge Asymptote bei a(x) = 2x − 1, eine Nullstelle<br />
bei x = 0 und eine senkrechte Asymptote bei x=-3<br />
Schräge Asymtote<br />
f(x) = 2x − 1 + Rest<br />
Rest: z 1(x)<br />
n 1 (x) =<br />
f(x) = 2x − 1 +<br />
a<br />
x − (−3)<br />
↓<br />
x = +3 senkrechte Asymptote<br />
a<br />
x+3<br />
Es gilt nun f(0) = 0 Nullstelle<br />
→ 2 · 0 − 1 +<br />
−1 + a 3 = 0<br />
a<br />
3 = 1<br />
a = 3<br />
a<br />
0 + 3 = 0<br />
→ f(x) = 2x − 1 + 3<br />
3 + x<br />
2. Beispiel: Der Term hat bei x = 2 eine senktechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel,<br />
f(x) = z(x)<br />
n(x) =<br />
den Punkt P(−2|1) und die x-Achse als waagrechte Asymptote.<br />
→ Zähler vom Term ist eine Zahl a<br />
a<br />
(x − 2) → f(−2) = 1 + a<br />
2 (−2 − 2) − 1; a 2 16 = 1 → a = 16<br />
⇒ f(x) =<br />
16<br />
(x − 2) 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 28
0.1 Analysis 0.1.5 Sonstiges<br />
0.1.5.3 Änderung des Funktionsterms durch Verschiebung, Dehnung, Streckung<br />
und Spieglung<br />
1. f(x) → f(x) + a<br />
Der Term wird in y-Richtung um a Eionheiten nach oben (a > 0) oder nach unten<br />
(a < 0) verschoben!<br />
2. f(x) → f(x + a)<br />
Hier wird der Graph von f um -a Einheiten in x-Richtung verschoben!<br />
d.h. immer entgegengesetzt zum Vorzeichen von a<br />
a) z.B. f(x) = x 2 → f(x + 2) = (x + 2) 2 der Graph wird um -2 in x-Richtung<br />
verschoben, also nach links<br />
b) f(x) = x 3 → f(x − 3) = (x − 3) 3 , der Graph wird um +3 Einheiten in x-Richtung<br />
verschoben, also nach Rechts<br />
3. f(x) → a · f(x)<br />
Hier werden alle y-Werte von f(x) mit a multipliziert!<br />
a) Ist a > 1 wird der Graph gestaucht, d.h. er wird enger, er wächst schneller<br />
b) Ist 0 < a < 1, wird der Graph gedehnt, d.h. er wird breiter, er wächst langsamer<br />
c) Ist −1 < a < 0 Dann gilt das gleiche wie bei b, nur zusätzlich wird der Graph an<br />
der x-Achse gespiegelt<br />
d) Ist a < −1 Dann gilt das gleiche wie bei a, nur wird der Graph auch hier an der<br />
x-Achse gespiegelt<br />
4. f(x) → f(ax)<br />
a) a > 1 Hier wird der Graph in x-Richtung gestaucht, also zusammengeschoben<br />
b) 0 < a < 1 Hier wird in x-Richtung gedehnt, d.h. auseinander-gezogen<br />
5. f(x) → −f(x)<br />
Hier werden die y-Werte vertauscht, d.h. der Graph wird an der x-Achse gespiegelt<br />
6. f(x) → f(−x)<br />
Hier werden die x-Werte vertauscht und die y-Werte beibehalten.<br />
Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt<br />
7. f(−x) = −f(x)<br />
das ist die Punktspiegelung am Ursprung<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 29
0.2 Analytische Geometrie 0.2 Analytische Geometrie<br />
0.2 Analytische Geometrie<br />
0.2.1 Aufstellen von Geradengleichungen<br />
0.2.1.1 zwei Punkte A und B<br />
g : #» x = #» a + k · ( #» b − #» a )<br />
A(1|1|1)<br />
B(3|2|2) ⎛ ⎞<br />
1<br />
#»<br />
A = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
#»<br />
B = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
⎛<br />
→ g : #» x = ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ + k · ⎜<br />
⎝<br />
3 − 1<br />
2 − 1<br />
2 − 1<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
1<br />
O<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ + k · ⎜<br />
⎝<br />
A<br />
#» b −<br />
#» a B<br />
#» a #» b<br />
# »<br />
AB<br />
⎞<br />
2<br />
1 ⎟<br />
⎠<br />
1<br />
0.2.1.2 Punkt und Richtungsvektor<br />
g : #» x = #» a + k · #» u<br />
⎛ ⎞<br />
5<br />
A(3|2|1); #» u = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
+k·⎛<br />
3<br />
→ g : #» x = ⎜ 2 ⎟ ⎜<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
1<br />
5<br />
1<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
O<br />
#» u<br />
A<br />
#» a<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 30
•<br />
0.2.2 Aufstellen von Ebenengleichungen<br />
0.2 Analytische Geometrie<br />
Parameterform/Normalenform<br />
0.2.2 Aufstellen von Ebenengleichungen<br />
Parameterform/Normalenform<br />
0.2.2.1 Ebene aus drei Punkten A,B und C<br />
A(1|1|1); B(0|-3|2); C(0|3|5)<br />
E : X #» = #» a + k · ( #» b − #» a ) + l · ( #» c − #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ a )<br />
1<br />
0 − 1 0 − 1<br />
= ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ −3 − 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 3 − 1<br />
⎝<br />
1<br />
2 − 1 5 − 1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 −1 −1<br />
= ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ −4 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
1<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Voraussetzung: n · AB # » ≠ AC<br />
# »<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
−1<br />
n · ⎜ −4 ⎟<br />
⎝ ⎠ ≠<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
E<br />
B<br />
C<br />
A<br />
−1<br />
2<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0.2.2.2 Ebene aus Gerade und ein Punkt<br />
P (1|2|3) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0<br />
g : #» x = ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 2<br />
( #» a − #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ p ⎞)<br />
1 0 1 − 1<br />
E : #» x = ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 3 − 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 2 3 − 3<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
= ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 2 0<br />
Voraussetzung: P ∉ g<br />
#» u<br />
(1|3|3)<br />
#» P v<br />
g<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 31
0.2.2 Aufstellen von Ebenengleichungen<br />
0.2 Analytische Geometrie<br />
Parameterform/Normalenform<br />
0.2.2.3 Ebene aus zwei Geraden, die parallel zueinander sind<br />
Voraussetzung:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0<br />
1<br />
g ‖ h g : #» x = ⎜ −1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
3 −2<br />
h : #» x = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2 −2<br />
1.<br />
#» u ,<br />
#» v linear abhängig<br />
2. Bestimme zweiten Richtungsvektor<br />
mit einer Verbindung von g zu<br />
h → AB # » = #» ⎛ b − #» a ⎞ ⎛ ⎞<br />
3 − 0 3<br />
# »<br />
AB = ⎜ 1 − (−1) ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2 − 2 0<br />
⎛ ⎞<br />
+k·⎛ ⎞<br />
+m·⎛ ⎞<br />
0 1 3<br />
E : #» x = ⎜ −1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
2 1 0<br />
1.<br />
#» u = n · #»<br />
⎛ ⎞ v ⎛ ⎞<br />
1 −2<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ = n · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 −2<br />
⎫<br />
1 = −2n ⎪⎬<br />
1 = −2n n = − 1 2<br />
1 = −2n<br />
⎪⎭<br />
2. A ∉ h oder B ∉ g<br />
g h<br />
E<br />
B<br />
A<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 32
•<br />
•<br />
•<br />
0.2.3 Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen<br />
0.2 Analytische Geometrie<br />
in Koordinatenform bzw. Normalenform<br />
0.2.2.4 Ebene aus zwei sich schneidenden Geraden<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0<br />
−1<br />
Voraussetzung:<br />
g : #» x = ⎜ −4 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · #»<br />
⎜ −2 ⎟<br />
u ≠ n · #»<br />
⎛ ⎞ v ⎛ ⎞<br />
⎝ ⎠<br />
−1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ −2 ⎟<br />
1 1<br />
⎝ ⎠ ≠ n · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
h : #» x = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · 3<br />
0<br />
⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 0<br />
und A ∉ h ∨ B ∉ g<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
g<br />
0<br />
−1 1<br />
E<br />
E : #» x = ⎜ −4 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
#» u<br />
1<br />
3<br />
0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ A<br />
1 −1 1<br />
oder #» x = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · #» ⎜ −2 ⎟ S v<br />
h<br />
⎝ ⎠<br />
B<br />
1<br />
3<br />
0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−1 1<br />
oder #» x = #» s + k · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
0<br />
s erhältst Du duch Gleichsetzen von g und h<br />
→ g = h → Werte für k und l → k in g oder l in h bestimmt s!<br />
Beachte:<br />
aus zwei windschiefen oder identischen Geraden kann man keine Ebene austellen<br />
0.2.3 Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen<br />
in Koordinatenform bzw. Normalenform<br />
Form:<br />
1. Der Normalenvektor #» n E steht senkrecht auf die Ebene E<br />
2. A ist ein beliebiger Punkt aus E, den wir gegeben haben müssen!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 33
•<br />
0.2 Analytische Geometrie<br />
3. Bedingung<br />
0.2.3 Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen<br />
in Koordinatenform bzw. Normalenform<br />
E<br />
rechter Winkel aus dem Skalarprodukt<br />
#» n E<br />
B<br />
E : #» n E ◦ # » AX = 0<br />
A<br />
#»<br />
X − #» A<br />
E : #» n E ◦ ( #» X − #» A) = 0, wobei X der allgemeine Punkt in E sein soll!<br />
Beispiel:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2<br />
# »<br />
AB = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ; AC # » 1<br />
= ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
3<br />
aus dem Vektorprodukt/Kreuzprodukt erhält man #» ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ n E ⎞<br />
# »<br />
AB × AC # » 1 · 3 − 0 · 2 3<br />
1<br />
= ⎜ 0 · 1 − 2 · 3 ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜ −6 ⎟<br />
⎝ ⎠ : 3 = ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = #» n E<br />
2 · 2 − 1 · 1 3<br />
1<br />
X<br />
C<br />
⎛<br />
→ E : ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
−2<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ ◦ ⎜<br />
⎝<br />
x 1 − 1<br />
x 2 − 2<br />
x 3 − 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = 0 → 1 · (x 1 − 1) + (−2) · (x 2 − 2) + 1 · (x 3 − 3) = 0<br />
→ x 1 − 1 − 2x 2 + 4 + x 3 − 3 = 0<br />
→ E : x 1 − 2x 2 + x 3 = 0<br />
Merke:<br />
So kannst Du jede Parameterform in die Koordinaten- bzw. Normalenform leicht<br />
umwandeln wenn E : #» x = k · AB # » + l · AC # » oder #» x = k · #» u + l · #» v .<br />
Weg:<br />
1.<br />
2.<br />
# »<br />
AB × AC # » = #» n E<br />
#» n E ◦ ( X #» − A) #» = 0<br />
3. Skalarprodukt ausmultiplieren<br />
4. Sortieren und zusammenfassen<br />
A<br />
B<br />
C<br />
E<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 34
0.2 Analytische Geometrie 0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander<br />
Rückwandlung: Setze: z.B. x 1 = k ∧ x 2 = l in E<br />
→ k − 2l + x 3 = 0 → x 3 = −k + 2l<br />
x 1 = 0 + 1k + 0l<br />
→ x 2 = 0 + 0k + 1l<br />
x 3 = 0 − k + 2l<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0<br />
1 0<br />
E : #» x = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 −1 2<br />
0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander<br />
0.2.4.1 Punkt/Gerade<br />
1. Punkt liegt ⎛ auf ⎞ g ⎛ ⎞<br />
0 1<br />
g : #» x = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ;<br />
0 1<br />
Setze ⎛ ⎞P in⎛<br />
g ein: ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 0 1<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2 0 1<br />
Löse: 2 = 0 + k → k = 2<br />
3 = 1 + k → k = 2<br />
2 = 0 + k → k = 2<br />
2. Punkt liegt nicht auf Gerade<br />
P(2|3|2)<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
P ∈ g<br />
⎪⎭<br />
g<br />
•<br />
P<br />
gleiches Verfahren, nur dass k Werte jetzt unterschiedlich sein werden!<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 1<br />
g : #» x = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟ P(3|3|-3)<br />
⎝ ⎠<br />
0 1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
3 0 1<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−3 0 1<br />
⎫<br />
3 = 0 + k → k = 3 ⎪⎬<br />
3 = 1 + k → k = 2 P ∉ g<br />
−3 = 0 + k → k = −3<br />
⎪⎭<br />
g<br />
P •<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 35
0.2 Analytische Geometrie 0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander<br />
0.2.4.2 Gerade/Gerade<br />
Allgemeines Lösungsverfahren<br />
g : #» x = #» a + k · #» u<br />
h : #» x = #» b + l · #» v<br />
ja!<br />
parallel<br />
oder identisch<br />
↙<br />
Vergleiche zuerst immer<br />
die Richtungsvektoren<br />
Setze: #» u = m · #» v<br />
↘<br />
nein!<br />
Schnittpunkt<br />
oder windschief<br />
Setze g=h<br />
Setze g=h<br />
↙ ↘ und löse das Gleichungssystem ↙ ↘<br />
parallel<br />
identisch<br />
z.B. 0 = 5 z.B. 0=0<br />
Schnittpunkt z.B. 0 = 5<br />
bei eindeutiger keine<br />
Lösung Lösung<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 36
0.2 Analytische Geometrie 0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander<br />
parallel g ⎛‖ h⎞<br />
⎛ ⎞<br />
0 1<br />
g : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 2<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 −2<br />
h : #» x = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 −4<br />
g<br />
identisch⎛<br />
g ≡⎞h<br />
⎛ ⎞<br />
0 1<br />
g : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 2<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 −2<br />
h : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 −4<br />
g,h<br />
h<br />
1.<br />
#» u = m<br />
#» · #»<br />
⎛ ⎞ v ⎛ ⎞<br />
1<br />
−2<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = m · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
−4<br />
1 = −2m m = − 1 2 ⎪⎬<br />
0 = 0m geht immer m = − 1 2<br />
2 = −4m m = − 1 ⎪⎭<br />
2<br />
→ parallel oder identisch<br />
2. ⎛Setze: ⎞g=h<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 1 1 −2<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 2 1 −4<br />
⎫<br />
I 0 + k = 1 − 2l → k = 1 − 2l<br />
II 2 = 1 → Widerspruch<br />
III 1 + 2k = 1 − 4l<br />
1 + 2 · (1 − 2l) = 1 − 4l<br />
keine Lösung<br />
→ g ‖ h<br />
1 + 2 − 4l = 1 − 4l<br />
3 = 1 → Widerspruch<br />
#» u = m<br />
#» v →<br />
#» u = −<br />
1 #»<br />
2 v<br />
siehe parallel<br />
Setze: ⎛ ⎞g=h<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
1<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
2<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 −2<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 −4<br />
I 1k = 1 − 2l in<br />
II 2 = 2 <br />
III 1 + 2k = 3 − 4l<br />
=<br />
1 + 2 · (1 − 2l) = 3 − 4l<br />
1 + 2 − 4l = 3 − 4l<br />
unendlich viele Lösungen<br />
→ g ≡ h<br />
0 = 0<br />
allg. gültig<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 37
0.2 Analytische Geometrie 0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander<br />
Schnittpunkt:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 1<br />
g : #» x = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 3<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0<br />
h : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 1<br />
g h<br />
S<br />
#» u ≠ m<br />
#»<br />
⎛ ⎞ v ⎛ ⎞<br />
1<br />
0 1 ≠ 0m<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = m · ⎜ 0 ⎟ 2 ≠ 0m `<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
1 3 ≠ 1m<br />
Setze: ⎛ ⎞g=h<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
0 1 1 0<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 0<br />
⎝<br />
3 3 0 1<br />
I k = 1<br />
II 0 + 2k = 2 → k = 1 in III<br />
III 3 + 3k = l<br />
3 + 3 = l l = 6<br />
k in g oder ⎛ l⎞<br />
in h liefert ⎛ S ⎞ ⎛<br />
0<br />
1 1<br />
S = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 1 · ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 2<br />
⎝<br />
3<br />
3 6<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 1<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 6 · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 4 6<br />
S(1|2|6)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⇔<br />
windschief ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 1<br />
g : #» x = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 3<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0<br />
h : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 1<br />
#» u ≠ n · #» v<br />
siehe bei Schnittpunkt<br />
Setze: ⎛ ⎞g=h<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 1 1 0<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 3 0 1<br />
⎫<br />
I 1 + k = 1 → k = 0 ⎬<br />
II 0 + 2k = 2 → k = 1 ⎭ geht nicht,<br />
III 3 + 3k = 0 + l<br />
→ g und h sind windschief!<br />
es muss ein k-Wert sein<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 38
0.2 Analytische Geometrie 0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander<br />
0.2.4.3 Punkt/Ebene<br />
(Ausgangspunkt ist die Koordinatenform von E, da es mit ihr einfacher geht!)<br />
E : #» x = 2x 1 − x 2 + 1x 2 3 − 2 = 0; P 1 (1|2|3); P 2 (0|0|4)<br />
Setze P 1 in E<br />
2 · 1 − 2 + 1 · 3 − 2 = −0, 5 ⊥ 0 → P 2 1 ∉ E<br />
Setze P 2 in E<br />
2 · 0 − 0 + 1 2 · 4 − 2 = 0 → P 2 ∈ E<br />
0.2.4.4 Gerade/Ebene<br />
Lösungsschema: g : #» x = #» a + k · #» u<br />
a) g ‖ E Skalarprodukt E : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + d = 0<br />
aus #» n E und #» u<br />
g<br />
E<br />
b) g ∈ E „g in E“<br />
g<br />
#» n E ◦ #» u = 0<br />
E<br />
↙<br />
↘<br />
nein!<br />
ja!<br />
g ∩ E = {S} g ‖ E oder g in E<br />
↓ ↓ ↓<br />
c) g ∩ E = {S} Setze g in E Setze g in E Setze g in E<br />
→ S → z.B. 0=5 → 0 = 0<br />
genau eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen<br />
S<br />
E<br />
Zur Erklärung je ein Beispiel!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 39
0.2 Analytische Geometrie 0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander<br />
Beispiele:<br />
a) Gerade ‖ ⎛Ebene<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
0 1<br />
g : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 2<br />
E ⎛ : −2x ⎞ 1 + ⎛x 3 −⎞<br />
2 = 0<br />
−2 1<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟ = −2 + 2 = 0 → parallel oder g in E<br />
⎝ ⎠<br />
1 2<br />
Setze g in E ein: ⎫<br />
x 1 = k<br />
−2k + 1 + 2k − 2 = 0<br />
⎪⎬<br />
x 2 = 2 →<br />
−1 ≠ 0<br />
x 3 = 1 + 2k<br />
⎪⎭<br />
→ g ‖ E<br />
b) Gerade in Ebene<br />
⎫<br />
#»<br />
⎛ ⎞ ⎛ u<br />
⎞<br />
0 1<br />
g : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ 0 ⎟<br />
−2 1<br />
⎝ ⎠<br />
1 2<br />
⎪⎬ #» n E ◦ #» u = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = 0<br />
E : −2x 1 + x 3 − 1 = 0<br />
1 2<br />
⎛ ⎞<br />
−2<br />
→ parallel oder g in E<br />
#» n E = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
⎪⎭<br />
Setze g in E ein<br />
E : −2k + 1 + 2k − 1 = 0 → 0 = 0 → g liegt in E<br />
g<br />
E<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 40
0.2 Analytische Geometrie 0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander<br />
c) Gerade schneidet ⎛ ⎞ die⎛<br />
Ebene ⎞ in S<br />
0 1<br />
g : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 2<br />
E : −2x ⎛ 1 − x⎞<br />
2 − 3x 3 − 5 ⎛= 0 ⎞<br />
2<br />
1<br />
#» n E = ⎜ 1 ⎟<br />
#» u = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
−3<br />
2<br />
windschief!<br />
Setze g wieder in E ein<br />
x 1<br />
−2 · (0 + k) + x 2<br />
x 3<br />
(2 + k) − 3(1 + 2k) − 5 = 0<br />
−2k + 2 + k − 3 + 6k − 5 = 0<br />
5k − 6 = 0 → k = 6 in g einsetzen<br />
⎛ ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
0 1 0<br />
g : ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 6 ·<br />
⎜<br />
5<br />
1 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + ⎜<br />
⎝<br />
1 2 1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 1<br />
#» n E ◦ #» u = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟ = 2+1−6 = −3 ≠ 0<br />
⎝ ⎠<br />
−3 2<br />
→ g∩E oder<br />
6<br />
5<br />
6<br />
5<br />
12<br />
5<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
6<br />
5<br />
16<br />
5<br />
17<br />
5<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ → S( 6| 16| 17)<br />
5 5 5<br />
S<br />
E<br />
0.2.4.5 Ebene/Ebene<br />
Lösungsschema:<br />
Vergleiche die beiden Normalenvektoren #» n 1 und #» n 2<br />
k · #» n 1 = #» n 2<br />
a) E 1 ∩ E 2 = g b) E 1 ‖ E 2 oder c) E 1 = E 2<br />
E 1<br />
E 1<br />
g<br />
E 2<br />
E 1 = E 2<br />
E 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 41
0.2 Analytische Geometrie 0.2.4 Lagen: Punkt/Geraden/Ebenen zueinander<br />
Beispiele:<br />
zu a)<br />
⎛<br />
E 1 : x 1 − 2x 2 + x 3 − 3 = 0<br />
#» n E1 = ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
E 2 : 2x 1 − 3x 2 − 3x 3 − 2 = 0 #» n E2 = ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
−2<br />
1<br />
2<br />
−3<br />
−3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
#» n E1 = k · #» n E2 ?<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
1<br />
⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ≠ k · ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2<br />
−3<br />
−3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ Vorzeichen<br />
oder 1 = 2k → k = 1 2<br />
Rechnung −2 = 3k → k = 2 3<br />
<br />
1 = −3k → k = − 1 3<br />
→ E 1 ∩ E 2<br />
Lösungsweg:<br />
2 Gleichungen mit 3 Unbekannten lösen:<br />
I x 1 − 2x 2 + x 3 − 3 = 0 Eliminiere eine<br />
II 2x 1 − 3x 2 − 3x 3 − 2 = 0 Unbekannte, hier x 1<br />
2I − II 2 · I 2x 1 − 4x 2 + 2x 3 − 6 = 0<br />
II 2x 1 − 3x 2 − 3x 3 − 2 = 0<br />
−x 2 + 5x 3 − 4 = 0 Nun wähle eine Variable z.B.<br />
k für x 3 → x 3 = k<br />
−x 2 + 5k − 4 = 0<br />
⎫<br />
x 2 = 5k − 4 ⎬<br />
Setze nun das Ergebnis in<br />
x 3 = k ⎭<br />
I oder II ein<br />
I x 1 − 2(5k − 4) + k − 3 = 0 Löse nach x 1 auf<br />
x 1 − 10k + 8 + k − 3 = 0<br />
x 1 = 9k − 5<br />
Sortieren<br />
⎫ Schnittgerade<br />
x 1 = −5 + 9k<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎪⎬<br />
−5 9<br />
x 2 = −4 + 5k<br />
g :<br />
x 3 = 0 + 1k<br />
⎪⎭<br />
x = ⎜ −4 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
1<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 42
0.2 Analytische Geometrie 0.2.5 Abstände<br />
zu b) Parallele Ebenen<br />
#»<br />
⎫ n E1 = k · #» n<br />
⎛ ⎞ E2<br />
⎛ ⎞<br />
E 1 : 2x 1 − x 2 + 0, 5x 3 + 1, 5 = 0 ⎬ 2<br />
−6<br />
E 2 : −6x 1 + 3x 2 + 1, 5x 3 + 1 = 0 ⎭<br />
⎜ −1 ⎟<br />
⎝ ⎠ = k · ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ → k = −3<br />
0, 5 1, 5<br />
Nun multiplizieren E 1 · (−3)<br />
⎫<br />
E 1 : 2x 1 − x 2 + 0, 5x 3 + 1, 5 = 0| · (−3) E ⎪⎬ 1 und E 2 unterscheiden<br />
E 1 : −6x 1 + 3x 2 − 1, 5x 3 − 4, 5 = 0 sich durch die<br />
E 2 : −6x 1 + 3x 2 + 1, 5x 3 + 1 = 0<br />
⎪⎭ Konstante +1 und -4,5<br />
→ E 1 ‖ E 2<br />
zu c) identische Ebenen<br />
E 1 : − 1 3 x 1 + 5 2 x 2 − 4 = 0<br />
E 2 : 2x 1 − 15x 2 + 2, 4x 3 + 24 = 0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
k · #» n E1 = #» n<br />
⎛ ⎞ ⎛ E2<br />
⎞<br />
− 1 2<br />
3<br />
5<br />
k · ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ = ⎜ −1, 5 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
− 2 +2, 4<br />
5<br />
− 1k = 2 → k = −6<br />
3<br />
5k = −1, 5 → k = −6<br />
2<br />
− 2 k = 2, 4 → k = −6<br />
5<br />
−6E 1 = E 2 ?<br />
E 1 : − 1 3 x 1 + 5 2 x 2 − 2 5 x 3 − 4 = 0<br />
→ E 1 ‖ E 2 E 1 = E 2<br />
| · (−6)<br />
E 1 : 2x 1 − 15x 2 + 2, 4x 3 + 24 → E 1 = E 2<br />
E 1 = E 2<br />
0.2.5 Abstände<br />
0.2.5.1 Punkt/Punkt<br />
A(1|3|5)<br />
# »<br />
AB = #» b − #» a =<br />
| AB| # » √<br />
=<br />
⎛B(0|-3|5)<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
0 − 1 −1<br />
⎜ −3 − 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ −6 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
5 − 5 0<br />
(−1) 2 + (−6) 2 + (0) 2 = √ 37 ≈ 6, 08<br />
A<br />
√<br />
Allgemein: d(A, B) = (b 1 − a 1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 + (b 3 − a 3 ) 2<br />
B<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 43
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.5 Abstände<br />
0.2.5.2 Punkt/Gerade<br />
E<br />
g<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 1<br />
g : #» x = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 1<br />
P (3|5|2) ∉ g Voraussetzung<br />
•<br />
P<br />
L<br />
n g<br />
1. Hilfsebene aus Punkt #» n g = #» n E<br />
E H : n E ◦ ( #» x − #» a ) = 0<br />
n g ◦ ( #» x − #» ⎛ ⎞ ⎛p ) = 0<br />
1 x 1 − 3<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ x<br />
⎝ 2 − 5<br />
1 x 3 − 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 · (x 1 − 3) + 2 · (x 2 − 5) + 1 · (x 3 − 2) = 0<br />
x 1 − 3 + 2x 2 − 10 + x 3 − 2 = 0<br />
x 1 + 2x 2 + x 3 − 15 = 0<br />
2. g in E h einsetzen und nach l auflösen<br />
g : x 1 = 1 + l<br />
in E (1 + l) + 2(2l) + l − 15 = 0<br />
x 2 = 0 + 2l<br />
→ 6l = 14; l = 7 3<br />
x 3 = 0 + l<br />
3. l in g einsetzen ⎛ ⎞ → ⎛Lotfußpunkt ⎞ ⎛ L ⎞<br />
1 1<br />
# »<br />
OL = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 7 ·<br />
⎜<br />
3<br />
2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠ → L( 10| 14| 7)<br />
3 3 3<br />
0 1<br />
4. Bestimme den Betrag von | LP # » | = d(P, g) ⇒ LP # » = ( P #» − L)<br />
#»<br />
| LP # » | = √ (− 1 3 )2 + ( 1 3 )2 + (− 1 3 )2 = √ 3<br />
= √ 3<br />
≈ 0, 58 LE<br />
9 3<br />
10<br />
3<br />
14<br />
3<br />
7<br />
3<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 44
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.5 Abstände<br />
0.2.5.3 Gerade/Gerade<br />
1. parallele Geraden<br />
A<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
g : #» x = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ +<br />
0<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
h : #» x = ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ +<br />
5<br />
⎫<br />
A ∉ h ⎬<br />
#»<br />
⎛ u<br />
⎞<br />
1<br />
l ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
−2<br />
k ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
#» u = k · #»<br />
⎞ ⎛ ⎞ v<br />
1 −2<br />
1 ⎟<br />
⎠ = k · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ → k = − 1 2<br />
1 −2<br />
Prüfung durch Einsetzen von A in h oder B in g und Auflösen<br />
B ∉ g ⎭ nach k bzw. l! Für l bzw. k werden keine gleichen Werte rauskommen<br />
g<br />
#» u<br />
A<br />
d d d h<br />
#» v<br />
B<br />
Wähle z.B. A und h und bestimme den Abstand von A zu h nach Anleitung 2.<br />
Abstand Punkt/Gerade, denn jeder Punkt hat von h den gleichen Abstand, g ‖ h<br />
ist! Du kannst natürlich auch B und g verwenden!<br />
2. zwei windschiefe Geraden<br />
Voraussetzung:<br />
g : #» a + k · #» u<br />
h : #» b + l · #» v<br />
E<br />
1. #» u ≠ k · #» v<br />
2.g = h ergibt keinen Schnittpunkt!<br />
h<br />
#» u ×<br />
#» v = nE<br />
g<br />
A r<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 45
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.5 Abstände<br />
a) Bestimme #» u × #» v , ein Vektor, der auf g und h senkrecht steht<br />
b) Bestimme die Hilfsebene in Hesseform:<br />
∣<br />
∣ ( u #» × #» v )◦( #» x − #» a )<br />
| u #» |·| #» |<br />
v |<br />
c) Setze B in die Ebene, das ist der Abstand d(g, h)<br />
d(g, h) = ∣<br />
∣ ( u #» × #» v )◦( #» b − #» a )<br />
| u #» |·| #» |<br />
v |<br />
Beachte:<br />
Zwei sich schneidende und identische Geraden haben natürlich keinen Abstand!<br />
0.2.5.4 Punkt/Ebene<br />
E : 1x 1 + 2x 2 − 2x 3 − 3 = 0 P (1|2| − 3)<br />
•<br />
Bestimme die Hesseform ∣ von E<br />
E H :<br />
∣ x 1+2x 2 −2x 3 −3 ∣∣∣<br />
= ∣ ∣<br />
x 1 +2x 2 −2x 3 −3<br />
∣<br />
√1 2 +2 2 +(−2) 2 3<br />
P in E ∣ 1+2·2−2·(−3)−3<br />
∣ ∣ = 8 ≈ 2, 67<br />
3<br />
3<br />
Beachte: E : x 1 + 2x 2 − 2x 3 + 3 → x 1+2x 2 −2x 3 +3<br />
-<br />
P in E ∣ 1+2·2−2·(−3)+3<br />
∣ ∣ = ∣ −3 ∣<br />
14<br />
∣ = 14 ≈ 4, 67<br />
−3 3<br />
√1 = x 1−2x 2 −2x 3 +3<br />
2 +2 2 +(−2) 2 −3<br />
0.2.5.5 Ebene/Ebene<br />
Voraussetzung: Die Ebenen müssen parallel ⎛ sein! ⎞ ⎫<br />
1<br />
E 1 : x 1 + 2x 2 − x 3 − 3 = 0<br />
#» n E1 = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−1<br />
⎪⎬<br />
⎛ ⎞ − 2 #» n E1 = #» n E2<br />
−2<br />
E 2 : −2x 1 − 4x 2 + 2x 3 + 5 = 0 #» n E2 = ⎜ −4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
⎪⎭<br />
Wähle einen Punkt von E 1 ausserdem −2 · (−3) ≠ 5<br />
→ parallel<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 46
•<br />
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.5 Abstände<br />
z.B. x 1 = 0; x 2 = 0<br />
→ −x 3 − 3 = 0; x 3 = −3 Wenn: k · E 1 = E 2 → E 1 ≡ E 2<br />
P(0|0|-3)<br />
Nun verfahre wie 0.2.5.4 Punkt/Ebene<br />
→ Hesseform von E 2<br />
→ P in E H2 einsetzen<br />
0.2.5.6 Gerade/Ebene<br />
Voraussetzung: g ‖ E ⎛<br />
1<br />
g : #» x = #» a + k · #» u ⎜ 0<br />
⎝<br />
0<br />
E : x 1 + x 2 + 2x 3 − 3 = 0<br />
⎞ ⎛<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ + k · ⎜ −1<br />
⎝<br />
2<br />
⎛<br />
1<br />
#» n E = ⎜ 1<br />
⎝<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Wenn:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−1 1<br />
1.<br />
#» n g ◦ #» n E = 0, dann ⎜ −1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ = −1 − 1 + 2 = 0<br />
2 1<br />
2. A liegt nicht in E<br />
1 + 0 + 2 · 0 − 3 ≠ 0<br />
−2 ≠ 0 → g ‖ zu E<br />
→ Bestimme Hesseform von E<br />
→ Setze A in E H ein d(g, E)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 47
0.2 Analytische Geometrie 0.2.6 Schnittwinkel<br />
0.2.6 Schnittwinkel<br />
0.2.6.1 Gerade mit Gerade<br />
Voraussetzung: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 1<br />
g : #» x = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ → #» u<br />
2 1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0<br />
h : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ → #» v<br />
3 2<br />
Merke: Der Schnittpunkt ist immer der spitze Winkel!<br />
S<br />
•<br />
α<br />
g<br />
#» u<br />
#» v<br />
h<br />
α<br />
α α′ α ′<br />
Die beiden Schnittwinkel α und α ′ sind<br />
zusammen 180 ◦ → α + α ′ = 180 ◦<br />
Bekommst du durch Rechnung ⎛ den ⎞ ⎛stumpfen ⎞ ∢α ′ machst du ∢α = 180 ◦ − ∢α ′<br />
1 0<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
u<br />
Formel: cos α =<br />
#» ◦ #» v<br />
| u #» |·| #» = 1 2<br />
√<br />
v | 1 2 +1 2 +1 2·√0 = 1·0+1·1+1·2 √ 2 +1 2 +2 3·√ 2 5<br />
cos α = √ 3<br />
15<br />
(SHIFT cos)<br />
→ ∢α = 39, 23 ◦<br />
0.2.6.2 Gerade mit Ebene<br />
E : ⎛x 1 + ⎞2x 2 − 5x ⎛ 3 + ⎞5 = 0<br />
0 1<br />
g : ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2 1<br />
)<br />
ϕ ′ ( 1<br />
2<br />
−5<br />
#» n E<br />
E<br />
Schnittwinkel<br />
P<br />
∢ϕ ′ = 90 ◦ − ϕ ′<br />
∣<br />
| n #» E |·| n #» g|<br />
→ cos(ϕ ′ ) = ∣ ∣ ∣<br />
#» n E ◦ #» n g<br />
Merke: cos(90 ◦ − ϕ) = sin(ϕ)<br />
∣ = cos(90 ◦ − ϕ)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 48
•<br />
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.6 Schnittwinkel<br />
∣<br />
→ sin(ϕ) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
n<br />
∣ #» E ◦ n #» g<br />
| n #» E |·| n #» ∣ g|<br />
=<br />
∣<br />
⎞ ⎛ ⎞∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣<br />
1 1<br />
2 ⎟<br />
⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−5 1<br />
√<br />
5·√<br />
3<br />
=<br />
∣ 1+2−5<br />
√<br />
15<br />
∣ ∣∣ =<br />
∣ ∣∣ −2 √<br />
15<br />
∣ ∣∣ ⇒ ϕ=30,09<br />
◦<br />
0.2.6.3 zwischen zwei Vektoren<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
#»<br />
0<br />
#» a = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ , #» 2<br />
α b<br />
b = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
5<br />
#» a<br />
∣⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣<br />
0 2<br />
⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠·<br />
⎝ ⎠<br />
#» #»<br />
cos α =<br />
a ◦ b<br />
∣ | #» a |·| #» b | ∣ = 2 5<br />
√<br />
4·√<br />
30<br />
= √ 10<br />
120<br />
⇒ ∢α = 24, 09 ◦<br />
0.2.6.4 Ebene/Ebene<br />
| n #» E |·| n #» ∣<br />
F |<br />
cos α = ∣ #»<br />
∣<br />
n E ◦ n #» F<br />
#» n F<br />
F<br />
E<br />
E : x 1 + 2x 2 − 3x 3 − 5 = 0<br />
F : −2x ⎛ 1 − x⎞<br />
2 + x 3 − 3 = 0 ⎛<br />
1<br />
#» n E = ⎜ 2 ⎟<br />
#» n ⎝ ⎠<br />
F = ⎜<br />
⎝<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 49
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 −2<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ −1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−3 1<br />
∣ → cos α √<br />
14·√<br />
6<br />
= ∣ √ −7 ∣∣<br />
84<br />
→ α = 40, 2 ◦<br />
0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
0.2.7.1 Skalarprodukt(Standard!)<br />
⎛<br />
#» #» a ◦ b = ⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
a 1 b 1<br />
a 2 ⎟<br />
⎠ ◦ ⎜ b<br />
⎝ 2 ⎟<br />
a 3 b 3<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 −3<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ −5 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
−1<br />
⎠ = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + a 3 · b 3<br />
= 1 · (−3) + 1 · (−5) + 2 · (−1) = −10<br />
Verwendung: #» a ⊥ #» b<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 −3<br />
1.<br />
#» #» a ◦ b = 0 ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ = −3 + 0 · 3 + (−3) · (−1) = 0 → #» a ⊥ #» b<br />
−3 −1<br />
#» b<br />
•<br />
#» a<br />
d.h. wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen zwei Vektoren, hier #» a und #» b aufeinander<br />
senkrecht!(weil cos α =<br />
#» a ◦ #» b<br />
| #» a |·| #» = 0, wegen cos b | 90◦ = 0!!)<br />
2. Winkel ziwschen zwei Vektoren<br />
b<br />
α #» a<br />
cos α =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
#» a ◦ #» b<br />
| #» a |·| #» = b |<br />
3. √ #» a · #» a = |<br />
#» a |<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0<br />
1 ⎟<br />
⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 2<br />
√<br />
3·√<br />
5<br />
= √ 3<br />
15<br />
→ α = 39, 23 ◦<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 50
•<br />
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2<br />
3<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ ◦ ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = 1 + 4 + 9 = 14<br />
3<br />
√<br />
14 = |<br />
#» a |<br />
Analog: #» a = √ 1 2 + 2 2 + 3 2 = √ 14<br />
4. Mittelpunkt zwischen zwei ⎛Punkten ⎞ A und⎛B<br />
⎞<br />
#»<br />
M = 1( A #» + B)<br />
#» 2<br />
1<br />
2<br />
#»<br />
#»<br />
A = ⎜ 1 ⎟ B = ⎜ −3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
−5<br />
1 + 2<br />
#»<br />
M = 1 ⎜<br />
2<br />
1 − 3 ⎟ ⇒ M(1, 5| − 1| − 2)<br />
⎝ ⎠<br />
1 − 5<br />
⎛ ⎞<br />
Schwerpunkt: S #» = 1( A+ #» B+ #» C)<br />
#» 3<br />
−3<br />
#»<br />
C = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
5<br />
im Dreieck: S #» 0<br />
= 1 ⎜<br />
3<br />
−2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⇒ S(0| − 2| 1)<br />
3 3<br />
1<br />
#»<br />
S = 1 3<br />
⎛⎛<br />
⎜⎜<br />
⎝⎝<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ + ⎜<br />
⎝<br />
2<br />
−3<br />
−2<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ + ⎜<br />
⎝<br />
−3<br />
0<br />
5<br />
⎞⎞<br />
⎟⎟<br />
⎠⎠<br />
0.2.7.2 Vektor-/Kreuzprodukt<br />
⎛<br />
#» n =<br />
#» #» a × b = ⎜<br />
⎝<br />
Einfache ⎛ Formel: ⎞<br />
a 2 b 3 − a 3 b 2<br />
⎜ a<br />
⎝ 3 b 1 − a 1 b 3 ⎟<br />
⎠<br />
a 1 b 2 − a 2 b 1<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
a 1 b 1<br />
a 2 ⎟<br />
⎠ × ⎜ b<br />
⎝ 2 ⎟<br />
⎠<br />
a 3 b 3<br />
Aussage: #» n steht auf #» a und #» b senkrecht!<br />
#» n<br />
ϕ<br />
#» a<br />
#» b<br />
#» n ⊥<br />
#» a und<br />
#» n ⊥<br />
#» b<br />
Es gilt auch: #» n = #» a × #» b = | #» a | ◦ | #» b | · sin ϕ<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 51
•<br />
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
Anwendungen<br />
1.<br />
A D = 1 2 | # » AB × # » AC| = 1 2 | # » AB|◦| # » AC|·sin ϕ<br />
A B<br />
2. V Prisma = | AB # » ◦ ( AC # » × AD)| # » = | AD # » ◦ ( AB # » × AC)| # » = | AC # » ◦ ( AB # » × AD)|<br />
# »<br />
ϕ<br />
C<br />
A=Fläche Dreieck<br />
D<br />
D<br />
A<br />
C<br />
B<br />
Quader<br />
(lauter Rechtecke als Flächen)<br />
3. V Pyramide<br />
1<br />
|( AB # » × AC) # » ◦ AD|<br />
# »<br />
3<br />
D<br />
A<br />
C<br />
B<br />
Spat<br />
(lauter Parallelogramme als Flächen)<br />
1<br />
|( AD # » × AC) # » ◦ AD|<br />
# »<br />
6<br />
A<br />
C<br />
# »<br />
AC × AC<br />
# »<br />
Grundfläche ist ein Parallelogramm<br />
4. Aufstellen der Normalenform der Ebene<br />
B<br />
Grundfläche ist ein Dreieck<br />
[ 1 |( AB # » × AC) # » ◦ AD| # » ]<br />
2<br />
1<br />
3<br />
Wenn die Parameterform der Ebene gegeben ist erlaubt das Kreuzprodukt die einfach<br />
Umwandlung in die Normalenform:<br />
E : ( AB # » × AC) # » ◦ ( X #» − A) #» = 0 → Vektorform<br />
#» n E<br />
→ #» n E ◦ ( #» x − #» ⎛ ⎞ ⎛ a ) = 0⎞<br />
n 1 x ⎜ n<br />
⎝ 2 ⎟<br />
⎠ ◦ 1 − a 1<br />
⎜ x<br />
⎝ 2 − a 2 ⎟<br />
⎠ = 0<br />
n 3 x 3 − a 3<br />
n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 0 = 0<br />
n 0 = −(x 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 )<br />
A<br />
C<br />
B<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 52
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
Anwendung siehe Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen-Umwandeln<br />
in Normalenform<br />
5. Aufstellen der Parameterform der Ebene<br />
E : #» x = #» a + k · ( #» b − #» a ) + l · ( #» c − #» a )<br />
Geg.: Punkte A,B,C; siehe unter Umwandeln und Aufstellen von Ebenengleichungen<br />
6. Hesseform der Ebene/Abstand von P zu E!<br />
(Mehr unter Kapitel Abstände)<br />
Beispiele:<br />
a) 2x 1 −⎛<br />
x 2 − 2x ⎞ 3 -4 = 0<br />
2<br />
#» n = ⎜ −1 ⎟<br />
⎝ ⎠ → | #» n| = √ 9 = 3<br />
2<br />
→ E H = 1(2x 3 1 − x 2 − 2x 3 − 4) = 0<br />
P (1|2|3) → d PE = | 1 3 (2 · 1 − 2 − 2 · 3 − 4)| = 1 3 | − 10| = | − 10 3 | = 10 3<br />
≈ 2, 67<br />
b) 2x 1 + x 2 + 2x 3 +5 = 0 | #» n| = 3<br />
Beachte: ist n 0 > 0 musst Du immer ein Minus setzen!<br />
E H = - 1 3 (2x 1 + x 2 + 2x 3 + 5) = 0<br />
P (1|2|3) → d PE = | − 1(2 + 2 + 6 + 5)| = | − 1 (15)| = | − 5| = 5<br />
3 3<br />
7. Die Kugelgleichung<br />
#»<br />
m<br />
#»<br />
M<br />
#» r<br />
#» x<br />
Axialschnitt<br />
O<br />
#» x =<br />
#» m +<br />
#» r<br />
#» r =<br />
#» x −<br />
#» m<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 53
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎛<br />
r 1<br />
r 2 ⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
r 3<br />
⎞<br />
x 1 − m 1<br />
x 2 − m 2 ⎟<br />
⎠<br />
x 3 − m 3<br />
(r 2 1 + r 2 2 + r 2 3) = (x 1 − m 1 ) 2 + (x 2 − m 2 ) 2 + (x 3 − m 3 ) 2<br />
r 2 = (x 1 − m 1 ) 2 + (x 2 − m 2 ) 2 + (x 3 − m 3 ) 2<br />
8. Tangentialebene (Berührebene durch P)<br />
#» n E<br />
P<br />
E T<br />
P(1|2|5)<br />
•<br />
M<br />
M(0|1|1)<br />
9. Schnittpunkt Kugel/Gerade<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
# »<br />
MP = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
4<br />
a) # » MP ⊥ E → # » MP = #» n E<br />
b) P ∈ E<br />
c) #» n E ◦ ( #» x − #» a ) = 0 Normalenform<br />
# »<br />
MP ◦ ( X #» − P #» ⎛ ⎞ ⎛ ) = 0⎞<br />
1 x 1 − 1<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ x<br />
⎝ 2 − 2 ⎟<br />
⎠ = 0<br />
4 x 3 − 5<br />
E T = x 1 + x 2 + 4x 3 − 1 − 2 − 20 = 0<br />
x 1 + x 2 + 4x 3 − 23 = 0<br />
kein Schnittpunkt-Passante<br />
S 1 S 2<br />
2 Schnittpunkte-Sekante<br />
1 Schnittpunkt-Tangente<br />
⎡ ⎛ ⎞⎤2<br />
⎛<br />
0<br />
K : ⎢<br />
#» x − ⎜ 3 ⎟⎥<br />
= 5 g : #» x = ⎜<br />
⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
⎝<br />
4<br />
→ g in E<br />
⎡⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤2<br />
1 0 0<br />
⎢⎜<br />
2 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ + k · ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ − ⎜ 3 ⎟⎥<br />
= 5<br />
⎝ ⎠⎦<br />
2 4 4<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ + k · ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
3<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
g ∩ E<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 54
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
⎡⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎤2<br />
1<br />
0<br />
⎢⎜<br />
−1 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ + k · ⎜ 3 ⎟⎥<br />
⎝ ⎠⎦<br />
−2 4<br />
(1 + 0k) 2 + (−1 + 3k) 2 + (−2 + 4k) 2 = 25<br />
1 + 1 − 6k + 9k 2 + 4 − 16k + 16k 2 = 25<br />
25k 2 − 22k + 6 − 25 = 0<br />
25k 2 − 22k − 19 = 0<br />
√<br />
D>0<br />
k 1,2 = 22± (−22) 2 −4·25·(−19)<br />
= 22±√ 2384<br />
= 11±2·√149<br />
2·25 50 25<br />
k 1 = 11+2·√149<br />
25<br />
≈ 1, 42<br />
k 2 = 11−2·√149<br />
25<br />
≈ −0, 75<br />
⎫<br />
⎬<br />
Die Gerade is Sekante<br />
⎭<br />
Wenn: k 1 = k 2 ⇒ ein Wert g ist Tangente<br />
D=0<br />
Wenn: D < 0 ⇒ g ist Passante<br />
Wenn Du die Werte für k 1 = . . . und k 2 = . . . in die Geradengleichung einsetzt<br />
erhältst Du die Schnittpunkte S 1 und S 2<br />
10. Schnittpunkt Ebene/Kugel → Schnittebene<br />
a) Die Tangentialebene (siehe Tangentialebene)<br />
Wenn die Gerade und die Kugel einen Schnittpunkt haben, folgt eine Tangentialebene<br />
E T<br />
S<br />
b) Schnittebene<br />
Wenn die Gerade und die Kugel zwei Schnittpunkte haben, folgen auch zwei<br />
Tangentialebenen<br />
g geht durch M<br />
Berechnung siehe Tangentialebene<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 55
•<br />
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
E T1<br />
E T2<br />
S 1<br />
M • S 2<br />
c) Wenn die Gerade g nicht durch M geht und d
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
E : 0 · (x 1 + 1) + 3x 2 + 15 − 2x 3 + 14 = 0<br />
E : 3x 2 − 2x 3 + 29 = 0<br />
d ME<br />
→ Hesseform aufstellen und M einsetzen!<br />
E H : − √ 1<br />
13<br />
(3x 2 − 2x 3 + 29) = 0<br />
∣<br />
d ME = ∣− √ 1<br />
13<br />
(3 · 3 − ·5 + 29) ∣ =<br />
M(0|3|5)<br />
√<br />
13 · 28∣ =<br />
∣<br />
∣− 1<br />
∣<br />
∣− 28 √<br />
13<br />
∣ ∣∣ =<br />
28 √<br />
13<br />
≈ 7, 76 = d<br />
Nun brauchen wir noch den Schnittkreisradius P<br />
Da hilft uns Pythagoras:<br />
d<br />
r<br />
p<br />
Es gilt: r 2 = d 2 + p 2<br />
→ 8 2 − 7, 76 2 ⇒ p ≈ 1, 94<br />
d.h. der Radius des Schnittkreises beträgt in etwa 2cm!<br />
Wichtig:<br />
Wenn: d = r → Tangentenebene<br />
Wenn: d > r → keine Schnittebene, kein Schnittkreis<br />
Wenn: d < r → Beispiel c)<br />
11. Winkelhalbierende ⎛ ⎞ Geraden ⎛ ⎞<br />
7<br />
3<br />
g : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + k · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
12 4<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
3<br />
1<br />
h : #» x = ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + l · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
8<br />
2<br />
h<br />
g<br />
w 2<br />
#» n 0<br />
w 1<br />
#» v o<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 57
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
3<br />
3<br />
a) Bestimme: #» 1<br />
n 0 = √<br />
3<br />
· ⎜ 0 ⎟<br />
2 +0 2 +4 2 ⎝ ⎠ = √ 1<br />
25 · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = 1 ·<br />
⎜<br />
5 ⎝<br />
4<br />
4<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
1<br />
und #» 1<br />
v 0 = √1 ·<br />
⎜ −2 ⎟<br />
2 +(−2) 2 +2 2 ⎝ ⎠ = 1 ·<br />
⎜<br />
3<br />
−2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
S<br />
#»<br />
#» n v 0<br />
0<br />
#» v 0<br />
#» n 0<br />
− #» v 0<br />
b) #» w 1 : #» x = #» s + ( #» n 0 + #» v 0 ) · m<br />
#»<br />
w 2 : #» x = #» s + ( #» n 0 − #» v 0 ) · n<br />
#»<br />
S = g ∩ h Berechnung siehe Lage Gerade/Gerade hier S(1|2|4)<br />
⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
1<br />
3<br />
1<br />
c) i. → w #» 1 = #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 1<br />
⎢<br />
⎣ ·<br />
⎜<br />
5<br />
0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 1 ·<br />
⎜<br />
3<br />
−2 ⎟⎥<br />
⎝ ⎠⎦ · m<br />
4<br />
4<br />
2<br />
⎛ ⎞ ⎡ ⎛⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎞⎤<br />
1<br />
9 5<br />
= ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 1<br />
⎢ ⎜⎜<br />
⎣ 15<br />
0 ⎟<br />
⎝⎝<br />
⎠ + ⎜ −10 ⎟⎟⎥<br />
⎝ ⎠⎠⎦ · m HN 15 erweitert!<br />
4<br />
12 10<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
14<br />
7<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + m · ⎜ −10 ⎟<br />
⎝ ⎠ · 1 → | · 15 | : 1 → ⎜<br />
15<br />
−5 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
4<br />
22<br />
11<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
7<br />
→ w 1 : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + m · ⎜ −5 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
4<br />
11<br />
ii. Analog bestimmen wir w 2<br />
w<br />
#»<br />
2 = S #» + ( #» n 0 − #» ⎛ ⎞ ⎡v 0 ) · ⎛n<br />
1<br />
3<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 1<br />
⎢<br />
⎣ ·<br />
⎜<br />
5<br />
0<br />
⎝<br />
4<br />
4<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ − 1 ·<br />
⎜<br />
3 ⎝<br />
1<br />
−2<br />
2<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦ · n<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 58
•<br />
•<br />
0.2 Analytische Geometrie 0.2.7 Formeln Oberstufe<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
1<br />
9<br />
5<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 1<br />
⎢<br />
⎣ ·<br />
⎜<br />
15<br />
0 ⎟<br />
⎝ ⎠ − 1 ·<br />
⎜<br />
15<br />
−10 ⎟⎥<br />
⎝ ⎠⎦ · n<br />
4<br />
12<br />
10<br />
⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
1<br />
4<br />
1<br />
2 ⎟<br />
⎠ + n · 1<br />
⎢<br />
⎣ ·<br />
⎜<br />
15<br />
10 ⎟⎥<br />
⎝ ⎠⎦ ⇒ w 2 : #» x = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ + n · ⎜<br />
⎝<br />
4<br />
2<br />
4<br />
12. Winkelhalbierende Ebenen<br />
E : −2x 1 − 4x 2 − 4x 3 + 6 = 0<br />
F : x 1 − x 2 + 1x 2 3 + 3 = 0<br />
F w 1<br />
X E<br />
2<br />
5<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(d(E; X))(d(F ; X))<br />
w 2<br />
1.Fall X ist ein beliebiger Punkt w 1 bzw. w 2<br />
E H : − 1(−2x 6 1 − 4x 2 − 4x 3 + 6) = 0<br />
F H : − 1(1x 3 1 − x 2 + 1x 2 3 + 3)<br />
− 2(x 3 1 − x 2 + 1x 2 3 + 3) = 0<br />
→ − 1(−2x 6 1 − 4x 2 − 4x 3 + 6) = − 2(x 3 1 − x 2 + 1 + 3)| · (−6)<br />
2<br />
−2x 1 − 4x 2 − x 3 + 6 = 4(x 1 − x 2 + 1x 2 3 + 3)<br />
w 1 : −6x 1 + 2x 3 − 6 = 0<br />
2.Fall<br />
E H = −F H ∨ −E H = F H<br />
− 1 6 (−2x 1 − 4x 2 − x 3 + 6) = −(− 2 3 )(x +x 2 + 1 2 x 3 + 3)| · (−6)<br />
−2x 1 − 4x 2 − 4x 3 + 6 = −4(x 1 + x 2 + 1 2 x 3 + 3)<br />
w 2 : −2x 1 − 2x 3 + 18 = 0<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 59
0.3 Stochastik 0.3 Stochastik<br />
0.3 Stochastik<br />
0.3.1 Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse<br />
(Schnittmengen/ Vereinigunsmengen/ Unvereinbarkeit/ Unabhängigkeit)<br />
A A<br />
P (B) P (A ∩ B) P (A ∩ B) B<br />
P (B) P (A ∩ B) P (A ∩ B) B<br />
P (A) P (A) 1<br />
MERKE:<br />
P (A) = 1 − P (A)<br />
P (B) = 1 − P (B)<br />
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)<br />
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)<br />
.<br />
usw.<br />
Ist P (A ∩ B) = 0 → A und B sind unvereinbar!<br />
→ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)<br />
Unabhängigkeit:<br />
Es gilt: P (A) · P (B) = P (A ∩ B) aus der Vierfeldertafel alles<br />
bestimmen und vergleichen, ob die Gleichung stimmt.<br />
Gilt: P (A) · P (B) ≠ P (A ∩ B) sind die Ereignisse abhängig!<br />
0.3.2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit<br />
Es gelten die Formeln: P A (B) =<br />
P (A ∩ B)<br />
P (A)<br />
↔ P (A ∩ B) = P A (B) · P (A)<br />
P (A ∩ B)<br />
P B (A) = ↔ P (A ∩ B) = P B (A) · P (B)<br />
P (B)<br />
—————– usw. —————–<br />
1. Aus der Vierfeldertafel kannst Du alle Wahrscheinlichkeiten verwenden, um die bedingten<br />
Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.<br />
2. Sind bedingte Wahrscheinlichkeiten gegeben kannst Du Wahrscheinlichkeiten für<br />
die Vierfeldertafel berechnen.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 60
0.3 Stochastik 0.3.3 Das Baumdiagramm und seine Wahrscheinlichkeiten<br />
0.3.3 Das Baumdiagramm und seine Wahrscheinlichkeiten<br />
a) Start mit Ereignis A<br />
P A (B)<br />
B<br />
P (A ∩ B) = P (A) · P A (B)<br />
P (A)<br />
A<br />
P A (B)<br />
B<br />
P (A ∩ B) = P (A) · P A (B)<br />
o<br />
P (A)<br />
P A(B)<br />
B<br />
P (A ∩ B) = P (A) · P A<br />
(B)<br />
A<br />
P A<br />
B<br />
B<br />
P (A ∩ B) = P (A) · P A<br />
(B)<br />
b) Start mit Ereignis B<br />
P B (A)<br />
A<br />
P (A ∩ B) = P (B) · P B (A)<br />
P (B)<br />
B<br />
P B (A)<br />
A<br />
P (A ∩ B) = P (B) · P B (A)<br />
o<br />
P (B)<br />
P B(A)<br />
A<br />
P (A ∩ B) = P (B) · P B<br />
(A)<br />
B<br />
P B<br />
A<br />
A<br />
P (A ∩ B) = P (B) · P B<br />
(A)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 61
0.3 Stochastik 0.3.4 Erwartungswert / Varianz / Standardabweichung<br />
0.3.4 Erwartungswert / Varianz / Standardabweichung<br />
0.3.5 einer Zufallsgröße<br />
Ein Glücksrad hat vier Sektoren, die mit den Ziffern 1 bis 4 beschriftet sind. Jede Ziffer<br />
erscheint mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Das Glücksrad werde zweimal gedreht. Die<br />
Zufallsgröße Z gebe die Summe der beiden Ziffern an.<br />
Bestimme aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z die Maßzahlen E(Z), Var(z) und<br />
σ(Z)<br />
Lösung:<br />
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt:<br />
Z 2 3 4 5 6 7 8<br />
1 2 3 4 3 2 1<br />
P(Z=z)<br />
16 16 16 16 16 16 16<br />
E(Z) = 2 ·<br />
V ar(Z) = (2 − 5) 2 ·<br />
1<br />
16 + 3 · 2<br />
16 + 4 · 3<br />
16 + 5 · 4<br />
16 + 6 · 3<br />
16 + 7 · 2<br />
16 + 8 · 1<br />
16 = 5<br />
+(7 − 5) 2 ·<br />
1<br />
16 + (3 − 5)2 ·<br />
2<br />
16 + (4 − 5)2 ·<br />
2<br />
16 + (8 − 1<br />
5)2 ·<br />
16 = 2, 5<br />
3<br />
16 + (5 − 5)2 ·<br />
4<br />
16 + (6 − 5)2 ·<br />
3<br />
16 +<br />
oder mit dem Verschiebungssatz:<br />
V ar(Z) = 2 2 ·<br />
1<br />
16 + 32 ·<br />
2<br />
16 + 42 ·<br />
3<br />
16 + 52 ·<br />
4<br />
16 + 62 ·<br />
3<br />
16 + 72 ·<br />
2<br />
16 + 82 ·<br />
1<br />
16 = 2, 5<br />
σ(Z) =<br />
√<br />
V ar(Z) = 1, 58<br />
Standardabweichung<br />
0.3.5.1 bei einer binomialverteilten Zufallsgröße<br />
Das gleiche Glücksrad wird nun 100 mal gedreht und wir wollen den Erwartungswert für<br />
die Augensumme 2 bestimmen.<br />
µ = E(x) = n · p n = 100 p = 1 4<br />
(Bei einmaligem Drehen)<br />
E(X) = 100 · 1<br />
4<br />
= 25 ,d.h. bei 100 Würfen erwarten wir 25 mal die Augensumme 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 62
0.3 Stochastik 0.3.5 einer Zufallsgröße<br />
V ar(x) = n · p · q n = 100 p = 1 4<br />
q = 3 4<br />
σ(x) = √ n · p · q =<br />
→ 100 · 1<br />
4 · 3<br />
4 = 300<br />
16 = 75<br />
4 → Varianz!<br />
√<br />
75<br />
4 = 5√ 3<br />
2<br />
≈ 4, 33<br />
→ Standardabweichung!<br />
Die Standardabweichung [µ − σ; µ + σ] = [25 − 4, 33; 25 + 4, 33]<br />
um den Erwartungswert beträgt: [20, 67; 29, 33]<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 63
n!<br />
0.3 Stochastik 0.3.6 Grundformeln der Kombinatorik n!; ; ( )<br />
n<br />
n−k k ; n<br />
k<br />
n!<br />
0.3.6 Grundformeln der Kombinatorik n!;<br />
n−k ; ( )<br />
n<br />
k ; n<br />
k<br />
1. Mit Reihenfolge, mit Wiederholung: n k<br />
Ein Würfel wird 5x geworfen, wie groß ist Ω ? (Wie viele Möglichkeiten gibt es)<br />
n = 6 k = 5 → 6 5 = 7776<br />
2. Mit Reihenfolge, ohne Wiederholung:<br />
n!<br />
(n − k)!<br />
Aus einer Urne mit 10 Kugeln (nummeriert von 1 - 10), werden nacheinander 5<br />
Kugeln ohne Zurücklegen (Mit Zurücklegen) gezogen. Wie viele Möglichkeiten gibt<br />
es dafür? (Ω)<br />
a) → n = 10, k = 5<br />
10!<br />
(10 − 5)! ⇒ 10 · 9 · 8 · 7 · 6<br />
} {{ } = 30240<br />
(TR: 10 Shift nPr 5) k = 5<br />
mit Zurücklegen wären es: n k = 10 5 = 100.000<br />
b) → n = 10 k = 10<br />
Man zieht alle Zehn Kugeln ohne Zurücklegen → n! = 10!<br />
n!<br />
denn es gilt<br />
(n − k)! = n! k = n<br />
3. Ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung<br />
Aus einer Urne mit 10 Kugeln werden 5 gleiche Kugeln ohne Nummern gezogen<br />
(nacheinander !!!)<br />
→ Reihenfolge kann nicht beachtet werden<br />
→<br />
n!<br />
(n − k) · k! ist die Lösung 10!<br />
(10 − 5) · 5! = 252<br />
=<br />
( n<br />
Diese Formel nennt man auch den Binomialkoeffizenten!<br />
k)<br />
1. Ein Zahlenschloss mit 5 Stellen wird gedreht 1○ 3○ 7○ 8○ 6○<br />
Wie viele Möglichkeiten gibt es ? n k n = 10 k = 5<br />
→ 10 5 = 100000<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 64
n!<br />
0.3 Stochastik 0.3.6 Grundformeln der Kombinatorik n!; ; ( )<br />
n<br />
n−k k ; n<br />
k<br />
2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf?<br />
1. Stelle: 10 2. Stelle 9 ...<br />
( )<br />
10!<br />
10 · 9 · 8 · 7 · 6 oder<br />
(10 − 5)! = 30240 n!<br />
(n − k)!<br />
3. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Reihenfolge zusätzlich nicht beachtet wird?<br />
⎫<br />
3 5 7 6 2<br />
3 6 2 5 7<br />
5 3 6 7 2<br />
6 3 5 7 2<br />
6 3 5 2 7<br />
—————- usw. —————-<br />
→ 10!<br />
( ) ( 10<br />
n<br />
(10 − 5)! : 5! oder = 252 =<br />
5<br />
k)<br />
⎪⎬<br />
5! ist nur 1 Lösung<br />
⎪⎭<br />
Das ist die häufigste verwendete Formel ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen!<br />
Fakultät:<br />
10 Leute stellen sich in einer Reihe auf. Wie viele Möglichkeiten gibt es?<br />
10 · 9 · 8 · ... · 1 = 10! = 3.628.800<br />
↙ ↘<br />
1. Person 2. Person 3. Peron ...<br />
10 Möglichkeiten 9 Möglichkeiten 8 Möglichkeiten ...<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 65
0.3 Stochastik 0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete Formel)<br />
0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete<br />
Formel)<br />
0.3.7.1 Binomialverteilung<br />
1. Bedingung: die Wahrscheinlichkeit p bleibt immer gleich<br />
z.B. Würfeln Augensumme 6 → p = 1 6<br />
2. Der Vorgang wird n-mal wiederholt<br />
z.B. 100x Würfeln<br />
3. Festlegung wie oft das Ereignis eintritt (wie viele Treffer es gibt)<br />
x = k z.B. 11x „sechs gewürfelt “→ x = 11<br />
4. Formel: P (x = k) = ( )<br />
n<br />
k · pk · (1 − p) n−k<br />
Beweis: n = 100 p = 1 k = 11<br />
6<br />
Einsetzten:<br />
( ) 100<br />
·<br />
11<br />
( 1<br />
6<br />
) 11·(<br />
1 − 1 6) 100−11<br />
=<br />
( ) ( ) ( ) 100 1 5 89<br />
·<br />
11· = 0, 035023537<br />
11 6 6<br />
≈ 3, 5%<br />
Diese Formel ist nur für genau k Treffer zu verwenden. Sobald es mehr, mindestens,<br />
höchstens oder weniger Treffer sind, musst Du die Bernoulli-Kette verwenden.<br />
0.3.7.2 Beispiele Bernoullikette (immer Tafelwerk kumulativ verwenden!)<br />
zum Beispiel: n = 100 p = 1 ; Würfeln einer sechs<br />
6<br />
1. Höchstens 10 mal eine sechs x ≦ k → x ≦ 10<br />
Pp n (x ≦ k) → P 100 1<br />
6<br />
(x ≦ 10) = P 100 1<br />
6<br />
(x = 0) + P 100 1<br />
6<br />
(x = 1) + ... + P 100 1 (x = 10)<br />
6<br />
↓ ↓ bis ↓<br />
Tabbelenwerk Kumulativ 0 Treffer 1 Treffer → 10 Treffer<br />
P 100 1 (x ≦ 10) = 0, 04270 ≈ 4, 3%<br />
6<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 66
0.3 Stochastik 0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete Formel)<br />
2. Mindestens 10 mal eine sechs x ≧ k → x ≧ 10<br />
Pp n (x ≧ k) → P 100 1 (x ≧ 10) Achtung: Kumulative Tabelle!<br />
6<br />
x ≧ k festgelegt!<br />
→ P n p (x ≧ k) = 1 − P n p (x ≦ k − 1)<br />
Hier: P 100 1<br />
6<br />
(x ≧ 10) = 1 − P 100 1 (x ≦ 9) = 1 − 0, 02129 = 0, 97871 ≈ 97, 9%<br />
6<br />
3. Mehr als 10 mal eine sechs x > k → x > 10<br />
P n p (x > k) = 1 − P n p (x ≦ k)<br />
Hier: P 100 1<br />
6<br />
(x > 10) = 1 − P 100 1 (x ≦ 10) = 1 − 0, 04270 = 0, 9573 ≈ 95, 7%<br />
6<br />
4. Weniger als 10 Mal eine sechs x < k → x < 10<br />
P n p (x < k) = P n p (x ≦ k − 1)<br />
Hier: P 100 1<br />
6<br />
(x < 10) = P 100 1 (x ≦ 9) = 0, 02129 ≈ 2, 1%<br />
6<br />
5. Mindestens 8 mal sechs und höchstens 15 Mal l ≦ x ≦ k → 8 ≦ x ≦ 15<br />
P 100 1<br />
6<br />
(l ≦ x ≦ k) = P 100 1<br />
6<br />
Hier: P 100 1<br />
6<br />
(8 ≦ x ≦ 15) = P 100 1<br />
6<br />
(x ≦ k) − P 100 1 (x ≦ l − 1)<br />
6<br />
(x ≦ 15) − P 100 1 (x ≦ 7) = 0, 38766 − 0, 00378<br />
6<br />
= 0, 38388 ≈ 38, 4%<br />
6. Mehr als 7, aber weniger als 15 Mal sechs l < x < k → 7 < x < 15<br />
P k K(l < x < k) = P k K(x ≦ k − 1) − P k K(x ≦ l)<br />
Hier: P 100 1<br />
6<br />
(7 < x < 15) = P 100 1<br />
6<br />
(x ≦ 14) − P 100 1 (x ≦ 7) = 0, 28742 − 0, 00378<br />
6<br />
= 0, 28364 ≈ 28, 4%<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 67
0.3 Stochastik 0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete Formel)<br />
7. Mindestens 7 und weniger als 15 Mal sechs l ≦ x < k<br />
P n p (l ≦ x < k) = P n p (x ≦ k − 1) − P k n (x ≦ l − 1)<br />
Hier: P 100 1<br />
6<br />
(7 ≦ x < 15) = P 100 1<br />
6<br />
(x ≦ 14) − P 100 1 (x ≦ 6) = 0, 28742 − 0, 00131<br />
6<br />
= 0, 28611 ≈ 28, 6%<br />
Letzter Fall:<br />
8. Mehr als 7 und höchstens 15 Mal sechs l < x ≦ k<br />
P n p (l < x ≦ k) = P n p (x ≦ k) − P n p (x ≦ l)<br />
Hier: P 100 1<br />
6<br />
(7 < x ≦ 15) = P 100 1<br />
6<br />
(x ≦ 15) − P 100 1 (x ≦ 7) = 0, 38766 − 0, 00378<br />
6<br />
= 0, 38388 ≈ 38, 4%<br />
0.3.7.3 Musteraufgaben zur Binomialverteilung und Bernoulliketten<br />
Sonderformeln- /rechnungen der Binomialverteilung<br />
1. Mind Mind Mind Aufgabe Gesucht: n ???<br />
Wie oft muss man würfeln, um mit mindestens 99 % (0,99) mindestens 1 mal eine<br />
sechs zu würfeln ?<br />
n =? p = 1 x 1<br />
6<br />
Ansatz: P n 1 (x 1) 0, 99<br />
6<br />
Rechnung: 1 − P n 1 (x = 0) 0, 99 | − 1<br />
6<br />
−P n 1 (0 = x) −0, 01 | · (−1)<br />
6<br />
P n 1 (x = 0)≦0, 01 ⇒ Größer-Gleich Zeichen umdrehen!<br />
6<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 68
0.3 Stochastik 0.3.7 Binomialverteilung und Bernoulliketten (inkl. hergeleitete Formel)<br />
Formel:<br />
( ) n<br />
0 ·<br />
( 1<br />
6<br />
) 0<br />
· ( ) (n−0)<br />
5<br />
6 ≦ 0, 01<br />
( 5<br />
6<br />
) k<br />
≦ 0, 01 |ln<br />
n · ln ( ( )<br />
5<br />
6)<br />
≦ ln0, 01 | : ln<br />
5<br />
6<br />
ln0, 01<br />
n≧<br />
ln ( ) = 25, 285... ⇒ n ≧ 26<br />
5<br />
6<br />
Man muss also mindestens 26x Würfeln, um mit mindestens 99 % 1 mal eine sechs<br />
zu würfeln!<br />
MERKE:<br />
n-gesucht: P n p (x 1) P<br />
→ n ln(1 − P )<br />
ln(1 − p)<br />
p = 1 ; x k; k = 1 → x 1; n =?<br />
6<br />
p 99% → P 0, 99<br />
→ P n○ 1<br />
6<br />
(x 1) 0, 99 → Lösung: x <br />
2. Bestimmung von p<br />
ln(1 − 0, 99)<br />
ln(1 − 1 6 ) =<br />
ln(0, 01)<br />
ln 5 6<br />
= 25, 258506<br />
Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit von p, eine sechs zu Würfeln sein, um mit<br />
einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens 1 mal eine sechs zu werfen, wenn wir<br />
50 mal würfeln?<br />
n = 50 k = 1 p =?<br />
Ansatz: P 50<br />
p (x 1) = 1 − P 50<br />
p (x = 0) = 0, 9<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 69
0.3 Stochastik 0.3.8 Urnenmodelle<br />
Rechnung: 1 − ( )<br />
50<br />
0 · p0 · (1 − p) 50 = 0, 9 | − 1<br />
???<br />
−(1 − p) 50 = −0, 1 | · (−1)<br />
(1 − p) 50 = 0, 1<br />
(1 − p) = 50√ 0, 1 | − 1<br />
−p = −1 + 50√ 0, 1<br />
| · (−1)<br />
p = 1 − 50√ 0, 1<br />
p = 0, 045 = 4, 5%<br />
MERKE:<br />
p-gesucht: P n p (x 1) = P → p = 1 − n√ 1 − P<br />
= 1 − (1 − P ) 1 n<br />
n = 50; P = 90% = 0, 9; p =?<br />
→ P 50<br />
p (x 1) = P → p = 1 − 50√ 1 − 0, 9 = 1 − 50√ 0, 1<br />
0.3.8 Urnenmodelle<br />
a) mit Zurücklegen: Aus einer Urne mit 30 weißen und 20 schwarzen Kugeln werden<br />
Kugeln gezogen<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen von 7 Kugeln mit Zurücklegen 4<br />
weiße Kugeln zu erhalten ?<br />
Anzahl der gezogenen Kugeln: n = 7<br />
Anzahl der weißen Kugeln: w = 30 → p w = 30<br />
50 = 3 5<br />
Treffer k w = 4<br />
Formel Binomialverteilung Pp k w<br />
(x = k w ) = P 7 3 (x = 4)<br />
5<br />
= ( ( )<br />
7 4 ( 7−4 ( (<br />
4)<br />
·<br />
3<br />
5 · 1 −<br />
3<br />
5)<br />
=<br />
7<br />
4 (<br />
4)<br />
·<br />
3<br />
5)<br />
·<br />
2<br />
5<br />
1. Mindestens 4 weiße Kugeln (x 4)<br />
2. Höchstens 4 weiße Kugeln (x ≤ 4)<br />
3. Mehr als 4 weiße Kugeln (x > 4)<br />
) 3<br />
= 0, 29030 ≈ 19%<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 70
0.3 Stochastik 0.3.8 Urnenmodelle<br />
4. Weniger als 4 weiße Kugeln usw.<br />
⇒ dann verwendest Du die Formeln der Bernoullikette! Siehe Seite 9 - 11!<br />
b) Das Urnenmodell ohne Zurücklegen<br />
Das gleiche Beispiel wie bei a) Kugeln Gesammt N = 50<br />
Kugeln weiß W = 30 k w = 4<br />
→ 4 weiße Kugeln<br />
Gezogene Kugeln n = 7<br />
nur die Kugeln werden nicht zurückgelegt<br />
Die Formel aus a) kann nun nicht greifen, da sich mit jedem Zug die Wahrscheinlichkeit<br />
p w ja verringert!<br />
ÜBERLEGUNG:<br />
Es gibt:<br />
1. ( N<br />
n)<br />
=<br />
( 50<br />
7<br />
)<br />
Möglichkeiten 7 Kugeln aus der Urne<br />
„ohne Zurücklegen “zu ziehen<br />
2. Von den 30 weißen W sind 4 weiße k gezogen worden<br />
( W<br />
k w<br />
)<br />
„also 4 aus 30 “<br />
3. aus den restlichen 20 Kugeln (N − w) = (50 − 30)<br />
→ Formel zusammengesetzt aus der Kombinatorik<br />
werden 3(n − k w ) = (7 − 4) gezogen „also 3 aus 20“<br />
Treffer: ←<br />
Hier 4 weiße Kugeln<br />
( W<br />
k w<br />
)<br />
( ) N − W<br />
·<br />
n − k w<br />
( ) N<br />
n<br />
→ Rest: keine Treffer<br />
(Hier: 7-4 3 schwarze Kugeln)<br />
→ Alle Möglichkeiten<br />
( ) ( )<br />
30 50 − 30<br />
·<br />
4 7 − 4<br />
( ) =<br />
50<br />
7<br />
( 1 ) ( 2 ) 30 20<br />
·<br />
4 3<br />
( ) 50<br />
7<br />
3<br />
Kurzform<br />
1 4 aus 3 weißen Kugeln<br />
2 3 aus 20 schwarzen Kugeln<br />
3 7 aus 50 Kugeln (Gesammt)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 71
0.3 Stochastik 0.3.9 Der Signifikanztest<br />
0.3.9 Der Signifikanztest<br />
Hier hat man nur eine Hypothese H 0 (oder H 1 ).<br />
Es wird wieder ein Test der Stichprobenlänge n durchgeführt.<br />
In der Regel interessiert uns ob und mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Hypothese verworfen<br />
(irrtümlich abgelehnt) wird oder nicht.<br />
Das heißt nun wir haben nur H 0 , den Annahmebereich A und den Ablehnungsbereich A<br />
Wir berechnen: Bp n 0<br />
(Z ∈ A) für den Fehler<br />
Meistens wird aber die Entscheidungsregel gesucht.<br />
Dabei muss man A und A so festlegen, dass der Fehler einen bestimmten Prozentsatz<br />
nicht übersteigt.<br />
z.B. α ≦ 5% → signifikant auf dem Niveau α<br />
α ≦ 1%<br />
→ hoch signifikant auf dem Niveau α<br />
Berechnung: B n p 0<br />
(Z ∈ A) ≦ α<br />
Auf Deutsch: Man berechnet A und A mit der Voraussetzung, dass der Fehler<br />
unter dem vorgebenen Signifikanzniveau liegt<br />
0.3.9.1 Bestimmung der Entscheidungsregel<br />
rechtsseitiger Test H 0 ; p ≦ p 0<br />
Geg. n, p, α (Signifikanzniveau); Gesucht: k und damit A und A<br />
A = {0...k}<br />
A = {k + 1...n}<br />
Bestimmung der irrtümlichen Ablehnung der Nullhypothese H 0<br />
Fehler: P n p (x k + 1) < α, Fehler unter dem Signifikanzniveau!<br />
→ Lösung P n p (x ≦ k) 1 − α ⇒ k aus kumulativer Tabelle rauslesen und<br />
linksseitiger Test H 0 ; p ≧ p 0<br />
in A und A einsetzen!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 72
0.3 Stochastik<br />
Geg. n, p, α (Signifikanzniveau); Gesucht: k<br />
A = {0...k}<br />
A = {k + 1...n}<br />
Wiederum Bestimmung der irrtümlichen Ablehnung von H 0<br />
Fehler: P n p (x k + 1) ≤ α, Fehler unter dem Signifikanzniveau!<br />
⇒ k aus kumulativer Tabelle rauslesen und in A und A einsetzen!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 73
1 Abitur-Check Gebrochenrationale Funktionen<br />
1 Abitur-Check Gebrochenrationale<br />
Funktionen<br />
Was? Aufgaben Lösungen<br />
1. Definitionsmenge 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 1.<br />
2012 I, Teil 1 2012 I Teil 1, 1., b)<br />
2012 II, Teil 1 2012 II Teil 1, 1.<br />
2. Symmetrie zum Koordinatensystem 2011 II, Teil 1 2011 II Teil 1,3., b),<br />
2013 II, Teil 2 2013 II Teil 2, 2., a)<br />
3. Nullstellen/Definitionslücken 2011 II, Teil 1 2011 II Teil 1, 3., a),<br />
2012 II Teil 1 2012 II Teil 1, 1.<br />
4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., a)<br />
2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., c)<br />
Grenzwerte im Allgemeinen<br />
FS Grenzwerte<br />
5. Asymptoten: senkrechte A., waagrechte A. 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 2., a) und b)<br />
und schräge Asymptote 2013 II Teil 2 2013 II Teil 2, 1., a)<br />
FS Asymptoten<br />
6. 1. Ableitung: 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 1.<br />
Extremwertbestimmung/Monotonieverhalten 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 2., a)<br />
2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 1. b)<br />
2013 II, Teil 2 2013 II, Teil 2, 1b<br />
FS Schema Extremwerte/<br />
Monotonie<br />
7. 2. Ableitung: Keine Abituraufgaben<br />
Wendepunkt/Krümmungsverhalten<br />
FS Wendepunkt/<br />
Krümmungsverhalten<br />
8. Tangenten: Keine Abituraufgaben<br />
Wendetangente/Tangente/Normale<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 74
1 Abitur-Check Gebrochenrationale Funktionen<br />
9. Funktionstermbestimmung inkl. 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 4.<br />
Verschiebung/Streckung/Stauchung/Spiegelung 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., b)<br />
2013 II Teil 2 2013 II Teil 2, 2., a)<br />
10. Newtonverfahren inkl. Anwendung Keine Abituraufgaben<br />
11. Stammfunktion/ 2013 II Teil 2 2013 II Teil 2, 2., b)<br />
Integral- und Flächenberechnung<br />
FS Stamm- Integralfunktionen<br />
und Flächenberechnungen<br />
12. Anwendungsaufgaben 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2<br />
2012 II Teil 1 2012 II Teil 1, 2., a) und b)<br />
2013 II Teil 2 2013 II Teil 2, 3., a) bis c)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 75
2 Abitur-Check Exponential-Funktion e x<br />
2 Abitur-Check Exponential-Funktion<br />
e x<br />
Was? Aufgaben Lösungen<br />
1. Definitionsmenge Keine Abituraufgaben<br />
2. Symmetrie zum Koordinatensystem 2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., a)<br />
3. Nullstellen 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., a)<br />
2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 3.<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., e)<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 2., b)<br />
4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 1., b)<br />
Grenzwerte im Allgemeinen 2012 II Teil 1 2012 II Teil 1, 2., b)<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., a)<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., d)<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 2., a)<br />
FS Grenzwerte<br />
5. Asymptoten: senkrechte, 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 1., b)<br />
waagrechte und schräge Asymptote<br />
FS Asymptoten<br />
6. 1. Ableitung: 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 1., a)<br />
Extremwertbestimmung/ 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., b)<br />
Monotonieverhalten 2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., b)<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 2., a)<br />
FS Extremwerte/<br />
Ableitungen<br />
Monotonieverhalten<br />
7. 2. Ableitung: 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 1., a)<br />
Wendepunkt/Krümmungsverhalten<br />
FS Wendepunkte/<br />
Krümmungsverhalten<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 76
2 Abitur-Check Exponential-Funktion e x<br />
8. Tangenten: 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 1., c)<br />
Wendetangente/Tangente/Normale 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., d)<br />
FS Tangenten/<br />
Normale<br />
9. Funktionstermbestimmung inkl. 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., a)<br />
Verschiebung/Streckung/<br />
FS Schema<br />
Funktionstermbestimmung<br />
Stauchung/Spiegelung<br />
10. Newtonverfahren inkl. Anwendung 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 3., b)<br />
2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 3., b)<br />
FS Schema<br />
Newtonverfahren<br />
11. Stammfunktion/ 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 2., c)<br />
Integral- und Flächenberechnung 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., e)<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., d)<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 2c<br />
FS Flächen- und<br />
Integralberechnungen<br />
12. Scharfunktion/Parameteraufgaben 2011 II Teil 2 2011 II Teil 2, 3., a)<br />
2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 2., e) und f)<br />
13. Anwendungsaufgaben: 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 3.<br />
Wachstums- und Zerfallsfunktionen, 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., f)<br />
Umkehrbarkeit, Änderungsraten 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 2.<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 1., c)<br />
2013 I Teil 2 2013 I Teil 2, 3.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 77
3 Abitur-Check ln-Funktionen<br />
3 Abitur-Check ln-Funktionen<br />
Was? Aufgaben Lösungen<br />
1. Definitionsmenge 2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 1., a)<br />
2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 1.<br />
2. Symmetrie zum Koordinatensystem Keine Abituraufgaben<br />
3. Nullstellen 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 3.<br />
2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 1.<br />
4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, 2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 1.<br />
Grenzwerte im Allgemeinen<br />
FS Grenzwerte ln-Funktion<br />
5. Asymptoten: senkrechte A., Keine Abituraufgaben<br />
waagrechte A. und schräge Asymptote<br />
6. 1. Ableitung: Keine Abituraufgaben<br />
Extremwertbestimmung/<br />
Monotonieverhalten<br />
7. 2. Ableitung: Keine Abituraufgaben<br />
Wendepunkt/Krümmungsverhalten<br />
8. Tangenten: 2012 II Teil 1 2012 II Teil 1, 3., b)<br />
Wendetangente/Tangente/Normale<br />
FS Schema Tangente<br />
und Normale<br />
9. Funktionstermbestimmung inkl. 2012 II Teil 1 2012 II Teil 1, 3., a)<br />
Verschiebung/Streckung/<br />
FS Schema Funktionstermbestimmung<br />
Stauchung/Spiegelung<br />
10. Newtonverfahren inkl. Anwendung Keine Abituraufgaben<br />
11. Stammfunktion/Integral- 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 2.<br />
und Flächenberechnung<br />
12. Anwendungsaufgaben Keine Abituraufgaben<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 78
4 Abitur-Check Ganzrationale(Polynom- ) Funktionen<br />
4 Abitur-Check<br />
Ganzrationale(Polynom- ) Funktionen<br />
Was? Aufgaben Lösungen<br />
1. Definitionsmenge Keine Abituraufgaben<br />
2. Symmetrie zum Koordinatensystem 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., b)<br />
3. Nullstellen Keine Abituraufgaben<br />
4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, Keine Abituraufgaben<br />
Grenzwerte im Allgemeinen<br />
5. 1. Ableitung: 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., b)<br />
Extremwertbestimmung/Monotonieverhalten 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., d)<br />
FS Extremwert/<br />
Mononieverhalten<br />
6. 2. Ableitung: 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 2., a)<br />
Wendepunkt/Krümmungsverhalten<br />
FS Wendepunkte<br />
und Krümmungsverhalten<br />
7. Tangenten: Wendetangente/Tangente/Normale Keine Abituraufgaben<br />
8. Funktionstermbestimmung inkl. 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., a)<br />
Verschiebung/Streckung/Stauchung/Spiegelung 2012 I Teil 2 2012 I Teil 2, 1., c)<br />
2013 I Teil 1, 2., a)<br />
9. Newtonverfahren inkl. Anwendung Keine Abituraufgaben<br />
10. Stammfunktion/ 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 1.<br />
Integral- und Flächenberechnung 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., e)<br />
2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 1., f)<br />
2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 2., b)<br />
11. Anwendungsaufgaben 2012 II Teil 2 2012 II Teil 2, 2., c)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 79
5 Abitur-Check Wurzelfunktionen<br />
5 Abitur-Check Wurzelfunktionen<br />
Was? Aufgaben Lösungen<br />
1. Definitionsmenge 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., a)<br />
2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 2.<br />
2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 1., a)<br />
2. Symmetrie zum Koordinatensystem Keine Abituraufgaben<br />
3. Nullstellen 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 1., a)<br />
4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, Keine Abituraufgaben<br />
Grenzwerte im Allgemeinen<br />
5. Asymptoten: senkrechte A., waagrechte A. Keine Abituraufgaben<br />
und schräge Asymptote<br />
6. 1. Ableitung: 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., c)<br />
Extremwertbestimmung/Monotonieverhalten<br />
FS Extremwerte/<br />
Montonierverhalten<br />
7. 2. Ableitung: Keine Abituraufgaben<br />
Wendepunkt/Krümmungsverhalten<br />
8. Tangenten: 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 1., b)<br />
Wendetangente/Tangente/Normale<br />
FS Schema Tangente/Normale<br />
9. Funktionstermbestimmung inkl. 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., a)<br />
Verschiebung/Streckung/Stauchung/Spiegelung<br />
FS Schema<br />
Funktionstermbestimmung<br />
10. Newtonverfahren inkl. Anwendung Keine Abituraufgaben<br />
11. Stammfunktion/ 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., e)<br />
Integral- und Flächenberechnung 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 2.<br />
FS Schema Stammfunktion<br />
12. Anwendungsaufgaben 2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., b)<br />
2011 I Teil 2 2011 I Teil 2, 1., d)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 80
6 Abitur-Check Trigonometrische Funktionen<br />
6 Abitur-Check Trigonometrische<br />
Funktionen<br />
Was? Aufgaben Lösungen<br />
1. Definitionsmenge Keine Abituraufgaben<br />
2. Symmetrie zum Koordinatensystem 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 3., b)<br />
3. Nullstellen 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 3., a)<br />
2012 I Teil 1, 3., a)<br />
4. Grenzwerte x → ∞ & x → −∞, 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 3., b)<br />
Grenzwerte im Allgemeinen<br />
5. Asymptoten: senkrechte A., waagrechte A. Keine Abituraufgaben<br />
und schräge Asymptote<br />
6. 1. Ableitung: 2011 II Teil 1 2011 II Teil 1, 3., c)<br />
Extremwertbestimmung/Monotonieverhalten<br />
7. 2. Ableitung: Wendepunkt/Krümmungsverhalten 2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 2.<br />
8. Tangenten: Wendetangente/Tangente/Normale Keine Abituraufgaben<br />
9. Funktionstermbestimmung inkl. 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 2., b)<br />
Verschiebung/Streckung/Stauchung/Spiegelung<br />
10. Newtonverfahren inkl. Anwendung Keine Abituraufgaben<br />
11. Stammfunktion/Integral- und Flächenberechnung 2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 4., a)<br />
2011 I Teil 1 2011 I Teil 1, 4., b)<br />
2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 3., b)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 81
7 Sonstige Analysis aus den G8 Abiturjahrgängen 2011-13<br />
7 Sonstige Analysis aus den G8<br />
Abiturjahrgängen 2011-13<br />
Was? Aufgaben Lösungen<br />
1. Ableitungsfunktion aus 2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 4.<br />
gegebener Funktion skizzieren<br />
2. Betragsfunktion bestimmen 2012 I Teil 1 2012 I Teil 1, 2., b)<br />
3. Zusammenhang Kreisfläche als 2013 II Teil 1 2013 II Teil 1, 4.,<br />
a) und b)<br />
Funktion mit Integralfunktion<br />
4. Stammfunktion aus gegebener Funktion skizzieren 2013 I Teil 1 2013 I Teil 1, 4.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 82
8 Abitur-Check„Analytische Geometrie“<br />
8 Abitur-Check„Analytische<br />
Geometrie“<br />
Was? Aufgaben Lösungen<br />
1. Geradengleichungen austellen 2013 II 2013 II, 2., c)<br />
inkl. Lotgeraden 2013 I 2013 I, g)<br />
2013 II 2013 II, 1., b)<br />
2. Schnittpunkt: Gerade/Gerade 2013 II 2013 II, 2., a)<br />
3. Schnittpunkt: Gerade/Ebene 2012 I 2012 I, 1., d)<br />
2012 I 2012 I, g)<br />
2013 II 2013 II, 1., c)<br />
4. Schnittpunkt: Lotgerade/Ebene 2012 I 2012 I, 1., f)<br />
5. Abstand: Punkt/Grade 2013 II 2013 II, 2., c)<br />
6. Abstand: Gerade/Ebene 2011 I 2011 I, 1., d)<br />
Parallelität/Hesseform<br />
7. Abstand: Punkt/Ebene 2012 I 2012 I, 2., b)<br />
2013 II 2013 II, 1., c)<br />
8. Minimaler und maximaler Abstand 2011 I 2011 I, 1., e)<br />
9. Abstand zweier Punkte: Länge 2011 II 2011 II, 1., a)<br />
2012 I 2012 I, 1., e),f)<br />
2013 I 2013 I, 1., a)<br />
2011 I 2011 I, 1., b)<br />
10. Winkel zwischen Geraden keine Abituraufgaben<br />
11. Winkel zwischen Ebenen 2011 I 2011 I, 1., a)<br />
2013 I 2013 I, 1., c)<br />
2013 II 2013 II, 1., e)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 83
8 Abitur-Check„Analytische Geometrie“<br />
12. Winkel zwischen Geraden/Ebene 2011 II 2011 II, 1., d)<br />
2012 I 2012 I, 1., d)<br />
13. Winkel zwischen Vektoren 2012 II 2012 II, 2., c)<br />
14. Ebene aufstellen 2011 I 2011 I, 1., a)<br />
(Abitur immer Normalenform) 2011 II 2011 II, 1., c)<br />
2012 I 2012 I, 1., a)<br />
2012 II 2012 II, 1., b)<br />
2013 I 2013 I, 1., b)<br />
2013 I 2013 I, 1., d)<br />
2013 II 2013 II, 1., b)<br />
15. Lage Gerade/Gerade keine Abituraufgaben<br />
16. Lage Ebene/Ebene 2012 II 2012 II, 1., a)<br />
17. Punkte mit Hilfe von 2012 I 2012 I, 1., b)<br />
Vektorrechnung bestimmen 2012 II 2012 II, 1., d)<br />
2013 I 2013 I, 1., a)<br />
2013 I 2013 I, 1., g)<br />
2013 II 2013 II, 1., a)<br />
2011 I 2011 I, 1., f)<br />
2011 II 2011 II, 1., b)<br />
18. Skalarprodukt: Orthogonalität 2011 I 2011 I, 1., b)<br />
2011 II 2011 II, 1., a)<br />
2011 II 2011 II, 1., b)<br />
2013 I 2013 I, 1., a)<br />
2013 II 2013 II, 2., c)<br />
19. Skalarprodukt: Parallelität 2011 I 2011 I, 1., d)<br />
20. Skalaraprodukt: Volumen Pyramide 2011 II 2011 II, 1., d)<br />
21. Skalarprodukt: Volumen Prismen 2011 II 2011 II, 2., a)<br />
22. Kreuzprodukt/Vektorprodukt: siehe 14., keine Abituraufgaben<br />
Bestimmung des Normalenvektors<br />
23. Kreuzprodukt: Volumen Pyramide 2011 II 2011 II, 1., d)<br />
24. Kreuzprodukt: Volumen Prismen 2012 II 2012 II, 1., a)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 84
8 Abitur-Check„Analytische Geometrie“<br />
25. Kugelgleichungen aufstellen, 2012 II 2012 II, 1., f)<br />
Radius und Mittelpunkt bestimmen, 2013 I 2013 I, 1., h)<br />
Lagen von Kugeln<br />
26. Volumen von Pyramiden, Kegeln, 2011 II 2011 II, 1., d),e)<br />
Prismen und Spate berechnen und herleiten 2012 II 2012 II, 1., e)<br />
2013 II 2013 II, 1., a)<br />
alle Pyramiden<br />
2011 II 2011 II, 1., f) Kegel<br />
2012 II 2012 II, 1., a) Prisma<br />
2012 II 2012 II, 1., d)<br />
2013 I 2013 I, 1., e) Spate<br />
27. Fläche berechnen: inbesondere 2011 I 2011 I, 1., b), c)<br />
Dreiecke, Vierecke und Kreise bzw. Kreisteile 2013 II 2013 II, 1., d)<br />
28. Mittel- und Schwerpunkt bestimmen 2012 I 2012 I, 1., e)<br />
2012 II 2012 II, 1., d)<br />
2013 II 2013 II, 1., d)<br />
29. Anwendungen: Verhältnisrechnung 2012 I 2012 I, 1., f)<br />
Zeichnen im R3 und Masse berechnen 2011 I 2011 I, 1., b)<br />
2011 I 2011 I, 1., f)<br />
2011 II 2011 II, 1., b)<br />
2012 II 2012 II, 1., a)<br />
2012 II 2012 II, 1., d), e)<br />
2013 I 2013 I, 1., f)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 85
9 Abitur-Check„Wahrscheinlichkeitsrechnung“<br />
9 Abitur-<br />
Check„Wahrscheinlichkeitsrechnung“<br />
Was? Aufgaben Lösungen<br />
1. Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe 2011 I 2011 I, 1., a),b),c)<br />
von Vierfeldertafeln oder Baum- 2011 II 2011 II, 3., a)<br />
diagrammen bestimmen und analysieren 2011 II 2011 II, 3., c)<br />
2012 I 2012 I, 1.<br />
2012 I 2012 I, 3., a),b)<br />
2012 I 2012 I, 3., e)<br />
2012 II 2012 II, 1., a),b)<br />
2012 I 2013 I 2., a),b),c);<br />
2012 I 2013 I 3., a)<br />
2012 II 2013 II, 1., a)<br />
2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen 2011 I 2011 I, 1., b)<br />
und in der Vierfeldertafel oder im 2011 II 2011 II, 3., b)<br />
Baumdiagramm verwerten 2012 I 2012 I 3., f)<br />
2012 II 2012 II, 1., a)<br />
2013 I 2013 I, 2., b)<br />
2013 II 2013 II, 1., b)<br />
3. Erwartungswert, Varianz und 2011 I 2011 I, 2., a)<br />
und Standardabweichung beim Zufallsexperiment 2012 I 2012 I, 3., b)<br />
2013 I 2013 I, 3., b)<br />
2013 II 2013 II, 3., b), c)<br />
4. Erwartungswert, Varianz und 2012 II 2012 II, 4.,c)<br />
und Standardabweichung bei einer<br />
binominalverteilten Zufallsgröße<br />
5. Formeln der Kombinatorik anwenden 2012 II 2012 II, 3., b)<br />
inkl. Fakultäten 2012 II 2012 II, 3., a)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 86
9 Abitur-Check„Wahrscheinlichkeitsrechnung“<br />
6. Urnenmodelle mit Zurücklegen 2012 I 2012 I, 2., a)<br />
2012 II 2012 II, 4., b)<br />
7. Urnenmodelle ohne Zurücklegen 2012 I 2012 I, 2., b)<br />
8. Binominalverteilung 2011 I 2011 I, 2., b)<br />
2011 II 2011 II, 1., b)<br />
2012 I 2012 I, 3., c)<br />
9. Drei-Mal-Mindestens Aufgaben oder 2011 I 2011 I, 2., b)<br />
leichte Abwandlungen davon 2012 I 2012 I, 3., d)<br />
2013 I 2013 I, 1., c)<br />
10. Benoullikette 2011 II 2011 II, 1., a)<br />
2013 I 2013 I, 1., b)<br />
11. Signifikanztest: 2011 II 2011 II, 4.<br />
Entscheidungsregel austellen 2011 II 2011 II, 2., a)<br />
2012 II 2012 II, 2.<br />
2013 II 2013 II, 2., a)<br />
12. Signifikanztest: Ergebnisse 2011 II 2011 II, 2., b)<br />
interpretieren, bewerten bzw. analysieren 2013 II 2013 II, 2., b)<br />
13. Unabhängigkeit beweisen bzw 2011 II 2011 II, 1., c)<br />
Wahrscheinlichkeiten mit gegebener<br />
Unabhängigkeit berechnen<br />
14. Berechnen von 2013 II 2013 II, 3., a)<br />
Wahrscheinlichkeitsverteilungen<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 87
10 Abituraufgaben 2011-2013<br />
10 Abituraufgaben 2011-2013<br />
Auf den folgenden Seiten finden sich die Abituraufgaben als Kopie(isb-Bayern).<br />
Die Verlinkungen führen jeweils direkt zu den Musterlösungen.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 88
10.1 G8 Abitur 2011 10.1 G8 Abitur 2011<br />
10.1 G8 Abitur 2011<br />
10.1.1 G8 Abitur 2011 Analysis I Teil 1<br />
Analysis<br />
Aufgabengruppe I<br />
BE Teil 1<br />
2x 3<br />
4 1 Gegeben ist die Funktion f : x mit maximaler Definitionsmenge D.<br />
4x 5<br />
Geben Sie D an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm<br />
für die Ableitung f' von f.<br />
1<br />
4<br />
2<br />
5 2 Zeigen Sie, dass F : x x (2lnx 1) mit Definitionsmenge IR eine<br />
Stammfunktion der in IR definierten Funktion f : x x lnx ist.<br />
Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von f, die in x 1 eine<br />
Nullstelle hat.<br />
5 3 Die Anzahl der auf der Erde lebenden Menschen wuchs von 6,1 Milliarden<br />
zu Beginn des Jahres 2000 auf 6,9 Milliarden zu Beginn des Jahres 2010.<br />
Dieses Wachstum lässt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunktion<br />
mit einem Term der Form N(x) N0<br />
e beschreiben, wobei N(x)<br />
k (x 2000)<br />
die Anzahl der Menschen zu Beginn des Jahres x ist.<br />
Bestimmen Sie N 0 und k.<br />
4 Betrachtet wird die Aussage<br />
π<br />
sin(2x)dx 0 .<br />
0<br />
3 a) Machen Sie ohne Rechnung anhand einer sorgfältigen Skizze plausibel,<br />
dass die Aussage wahr ist.<br />
3 b) Weisen Sie mithilfe einer Stammfunktion die Gültigkeit der Aussage durch<br />
Rechnung nach.<br />
20<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 89<br />
3
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.2 G8 Abitur 2011 Analysis I Teil 2<br />
10.1.2 G8 Abitur 2011 Analysis I Teil 2<br />
BE Teil 2<br />
1 Gegeben ist die Funktion f : x x 3<br />
mit Definitionsmenge D f . Abbildung 1<br />
zeigt den Graphen G f von f, einen<br />
beliebigen Punkt Q(x | f(x)) auf G f<br />
sowie den Punkt P(1,5 | 0) auf der<br />
x-Achse.<br />
Abb. 1<br />
2 a) Begründen Sie, dass D f [ 3; [ die maximale Definitionsmenge von f<br />
ist. Wie geht G f aus dem Graphen der in IR0<br />
definierten Funktion<br />
w : x x hervor?<br />
4 b) Zeigen Sie, dass für die Entfernung d(x) des Punkts Q(x | f(x)) vom<br />
Punkt P(1,5 | 0) gilt:<br />
2<br />
d(x) x 2x 5,25 .<br />
7 c) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts<br />
Q E(x E | y E), der von P den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie Q E in<br />
Abbildung 1 ein.<br />
(zur Kontrolle: x 1)<br />
5 d) Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke [PQ E] und die Tangente<br />
an G im Punkt Q senkrecht zueinander sind.<br />
f<br />
E<br />
6 e) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von G f , der x-Achse<br />
und der Strecke [PQ ] begrenzt wird.<br />
E<br />
2 Abbildung 2 zeigt den Graphen G g einer in IR \ {1} definierten gebrochenrationalen<br />
Funktion g mit folgenden Eigenschaften:<br />
Die Funktion g hat in x 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;<br />
<br />
G g verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die<br />
Gleichung y <br />
1<br />
x 1 gegeben ist;<br />
2<br />
die einzige Nullstelle von g ist x 1.<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
E<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
4<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 90
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.2 G8 Abitur 2011 Analysis I Teil 2<br />
Abb. 2<br />
6 a) Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der<br />
Ableitung g' von g an der Stelle x 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen<br />
durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.<br />
Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das<br />
Verhalten der Ableitung g' für x und x . Geben Sie dieses<br />
Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von g' in Abbildung 2.<br />
5 b) Die Funktion g hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III<br />
mit a IR \ {0} :<br />
I<br />
a<br />
y x 1 <br />
(x 1)<br />
2<br />
II y 1 a<br />
<br />
2<br />
x 1 III<br />
1 a<br />
y x 1 <br />
x 1<br />
(x 1)<br />
2 2<br />
Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der<br />
Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt.<br />
Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Bestimmen Sie den<br />
passenden Wert von a.<br />
5 c) Betrachtet wird nun die Funktion h mit h(x) lng(x)<br />
<br />
40<br />
. Geben Sie mithilfe<br />
des Verlaufs von G g die maximale Definitionsmenge D h von h, das Verhalten<br />
von h an den Grenzen von D h sowie einen Näherungswert für die<br />
Nullstelle von h an.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
5<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 91
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.3 G8 Abitur 2011 Analysis II Teil 1 & 2<br />
10.1.3 G8 Abitur 2011 Analysis II Teil 1 & 2<br />
Analysis<br />
Aufgabengruppe II<br />
BE Teil 1<br />
5 1 Skizzieren Sie den Graphen der in IR definierten Funktion f : x 4 x .<br />
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit der<br />
x-Achse einschließt.<br />
4 2 Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion f : x 3 x an und<br />
bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von f, deren Graph den<br />
Punkt (1| 4) enthält.<br />
3 Betrachtet wird die Funktion<br />
f : x<br />
3 a) Geben Sie die Nullstellen von f an.<br />
sin x<br />
2<br />
x<br />
mit Definitionsmenge IR \ {0} .<br />
3 b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und geben Sie<br />
den Grenzwert von f für x an.<br />
2 c) Bestimmen Sie den Term der Ableitung von f.<br />
3 4 Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge<br />
IR \ { 1} an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y 2 als<br />
Asymptote besitzt und in x 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.<br />
20<br />
2<br />
BE Teil 2<br />
0,5x<br />
1 Gegeben ist die in IR definierte Funktion f : x 6 e x . Der Graph<br />
von f wird mit G bezeichnet.<br />
f<br />
10 a) Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G f .<br />
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E(x E | y E) von G f .<br />
0,5x<br />
(zur Kontrolle: xE<br />
2 ln3 ; f ''( x ) 1,5 e )<br />
3 b) Geben Sie das Verhalten von f für x an. Machen Sie plausibel,<br />
dass G f für x die Gerade mit der Gleichung y x als schräge<br />
Asymptote besitzt.<br />
6 c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G f im Punkt (0 | 6) .<br />
Skizzieren Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein<br />
geeignet anzulegendes Koordinatensystem.<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
6<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 92
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.3 G8 Abitur 2011 Analysis II Teil 1 & 2<br />
2 Gegeben ist die in IR definierte<br />
0,5x<br />
Funktion h : x 6 e 1,5 .<br />
Die Abbildung zeigt den in IR<br />
streng monoton fallenden<br />
Graphen G h von h sowie dessen<br />
Asymptote, die durch die<br />
Gleichung y 1,5 gegeben ist.<br />
4 a) Beschreiben Sie, wie G h aus<br />
dem Graphen der in IR<br />
definierten natürlichen<br />
x<br />
Exponentialfunktion x e<br />
hervorgeht.<br />
Für x 0 beschreibt die Funktion h modellhaft die zeitliche Entwicklung des<br />
momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist x die seit dem<br />
Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und h(x) die momentane<br />
Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute.<br />
3 b) Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens<br />
von G sowie des Grenzwerts von h für x an.<br />
h<br />
6 c) Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das G h , die Koordinatenachsen<br />
und die Gerade mit der Gleichung x 5 einschließen. Interpretieren<br />
Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.<br />
0,5x<br />
mit a IR <br />
3 Gegeben ist die Schar der Funktionen f a : x 6 e a x<br />
Definitionsmenge IR.<br />
und<br />
5 a) Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die<br />
y-Achse im selben Punkt schneiden und in IR streng monoton fallend<br />
sind. Zeigen Sie, dass lim f (x) gilt.<br />
a<br />
x<br />
3 b) Aus den Ergebnissen der Aufgabe 3a ergibt sich, dass jede Funktion der<br />
Schar genau eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie für diese Nullstelle in<br />
Abhängigkeit von a einen Näherungswert x 1, indem Sie den ersten<br />
Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x0<br />
0 durchführen.<br />
40<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
7<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 93
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.4 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 1<br />
10.1.4 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 1<br />
BE<br />
Stochastik<br />
Aufgabengruppe I<br />
Ein Investor plant, in einer Gemeinde, die aus den Orten Oberberg und Niederberg<br />
besteht, eine Windkraftanlage zu errichten.<br />
1 Um sich einen Überblick darüber zu verschaffen, wie die Einwohner zu diesem<br />
Vorhaben stehen, beschließt der Gemeinderat, eine Umfrage unter den<br />
Wahlberechtigten der Gemeinde durchzuführen. In Niederberg werden 1722,<br />
in Oberberg 258 Einwohner befragt. 1089 aller Befragten äußern keine Einwände<br />
gegen die Windkraftanlage, darunter sind allerdings nur 27 Einwohner<br />
von Oberberg. Die übrigen befragten Personen sprechen sich gegen die<br />
Windkraftanlage aus.<br />
4 a) Bestimmen Sie jeweils den prozentualen Anteil der Gegner der Windkraftanlage<br />
unter den Befragten von Niederberg und unter den Befragten von<br />
Oberberg.<br />
Aus allen Befragten wird zufällig eine Person ausgewählt.<br />
4 b) Ermitteln Sie<br />
die Wahrscheinlichkeit p 1 dafür, dass die ausgewählte Person in<br />
Oberberg wohnt und sich gegen die Windkraftanlage aussprach.<br />
die Wahrscheinlichkeit p 2 dafür, dass die ausgewählte Person in<br />
Oberberg wohnt, wenn bekannt ist, dass sie sich gegen die<br />
Windkraftanlage aussprach.<br />
2 c) Begründen Sie, dass kein Ergebnis der Umfrage denkbar ist, bei dem<br />
p p ist.<br />
1 2<br />
Die Windkraftgegner schließen sich zu einer Bürgerinitiative zusammen.<br />
2 Zur Aufbesserung ihrer finanziellen Mittel hat die Bürgerinitiative<br />
auf dem Gemeindefest ein Glücksrad mit zehn<br />
gleich großen Sektoren aufgebaut (vgl. Abbildung). Ein<br />
Spiel besteht aus dem einmaligen Drehen des Glücksrads;<br />
die erzielte Zahl gibt die Kategorie des Preises an, den<br />
der Spieler erhält.<br />
4<br />
1<br />
2<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
4<br />
3<br />
3 4<br />
2<br />
3<br />
4<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
8<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 94
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.4 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 1<br />
5 a) Ein Preis der Kategorie 1 ist für die Bürgerinitiative mit Unkosten in Höhe<br />
von zehn Euro, ein Preis der Kategorie 2 mit Unkosten in Höhe von fünf<br />
Euro verbunden. Preise der Kategorien 3 und 4 werden von Sponsoren<br />
gestellt und verursachen keine Unkosten. Bestimmen Sie den im Mittel<br />
pro Spiel zu erwartenden Gewinn der Bürgerinitiative, wenn der Einsatz<br />
für ein Spiel 2,50 Euro beträgt und keine weiteren Unkosten anfallen.<br />
5 b) Zehn Besucher des Gemeindefests drehen nacheinander jeweils einmal<br />
das Glücksrad. Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term<br />
an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen lässt.<br />
A: „Nur die ersten fünf Preise entfallen auf die Kategorie 4.“<br />
B: „Genau die Hälfte der Preise entfällt auf die Kategorie 4.“<br />
C: „Die Preise verteilen sich jeweils zur Hälfte auf die Kategorien 1<br />
und 4.“<br />
5 3 Die Bürgerinitiative veranstaltet am viel besuchten Badesee der Gemeinde<br />
eine Unterschriftenaktion gegen die geplante Windkraftanlage.<br />
Berechnen Sie, wie hoch der Anteil p der Gegner der Windkraftanlage unter<br />
den Badegästen mindestens sein muss, damit sich unter zehn zufällig ausgewählten<br />
Badegästen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 %<br />
wenigstens ein Gegner der Windkraftanlage befindet.<br />
5 4 Aufgrund der vielfältigen Aktivitäten der Bürgerinitiative vermutet der Gemeinderat,<br />
dass inzwischen mindestens 55 % der Wahlberechtigten der Gemeinde<br />
gegen die Errichtung der Windkraftanlage sind. Um diese Vermutung<br />
zu testen, werden 200 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte der Gemeinde<br />
befragt. Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich<br />
lauten, wenn die Vermutung des Gemeinderats mit einer<br />
Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt werden soll?<br />
30<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
9<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 95
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.5 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 2<br />
10.1.5 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 2<br />
BE<br />
Stochastik<br />
Aufgabengruppe II<br />
1 Auf der Strecke München-Tokio bietet eine Fluggesellschaft ihren Passagieren<br />
verschiedene Menüs an, darunter ein vegetarisches. Aus Erfahrung<br />
weiß man, dass sich im Mittel 10 % der Passagiere für das vegetarische<br />
Menü entscheiden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die<br />
Passagiere ihre jeweilige Menüwahl unabhängig voneinander treffen.<br />
4 a) Auf einem Flug nach Tokio sind 200 Passagiere an Bord. Bestimmen Sie<br />
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens 20 und höchstens 25<br />
Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden.<br />
Auf dem Rückflug nach München ist die Maschine mit 240 Passagieren besetzt.<br />
3 b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich auf dem Rückflug<br />
genau 20 Passagiere für das vegetarische Menü entscheiden.<br />
4 c) Tatsächlich entscheiden sich auf dem Rückflug sechs weibliche und<br />
vierzehn männliche Reisende für das vegetarische Menü. Ermitteln Sie,<br />
wie viele weibliche Reisende unter den Passagieren sind, wenn die<br />
Ereignisse „Ein zufällig ausgewählter Passagier ist weiblich.“ und „Ein<br />
zufällig ausgewählter Passagier entscheidet sich für das vegetarische<br />
Menü.“ unabhängig sind.<br />
2 Die Fluggesellschaft beabsichtigt, ihren Passagieren neben dem Standardmenü<br />
gegen Zuzahlung ein Premiummenü anzubieten, möchte diesen Service<br />
jedoch nur dann einrichten, wenn er von mehr als 15 % der Passagiere<br />
gewünscht wird. Die Nullhypothese „Höchstens 15 % der Passagiere wünschen<br />
das Angebot eines Premiummenüs.“ soll auf der Basis einer Stichprobe<br />
von 200 Passagieren auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet<br />
werden.<br />
5 a) Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.<br />
3 b) Die Fluggesellschaft hätte für den Test – bei gleichem Signifikanzniveau –<br />
anstelle der Nullhypothese<br />
„Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines<br />
Premiummenüs.“<br />
auch die Nullhypothese<br />
„Mehr als 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines<br />
Premiummenüs.“<br />
wählen können. Bei der Wahl der Nullhypothese stand für die Fluggesell-<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
10<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
Seite 96
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.5 G8 Abitur 2011 Stochastik Teil 2<br />
schaft eine der beiden folgenden Überlegungen im Vordergrund:<br />
Der irrtümliche Verzicht auf das Angebot des Premiummenüs wäre mit<br />
einem Imageverlust verbunden.<br />
Das irrtümliche Angebot des Premiummenüs wäre mit einem<br />
finanziellen Verlust verbunden.<br />
Entscheiden Sie, welche der beiden Überlegungen für die Fluggesellschaft<br />
bei der Wahl der Nullhypothese im Vordergrund stand. Erläutern<br />
Sie Ihre Entscheidung.<br />
3 Bei einer Routineinspektion wird die Passagierkabine eines zufällig ausgewählten<br />
Flugzeugs des Typs X überprüft. Ein Mangel der Beleuchtung sowie<br />
ein Mangel der Klimaanlage liegen bei Flugzeugen dieses Typs jeweils mit<br />
einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vor; diese Wahrscheinlichkeiten können<br />
der folgenden Vierfeldertafel entnommen werden.<br />
K K<br />
B x 0,05<br />
B 0,04<br />
0,06 1<br />
B : Beleuchtung einwandfrei<br />
B : Beleuchtung mangelhaft<br />
K : Klimaanlage einwandfrei<br />
K : Klimaanlage mangelhaft<br />
3 a) Bestimmen Sie den Wert von x und beschreiben Sie das zugehörige<br />
Ereignis in Worten.<br />
3 b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt bei dem zufällig ausgewählten<br />
Flugzeug des Typs X ein Mangel der Klimaanlage vor, wenn die<br />
Beleuchtung nicht einwandfrei funktioniert?<br />
5 c) Bei Flugzeugen eines anderen Typs Y liegt ein Mangel der Klimaanlage<br />
mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % vor. Die Wahrscheinlichkeit dafür,<br />
dass mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, beträgt 5 %. Wenn<br />
mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, so funktioniert mit einer<br />
Wahrscheinlichkeit von 40 % die Beleuchtung nicht einwandfrei. Stellen<br />
Sie zu der für Flugzeuge des Typs Y beschriebenen Situation eine vollständig<br />
ausgefüllte Vierfeldertafel auf.<br />
30<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
11<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 97
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.6 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 1<br />
10.1.6 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 1<br />
BE<br />
Geometrie<br />
Aufgabengruppe I<br />
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0 | 60 | 0),<br />
B( 80 | 60 | 60) und C( 80 | 0 | 60) gegeben.<br />
8 a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, die durch die Punkte A, B und<br />
C bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem<br />
hat E? Berechnen Sie die Größe des Winkels φ, unter dem E<br />
die xx 1 2-Ebene schneidet.<br />
(mögliche Teilergebnisse: E : 3x14x 3 0 ; φ 36,9 )<br />
6 b) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung O mit den<br />
Punkten A, B und C ein Rechteck OABC festlegt. Bestätigen<br />
Sie, dass dieses Rechteck den Flächeninhalt 6000 besitzt, und<br />
zeichnen Sie es in ein Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein.<br />
x 1<br />
x 2<br />
Das Rechteck OABC ist das Modell eines steilen Hanggrundstücks; die positive<br />
x1-Achse beschreibt die südliche, die positive x2-Achse die östliche Himmelsrichtung<br />
(im Koordinatensystem: 1 LE entspricht 1 m, d. h. die Länge des<br />
Grundstücks in West-Ost-Richtung beträgt 60 m.).<br />
3 c) Obwohl das Rechteck OABC den Flächeninhalt 6000 besitzt, ist das<br />
Hanggrundstück auf einer Landkarte des Grundbuchamts mit einer Größe<br />
von 4800 m 2 verzeichnet. Stellen Sie ausgehend von der Zeichnung aus<br />
Aufgabe b eine Vermutung an, welche sinnvolle Regelung das Grundbuchamt<br />
damit bei der Festlegung der Grundstücksgröße umsetzt.<br />
Bestätigen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung.<br />
Ein Hubschrauber überfliegt das Grundstück entlang einer Linie, die im Modell<br />
20 4 <br />
<br />
durch die Gerade g : X 40 λ 5 , λ IR<br />
, beschrieben wird.<br />
40 3<br />
<br />
3 d) Weisen Sie nach, dass der Hubschrauber mit einem konstanten Abstand<br />
von 20 m zum Hang fliegt.<br />
5 e) Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers<br />
vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell<br />
durch den Punkt M( 40 | 30 | 30) dargestellt wird.<br />
x 3<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
12<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 98
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.6 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 1<br />
Im Mittelpunkt des Grundstücks wird ein Mast errichtet, der durch vier an seiner<br />
Spitze befestigte Seile gehalten wird. Die Verankerungspunkte der Seile im<br />
Grundstücksboden sind jeweils 15 m vom Mastfußpunkt entfernt und liegen<br />
von diesem aus genau in östlicher, nördlicher, westlicher und südlicher Richtung.<br />
5 f) Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des östlichen und nördlichen<br />
Verankerungspunkts V O bzw. V N .<br />
30<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
13<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 99
10.1 G8 Abitur 2011 10.1.7 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 2<br />
10.1.7 G8 Abitur 2011 Geometrie Teil 2<br />
BE<br />
Geometrie<br />
Aufgabengruppe II<br />
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1| 7 | 3),<br />
B(6 | 7 |1) und C( 2 |1| 3) gegeben.<br />
4 a) Weisen Sie nach, dass die Punkte A, B und C ein rechtwinkliges Dreieck<br />
festlegen, dessen Hypotenuse die Strecke [AB] ist und dessen kürzere<br />
Kathete die Länge 9 hat.<br />
6 b) Alle Punkte C* im Raum, die zusammen mit A und B ein zum Dreieck<br />
ABC kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise.<br />
Beschreiben Sie (z. B. durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise<br />
bezüglich der Strecke [AB] und ermitteln Sie den Radius der beiden<br />
Kreise.<br />
Das Dreieck ABC aus Aufgabe a ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide<br />
ABCS mit der Spitze S(11,5 | 4 | 6) .<br />
3 c) Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene E. Ermitteln Sie eine<br />
Gleichung von E in Normalenform.<br />
(mögliches Ergebnis: E : 2x1 x2 2x3<br />
3 0 )<br />
7 d) Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante [BS]<br />
gegen die Ebene E sowie das Volumen V der Pyramide.<br />
(Teilergebnis: V 216 )<br />
3 e) Welche Lagebeziehung muss eine Gerade zur Ebene E haben, wenn für<br />
jeden Punkt P dieser Geraden die Pyramide ABCP das gleiche Volumen<br />
wie die Pyramide ABCS besitzen soll? Begründen Sie Ihre Antwort.<br />
7 f) Der Umkreis des Dreiecks ABC und der Punkt S legen einen Kegel fest.<br />
Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt<br />
des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist.<br />
Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist<br />
als das Volumen der Pyramide ABCS.<br />
30<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
14<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 100
10.2 G8 Abitur 2012 10.2 G8 Abitur 2012<br />
10.2 G8 Abitur 2012<br />
10.2.1 G8 Abitur 2012 Analysis I Teil 1<br />
Analysis<br />
Aufgabengruppe I<br />
BE Teil 1<br />
1 Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich<br />
sowie einen Term der Ableitungsfunktion an.<br />
2 a) f x lnx 3<br />
gx<br />
3<br />
<br />
x 1<br />
3 b) <br />
2<br />
2 Geben Sie jeweils den Term einer in IR definierten Funktion an, die die<br />
angegebene Eigenschaft besitzt.<br />
2 a) Der Graph der Funktion f hat den Hochpunkt 0 | 5 .<br />
2 b) Die Funktion g ist an der Stelle x 5 nicht differenzierbar.<br />
3 Gegeben ist die in IR definierte Funktion f : x sin2x .<br />
2 a) Geben Sie zwei benachbarte Nullstellen von f an.<br />
2<br />
5 b) Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals <br />
f x dx .<br />
Warum stimmt der Wert dieses Integrals nicht mit dem Inhalt der Fläche<br />
überein, die für 0 x 2 zwischen dem Graphen von f und der x-Achse<br />
liegt?<br />
4 4 Abbildung 1 zeigt den Graphen G f einer in<br />
;5<br />
definierten Funktion f.<br />
Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen<br />
der zugehörigen Ableitungsfunktion f. Berücksichtigen<br />
Sie dabei insbesondere einen<br />
Näherungswert für f<br />
0<br />
, die Nullstelle von f<br />
und das Verhalten von f für x 5.<br />
0<br />
20 Abb. 1<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 101<br />
3
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.2 G8 Abitur 2012 Analysis I Teil 2<br />
10.2.2 G8 Abitur 2012 Analysis I Teil 2<br />
BE Teil 2<br />
Gegeben ist die Funktion<br />
zeigt den Graphen<br />
f : x<br />
G f von f.<br />
2e<br />
x<br />
x<br />
e 9<br />
mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2<br />
Abb. 2<br />
2 1 a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt,<br />
und geben Sie die Koordinaten von S an.<br />
2 b) Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms von f, dass <br />
<br />
lim f x 2 gilt.<br />
x<br />
lim f x 0 und<br />
x<br />
3 c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass G f in IR streng monoton steigt.<br />
18e<br />
(zur Kontrolle: f ( x ) <br />
(e 9)<br />
x<br />
x 2<br />
2 d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G f im Achsenschnittpunkt<br />
S.<br />
(Ergebnis: y 0,18x 0,2 )<br />
4 e) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die G f mit den Koordinatenachsen<br />
und der Geraden x 4 einschließt.<br />
6 f) Begründen Sie, dass f in IR umkehrbar ist. Geben Sie den Definitionsbereich<br />
und den Wertebereich der Umkehrfunktion f an und zeichnen Sie<br />
1<br />
1<br />
den Graphen von in Abbildung 2 ein.<br />
f <br />
)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
4<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
Seite 102
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.2 G8 Abitur 2012 Analysis I Teil 2<br />
2 Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mithilfe<br />
der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen<br />
nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert fx<br />
<br />
für x 0;4<br />
im Modell die Höhe der Blume in Metern. Dabei ist x die seit<br />
Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. In den Aufgaben 2a bis<br />
2d werden ausschließlich Sonnenblumen der Sorte Alba betrachtet.<br />
2 a) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, um wie viele Zentimeter<br />
eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobachtungsbeginn<br />
wächst.<br />
5 b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach<br />
Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht.<br />
Beschreiben Sie, wie man den berechneten Wert graphisch überprüfen<br />
kann.<br />
5 c) Im Modell gibt es einen Zeitpunkt x M, zu dem die Blumen am schnellsten<br />
wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert<br />
für x M. Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maximale<br />
Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag.<br />
4 d) Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobachtungsbeginn<br />
näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Aufgabe<br />
1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob<br />
diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom Zeitpunkt des Auskeimens<br />
bis zum Beobachtungsbeginn etwa zwei Wochen vergehen.<br />
Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die gleiche<br />
Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die<br />
Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba<br />
jede Höhe in der Hälfte der Zeit.<br />
Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft<br />
mithilfe einer in IR definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktionsgleichung<br />
der Form I, II oder III mit k IR besitzt:<br />
I<br />
x+k<br />
2e<br />
y <br />
x+k<br />
e 9<br />
II<br />
x<br />
y 2e<br />
k <br />
e x<br />
9<br />
5<br />
III<br />
kx<br />
2e<br />
y <br />
kx<br />
e 9<br />
Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten und<br />
y ein Näherungswert für die Höhe einer Blume in Metern.<br />
4 e) Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der<br />
Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt.<br />
1 f) Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Geben Sie den passenden<br />
Wert von k an.<br />
40<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 103
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.3 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 1<br />
10.2.3 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 1<br />
Analysis<br />
Aufgabengruppe II<br />
BE Teil 1<br />
2x 3<br />
3 1 Gegeben ist die Funktion f : x<br />
mit maximaler Definitionsmenge<br />
D. Bestimmen Sie D sowie die Nullstelle von<br />
2<br />
x 4x 3<br />
f.<br />
2 Gegeben ist die in IR definierte Funktion<br />
g : x x e 2x .<br />
5 a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine<br />
waagrechte Tangente hat.<br />
2 b) Geben Sie das Verhalten von g für x und x an.<br />
3 Betrachtet wird die in IR definierte Funktion h : x lnx 3 .<br />
2 a) Geben Sie an, wie der Graph von h schrittweise aus dem Graphen der<br />
in IR definierten Funktion x lnx hervorgeht.<br />
4 b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von h im<br />
Punkt 1| h 1 .<br />
<br />
<br />
1 4 a) Warum hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle?<br />
3 b) Geben Sie den Term einer in IR definierten Funktion f an, sodass die<br />
20<br />
in IR definierte Integralfunktion<br />
F : x<br />
x<br />
1<br />
besitzt. Geben Sie die Nullstellen von F an.<br />
<br />
f t dt genau zwei Nullstellen<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
7<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 104
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.4 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 2<br />
10.2.4 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 2<br />
BE Teil 2<br />
1 An einer Wand im Innenhof der von Antoni Gaudi<br />
gestalteten Casa Batlló in Barcelona findet man ein<br />
Keramikkunstwerk (vgl. Abbildung 1).<br />
Der annähernd parabelförmige obere Rand des<br />
Kunstwerks soll durch den Graphen einer ganzrationalen<br />
Funktion modellhaft dargestellt werden.<br />
Auf dem Graphen sollen bei Verwendung des eingezeichneten<br />
Koordinatensystems die Punkte<br />
A 2 | 0, B2 | 0 und C0 | 5 liegen (1 LE entspricht<br />
1 m, d. h. das Kunstwerk ist 5 m hoch).<br />
3 a) Ermitteln Sie den Term einer in IR definierten quadratischen Funktion p,<br />
deren Graph durch die Punkte A, B und C verläuft.<br />
Abb. 1<br />
2<br />
(zur Kontrolle: p( x ) 1,25x 5 )<br />
Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert<br />
der Graph der in IR definierten ganzrationalen Funktion q vierten Grades mit<br />
4 2<br />
qx 0,11x 0,81x 5 . Der Graph von q wird mit G q bezeichnet.<br />
7 b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass G q symmetrisch bezüglich der<br />
y-Achse ist, durch die Punkte A und B verläuft und genau einen Extrempunkt<br />
besitzt.<br />
Abbildung 2 zeigt die Graphen von p und q.<br />
2 c) Welcher der beiden dargestellten Graphen<br />
ist G ? Begründen Sie Ihre Antwort.<br />
q<br />
5 d) Im Intervall 0;2 gibt es eine Stelle x 0 , an<br />
der der Wert der Differenz dx qx px<br />
maximal wird. Berechnen Sie x 0 sowie den<br />
Wert der zugehörigen Differenz.<br />
4 e) Berechnen Sie mithilfe der Funktion q einen<br />
Näherungswert für den Flächeninhalt A des<br />
vom Kunstwerk eingenommenen Teils der<br />
Wand. Abb. 2<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
8<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 105
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.4 G8 Abitur 2012 Analysis II Teil 2<br />
4 f) Die Gerade mit der Gleichung y 1,1 teilt im Modell den vom Kunstwerk<br />
eingenommenen Teil der Wand in zwei unterschiedlich gestaltete Bereiche.<br />
Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Funktion q das Verhältnis der<br />
Flächeninhalte dieser beiden Bereiche näherungsweise bestimmen kann.<br />
Geben Sie dazu geeignete Ansätze an und kommentieren Sie diese.<br />
2 Unter dem Wasserdurchfluss eines Bachs an einer bestimmten Stelle versteht<br />
man das Volumen des Wassers, das an dieser Stelle in einer bestimmten<br />
Zeit vorbeifließt. Die Funktion f beschreibt die zeitliche Entwicklung des<br />
Wasserdurchflusses eines Bachs an einer Messstelle, nachdem zum Zeitpunkt<br />
t 0 eine bachaufwärts gelegene Schleuse geöffnet wurde. Abbildung<br />
3 zeigt den Graphen G von f.<br />
f<br />
Abb. 3<br />
5 a) Entnehmen Sie Abbildung 3 im Bereich t 1 Näherungswerte für die Koordinaten<br />
des Hochpunkts sowie für die t-Koordinaten der beiden Wendepunkte<br />
von G f und geben Sie unter Berücksichtigung dieser Näherungswerte<br />
die jeweilige Bedeutung der genannten Punkte im Sachzusammenhang<br />
an.<br />
4<br />
5 b) Bestimmen Sie <br />
f t dt näherungsweise mithilfe von Abbildung 3. Deuten<br />
1<br />
Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.<br />
5 c) Bestimmen Sie mithilfe von G f für t 4 und t 3 jeweils einen Näherungswert<br />
für die mittlere Änderungsrate von f im Zeitintervall 2;t . Veranschaulichen<br />
Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 3 durch geeignete Steigungsdreiecke.<br />
Welche Bedeutung hat der Grenzwert der mittleren Änderungsraten<br />
für t 2 im Sachzusammenhang?<br />
40<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
9<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 106
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.5 G8 Abitur 2012 Stochastik Teil 1<br />
10.2.5 G8 Abitur 2012 Stochastik Teil 1<br />
BE<br />
Stochastik<br />
Aufgabengruppe I<br />
Für eine Quizshow sucht ein Fernsehsender Abiturientinnen und Abiturienten<br />
als Kandidaten. Jeder Bewerber gibt in einem online auszufüllenden Formular<br />
die Durchschnittsnote seines Abiturzeugnisses an.<br />
4 1 Insgesamt bewerben sich dreimal so viele weibliche wie männliche Personen,<br />
wobei 80 % der weiblichen und 75 % der männlichen Bewerber eine<br />
Durchschnittsnote von 1,5 oder besser angeben. Bestimmen Sie den Anteil<br />
der Personen unter allen Bewerbern, die eine schlechtere Durchschnittsnote<br />
als 1,5 angeben.<br />
2 Aus dem Bewerberfeld werden zwanzig weibliche und zehn männliche Personen<br />
zu einem Casting eingeladen, das in zwei Gruppen durchgeführt wird.<br />
Fünfzehn der Eingeladenen werden für die erste Gruppe zufällig ausgewählt.<br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für die erste Gruppe zehn weibliche<br />
und fünf männliche Personen ausgewählt werden, wird mit p bezeichnet.<br />
2 a) Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass p nicht durch den<br />
Term<br />
5 10<br />
15 1 2<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
beschrieben wird.<br />
4 b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit p mithilfe eines geeigneten Terms.<br />
Nach dem Casting stehen die zehn Kandidaten der Quizshow fest.<br />
3 Im Rahmen der Show müssen Aufgaben aus verschiedenen Fachgebieten<br />
gelöst werden. Die Anzahl der von einem Kandidaten zu lösenden Aufgaben<br />
aus dem Fachgebiet Mathematik ist gleich der Augensumme, die von ihm<br />
bei einmaligem Werfen zweier Würfel erzielt wird. Die beiden Würfel tragen<br />
jeweils auf zwei Seitenflächen die Augenzahl 0, auf drei Seitenflächen die<br />
Augenzahl 1 und auf einer Seitenfläche die Augenzahl 2.<br />
4 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Kandidat<br />
genau zwei Aufgaben aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
10<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 107
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.5 G8 Abitur 2012 Stochastik Teil 1<br />
3 b) Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der von einem Kandidaten zu<br />
lösenden Aufgaben aus dem Fachgebiet Mathematik. Der Tabelle kann<br />
die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X entnommen werden. Ermitteln<br />
Sie den fehlenden Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie den<br />
Erwartungswert von X.<br />
<br />
x 0 1 2 3 4<br />
P X x<br />
1<br />
<br />
9<br />
2 c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der zehn<br />
Kandidaten keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.<br />
4 d) Bestimmen Sie, wie viele Kandidaten an der Quizshow mindestens teilnehmen<br />
müssten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 %<br />
wenigstens ein Kandidat darunter ist, der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet<br />
Mathematik lösen muss.<br />
1<br />
3<br />
Für eine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik kommen zwei Kuverts<br />
zum Einsatz, die jeweils fünf Spielkarten enthalten. Es ist bekannt, dass das<br />
eine Kuvert genau zwei und das andere genau drei rote Spielkarten enthält.<br />
Der Showmaster wählt, jeweils zufällig, ein Kuvert und aus diesem zwei Karten<br />
aus.<br />
4 e) Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die<br />
beiden ausgewählten Karten rot sind, 20 % beträgt.<br />
3 f) Der Showmaster zeigt die beiden ausgewählten Karten; sie sind tatsächlich<br />
rot. Der Kandidat wird nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt,<br />
dass die beiden Karten aus dem Kuvert mit den drei roten Karten stammen.<br />
Bestimmen Sie diese Wahrscheinlichkeit.<br />
30<br />
13<br />
36<br />
1<br />
36<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
11<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 108
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.6 G8 Abitur 2012 Stochastik Teil 2<br />
10.2.6 G8 Abitur 2012 Stochastik Teil 2<br />
BE<br />
Stochastik<br />
Aufgabengruppe II<br />
1 Nachdem die Verfilmung eines bekannten Romans erfolgreich in den Kinos<br />
gezeigt wurde, veröffentlicht eine Tageszeitung das Ergebnis einer repräsentativen<br />
Umfrage unter Jugendlichen. Der Umfrage zufolge hatten 88 %<br />
der befragten Jugendlichen den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch<br />
nicht gelesen, 18 % sahen die Verfilmung. Von den Befragten, die laut Umfrage<br />
den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen hatten, gaben<br />
60 % an, die Verfilmung gesehen zu haben.<br />
Betrachtet werden folgende Ereignisse:<br />
R: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hatte laut Umfrage<br />
den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen.“<br />
V: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person sah laut Umfrage<br />
die Verfilmung.“<br />
5 a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den Befragten<br />
zufällig ausgewählte Person, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt<br />
des Kinostarts noch nicht gelesen hatte, angab, die Verfilmung gesehen<br />
zu haben.<br />
4 b) Beschreiben Sie das Ereignis R V im Sachzusammenhang und bestimmen<br />
Sie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.<br />
5 2 Ein Jahr später möchte die Tageszeitung ermitteln, ob sich durch die Verfilmung<br />
der Anteil p der Jugendlichen, die den Roman gelesen haben, wesentlich<br />
erhöht hat. Die Nullhypothese H 0 : p 0,15 soll mithilfe einer Stichprobe<br />
von 100 Jugendlichen auf einem Signifikanzniveau von 10 % getestet<br />
werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
12<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 109
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.6 G8 Abitur 2012 Stochastik Teil 2<br />
Der Kurs Theater und Film eines Gymnasiums führt die Bühnenversion des<br />
Romans auf.<br />
4 3 Für die Premiere wird die Aula der Schule bestuhlt; in der ersten Reihe werden<br />
acht Plätze für Ehrengäste reserviert. Bestimmen Sie die Anzahl der<br />
Möglichkeiten, die die fünf erschienenen Ehrengäste haben, sich auf die reservierten<br />
Plätze zu verteilen, wenn<br />
α) die Personen nicht unterschieden werden;<br />
β) die Personen unterschieden werden.<br />
Nennen Sie im Sachzusammenhang einen möglichen Grund dafür, dass die<br />
möglichen Anordnungen der Ehrengäste auf den reservierten Plätzen nicht<br />
gleichwahrscheinlich sind – unabhängig davon, ob die Personen unterschieden<br />
werden oder nicht.<br />
4 Bei jeder Aufführung wird der Vorhang 15-mal geschlossen; dafür ist ein<br />
automatischer Mechanismus vorgesehen. Erfahrungsgemäß funktioniert der<br />
Mechanismus bei jedem Schließen des Vorhangs mit einer Wahrscheinlichkeit<br />
von 90 %. Nur dann, wenn der Mechanismus nicht funktioniert, wird der<br />
Vorhang von Hand zugezogen.<br />
5 a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:<br />
A: „Bei einer Aufführung wird der Vorhang kein einziges Mal von Hand<br />
zugezogen.“<br />
B: „Bei einer Aufführung lässt sich der Vorhang zunächst viermal automatisch<br />
schließen, insgesamt wird der Vorhang jedoch genau zweimal<br />
von Hand zugezogen.“<br />
2 b) Beschreiben Sie ein Urnenexperiment, mit dem sich das Verhalten des<br />
Mechanismus bei 15-maligem Schließen des Vorhangs simulieren lässt.<br />
5 c) Die Zufallsgröße X beschreibt, wie oft der Mechanismus beim Schließen<br />
des Vorhangs im Verlauf einer Aufführung nicht funktioniert. Bestimmen<br />
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von X um mehr als eine<br />
Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.<br />
30<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
13<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 110
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.7 G8 Abitur 2012 Geometrie Teil 1<br />
10.2.7 G8 Abitur 2012 Geometrie Teil 1<br />
BE<br />
Geometrie<br />
Aufgabengruppe I<br />
Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas.<br />
Der Boden und zwei der Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen.<br />
Das Rechteck ABCD liegt in einer Ebene E und stellt den geneigten Teil der<br />
Deckenfläche dar.<br />
4 a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.<br />
Abb. 1<br />
(mögliches Ergebnis: E : x2 2x3<br />
8 0 )<br />
2 b) Berechnen Sie den Abstand des Punkts R von der Ebene E.<br />
Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d. h. das Zimmer ist<br />
an seiner höchsten Stelle 3 m hoch.<br />
G 2 | 4 | 2 hat die Breite GL 1. Es liegt in der Ebene<br />
E, die Punkte H und K liegen auf der Geraden CD. Das Rechteck stellt im<br />
Modell ein Dachflächenfenster dar; die Breite des Fensterrahmens soll vernachlässigt<br />
werden.<br />
Das Rechteck GHKL mit <br />
5 c) Geben Sie die Koordinaten der Punkte L, H und K an und bestimmen Sie<br />
den Flächeninhalt des Fensters.<br />
(zur Kontrolle: GH 5 )<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
14<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 111
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.7 G8 Abitur 2012 Geometrie Teil 1<br />
6 d) Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch<br />
2<br />
<br />
parallele Geraden mit dem Richtungsvektor v <br />
8<br />
repräsentiert. Eine<br />
1<br />
<br />
dieser Geraden verläuft durch den Punkt G und schneidet die Seitenwand<br />
OPQR im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S sowie die<br />
Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand OPQR einschließt.<br />
4 e) Das Fenster ist drehbar um eine Achse, die im Modell durch die Mittelpunkte<br />
der Strecken GH und LK verläuft. Die Unterkante des Fensters<br />
schwenkt dabei in das Zimmer; das Drehgelenk erlaubt eine zum<br />
Boden senkrechte Stellung der Fensterfläche.<br />
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke GH und<br />
bestätigen Sie rechnerisch, dass das Fenster bei seiner Drehung den<br />
Boden nicht berühren kann.<br />
(Teilergebnis: M(2 | 5 |1,5 ))<br />
Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht<br />
mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine<br />
0 1<br />
<br />
vordere Oberkante liegt im Modell auf der Geraden k : X 5,5 λ<br />
0<br />
, λ IR .<br />
0,4 0<br />
<br />
Abb. 2<br />
4 f) Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite b des Möbelstücks möglichst<br />
genau.<br />
Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden k die Tiefe t des<br />
Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen.<br />
5 g) Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am<br />
Möbelstück anstoßen kann.<br />
30<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
15<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 112
10.2 G8 Abitur 2012 10.2.8 G8 Abitur 2012 Geometrie Teil 2<br />
10.2.8 G8 Abitur 2012 Geometrie Teil 2<br />
BE<br />
Geometrie<br />
Aufgabengruppe II<br />
A 10 | 2 | 0 ,<br />
T 2 | 4 | 3 gegeben.<br />
Der Körper ABCRST ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grundfläche<br />
ABC, der Deckfläche RST und rechteckigen Seitenflächen.<br />
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <br />
B10 | 8 | 0 , C10 | 4 | 3 , R2 | 2 | 0 , S2 | 8 | 0 und <br />
6 a) Zeichnen Sie das Prisma in ein kartesisches Koordinatensystem<br />
(vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lage im Koordinatensystem<br />
hat die Grundfläche ABC? Berechnen Sie das<br />
Volumen des Prismas.<br />
4 b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche BSTC<br />
liegt, in Normalenform.<br />
(mögliches Ergebnis: E : 3x2 4x3<br />
24 0 )<br />
3 c) Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenkanten<br />
CA und CB einschließen.<br />
3 d) Die Ebene F enthält die Gerade CT und zerlegt das Prisma in zwei volumengleiche<br />
Teilkörper. Wählen Sie einen Punkt P so, dass er gemeinsam<br />
mit den Punkten C und T die Ebene F festlegt; begründen Sie Ihre Wahl.<br />
Tragen Sie die Schnittfigur von F mit dem Prisma in Ihre Zeichnung ein.<br />
3 e) Die Punkte A, B und T legen die Ebene H fest; diese zerlegt das Prisma<br />
ebenfalls in zwei Teilkörper. Beschreiben Sie die Form eines der beiden<br />
Teilkörper. Begründen Sie, dass die beiden Teilkörper nicht volumengleich<br />
sind.<br />
Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die<br />
xx 1 2-Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt M5 | 6,5 | 3 <br />
ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche BSTC im Punkt W berührt.<br />
6 f) Berechnen Sie den Radius r der Kugel sowie die Koordinaten von W.<br />
(Teilergebnis:<br />
r 1,5 )<br />
5 g) Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinab. Im Modell bewegt sich der<br />
Kugelmittelpunkt vom Punkt M aus parallel zur Kante CB<br />
auf einer Geraden<br />
g. Geben Sie eine Gleichung von g an und berechnen Sie im Modell<br />
die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die<br />
Kugel die xx 1 2-Ebene berührt.<br />
30<br />
x 3<br />
x 1<br />
x 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
16<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 113
10.3 G8 Abitur 2013 10.3 G8 Abitur 2013<br />
10.3 G8 Abitur 2013<br />
10.3.1 G8 Abitur 2013 Analysis I Teil 1<br />
Analysiss<br />
Aufgabengruppe I<br />
BE<br />
3<br />
4<br />
2<br />
2<br />
3<br />
6<br />
1 Gegeben ist die Funktion g:x <br />
menge D.<br />
a) Bestimmen<br />
Sie D und geben Sie die Nullstelle von v g an.<br />
mit maximaler Definitions-<br />
b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an denn Graphen von g im<br />
Punkt<br />
P0| 3 .<br />
<br />
2 Geben Sie jeweils den Term einer in IR definierten<br />
Funktion an, die die angegebene<br />
Wertemengee W hat.<br />
<br />
<br />
a) W 2; <br />
b) W 2;2<br />
<br />
<br />
<br />
3 Geben Sie für x IR die Lösungen der folgenden<br />
Gleichung an:<br />
x<br />
<br />
1<br />
<br />
ln x 1<br />
<br />
<br />
Teil 1<br />
3x 9<br />
<br />
x <br />
e 2 <br />
4 Abbildung 1 zeigt den Graphen G f einer<br />
in IR definierten Funktion f.<br />
Skizzieren Sie in Abbildung 1 den<br />
Graphen der in<br />
IR definierten Integral-<br />
funktion F:x f t dt . Berücksichtigen<br />
Sie dabei mit jeweils angemessener<br />
Genauigkeit insbesondere die Nullstel-<br />
len und Extremstellen von F sowie F0.<br />
1 <br />
3 <br />
x<br />
0<br />
<br />
20<br />
Abb. 1<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
Seite 114<br />
3
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.2 G8 Abitur 2013 Analysis I Teil 2<br />
10.3.2 G8 Abitur 2013 Analysis I Teil 2<br />
BE<br />
Teil 2<br />
Gegeben ist die in IR definierte Funktion f:x<br />
2x e <br />
den Graphen<br />
G von f.<br />
f<br />
0,5x<br />
2<br />
. Abbildung 2 zeigt<br />
2<br />
6<br />
4<br />
6<br />
6<br />
1 a) Weisen Sie rechnerisch nach, , dass G f punktsymmetrischh bezüglich des<br />
Koordinatenursprungs ist, undd machen<br />
Sie anhand des Funktionsterms<br />
von f plausibel, dass lim f x 0 gilt.<br />
x<br />
<br />
<br />
b) Bestimmen<br />
Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von G f .<br />
2<br />
0,5x<br />
(zur Kontrolle: f(x) 2ee (11 x 2 );<br />
y-Koordinate des Hochpunkts: 2 ) e<br />
c) Berechnen<br />
Sie die mittlere Änderungsrate<br />
m S von v f im Intervall<br />
<br />
0,5; 0,5 <br />
sowie die lokale Änderungsrate<br />
m T von v f an der Stelle x 0.<br />
Berechnen<br />
Sie, um wie viel Prozent<br />
mS von mT abweich ht.<br />
d) Der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x u mit u IR schließen<br />
für<br />
0<br />
x <br />
u ein Flächenstückk mit dem Inhalt A u ein.<br />
2<br />
0,5u<br />
Zeigen Sie, dass A u<br />
22ee gilt. Geben Sie lim Au an und<br />
u<br />
deuten Sie das Ergebnis geometrisch.<br />
e) Die<br />
Ursprungsgeradee h mit der Gleichung y <br />
2 x schließt mit G<br />
e<br />
f für<br />
x 0 ein Flächenstück mit dem Inhalt B vollständig ein.<br />
Berechnen<br />
Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden h<br />
mit<br />
G f und zeichnenn Sie die Gerade in<br />
Abbildung 2 ein. Berechnen<br />
Sie<br />
B.<br />
(Teilergebnis: x-Koordinate eines Schnittpunkts: 2)<br />
2<br />
Abb. 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
4<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
Seite 115
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.2 G8 Abitur 2013 Analysis I Teil 2<br />
Im Folgenden wird die Schar der in IR definierten Funktionen g c :x<br />
f x c<br />
mit c IR betrachtet.<br />
2 2 a) Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten<br />
des Hochpunkts des Graphen von g c sowie das Verhalten von g c für<br />
x an.<br />
3 b) Die Anzahl der Nullstellen von g c hängt von c ab. Geben Sie jeweils einen<br />
möglichen Wert von c an, sodass gilt:<br />
α) g c hat keine Nullstelle.<br />
β) g c hat genau eine Nullstelle.<br />
γ) g c hat genau zwei Nullstellen.<br />
2 c) Begründen Sie für c 0 anhand einer geeigneten Skizze, dass<br />
3 3<br />
gc<br />
xdx f xdx 3c<br />
gilt.<br />
0 0<br />
3 Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich<br />
zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die<br />
jedes Jahr statistisch ermittelt wird.<br />
2<br />
0,5x<br />
Die Funktion g 1,4 :x 2xe 1,4<br />
beschreibt für x 0 modellhaft die<br />
zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei<br />
ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. x 1<br />
entspricht dem Jahr 1965) und g1,4<br />
x die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl<br />
in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist<br />
dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.<br />
4 a) Zeichnen Sie den Graphen von g 1,4 in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie<br />
graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer<br />
mindestens 2,1 beträgt.<br />
2 b) Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage<br />
des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.<br />
3 c) Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am<br />
stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert<br />
für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage<br />
des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der<br />
Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.<br />
40<br />
<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
5<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 116
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.3 G8 Abitur 2013 Analysis II Teil 1<br />
10.3.3 G8 Abitur 2013 Analysis II Teil 1<br />
Analysiss<br />
Aufgabengruppe II<br />
BE<br />
5<br />
4<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1 Geben Sie für die Funktion f mit fx<br />
ln<br />
2013 x den maximalen Defini-<br />
tionsbereich D, das Verhalten von f an den Grenzen von D sowie die<br />
Schnittpunkte<br />
des Graphen von f mit den Koordinatenachsen an.<br />
2 Der Graph der<br />
in IR definierten Funktion f :x<br />
xsins<br />
x verläuft durch<br />
den<br />
Koordinatenursprung. Berechnen<br />
n Sie f<br />
0 und geben Sie das Krüm-<br />
mungsverhalten des Graphen von f in unmittelbarer Nähe des Koordinaten-<br />
ursprungs an.<br />
3 Gegeben sind die in IR definierten Funktionen g:x und h:x .<br />
a) Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die d Graphen von g und h<br />
genau einenn Schnittpunkt haben.<br />
b) Bestimmen<br />
Sie einenn Näherungswert x 1 für die x-Koordinate dieses<br />
Schnittpunkts, indem<br />
Sie für die in IR definierte<br />
Funktion<br />
d: x gx<br />
hx<br />
den erstenn Schritt des Newton-Verfahrens mit dem<br />
Startwert x<br />
0 1 durchführen.<br />
4 Abbildung 1 zeigt den Graphen G f der<br />
Funktion f mit Definitionsbereich<br />
2;2.<br />
Der Graph besteht aus zwei Halbkrei-<br />
bzw.<br />
sen, die die Mittelpunktee 1| 0<br />
1| 0<br />
sowie jeweils den<br />
Radius 1 besitzen.<br />
Betrachte<br />
wird die<br />
in 2;2<br />
defi-<br />
niertee Integralfunktion F :x f<br />
<br />
a) Geben Sie F0, F2 und F<br />
2<br />
an.<br />
b) Skizzieren Sie den Graphen von F in<br />
Abbildung 1.<br />
x<br />
0<br />
Teil 1<br />
t dt.<br />
e x<br />
3<br />
x<br />
Abb. 1<br />
20<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
7<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 117
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.4 G8 Abitur 2013 Analysis II Teil 2<br />
10.3.4 G8 Abitur 2013 Analysis II Teil 2<br />
BE<br />
Teil 2<br />
1 1 8<br />
Gegeben ist die Funktion f:x<br />
x <br />
2 2 x<br />
1<br />
Abbildung 2 zeigt den Graphen<br />
G von f.<br />
f<br />
mit Definitionsbereich IR<br />
\ 1 .<br />
<br />
<br />
6<br />
8<br />
6<br />
Abb. 2<br />
1 a) Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten vonn<br />
G f an und zeigen Sie<br />
rechnerisch, dass Gf seine schräge Asymptote<br />
nicht schneidet. Zeichnen<br />
Sie<br />
die Asymptoten in Abbildung 2 ein.<br />
b) Bestimmen<br />
Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von G .<br />
2 Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass<br />
G f bezüglich des Schnittpunkts<br />
P1| 1 seiner Asymptoten symmetrisch<br />
ist. Zum<br />
Nachweis dieser Symaus<br />
G f<br />
metriee von G f kann die<br />
Funktionn g betrachtet werden, derenn Graph<br />
durch<br />
Verschiebung um<br />
1 in positive x-Richtung und um 1 inn positive<br />
y-Richtung hervorgeht.<br />
a) Bestimmen<br />
Sie einenn Funktionsterm von g. Weisen Sie anschließend die<br />
Punktsymmetrie von G f nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von g<br />
punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.<br />
1 8<br />
(Teilergebnis: g( x) x <br />
2 x )<br />
f<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
8<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 118
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.4 G8 Abitur 2013 Analysis II Teil 2<br />
4<br />
8 b) Zeigen Sie, dass <br />
f x dx 28ln5<br />
gilt.<br />
0<br />
Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des<br />
Integrals<br />
2<br />
<br />
6<br />
<br />
f x dx; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete<br />
Eintragungen in Abbildung 2.<br />
3 Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form<br />
eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen<br />
Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssigkeit<br />
hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem<br />
Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so<br />
beträgt die Füllhöhe 15 cm.<br />
Die bisher betrachtete Funktion f gibt für 0 x 15<br />
die Höhe von S über dem Dosenboden in Zentimetern<br />
an; dabei ist x die Füllhöhe in Zentimetern<br />
(vgl. Abbildung 3).<br />
3 a) Berechnen Sie <br />
Abb. 3<br />
f 0 und f 15 . Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse<br />
im Sachzusammenhang.<br />
3 b) Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale<br />
Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung<br />
2 die Bewegung des Schwerpunkts S während des Füllvorgangs.<br />
Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass<br />
x-Koordinate und y-Koordinate des Tiefpunkts von G übereinstimmen?<br />
6 c) Für welche Füllhöhen x liegt der Schwerpunkt S höchstens 5 cm hoch?<br />
Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung<br />
2 und anschließend durch Rechnung.<br />
40<br />
f(x)<br />
f<br />
S<br />
x<br />
15<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
9<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 119
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.5 G8 Abitur 2013 Stochastik Teil 1<br />
10.3.5 G8 Abitur 2013 Stochastik Teil 1<br />
BE<br />
Stochastik<br />
Aufgabengruppe I<br />
1 Folgende Tabelle gibt die Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren<br />
innerhalb der Bevölkerung Deutschlands wieder:<br />
0 A B AB<br />
Rh+ 35% 37% 9% 4%<br />
Rh- 6% 6% 2% 1%<br />
In einem Krankenhaus spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut. Im<br />
Folgenden soll angenommen werden, dass diese 25 Personen eine zufällige<br />
Auswahl aus der Bevölkerung darstellen.<br />
3 a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn der<br />
Spender die Blutgruppe A haben.<br />
3 b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der<br />
Spender die Blutgruppe 0 und den Rhesusfaktor Rh+ besitzt.<br />
Folgende Tabelle gibt für die verschiedenen Empfänger von Spenderblut an,<br />
welches Spenderblut für sie jeweils geeignet ist:<br />
Empfänger<br />
Spender<br />
0 Rh- 0 Rh+ A Rh- A Rh+ B Rh- B Rh+ AB Rh- AB Rh+<br />
AB Rh+ <br />
AB Rh- <br />
B Rh+ <br />
B Rh- <br />
A Rh+ <br />
A Rh- <br />
0 Rh+ <br />
0 Rh- <br />
5 c) Für einen Patienten mit der Blutgruppe B und dem Rhesusfaktor Rh- wird<br />
Spenderblut benötigt. Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen<br />
mindestens Blut spenden müssten, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit<br />
von mehr als 95 % mindestens eine für diesen Patienten<br />
geeignete Blutspende erhält.<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
10<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 120
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.5 G8 Abitur 2013 Stochastik Teil 1<br />
2 Bei 0,074 % der neugeborenen Kinder liegt eine bestimmte Stoffwechselstörung<br />
vor. Wird diese Störung frühzeitig erkannt, lässt sich durch eine geeignete<br />
Behandlung eine spätere Erkrankung vermeiden. Zur Früherkennung<br />
kann zunächst ein einfacher Test durchgeführt werden. Zeigt das Ergebnis<br />
des Tests die Stoffwechselstörung an, so bezeichnet man es als positiv.<br />
Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung vor, so ist das<br />
Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,5 % positiv. Liegt bei einem<br />
neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung nicht vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit<br />
dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 0,78 %.<br />
Bei einem zufällig ausgewählten neugeborenen Kind wird der Test durchgeführt.<br />
Betrachtet werden folgende Ereignisse:<br />
S: „Die Stoffwechselstörung liegt vor.“<br />
T: „Das Testergebnis ist positiv.“<br />
2 a) Beschreiben Sie das Ereignis S T im Sachzusammenhang.<br />
8 b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten PT und PT<br />
<br />
Sie das Ergebnis für P S im Sachzusammenhang.<br />
T<br />
S . Interpretieren<br />
(zur Kontrolle: P(T ) 0,85% , P(S) 0,1)<br />
3 c) Im Rahmen eines Screenings wird eine sehr große Anzahl zufällig ausgewählter<br />
neugeborener Kinder getestet. Ermitteln Sie die pro Million<br />
getesteter Kinder im Mittel zu erwartende Anzahl derjenigen Kinder, bei<br />
denen die Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.<br />
3 Um Geld für die Ausstattung des Spielbereichs in der Kinderstation des<br />
Krankenhauses einzunehmen, wird ein Gewinnspiel angeboten. Nachdem<br />
der Spieler zwei Euro bezahlt hat, werden aus einem Behälter, in dem sich<br />
drei rote, drei grüne und drei blaue Kugeln befinden, drei Kugeln ohne Zurücklegen<br />
zufällig entnommen. Haben die drei entnommenen Kugeln die<br />
gleiche Farbe, so gewinnt der Spieler und bekommt einen bestimmten Geldbetrag<br />
ausgezahlt; ansonsten verliert er und erhält keine Auszahlung. Anschließend<br />
werden die gezogenen Kugeln in den Behälter zurückgelegt.<br />
2 a) Zeigen Sie, dass bei einem Spiel die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn<br />
1<br />
28 beträgt.<br />
4 b) Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt<br />
werden muss, damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für<br />
die Ausstattung des Spielbereichs erwartet werden kann.<br />
30<br />
T<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
11<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 121
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.6 G8 Abitur 2013 Stochastik Teil 2<br />
10.3.6 G8 Abitur 2013 Stochastik Teil 2<br />
BE<br />
Stochastik<br />
Aufgabengruppe II<br />
1 In einer Großstadt steht die Wahl des Oberbürgermeisters bevor. 12 % der<br />
Wahlberechtigten sind Jungwähler, d. h. Personen im Alter von 18 bis 24<br />
Jahren. Vor Beginn des Wahlkampfs wird eine repräsentative Umfrage unter<br />
den Wahlberechtigten durchgeführt. Der Umfrage zufolge haben sich 44 %<br />
der befragten Wahlberechtigten bereits für einen Kandidaten entschieden.<br />
Jeder Siebte derjenigen Befragten, die sich noch nicht für einen Kandidaten<br />
entschieden haben, ist Jungwähler.<br />
Betrachtet werden folgende Ereignisse:<br />
J: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person ist Jungwähler.“<br />
K: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hat sich bereits für<br />
einen Kandidaten entschieden.“<br />
4 a) Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang eine vollständig<br />
ausgefüllte Vierfeldertafel.<br />
4 b) Zeigen Sie, dass<br />
J <br />
P K P K gilt.<br />
J<br />
Begründen Sie, dass es trotz der Gültigkeit dieser Ungleichung nicht<br />
sinnvoll ist, sich im Wahlkampf vorwiegend auf die Jungwähler zu konzentrieren.<br />
3 c) Der Kandidat der Partei A spricht an einem Tag während seines Wahlkampfs<br />
48 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte an. Bestimmen Sie die<br />
Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau sechs Jungwähler befinden.<br />
2 Der Umfrage zufolge hätte der Kandidat der Partei A etwa 50 % aller Stimmen<br />
erhalten, wenn die Wahl zum Zeitpunkt der Befragung stattgefunden<br />
hätte. Ein Erfolg im ersten Wahlgang, für den mehr als 50 % aller Stimmen<br />
erforderlich sind, ist demnach fraglich. Deshalb rät die von der Partei A eingesetzte<br />
Wahlkampfberaterin in der Endphase des Wahlkampfs zu einer zusätzlichen<br />
Kampagne. Der Schatzmeister der Partei A möchte die hohen<br />
Kosten, die mit einer zusätzlichen Kampagne verbunden wären, jedoch<br />
möglichst vermeiden.<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
12<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 122
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.6 G8 Abitur 2013 Stochastik Teil 2<br />
5 a) Um zu einer Entscheidung über die Durchführung einer zusätzlichen<br />
Kampagne zu gelangen, soll die Nullhypothese „Der Kandidat der Partei<br />
A würde gegenwärtig höchstens 50 % aller Stimmen erhalten.“ mithilfe<br />
einer Stichprobe von 200 Wahlberechtigten auf einem Signifikanzniveau<br />
von 5 % getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.<br />
3 b) Begründen Sie, dass die Wahl der Nullhypothese für den beschriebenen<br />
Test in Einklang mit dem Anliegen der Wahlkampfberaterin steht, einen<br />
Erfolg bereits im ersten Wahlgang zu erreichen.<br />
3 Nach der Wahl darf die Partei A in einem Ausschuss drei Sitze besetzen.<br />
Von den acht Stadträtinnen und vier Stadträten der Partei A, die Interesse<br />
an einem Sitz in diesem Ausschuss äußern, werden drei Personen per Losentscheid<br />
als Ausschussmitglieder bestimmt.<br />
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder<br />
der Partei A. Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der<br />
Zufallsgröße X mit P<br />
1<br />
X 0 und P<br />
14<br />
X 3 .<br />
55<br />
55<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
0 1 2 3 k<br />
Abb. 1 Abb. 2<br />
4 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten PX 1<br />
und PX 2<br />
.<br />
(Ergebnis: P( X 1) 12 , P( X 2) 28 )<br />
55<br />
55<br />
3 b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße X.<br />
(Ergebnis: E( X ) 2 , Var( X ) 6 )<br />
30<br />
P(X=k)<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
0 1 2 3<br />
4 c) Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten<br />
Zufallsgröße Y mit den Parametern n 3 und p <br />
2<br />
. Zeigen Sie<br />
3<br />
rechnerisch, dass Y den gleichen Erwartungswert wie die Zufallsgröße X,<br />
aber eine größere Varianz als X besitzt.<br />
Erläutern Sie, woran man durch Vergleich der Abbildungen 1 und 2 er-<br />
Var Y Var X gilt.<br />
kennen kann, dass <br />
k<br />
P(Y=k)<br />
11<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
13<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 123
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.7 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 1<br />
10.3.7 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 1<br />
Geometrie<br />
Aufgabengruppe I<br />
BE<br />
Ein auf einer horizontalen<br />
Fläche stehendess Kunstwerk besitztt einen Grund-<br />
eines Spats sind Parallelogramme.<br />
.<br />
körper aus massivem Beton, der die Form eines Spats hat. Alle Seitenflächen<br />
In einem<br />
Modell lässt sich<br />
der Grundkörper<br />
durch einen Spat ABCDPQRS mit<br />
A 28 | 0 |0 , B<br />
28|10|0 , D20|00 |6 und P0|0|0 0 beschreiben (vgl. Ab-<br />
bildung) ). Die rechteckige Grundfläc<br />
che ABQP<br />
liegt in der d xx 1 2-Ebene. Im<br />
Koor-<br />
ist<br />
dinatensystem entspricht<br />
eine Längeneinheit 0,1 m, d. d h. der Grundkörper 0,6 m hoch.<br />
5<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3<br />
a) Geben Sie die Koordinaten des Punkts<br />
C an undd zeigen Sie, dasss die<br />
Seitenflächee ABCD ein Quadrat ist.<br />
b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenee E, in der die Seitenfläche<br />
ABCD<br />
liegt, in Normalenform.<br />
(mögliches Ergebnis: E :3xx<br />
4x <br />
84 0 )<br />
c) Berechnen<br />
Sie die Größe dess Winkels,<br />
unter dem die Seitenflächee ABCD<br />
gegen die x x -Ebene geneigt ist.<br />
1 2<br />
1 3<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
14<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
d) Die<br />
Seitenfläche PQRS liegt in einer Ebene F. BestimmenB<br />
n Sie, ohne zu<br />
rechnen, eine Gleichung von F in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorge-<br />
V G h berechnet werden kann, wobei G der FlächeninF<br />
halt des Recht-<br />
ecks ABQP und h die<br />
zugehörige Höhe<br />
des Spats hen.<br />
e) Machen Sie<br />
plausibel, dass das Volumen des Spats mithilfe der Formel<br />
ist.<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
Seite 124
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.7 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 1<br />
3 f) Ein Kubikmeter des verwendeten Betons besitzt eine Masse von 2,1 t.<br />
Berechnen Sie die Masse des Grundkörpers.<br />
Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im<br />
Modell vom Punkt H11| 3 | 6 der Deckfläche DCRS aus in Richtung des<br />
Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine<br />
gerade Stahlstange mit einer Länge von 1,4 m so befestigt, dass die Stange zu<br />
drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt.<br />
7 g) Bestimmen Sie im Modell eine Gleichung der Geraden h, entlang derer<br />
die Bohrung verläuft, sowie die Koordinaten des Punkts, in dem die<br />
Stange in der Bohrung endet.<br />
(zur Kontrolle: möglicher Richtungsvektor von h: 3<br />
2 <br />
)<br />
<br />
<br />
6 <br />
4 h) Auf der Deckfläche des Grundkörpers liegt eine Stahlkugel mit einem<br />
Radius von 0,8 m. Im Modell berührt die Kugel die Deckfläche des Spats<br />
im Punkt K. Beschreiben Sie, wie man im Modell rechnerisch überprüfen<br />
könnte, ob die Stahlkugel die Stange berührt, wenn die Koordinaten von<br />
K bekannt wären.<br />
30<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
15<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 125
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.8 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 2<br />
10.3.8 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 2<br />
Geometrie<br />
Aufgabengruppe II<br />
BE<br />
1 Die Abbildung zeigt modellhaft einen Ausstellungspavillon, der die Form ei-<br />
und<br />
ner geraden vierseitigen<br />
Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat<br />
auf einer horizontalen Fläche steht. Das Dreieck BCS beschreibt im Modell<br />
die südliche Außenwand<br />
des Pavillons. Im<br />
Koordinatensystem entspricht ei-<br />
ne Längeneinheit 1 m, d. h. die Grundfläche des Pavillons hat eine Seiten-<br />
länge<br />
von 12 m.<br />
3<br />
4<br />
5<br />
a) Geben Sie die Koordinaten des Punkts<br />
B an undd bestimmen Sie das<br />
Volumen des Pavillons.<br />
b) Die<br />
südliche<br />
Außenwand des Pavillons<br />
liegt im Modell in einer Ebene E.<br />
Bestimmen<br />
Sie eine Gleichung von E in Normalenform.<br />
(mögliches Ergebnis: E :4xx<br />
3x<br />
2 3<br />
<br />
48 0 )<br />
c) Der Innenausbau des Pavillons erfordert eine möglichst kurze, dünne<br />
Strebe zwischen dem<br />
Mittelpunkt der Grundfläc<br />
he und der südlichen Au-<br />
ßenwand. Ermitteln Sie, in welcher Höhe über der d Grundfläche die<br />
Strebe<br />
an der Außenwand befestigt ist.<br />
(Fortsetzung nächste Seite)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
16<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 126
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.8 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 2<br />
An einem Teil der südlichen Außenwand sind Solarmodule flächenbündig<br />
montiert. Die Solarmodule bedecken im Modell eine dreieckige Fläche,<br />
deren Eckpunkte die Spitze S sowie die Mittelpunkte der Kanten SB und<br />
SC sind.<br />
<br />
<br />
4 d) Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche.<br />
4 e) Die von Solarmodulen abgegebene elektrische Leistung hängt unter anderem<br />
von der Größe ihres Neigungswinkels gegen die Horizontale ab.<br />
Die Tabelle gibt den Anteil der abgegebenen Leistung an der maximal<br />
möglichen Leistung in Abhängigkeit von der Größe des Neigungswinkels<br />
an. Schätzen Sie diesen Anteil für die Solarmodule des Pavillons nach<br />
Berechnung des Neigungswinkels unter Verwendung der Tabelle ab.<br />
Neigungswinkel 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°<br />
Anteil an der maximalen<br />
Leistung<br />
87 % 93 % 97 % 100 % 100 % 98 % 94 % 88 % 80 % 69 %<br />
2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geraden<br />
8 3<br />
1 1 <br />
g:X 1 λ <br />
1<br />
, λ IR , und h:X 5 μ 2<br />
, μ<br />
IR , gegeben. Die<br />
7 2<br />
<br />
<br />
9 4 <br />
<br />
Geraden g und h schneiden sich im Punkt T.<br />
4 a) Bestimmen Sie die Koordinaten von T.<br />
(Ergebnis: T(2| 1|3))<br />
2 b) Geben Sie die Koordinaten zweier Punkte P und Q an, die auf g liegen<br />
und von T gleich weit entfernt sind.<br />
4 c) Zwei Punkte U und V der Geraden h bilden zusammen mit P und Q das<br />
Rechteck PUQV. Beschreiben Sie einen Weg zur Ermittlung der Koordinaten<br />
von U und V.<br />
30<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
17<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 127
10.3 G8 Abitur 2013 10.3.8 G8 Abitur 2013 Geometrie Teil 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 128
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011<br />
11 Musterlösungen Abituraufgaben<br />
2011-2013<br />
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011<br />
11.1.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1<br />
1. Setze Nenner = 0<br />
4x + 5 = 0 → x = −5<br />
D = R \ { −5<br />
4 4<br />
f ′ (x) = 2·(4x+5)−(2x+3)·4<br />
(4x+5) 2<br />
= 8x+10−8x−12<br />
(4x+5) 2 = − 2<br />
(4x+5) 2<br />
}<br />
2. F ′ (x) = f(x)<br />
F ′ (x) = 1x · (2 ln x − 1) + 1 2 4 x2 · 2 · 1 = x · ln x − 1x + 1 x = x ln x = f(x)<br />
x 2 2<br />
F (x) = 1 4 x2 · (2 ln x − 1) + c<br />
F (1) = 1 4 x2 · (2 ln 1 − 1) + c = 0 (ln 1 = 0)<br />
− 1 4 + c = 0 → c = 1 4 → F (x) = 1 4 x2 · (2 ln x − 1) + 1 4<br />
3. 1. N(x) = N 0 · e k·(x−2000)<br />
2. N (2000) = N 0 · e k·(2000−2000) = 6, 1Mrd.<br />
→ N 0 = 6, 1Mrd.<br />
3. N (2010) = N 0 · e k·(2010−2000) = 6, 9Mrd.<br />
4.<br />
→ 6, 1Mrd. · e 10k = 6, 9Mrd.<br />
e 10k = 6,9<br />
6,1<br />
| ln<br />
10k = ln 69<br />
61<br />
k = ( ln 69<br />
61<br />
)<br />
: 10 = 0, 01232326404<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 129
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
4. a) Skizze:<br />
a<br />
2<br />
1<br />
+<br />
∫ π<br />
0<br />
sin 2x dx<br />
π<br />
−π<br />
2<br />
−1<br />
π<br />
3π<br />
5π<br />
π 2π<br />
2 2 2<br />
-<br />
Merke: sin kx integriert = − cos kx · 1<br />
k<br />
b) F (x) = − cos 2x · 1 + c, da gilt F ′ (x) = 1 sin 2x · 2 = sin 2x<br />
2 2<br />
∫ π<br />
0 sin 2x dx = [− 1 cos 2 2x]π 0 = − 1 cos 2π − (− 1 cos 2 · 0) = − 1 + 1 = 0<br />
2 2 2 2<br />
11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
1. a) Setze Radikand r ≥ 0<br />
√ r<br />
x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3 → D f = [−3; +∞[<br />
√ x →<br />
√<br />
x − (−3) = √ x + 3<br />
y<br />
1<br />
1<br />
x<br />
x<br />
−1 1 −3 −2 −1<br />
−1<br />
−1<br />
√<br />
√ x x − (−3) = √ x + 3<br />
y<br />
Der Graph wird um drei Einheiten nach links verschoben<br />
(in die negative x-Richtung!).<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 130
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
b) P (1, 5|0) Q(x|f(x)) = (x| √ ⎛ ⎞ ⎛ x + 3) ⎞<br />
→ P # Q » = ⎝ x − 1, 5 ⎠ = ⎝√ x − 1, 5 ⎠<br />
f(x) − 0 x + 3 − 0<br />
a<br />
c<br />
√<br />
b<br />
x + 3<br />
P<br />
a<br />
x − 1, 5<br />
·<br />
C<br />
Es gilt Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2<br />
(x − 1, 5) 2 + ( √ x + 3) 2 = c 2 = # » P Q 2<br />
x 2 − 3x + 2, 25 + x + 3 = c 2<br />
x 2 − 2x + 5, 25<br />
d(x) = | # » P Q| = √ x 2 − 2x + 5, 25<br />
√<br />
c) Merke: ( f(x)) ′ =<br />
2<br />
√<br />
f ′ (x)<br />
f(x)<br />
kleinster Abstand: Voraussetzung d ′ (x) = 0, wegen Min/Max und Monotonieverhalten<br />
an der Stelle<br />
(<br />
d ′ 1<br />
(x) =<br />
2·<br />
√x · (2x − 2) = √<br />
2x−2<br />
= √<br />
2 −2x+5,25 2· x 2 −2x+5,25 2·<br />
d ′ (x) = 0 → nur Zähler = 0 setzen → 2x − 2 = 0 → x = 1<br />
2·(X−1)<br />
x 2 −2x+5,25<br />
)<br />
Monotonie bei x = 1<br />
x < 1 1 x > 1<br />
sgn f ′ (x)<br />
− 0 +<br />
bei x = 1 Minimum<br />
y-Wert: f(1) = √ 1 + 3 = 2 → Q = (1|2)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 131
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
d) Bedingung:<br />
1. m P QE<br />
= 2<br />
−0.5 = ∆y<br />
∆x<br />
2<br />
Q E<br />
P<br />
−1 · 0.5<br />
2. m t = f ′ (1) = 1<br />
2 √ 4 = 1 4<br />
e) Zeichnung:<br />
( )<br />
f ′ (x) = 1<br />
2 √ x+3<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
aus 1. und 2. folgt<br />
m P QE · m t = −1<br />
−4 · 1<br />
4<br />
= −1 q.e.d.<br />
oder Normalensteigung: m n = − 1 m t<br />
y<br />
A 1 2<br />
A 2<br />
1<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2 3<br />
x<br />
Stammfunktion:<br />
f(x) = (x + 3) 1 2<br />
→ aus x n → xn+1<br />
n+1<br />
F (x) = (x+3) 3 2<br />
3 = 2(x + 3) · √x + 3<br />
3<br />
2<br />
A = A 1 + A 2<br />
A 1 = ∫ 1<br />
−3 f(x) dx = [ 2<br />
(x + 3) · √x + 3 ] 1<br />
= 2 · 4 · √4<br />
− 2 · 0 · 0 = 16 3 −3 3 3 3<br />
A 2 = 1 · 0, 5 · 2 = 1 2 2<br />
1 · g · h 2<br />
f(1) = 2<br />
A = 16 3 + 1 2 = 35 6 [FE]<br />
f(1) = 2 → h = 2; g = 0, 5<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 132
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
2. a) Zeichnung:<br />
−3<br />
g(x)<br />
−2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
−1<br />
−2<br />
2<br />
g ′ (−1) = m t<br />
1 2<br />
m t = 2 1 = 2<br />
oder: m t = ∆y<br />
∆x = y 2−y 1<br />
x 2 −x 1<br />
=<br />
P 1 (−1|0), P 2 (0|2)<br />
2−0 = 2<br />
0−(−1)<br />
Bestimmung von g ′ (x)<br />
lim g(x) ⇒ 1 x − 1 schräge Asymptote = t(x)<br />
x→±∞ 2<br />
→ lim<br />
x→±∞ g′ (x) ⇒ 1 waagrechte Asymptote 2 t′ (x)<br />
Punkte von g ′ (x)<br />
g ′ (1) = 2<br />
g ′ (4) ≈ 0<br />
S 1 (−1|2)<br />
S 2 (4|0) ,da g(x) ein Minimum bei x ≈ 4 hat<br />
g(x) : x = 1 senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel<br />
g ′ (x) : x = 1 senkrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel<br />
Merke: Hat g(x) keinen Vorzeichenwechsel → g ′ (x) hat Vorzeichenwechsel und umgekehrt!<br />
Monotonie<br />
g(x) : ] − ∞, 1[ → streng monoton steigend → g ′ (x) > 0<br />
g(x) : ]1, 4[ → streng monoton fallend → g ′ (x) < 0<br />
g(x) : ]4, +∞[ → streng monoton steigend → g ′ (x) > 0<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 133
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
5<br />
4<br />
y x = 1<br />
g ′ (x)<br />
3<br />
2<br />
g(x)<br />
1<br />
y = 1 2<br />
x<br />
−5<br />
−4<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2 3 4 5<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
b) I. die schräge Asymptote x − 1 passt nicht!<br />
II.<br />
a<br />
x−1<br />
Pol ohne Vorzeichenwechsel passt nicht!<br />
III. alles passt! y = 1 2 x − 1 +<br />
a<br />
(x−1) 2<br />
1<br />
x − 1 → schräge Asymptote, (x − 2 1)2 → Pol mit Vorzeichenwechsel<br />
Punkt von G g (−1|0) einsetzen<br />
g(−1) = 0<br />
1<br />
2 (−1−1) 2 = 0<br />
− 3 + a 2 4<br />
= 0<br />
a<br />
4<br />
= 3| : 1 2 4<br />
a = 6<br />
→ g 6 (x) = 1x − 1 + 6<br />
2 (x−1) 2<br />
c) h(x) = ln g(x) ln ⊙ → ⊙ > 0 → g(x) > 0<br />
aus der Zeichnung: D h =] − 1, +∞[ bei x = 1 → senkrechte Asymptote →<br />
nicht definiert<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 134
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
5<br />
4<br />
y x = 1<br />
g ′ (x)<br />
3<br />
2<br />
g(x)<br />
1<br />
y = 1 2<br />
x<br />
−5<br />
−4<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2 3 4 5<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
Grenzwerte von h(x) über Grenzwerte von g(x)<br />
lim x→−1 + g(1) = 0 + → lim x→−1 + h(x) = ln 0 + = −∞<br />
lim x→1 − g(x) = +∞ → lim x→1 − h(x) = ln +∞ = +∞<br />
lim x→1 + g(x) = +∞ → lim x→1 + h(x) = ln +∞ = +∞<br />
lim x→+∞ g(x) = +∞ → lim x→+∞ h(x) = ln +∞ = +∞<br />
Nullstelle von h(x)<br />
Da ln 1 = 0 muss g(x) = 1 werden, da gilt: h(g(x)) = ln(g(x))<br />
siehe Zeichnung:<br />
bei x ≈ −0, 6 ist g(x) = 1 → g(−0, 6) = 1<br />
→ h(x) = ln g(−0, 6) = ln 1 = 0<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 135
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
11.1.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
1. Zeichnung:<br />
A<br />
4<br />
3<br />
y<br />
f(x) = 0<br />
4 − x 2 = 0<br />
−x 2 = −4<br />
x 2 = 4<br />
2<br />
1<br />
x 1 = −2<br />
x 2 = +2<br />
} Integralgrenzen<br />
x<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2<br />
−2<br />
−3<br />
wegen y-Achsensymmetrie!<br />
A = ∫ 2<br />
−2 f(x) dx = 2·∫ 2<br />
0 (4 − x2 ) dx = [4x− x3<br />
3 ]2 0·2 = (8− 8 3 )·2 = 2·( 24 3 − 8 3 ) = 2· 16 3 = 32 3<br />
2. f(x) = 3 · √x → √ Radikand Radikand ≥ 0 → √ x → x ≥ 0 → D f = R + 0<br />
Merke:<br />
→ √ x = x 1 2<br />
n√ x = x<br />
1<br />
n<br />
→ ∫ x n dx = xn+1<br />
n+1 + c<br />
→ ∫ 3 √ x dx = ∫ 3x 1 2 dx = 3 · x 1 2 +1<br />
+ c = 3·x 3 2<br />
1<br />
2 +1 3<br />
2<br />
2 · x · √x + c = 2 · √x 3 + c<br />
→ F (x) = 2 · √x 3 + c P (1|4) in F einsetzen<br />
F (1) = 2 · √1 3 + c = 4<br />
2 + c = 4<br />
→ F (x) = 2 · √x 3 + 2<br />
c = 2<br />
+ c = 3 · 2<br />
3 · x 3 2 + c = 2 · x 3 2 + c =<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 136
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
3. f(x) = sin x<br />
x 2<br />
a) sin x<br />
x 2 = 0 → Zähler = 0 → sin x = 0<br />
x = kπ k ∈ Z\{0} → Nenner muss ungleich 0 sein!<br />
b) Zeichnung:<br />
y<br />
−x<br />
x<br />
x<br />
→ sin(−x) = − sin(x)<br />
f(−x) = sin(−x)<br />
(−x) 2<br />
= − sin x<br />
x 2<br />
= −f(x) → Punktsymmetrie zum Ursprung<br />
Merke: Zahl<br />
+∞ = 0<br />
sin(x)<br />
lim<br />
x→+∞ x 2<br />
= sin ∞<br />
∞ 2 =<br />
Zahl zwischen +1 und -1<br />
∞ 2 = 0<br />
c) Quotientenregel: a(x)<br />
b(x) = a′ (x)·b(x)−a(x)·b ′ (x)<br />
(b(x)) 2<br />
f(x) = sin(x)<br />
x 2<br />
→ f ′ (x) = cos x·x2 −sin x·2x<br />
(x 2 ) 2 =<br />
̸x(x cos x−2 sin x)<br />
x ̸4 3<br />
=<br />
x·cos x−2 sin x<br />
x 3<br />
4. D f = R\{−1}<br />
x = −1 → Polstelle<br />
f(x) = 2·x2<br />
(x−(−1)) 2 → ohne Vorzeichenwechsel: () 2 , () 4 , () 6 , ...<br />
(x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1<br />
f(x) =<br />
→<br />
lim<br />
x→±∞<br />
f(x) =<br />
2x2<br />
1x 2 +2x+1<br />
→ Zähler und Nennerpolynom sind gleich groß<br />
f(x) = 2, wegen<br />
2x2<br />
1x 2<br />
2x2<br />
(x+1) 2 2x<br />
oder 4<br />
(x+1) 4 2x<br />
oder 6<br />
(x+1) 6 1<br />
oder<br />
(x+1) 2 + 2 oder ...<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 137
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
1. a) f(x) = 6 · e −0,5x + x<br />
f ′ (x) = 6 · e −0,5x · (−0, 5) + 1 = −3 · e −0,5x + 1<br />
f ′′ (x) = −3 · e −0,5x · (−0, 5) = 1, 5 · e −0,5x<br />
⎫<br />
⎬<br />
zuerst immer die Ableitungen<br />
⎭<br />
Monotonieverhalten:<br />
Extremwerte:<br />
f ′ (x) = 0<br />
−3 · e −0,5x + 1 = 0<br />
in f(x)<br />
−3 · e −0,5x = −1<br />
e −0,5x =<br />
1<br />
3<br />
| ln<br />
−0, 5x = ln 1 3<br />
= ln 3 −1 = − ln 3<br />
−0, 5x = − ln 3<br />
0, 5x = ln 3<br />
x = 2 · ln 3<br />
f(2 ln 3) = 6 · e −0,5·2 ln 3 + 2 ln 3 = 6 · e − ln 3 + 2 ln 3 = 6 · e ln 3−1 + 2 ln 3 =<br />
6 · 3 −1 + 2 ln 3 = 6 + 2 ln 3 = 2 + 2 ln 3<br />
3<br />
Monotonietabelle<br />
≈ 2, 2<br />
sgn f ′ (x)<br />
oder<br />
x = 2 ln 3 in f ′′ (x) einsetzen<br />
x E<br />
x < x E 2 ln 3 x > x E<br />
−1 0 +1<br />
Tiefpunkt<br />
E(2 ln 3|2 + 2 ln 3)<br />
≈ 2, 2 ≈ 4, 2<br />
f ′′ (2 ln 3) = 1, 5 · e −0,5·2 ln 3 > 0<br />
→ Tiefpunkt<br />
Merke:<br />
→ f ′′ (x E ) > 0 → TIP<br />
→ f ′′ (x E ) < 0 → HOP<br />
x ∈] − ∞, 2 ln 3[→ f(x)streng monoton fallend<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 138
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
x = 2 ln 3 → Tiefpunkt<br />
x ∈]2 ln 3, +∞[→ f(x)streng monoton steigend<br />
Krümmungsverhalten:<br />
f ′′ (x) = 0 1, 5 · e −0,5x = 0<br />
e −0,5x = 0 ` e - kan nie null werden!<br />
→ keine Flach- bzw. Wendepunkte<br />
f ′′ (x) = 1, 5 · e −0,5x > 0 e − immer positiv → Linkskrümmung<br />
in ganz D f<br />
Merke :<br />
f ′′ (x) > 0 → Linkskrümmung<br />
f ′′ (x) < 0 → Rechtskrümmung<br />
b) Merke: exponentielles Wachstum ist stärker!<br />
lim 6 ·<br />
x→−∞ e−0,5x + x = 6 · e +∞ + (−∞) = +∞ + (−∞) = +∞<br />
lim f(x) =<br />
x→−∞ e−∞ + (+∞)<br />
→ 0 + ∞ = +∞<br />
Der erste Teil (e −0,5x ) geht gegen 0<br />
Der zweite Teil (ax) ist die schräge Asymptote, da sich der Graph an a(x) = x,<br />
je größer die x-Werte sind, annähert!<br />
c) y = m t · x + t<br />
m t = f ′ (0) = −3 · e −0,5·0 + 1 = −3 · e 0 + 1 = −3 + 1 = −2<br />
y = −2 · x + t<br />
6 = −2 · 0 + t → t = 6<br />
f(x) = −2 · x + 6<br />
setze(0|6) ein<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 139
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
y<br />
7<br />
6<br />
G f<br />
y = x<br />
4, 2<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
2, 2<br />
x<br />
−2<br />
y = −2x + 6<br />
2. a) h(x) = 6 · e −0,5x<br />
i. f 1 (x) = e ax → e −x Spiegelung an der y-Achse<br />
y<br />
2<br />
e −x<br />
1<br />
e x<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2<br />
x<br />
−2<br />
ii. f 2 (x) = e −xa → e −0,5x Streckung in x-Richtung um 2,<br />
da 2 · (−0, 5x) = −x<br />
z.B. mit Wertetabelle gut zu erkennen von -3 bis 3<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 140
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
e −0,5x<br />
y<br />
2<br />
1<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
e −xa<br />
1 2<br />
x<br />
−2<br />
iii. f 3 (x) = be −0,5x → 6e −0,5x Jeden y-Wert mal 6 nehmen, d.h. Streckung<br />
in y-Richtung strecken mit dem Faktor b<br />
y<br />
4<br />
3<br />
6e −0,5x<br />
e −0,5x<br />
2<br />
1<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2 3 4<br />
x<br />
−2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 141
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
iv. f 4 (x) = 6·e −0,5x +a → 6·e −0,5x +1, 5<br />
d.h. um 1,5 nach oben verschieben<br />
y<br />
Alle y-Werte mit 1,5 addieren,<br />
8<br />
7<br />
6 · e −0,5x + 1, 5<br />
6<br />
5<br />
4<br />
+1, 5<br />
3<br />
+1, 5<br />
2<br />
+1, 5<br />
6 · e −0,5x +1, 5<br />
1<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2 3 4<br />
x<br />
−2<br />
b) Die Schadstoffmenge der Maschine nimmt stetig ab, unterschreitet aber nie den<br />
Grenzwert 1, 5 mg<br />
min , denn lim x→+∞ 6·e −0,5x +1, 5 = e −∞ +1, 5 = 1, 5 Grenzwert!<br />
siehe auch Zeichnung!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 142
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
c) Zeichnung:<br />
y<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
A<br />
1<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2 3 4 5<br />
x<br />
−2<br />
→ A = ∫ 5<br />
0 f(x) dx =<br />
∫ 5<br />
0 (6 · e−0,5x + 1, 5)dx =<br />
Merke: ∫ e kx = 1 k · ekx + c<br />
[<br />
6 ·<br />
1<br />
−0,5 · e−0,5x + 1, 5x ] 5<br />
0 =<br />
[6 · (−2) · e −0,5x + 1, 5x] 5 0 =<br />
(6(−2)e −2,5 + 7, 5) − (6(−2) · e 0 + 0) =<br />
−12 · e −2,5 + 7, 5 + 12 =<br />
−12 · e −2,5 + 19, 5 ≈ 18, 5<br />
Die Schadstoffmenge, die die Maschine in den ersten 5 Minuten ausstößt beträgt<br />
etwa 18,5 mg.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 143
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
3. a) Schnittpunkt y-Achse → x = 0<br />
f a (0) = 6 · e 0 − a · 0 = 6 → S y (0|6)<br />
→ Punkt (0|6) ist unabhängig vom Parameter a und deshalb für jede<br />
Funktion gleich!<br />
f ′ (x) = 6 · e −0,5x · (−0, 5) − a<br />
−3e −0,5x − a a ∈ R +<br />
f ′ (x) = −3 · e −0,5x − a<br />
f ′ (x) = 0<br />
−3 · e −0,5x − a = 0<br />
−3 · e −0,5x = a | : (−3)<br />
e −0,5x = − 1 3 a `<br />
da a ∈ R +<br />
→ Vorzeichen - → f a (x)in ganz D fa<br />
streng monoton fallend!<br />
lim 6 · e−0,5·(+∞) − a · (+∞) = 0 + − ∞ = −∞<br />
x→+∞<br />
b) x x+1 = x n − fa(xn)<br />
f ′ a (xn)<br />
Newtonformel<br />
hier x 0 = 0<br />
→ x 1 = 0 − fa(0)<br />
f ′ a (0) = 0 − 6<br />
−3e 0 −a = − 6<br />
−3−a = 6<br />
3+a<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 144
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
11.1.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
1. O ˆ= Oberberg ˆ=258<br />
Ō = N ˆ= Niederberg ˆ=1722<br />
Ē ˆ= keine Einwände ˆ=1089<br />
E ˆ= Einwände 1980 − 1089 = 891<br />
|Ē ∩ O| = 27<br />
Vierfeldertafel von Vorteil:<br />
O<br />
Ō = N<br />
E 231 660 891<br />
Ē 27 1062 1089<br />
258 1722 1980<br />
a) Bedingte Wahrscheinlichkeiten, da man sich auf die Befragten von Niederberg<br />
bzw. Oberberg bezieht, nicht auf alle Befragten!<br />
P N (E) = P (N∩E) = 660<br />
P (N) 1722<br />
= 0, 383 ⇒ 38, 3%<br />
P O (E) = P (O∩E) = 231 = 0, 895 ⇒ 89, 5%<br />
P (O) 258<br />
b) p 1 : hier geht es um alle Befragten, gesucht ist die Schnittmenge aus O und E<br />
P (O ∩ E) = |O∩E| = 231 ⇒ 11, 7%<br />
|Ω| 1980<br />
p 2 : „wenn bekannt ist“ deutet auf eine Bedingung hin, d.h. es handelt sich<br />
um eine bedingte Wahrscheinlichkeit!(zuerst E!)<br />
P E (O) = P (E∩O)<br />
P (E)<br />
= |O∩E| = 231<br />
|E| 891<br />
= 25, 9%<br />
c) p 1 = 231<br />
1980 ; p 2 = 231<br />
891 Der Zähler ist gleich und der Nenner von p 1 sind alle<br />
Befragten, der von p 2 nur die Befragten der Gegner → Nenner p 1 ≥ Nenner<br />
p 2 → p 1 < p 2 und maximal p 1 = p 2<br />
d.f. p 1 > p 2 ist unmöglich!<br />
2. Man bestimmt hier den Erwartungswert. Nützlich ist dabei eine Tabelle.<br />
a) Tabelle:<br />
Glücksradziffer 1 2 3 4<br />
P G 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4<br />
Einsatz e 2, 50 2, 50 2, 50 2, 50<br />
Unkosten e −10 −5 0 0<br />
Gewinn e −7, 50 −2, 50 2, 50 2, 50<br />
E G = (−7, 50) · 0, 1 + (−2, 50) · 0, 2 + 2, 50 · 0, 3 + 2, 50 · 0, 4 = 0, 5 e<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
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Seite 145
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
b) Hier handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment,<br />
⎛ ⎞<br />
d.h. Du kannst mit der Formel ⎝ n ⎠·p k ·q n−k = Bp n (x = k) rechnen!<br />
k<br />
⎛ ⎞<br />
P (A) = 0, 4 5 · 0, 6 5 ; (0, 4 5 → p 4 = 0, 4 ; 0, 6 5 → p Rest = 0, 6) ⎝ n ⎠ fällt hier<br />
k<br />
weg, da alle ⎛ Stellen ⎞ festgelegt sind!<br />
P (B) = ⎝ 10 ⎠ · 0, 4 5 · 0, 5 6<br />
5<br />
⎛ ⎞<br />
P (C) = ⎝ 10 ⎠·0, 1 5·(0, 4) 5<br />
5<br />
p 1 = 0, 1<br />
⎛ ⎞<br />
⎝ 10 ⎠ → Stellenberechnung<br />
5<br />
⎛ ⎞<br />
⎝ 10 ⎠ → Stellenverteilung<br />
5<br />
0, 1 5 →<br />
3. Unter 10 wenigstens ein Gegner → x ≥ 1<br />
P Gegner : P (x ≥ 1) = 1 − PP 10<br />
G<br />
(x = 0) ≥ 0, 99<br />
Berechnung:<br />
1 − Pp 10 (x = 0) ≥ 0, 99 | − 1<br />
−Pp 10 (x = 0) ≥ −0, 01 | · (−1) V ORSICHT !<br />
P 10<br />
⎛ p (x = 0)<br />
⎞<br />
≤ 0, 01<br />
⎝ 10 ⎠ · p 0 · (1 − p) 10<br />
0<br />
≤ 0, 01<br />
(1 − p) 10 ≤ 0, 01 | 1 )<br />
10<br />
1 − p ≤ 0, 01 1 10 | − 1<br />
−p ≤ 0, 01 1 10 − 1 | · (−1) V ORSICHT !<br />
p ≥ 1 − 0, 01 1 10<br />
p ≥ 1 − 10√ 0, 01(V − 10√ 0, 01 + 1) ≈ 0, 37<br />
p ≥ 37%<br />
Antwort: Der Anteil der Gegner muss unter den Badegästen mindestens 37% sein!<br />
4. Annahme der Hypothese H 0 bei A = {h + 1, ..., 200}<br />
Ablehnung der Hypothese H 0 bei Ā = {0, ..., h}<br />
p 0 ≥ 0, 55<br />
Ā Irrtümliche Ablehnung von H 0 , wenn H 0 eintritt, wir uns aber irrtümlicherweise<br />
dagegen entscheiden.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
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Seite 146
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.6 Stochastik Aufgabengruppe II<br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür soll höchstens 5% sein! P 200<br />
0,55(x ≤ k) ≤ 0, 05<br />
Tabelle (200|0, 55|k) → kummulativ!<br />
k = 97<br />
→ Ā = {0, ..., 97}<br />
A = {98, ...200}<br />
Bei höchstens 97 der Gegnern wird die Vermutung des Gemeinderates abgelehnt!<br />
11.1.6 Stochastik Aufgabengruppe II<br />
1. a) Es handelt sich um ein Benoulli-Experiment, dabei helfen Dir die Formeln:<br />
⎛<br />
Bp n (x = k) = ⎝ n k<br />
⎞<br />
⎠ · p k · (1 − p) n−k<br />
(n = Anzahl der Versuche, p = Wahrscheinlichkeit, k = Anzahl der Treffer)<br />
oder Tabellenwerk<br />
P n p (x ≥ k) = B n p (x ≥ k) mindestens k Treffer<br />
P n p (x > k) = B n p (x > k) mehr als k Treffer<br />
P n p (x ≤ k) = B n p (x ≤ k) höchstens k Treffer<br />
P n p (x < k) = B n p (x < k) weniger als k Treffer<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
Tabellenwerk<br />
kummulativ<br />
Hier: B0,1 200 (20 ≤ x ≤ 25) ⇒ B0,1 200 (x ≤ 25) − B0,1 200 (x ≤ 19) = 0, 895 − 0, 4655 =<br />
0, 434 ˆ=43, 4%<br />
25<br />
0 19 20<br />
υ<br />
⎛ ⎞<br />
b) P0,1 200 (x = 20) = ⎝ 240 ⎠ · 0, 1 20 · 0, 9 240−2 = 0, 063 ˆ=6, 3%<br />
20<br />
Wiederum ein Bernoulli-Experiment!<br />
c) Unabhängigkeit bedeutet: w: weiblich v: vegetarisch<br />
P (A∩B) = P (A) · P (B) P (w∩v) =: 6 Frauen essen vegetarisch, 6 aus 240.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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Seite 147
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.6 Stochastik Aufgabengruppe II<br />
P (w∩v) = P (w) · P (v)<br />
6<br />
Hier: = x · 20 | · 240 2 : 20<br />
240 240 240<br />
6·̸240·̸240 12<br />
x = = 72<br />
̸240·̸20<br />
→ 72 Frauen sind an Bord<br />
2. a) Es geht hier um einen Nullhypothesentest, bei dem die Entscheidungsregel berechnet<br />
werden soll.<br />
H 0 : p 0 ≤ 0, 15 Annahmebereich A = {0, ..., k} → höchstens 15% wünschen<br />
das Angebot, d.h. man nimmt höchstens bei k Personen die Hypothesen an!<br />
AblehnungĀ = {k + 1, ..., 200}<br />
Nun berechnet man die irrtümliche Ablehnung der H 0 !<br />
D.h. den Fehler, dass die H 0 eintritt, man sich jedoch für Ā enschieden hat.<br />
Der Fehler soll unter 5% bleiben.<br />
P0,15(x 200 ≥ k + 1) ≤ 0, 05<br />
Berechnung:<br />
P0,15(x 200 ≥ k + 1) ≤ 0, 05<br />
1 − P0,15(x 200 ≤ k) ≤ 0, 05 | − 1<br />
−P0,15(x 200 ≤ k) ≤ −0, 95 | · (−1)<br />
P0,15(x 200 ≤ k) ≥ 0, 95 → Tabellenwerk! kummulativ<br />
k = 38<br />
A = {0, ..., k}... Ā = {39, ..., 200}<br />
d.h. Wenn mindestens 39 Personen das Angebot wollen, wird unsere Hypothese<br />
H 0 p 0 ≤ 0, 15 abgelehnt!<br />
b) Wird irrtümlich auf das Angebot verzichtet heißt das, dass mehr als 15% der<br />
Passagiere das Angebot wollen. Der Test liefert jedoch das Gegenteil → falsch!<br />
p 0 ≤ 0, 15<br />
Wird das Angebot irrtümlich angeboten, wünschen es doch höchstens 15%.<br />
Der Test liefert jedoch, dass es mehr wollen. In 2a) haben wir diesen Fehler<br />
möglichst klein gehalten(≤ 0, 05(5%)), d.h. es is der Fluggesellschaft wichtig<br />
keinen finanziellen Verlust zu bekommen.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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Seite 148
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.6 Stochastik Aufgabengruppe II<br />
3. a) Vierfeldertafel<br />
K<br />
x<br />
B 0, 91 0, 05 0, 96<br />
(0, 94 − 0, 03)<br />
¯B (0, 04 − 0, 01) (0, 06 − 0, 05)<br />
0, 03 0, 01 0, 04<br />
0, 94 0, 06 1<br />
¯K<br />
(1 − 0, 06)<br />
x = 0, 91 P (B ∩K) ⇒ Beleuchtung und Klimaanlage funktionieren einwandfrei<br />
oder weder B noch K sind mangelhaft.<br />
b) Es handelt sich um eine Bedingte Wahrscheinlichkeit, die Bedingung ist, dass<br />
die Beleuchtung nicht einwandfrei funktioniert.<br />
P ¯B( ¯K) =<br />
P ( ¯B∩ ¯K)<br />
P ( ¯B) = 0,01<br />
0,04<br />
= 0, 25 ˆ=25%<br />
c) 1. P ( ¯K) = 0, 04<br />
2. P (K) = 1 − 0, 04 = 0, 96<br />
3. (Mindestens ein Mangel) P ( ¯B ∪ ¯K) = 1−P (B ∩K) = 0, 05 → P (B ∩K) =<br />
1 − 0, 05 = 0, 95<br />
4. P (Mindestens ein Mangel liegt vor) = 0, 05<br />
P ( ¯B ∪ ¯K) = 0, 05<br />
P ¯B∪ ¯K( ¯B) = 0, 4 → bedingte Wahrscheinlichkeit<br />
Merke:<br />
P A (B) = P (A∩B<br />
P (A)<br />
Hier:<br />
P (( ¯B∪ ¯K)∩ ¯B)<br />
P ( ¯B∪ ¯K) = 0, 4<br />
P (( ¯B ∪ ¯K) ∩ ¯B) = 0, 4 · 0, 05 = 0, 02<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 149
•<br />
•<br />
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
¯K<br />
¯B<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
→ ( ¯B ∪ ¯K) ∩ ¯B = ¯B<br />
→ d.h. ¯B ∪ ¯B beinhaltet ganz ¯B<br />
→ P (( ¯B ∪ ¯K) ∩ ¯B) = P ( ¯B) = 0, 02<br />
→ P (B) = 1−0, 02 = 0, 98 nun können wir die Vierfeldertafel vervollständigen:<br />
k ¯k<br />
B 0, 95 0, 03 0, 98<br />
¯B 0, 01 0, 01 0, 02<br />
0, 96 0, 04 1<br />
11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
1. a) # » nE<br />
B<br />
C<br />
A<br />
# »<br />
AB = #» B − #» A =<br />
# »<br />
AC = #» C − #» A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
−80 − 0<br />
60 − 60<br />
60 − 0<br />
−80 − 0<br />
0 − 60<br />
60 − 0<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
−80<br />
0<br />
60<br />
−80<br />
−60<br />
60<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ : 20 = ⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ : 20 = ⎜<br />
⎝<br />
−4<br />
0<br />
3<br />
4<br />
3<br />
−3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = AB # » ∗<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = AC # » ∗<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 150
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
# »<br />
nE = AB # » ∗ × AC # »<br />
∗ =<br />
−4 /// 4/<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
# »<br />
0 3<br />
0 · (−3) − 3 · 3<br />
nE =<br />
3 −3<br />
= ⎜ 3 · 4 − (−4) · (−3) ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
−4 4<br />
−4 · 3 − 0 · 4<br />
∣ 0 3 ∣<br />
#»<br />
E : nE # » ◦ ( X #» − A) #» ⎛ ⎞ ⎛ = 0 ⎞<br />
3 x 1 − 0<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ x<br />
⎝ 2 − 60 ⎟<br />
⎠ = 0; 3x 1 + 4x 3 = 0<br />
4 x 3 − 0<br />
−9<br />
0<br />
−12<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ : 3 = ⎜<br />
⎝<br />
3<br />
0<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
→ x 2 fehlt → parallel zur x 2 -Achse<br />
→ Konstante fehlt → E geht durch den Ursprung<br />
E geht durch den Ursprung und enthält die x 2 -Achse.<br />
x 3<br />
E<br />
C<br />
B<br />
A<br />
x 2<br />
x 1<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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Seite 151
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
Winkel ϕ von Ebene E und E x1 ,x 2<br />
nE◦<br />
Schnittwinkel von Ebenen: cos ϕ = # » nE # » x1 ,x 2<br />
z<br />
| nE|· # » nE # » x1 ,x 2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
→ # » 0<br />
nE x1 ,x 2<br />
ist z.B. ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ oder ⎜<br />
⎝<br />
# »<br />
1<br />
hE x1 ,x 2<br />
usw. jeder Vektor der x 3 -Achse!<br />
x<br />
→ cos ϕ =<br />
∣<br />
2<br />
1<br />
1 2 3<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣<br />
3 0<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
4 1<br />
√<br />
=<br />
3 2 +0 2 +4 2·<br />
√0 2 +0 2 +1 2<br />
y<br />
∣ 3·0+0·0+4·1<br />
b) Wir zeigen:<br />
( AB # » = OC)und # » OA # » ⊥ OC<br />
# »<br />
⎛ ⎞<br />
⎫<br />
| AB| # »<br />
−80<br />
=<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
60<br />
⎪⎬<br />
⎛ ⎞<br />
paralell und gleich lang<br />
| OC| # »<br />
−80<br />
=<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
∣ 60 ∣<br />
⎪⎭<br />
∣ ∣ √ ∣∣ ∣∣<br />
25·√<br />
1<br />
=<br />
5<br />
∣ = 0, 8<br />
4<br />
→ ϕ = 36, 9 ◦<br />
0<br />
0<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Nun zeigen wir noch:<br />
# »<br />
OA ⊥ AB # » oder OC # » ⊥ OA # » → OA # » ◦ AB # »<br />
# »<br />
= 0 OC ◦ OA # »<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎛ = 0⎞<br />
⎛<br />
0 −80<br />
⎜ 60 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = 0 + 0 + 0 = 0 → OA # » ⊥ AB<br />
# » −80<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜<br />
⎝<br />
0 60<br />
60<br />
→ OABC ist ein Rechteck!<br />
0<br />
60<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = 0<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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Seite 152
•<br />
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
A ROABC = l · b = | OA| # » · | AB| # » oder | OC| # » · | CB| # » oder | AB| # » · | BC| # » . . .<br />
A R = √ √<br />
0 2 + 60 2 + 0 2 · (−80) 2 + 0 2 + 60 2 = 60 · 100 = 6000[FE]<br />
d)<br />
c) Da das Grundbuch auf die Pläne von 3-Dimensional auf 2 Dimensional reduzieren<br />
muss, wählt man die Draufsicht von oben. Dies bedeutet die x 3 -Werte<br />
fallen weg, d.h. man setzt die x 3 -Werte = 0. Damit liegen alle Punkte in der<br />
x 1 , x 2 -Ebene.<br />
→ A liegt schon drin<br />
→ aus B(−80|60|60) wird B ′ (−80|60|0)<br />
→ aus C(−80|0|60) wird C ′ (−80|0|0)<br />
Die neue A ROAB ′ C ′ = | OA| # » · | AB # »′<br />
| = √ 0 2 + 60 2 + 0 2 · √(−80) 2 + 0 2 + 0 2 =<br />
4800[FE]<br />
H<br />
d<br />
d<br />
C<br />
d<br />
B<br />
D<br />
A<br />
Wenn ng # » ◦ # »<br />
⎛ nE = ⎞ 0 ⎛ ⎞ → g ‖ E → g hat immer den gleichen Abstand zu E<br />
4 3<br />
⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟ = 12 + 50 + (−12) = 0 → passt!<br />
⎝ ⎠<br />
−3 4<br />
Abstand: d(g, E) =? Bestimme die Hesseform von E und setze z.B. den Aufpunkt<br />
von g ein! ∣ (oder einen anderen Punkt, der auf der Geraden liegt!)<br />
∣∣∣ E H = ∣<br />
= √3 2 +4 2 ∣ 3·(−20)+4·40<br />
∣ = ∣ 100<br />
∣ = 20<br />
∣ 3x 1+4x 3 +0<br />
5<br />
5<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 153
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
e)<br />
H<br />
C<br />
B<br />
D<br />
•<br />
M<br />
M(−40|30|30)<br />
A<br />
allgemeiner Geradenpunkt von g<br />
H g (20 + ⎛4t|40 + 5t|40 + 3t) ⎞ ⎛ ⎞<br />
−20 + 4t − (−40) 20 + 4t<br />
# »<br />
MH = ⎜ 40 + 5t − 30 ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜ 10 + 5t ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
40 − 3t + 30 10 − 3t<br />
| MH # » √<br />
g | = (20 + 4t) 2 + (10 + 5t) 2 + (10 − 3t) 2 = √ 400 + 160t + 16t 2 + 100 + 100t + 25t 2 +<br />
√<br />
600 + 200t + 50t<br />
2<br />
Die Länge ist minimal, wenn der Radikand minimal ist.<br />
d(t) = 600 + 200t + 50t 2 ableiten und das Minimum suchen!<br />
d ′ (t) = 200 + 100t = 0<br />
t = −2<br />
d ′′ (t) = 100 > 0 → Minimum bei t = 2<br />
d Minimum = 600 + 200 · (−2) + 50 · (−2) 2 = 400<br />
| MH # »<br />
g | = √ d Minimum = √ 400 = 20<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 154
•<br />
•<br />
•<br />
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
f) OV # »<br />
0 = OM # » 0<br />
−40 0 −40<br />
+ ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ · 15 = ⎜ 30 ⎟<br />
⎝ ⎠ + ⎜ 15 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 45 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
30 0 30<br />
#»<br />
V 0 (−40|45|30) ⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
# »<br />
MV N : parallel zu OC # » −80<br />
= ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ mit | OC| # »<br />
−80<br />
# »<br />
= 100 OC ◦ = 1 ·<br />
⎜<br />
100<br />
0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
60<br />
60<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
→ OV # »<br />
M = OM+15· # » OC # » −40 −80 −40 −12<br />
◦ = ⎜ 30 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 15<br />
⎜<br />
100<br />
0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 30 ⎟<br />
⎝ ⎠ + ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ =<br />
30<br />
60 30 9<br />
⎛ ⎞<br />
−52<br />
⎜ 30 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
39<br />
V N (−52|30|39)<br />
11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
1. a) rechtwinklig bei C<br />
→ AC # » ◦ BC # »<br />
⎛ ⎞ ⎛ = 0 ⎞<br />
−3 −8<br />
⎜ −6 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 8 ⎟<br />
⎝ ⎠ = 24 − 48 + 24 = 0 # »<br />
AC ⊥ BC # » rechtwinklig<br />
−6 −4<br />
Berechnung ⎛ der⎞<br />
Katheten:<br />
⎫<br />
−3<br />
# »<br />
AC = ⎜ 6 ⎟<br />
⎝ ⎠ ; | AC| # » √<br />
= (−3) 2 + (6 2 ) + (−6) 2 = √ 81 = 9<br />
−6<br />
⎪⎬ # »<br />
⎛ ⎞<br />
AC ist die kürzere Kathete<br />
−8<br />
# »<br />
BC = ⎜ 8 ⎟<br />
⎝ ⎠ ; | BC| # » √<br />
= (−8) 2 + 8 2 + (−4) 2 = √ 144 = 12<br />
−4<br />
⎪⎭<br />
b) → r ist die Höhe im △ABC<br />
C<br />
r=hc<br />
A M 1<br />
c<br />
B<br />
r = d(C; AB) = CM # »<br />
1<br />
1. CM # »<br />
1 ⊥ AB # » → CM # »<br />
1 ◦ AB # » = 0<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 155
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
m 1 1<br />
5<br />
2. M 1 liegt auf g # »<br />
AB → ⎜ m<br />
⎝ 2 ⎟<br />
⎠ = ⎜ 7 ⎟<br />
⎝ ⎠ + t · ⎜ −14 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
m 3 3 −2<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1. CM # » m 1 − (−2) m 1 = ⎜ m<br />
⎝ 2 − 1 ⎟<br />
⎠ = 1 + 2 5<br />
⎜ m<br />
⎝ 2 − 1 ⎟<br />
⎠ ◦ ⎜ −14 ⎟<br />
⎝ ⎠ = 0<br />
m 3 − (−3) m 3 + 3 −2<br />
⎛ ⎞<br />
5<br />
# »<br />
AB = ⎜ −14 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−2<br />
5(m 1 + 2) − 14(m 2 − 1) − 2(m 3 + 3) = 0<br />
5m 1 + 10 − 14m 2 + 14 − 2m 3 − 6 = 0<br />
5m 1 − 14m 2 − 2m 3 + 18 = 0<br />
2. m 1 = 1 + 5t<br />
m 2 = 7 − 14t<br />
m 3 = 3 − 2t<br />
2. in 1. und nach t auflösen<br />
5(1 + 5t) − 14(7 − 14t) − 2(3 − 2t) + 18 = 0<br />
5 + 25t − 98 + 196t − 6 + 4t + 18 = 0<br />
225t = 81<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
5<br />
M 1 ∈ g → ⎜ 7 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 81 ·<br />
⎜<br />
225<br />
−14 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
−2<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
→ CM # » 1<br />
5<br />
1 = ⎜ 7 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 225·<br />
81<br />
⎜ −14 ⎟<br />
⎝ ⎠ − ⎜<br />
⎝<br />
3 −2<br />
⎛⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎞<br />
⎛ ⎞<br />
405<br />
1080<br />
3<br />
225<br />
225<br />
⎜⎜<br />
− 1134<br />
⎟<br />
⎝⎝<br />
225 ⎠ + ⎜ 6 ⎟⎟<br />
⎝ ⎠⎠ = 216<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 225 ⎠<br />
− 162<br />
1188<br />
6<br />
225<br />
225<br />
−2<br />
1<br />
−3<br />
t = 81<br />
225<br />
⎞<br />
⎛⎛<br />
⎟<br />
⎠ ⇒ CM # »<br />
1 = ⎜⎜<br />
⎝⎝<br />
1<br />
7<br />
3<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ + 81 ·<br />
⎜<br />
225 ⎝<br />
5<br />
−14<br />
−2<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ − ⎜<br />
⎝<br />
−2<br />
1<br />
−3<br />
⎞⎞<br />
⎟⎟<br />
⎠⎠<br />
| CM # »<br />
1 | = √ ( 1080<br />
225 )2 + ( 216<br />
225 )2 + ( 1188<br />
225 )2 = 7, 2<br />
1<br />
oder · √1080<br />
225 2 + 216 2 + 1188 2 = 7, 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 156
•<br />
•<br />
•<br />
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
Elementargeometrisch:<br />
C<br />
r=hc<br />
A p M q<br />
1<br />
B<br />
c<br />
I a 2 = c · q a = BC # » ⎫<br />
= 12 ⎬<br />
II b 2 = c · p b = AC # » = 9 ⎭ Kathetensatz<br />
III h 2 = p · q c = √ a 2 + b 2 = 15 Höhensatz<br />
I a 2 = c · q → q = a2 c<br />
II b 2 = c · p → p = b2 c<br />
I und II in III<br />
h 2 = b2 c · a2 c = a2·b 2<br />
c 2 = 122·9 2<br />
15 2 = 7, 2<br />
oder über Flächenformel △ 1 2 g · h<br />
A 1 = 1 · a · b 2 A 1 = A 2 ; A 2 = 1 · c · h 2 c<br />
1 2 2 c h c = 7, 2<br />
c) E ABC<br />
B C<br />
#» n E<br />
A<br />
1. nE # » = ( AB # » × AC)<br />
# »<br />
2. E : nE # » ◦ ( X #» − A) #» = 0<br />
+5 //////// − 3<br />
⎛<br />
−14 − 6<br />
84 − 12<br />
# »<br />
1.<br />
−2 − 6<br />
nE = ⎜ 6 + 30<br />
⎝<br />
5 − 3<br />
−30 − 42<br />
∣ −14 − 6 ∣<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 x 2. ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ 1 − 1<br />
⎜ x<br />
⎝ 2 − 7 ⎟<br />
⎠ = 0<br />
−2 x 3 − 3<br />
E : 2x 1 − 2 + x 2 − 7 − 2x 3 + 6 = 0<br />
E : 2x 1 + x 2 − 2x 3 − 3 = 0<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
d) BS # » 11, 5 − 6 5, 5<br />
= ⎜ 4 − (−7) ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜ 11 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−6 − 1 −7<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
72<br />
36<br />
−72<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ : (36) = ⎜<br />
⎝<br />
2<br />
1<br />
−2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 157
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
S<br />
#» n E<br />
A<br />
#» n E<br />
→<br />
Neigungswinkel δ<br />
B<br />
A<br />
δ α B<br />
E<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 5, 5<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 11 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
nE◦<br />
cos α = # » BS<br />
# »<br />
| nE|·| # » BS| # » = −2 −7<br />
√<br />
9·√<br />
200,25<br />
⇒ α = 32 ◦<br />
δ = 90 ◦ − α = 90 ◦ − 32 ◦ = 58 ◦<br />
Merke :<br />
cos α =<br />
#» a ◦ #» b<br />
| #» a |·| #» b |<br />
⎛ ⎞ ⎡⎛<br />
⎞ ⎛<br />
V ABCS = 1 · ( AB # » ◦ ( AC # » × AS)) # »<br />
5 −3 1, 5<br />
= 1 ⎜<br />
6 6<br />
−14 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎢⎜<br />
−6 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ × ⎜ −3<br />
⎝<br />
∣ −2 −6 −9<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
5 36<br />
1<br />
⎜<br />
6<br />
−14 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ −90 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
∣ −2 72 ∣<br />
1<br />
|180 + 1260 − 144| = 216 VE<br />
6<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
∣<br />
=<br />
oder v = 1G · h G = A 3 D ABC<br />
A △ABC = 1g · h = 1 · 9 · 12 = 54<br />
2 2<br />
h = d(S; E) Hesseform von E ∣ H<br />
S(11, 3|4| − 6) in E H = ∣ 2x 1+x √ 2 −2x 3 −3 ∣∣<br />
4+1+4<br />
h = d(S|E) = ∣ 2·11,3+4·−2·(−6)−3<br />
∣ ∣ = ∣ 3<br />
∣<br />
36<br />
∣ = 12<br />
3<br />
h = 12<br />
→ V = 1 · 54 · 12 = 216 VE<br />
3<br />
e)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 158
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
P 2 S P 1<br />
g ‖ E<br />
E<br />
C<br />
A B<br />
h = d(P, E) = d(S; E) immer gleicher Abstand von g und E<br />
→ A △ABC gleich und h gleich<br />
→ V ABCP bleibt stets gleich!<br />
f)<br />
#» n E<br />
C<br />
P<br />
M AB<br />
B<br />
Der Umkreis ist der Thaleskreis über AB, # » der Hypotenuse des △ABC!<br />
→ r = 1 # »<br />
AB = 1 · 15 = 7, 5<br />
2 2 ⎡⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
# »<br />
M AB = 1( A #» + B) #» 1 6<br />
7 3, 5<br />
= 1 ⎢⎜<br />
2 2<br />
7 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ + ⎜ −7 ⎟⎥<br />
⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜<br />
2<br />
0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 1<br />
4 2<br />
M AB (3, 5|0|2)<br />
Frage: Ist M # »<br />
AB S ein Vielfaches von nE?<br />
# »<br />
Dann wäre M # »<br />
AB zugleich Höhenfußpunkt!<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
11, 5 − 3, 5 8<br />
# »<br />
M AB S = ⎜ 4 − 0 ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜ 4 ⎟ ; h im Kegel?!<br />
⎝ ⎠<br />
−6 − 2 −8<br />
⎛ ⎞<br />
h · nE # » 8<br />
= ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−8<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎫<br />
2 8 2h = 8<br />
⎪⎬<br />
h · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠ → 1h = 4 h = 4<br />
−2 −8 −2h = −8<br />
⎪⎭<br />
→ M # »<br />
AB ist auch ein Höhenfußpunkt<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 159
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012<br />
V Kegel : 1 3 r2 π · h = 1 3 · 7, 52 π · # » M AB S = 1 3 · 7, 52 π · √64 + 16 + 64 = 1 3 · 7, 52 π · 12 ≈<br />
706, 858<br />
Prozentwert: V Kegel−V Pyramide<br />
V Kegel<br />
= 706,858−216<br />
706,858<br />
· 100% = 227, 2%<br />
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012<br />
11.2.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1<br />
1. a) Setze<br />
ln(x + 3) → (x + 3) > 0 x > −3 D =] − 3; +∞[<br />
f ′ (x) = 1<br />
x+3 · 1 Merke:<br />
b) g(x) = 3<br />
x 2 −1<br />
g ′ (x) = 0·(x2 −1)−3·2x<br />
(x 2 −1) 2 = − 6x<br />
2 −1)<br />
Merke:<br />
ln f(x) → f(x) > 0<br />
Der Nenner darf nicht 0 werden!<br />
Setze: x 2 − 1 = 0 x 2 = 1 → x = ±1 → D f = R\{−1; +1}<br />
2. a) f(x) = 5 − x 2 oder 5 − 3x 2 oder 5 − 1 2 x2<br />
Der höchste Punkt muss bei (0|5) liegen.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 160
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−4<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2 3<br />
−2<br />
b) Nicht differenzierbar bedeutet stetig bei x = 5, aber nicht ableitbar!<br />
Am besten wählt man die Betragsfunktion!<br />
f(x) = |x| und verschiebt sie um 5 Einheiten nach rechts<br />
→ f(x) = |x−5| → Die Funktion ist stetig, doch ihre Grenzwerte lim f ′ (x) ≠<br />
x→5 +<br />
lim f ′ (x), d.h. wenn man sich von rechts annähert hat man eine andere Steigung<br />
als wenn man sich von links annähert!<br />
x→5 − y<br />
5<br />
x<br />
→ die Funktion ist nicht diffenrenzierbar (oder ableitbar) an der Stelle x = 5<br />
3. a)<br />
1<br />
−π<br />
−π<br />
2<br />
−1<br />
π<br />
π<br />
2<br />
f(x) = sin x → p = 2π (Periode)<br />
⇒ f(x) = sin 2x (2 = b) → p = 2π = 2π = π d.h. alle π kommt eine Nullstelle!<br />
b 2 2<br />
Wähle z.B. x 1 = 0; x 2 = π oder x 2 1 = π; x 2 2 = π usw.<br />
(Geht natürlich auch nach links ins Negative)<br />
z.B. x 1 = −π; x 2 = − π 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 161
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1<br />
b) ∫ 2<br />
0 f(x) dx = ∫ 2<br />
0 sin(2x) dx = [ − 1 cos 2 2x] 2<br />
= − 1 cos 4 + 1 cos 0 ≈ 0, 827<br />
0 2 2<br />
Merke :<br />
∫ sin(k · x) dx = −<br />
1<br />
∫ cos(k · x) dx =<br />
1<br />
k<br />
k<br />
cos(k · x) + c<br />
sin(k · x) + c<br />
Der Wert des Integrals entspricht nicht dem Wert der Fläche, da das Integral<br />
von 0 bis π positiv ist und von π bis 2 negativ! Das Integral verrechnet den positiven<br />
und negativen Wert!(Flächenbilanz!) Für die Fläche müsste der<br />
2 2<br />
negative<br />
Teil mit Betrag positiv gemacht und zum positiven Teil addiert werden!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 162
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
4. Um f ′ (x) zu skizzieren benötigt man die Steigung der Tangente an f(x). Einfach<br />
einmal ableiten, die Steigung bestimmen und dann einsetzen<br />
x = −1 ist m t = y = 2,2 x 1 → f ′ (−1) = 2, 2<br />
x = 0 ist m t = 2 = 2 1 → f ′ (0) = 2<br />
z.B.<br />
x = 1 ist m t = 1,5 1 → f ′ (1) = 1, 5<br />
x = 2 ist m t = 1,1 1 → f ′ (2) = 1, 1<br />
x ≈ 3, 3 Hochpunkt → f ′ (3, 3) = 0<br />
x = 4 ist m t = −1 1 → f ′ (4) = −1<br />
x = 5 → m t = nicht ablesbar, aber sehr groß negativ<br />
lim f ′ (x) = −∞<br />
x→5<br />
11.2.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
1. a) Es gibt 2 mögliche Achsenschnittpunkte<br />
1. f(x) = 0 → Nullstelle<br />
2e x<br />
e x +9 = 0 → 2ex = 0` geht nicht, da e x nie Null wird → kein Schnittpunkt mit<br />
der x-Achse<br />
oder 2. f(0) = . . . Schnittpunkt mit der y-Achse<br />
f(0) = 2·e0<br />
e 0 +9 = 2<br />
1+9 = 1 5 = 0, 2 → Schnittpunkt mit der y-Achse bei S y(0|0, 2)<br />
b) lim<br />
x→+∞<br />
lim<br />
x→−∞<br />
c) Monotonie:<br />
////·2<br />
2·e +∞<br />
= e +∞<br />
e +∞ +9 ////·(1+ e +∞ 9<br />
2·e −∞<br />
e −∞ +9 = 2·0+<br />
0 + +9 = 0<br />
e +∞ ) = 2 1 = 2<br />
Monotonie:<br />
→ Bestimme f ′ (x) (Quotientenregel)<br />
→ Setze f ′ (x) = 0 (Setze Zähler =0)<br />
→ Bestimme Monotonietabelle<br />
f ′ (x) = 2ex (e x +9)−2e x·ex<br />
(e x +9) 2 = 2e2x<br />
f ′ (x) = 0 →<br />
//// +18e x −2e //// 2x<br />
(e x +9) 2 = 18ex<br />
(e x +9) 2<br />
18ex = 0 → 18e x ≠ 0 → keine Extremwerte<br />
(e x +9) 2<br />
Monotonieverhalten:<br />
18e x >0<br />
(e x +9) 2 >0 → immer > 0 → G f streng monoton steigend!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 163
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
d) Tangente bestimmen y = mx + t bei S(0|0, 2)<br />
m = f ′ (0) =<br />
18e0 = 18 = 18 = 0, 18<br />
(e 0 +9) 2 (10) 2 100<br />
y = 0, 18 · x + t Setze S y (0|0, 2) ein<br />
0, 2 = 0, 18 · 0 + t → t = 0, 2 → y = 0, 18 · x + 0, 2<br />
e) hier: ∫ 4<br />
0<br />
2e x<br />
e x +9<br />
hier: f ′ (x) = e x f(x) = e x + 9<br />
Formel zur Integration:<br />
∫ f ′ (x)<br />
dx = ln |f(x)| + c<br />
f(x)<br />
die 2 lässt du als Faktor im Zähler einfach mit · stehen Diese Formel funktioniert,<br />
wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht!<br />
→ [2 · ln |e x + 9|] 4 0 = 2 · [ln |e 4 + 9| − ln |e 0 + 9|] = 2 · ln |e 4 + 9| − ln |10| ≈ 3, 7<br />
f) Die Umkehrbarkeit hast du schon in 1c) bewiesen! Ist eine Funktion G f streng<br />
monoton steigend(fallend), dann ist sie umkehrbar! In 1c) haben wir gezeigt,<br />
dass G f streng monoton steigt!<br />
→ G f ist umkehrbar! Wir nennen sie G f −1<br />
Nun zur Definitionsmenge und Wertemenge von f −1 (x)<br />
Es gilt immer D f = W f −1, also D f = R = W f −1 und W f = D f −1<br />
W f =]0; 2[ siehe Grenzwerte aus 1b)<br />
→ D f −1 =]0; 2[ d.h. der Graph von G f −1 ist nur von ]0; 2[ definiert, nimmt aber<br />
als W f −1 = R alle y-Werte an.<br />
Zeichnerisch bekommt man G f −1 aus G f , indem man G f an der Winkelhalbierenden<br />
des I. und III. Quadranten spiegelt!<br />
2. a) Wachstum in den ersten 2 Monaten<br />
Start: f(0) = 2e0<br />
e 2 +9 = 0, 2<br />
nach 2 Monaten: f(2) = 2e2<br />
e 2 +9 ≈ 0, 9<br />
Wachstum f(2) − f(0) = 0, 9 − 0, 2 = 0, 7[m] ˆ=70[cm]<br />
das Wachstum in den ersten zwei Monaten betrug also 70cm!<br />
b) Höhe 1, 5 → f(x) = 1, 5<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 164
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
→ 2ex<br />
e x +9<br />
= 1, 5 | · (e x + 9)<br />
2e x = 1, 5(e x + 9)<br />
2e x = 1, 5e x + 13, 5 | − 1, 5e x<br />
0, 5e x = 13, 5 | : 0, 5<br />
e x = 27 | · ln<br />
x = ln 27 ≈ 3, 3<br />
nach circa 3,3 Monaten hat sie die Höhe von 1,5m erreicht!<br />
c) Das schnellste Wachstum ist dort wo man die größte Steigung f ′ (x) an G f ist.<br />
Die Steigung ist am steilsten wo die Krümmung sich wendet!<br />
Am Graphen ungefähr bei x M = 2 − 2, 5<br />
Rechnerisch Wendepunkt bestimmen:<br />
18e x·(e ///////−18e x +9) 2 x·2·(e //////·e x +9) x<br />
f ′′ (x) = 0 f ′′ (x) =<br />
−18e 2x +162e x<br />
(e x +9) 3 = ex (−18e x +162)<br />
(e x +9) 3 = 0<br />
Zähler = 0 e x · (−18e x + 162) = 0<br />
e x ≠ 0 −18e x + 162 = 0<br />
e x = 162<br />
18 | · ln<br />
x = ln 9 ≈ 2, 2 → x M ≈ 2, 2<br />
(e x +9)̸4 3 = 18ex (e x +9)−36e 2x<br />
(e x +9) 3 = 18e2x +162e x −36e 2x<br />
(e x +9) 3 =<br />
Die maximale Wachstumsrate pro Tag erhältst du, indem du x M<br />
f ′ (2, 2) einsetzt, denn dort wächst die Blume ja am schnellsten!<br />
d.h. f ′ (2, 2) = 0, 5[m]<br />
Das Wachstum ist ja in Monaten angegeben:<br />
≈ 2, 2 in<br />
Teile also 0, 5m : 30, dann hast du die maximale Wachstumsrate pro Tag<br />
≈ 0, 5m : 30 ≈ 1, 7 cm<br />
Tag<br />
d) Wenn f(x) = 0 für x = 14 Tage− ≈ 0, 5 Monate, dann stimmt die Behauptung,<br />
dann wäre die Auskeimung ca. 14 Tage = −0, 5 Monate (- wegen der<br />
Beobachtungszeit!)vor dem Beobachtungsbeginn erfolgt:<br />
Rechnung:<br />
0, 18x + 0, 2 = 0<br />
0, 18x = −0, 2<br />
x = −0, 2 · 0, 18 ≈ −1, 1<br />
Die Annahme ist also falsch! Sie steht nicht im Einklang mit der Realität!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 165
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
e) Parameterfunktionen:<br />
Die neue Saat wächst doppelt so schnell, sie braucht für jede Höhe nur die<br />
Hälfte der Zeit<br />
→ x T = 1 2 x<br />
gleich Höhe der beiden Sorten, wenn<br />
g T (x T ) = f(x)<br />
g T ( 1 x) = f(x)<br />
2<br />
I geht nicht, da f(x + k) eine Verschiebung längs der negativen x-Achse bedeutet!<br />
Es gilt aber: g(0) = f(0 + k) ⇒ f(k) > f(0) → g(0) ≠ f(0)<br />
II geht nicht, da k · f(x) eine Vervielfachung der y-Werte (der Höhe) bedeutet,<br />
aber g(0) = k · f(0) → f(0) = g(0) = k · f(0) nur für k = 1, dann wäre aber<br />
g(x) = f(x)<br />
f) Es passt III:<br />
y = f(kx) = 2·ekx<br />
e kx +9<br />
aus f(x) = g T ( 1 2 x) → f(2 · x) = g T ( 1 2 · 2x)<br />
→ g T (x) = f(2x) → k = 2<br />
11.2.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
1. Setze den Nenner = 0<br />
x 2 + 4x + 3 = 0<br />
Lösungsmöglichkeiten:<br />
1. Formel: x 1,2 = −b±√ b 2 −4ac<br />
a = 1; b = 4; c = 3;<br />
2a<br />
x 1,2 = −4±√ 4 2 −4·1·3<br />
= −4±2 → x<br />
2·1 2 1 = −3; x 2 = −1<br />
⇒ D f = R\{−3; −1}<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 166
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
2. Quadratische Ergänzung:<br />
x 2 + 4x + 2 2 − 2 2 + 3 = 0<br />
(x + 2) 2 − 4 + 3=0<br />
(x + 2) 2 − 1=0<br />
(x + 2) 2 =1| √<br />
x + 2 = ±1<br />
x 1 = −2 + 1 = −1<br />
x 2 = −2 − 1 = −3<br />
3. Faktorisieren:<br />
(x + 3) · (x + 1) = 0<br />
→ x 1 = −3; x 2 = −1<br />
Nullstelle: Setze den Zähler = 0<br />
f(x) = 0 2x + 3 = 0 x = − 3 2 → N(− 3 2 |0)<br />
2. a) Bestimme G ′ (x) und setze g’(x)=0<br />
g(x) = x · e −2x Produktregel (u · v) ′ = u ′ · v + u · v ′<br />
= 1 · e −2x + x · e −2x · (−2)<br />
= e −2x − 2x · e −2x Wichtig klammere e −2x aus<br />
e −2x (1 − 2x)<br />
Setze g ′ (x) = 0 → e −2x · (1 − 2x) = 0 Es kann nur der e-freie Teil null werden!<br />
1 − 2x = 0 → x = 1 2<br />
g( 1 2 ) = 1 2 · e−2·( 1 2 ) = 1 2 · e−1 = 1 2e y-Wert<br />
⇒ P ( 1 2 | 1 2e )<br />
b) lim<br />
x→−∞ g(x) = (−∞) · e−2(−∞) = (−∞) · e +∞ = (−∞) · (+∞) = −∞<br />
lim<br />
x→+∞ g(x) = (+∞) · e−2∞ = (−∞) · 0 = 0<br />
Merke:<br />
e −∞ = 1<br />
e +∞<br />
ganz klein<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
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Seite 167
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
3. a) f(x) = ln x<br />
−f(x) → Spiegelung an der x-Achse<br />
−f(x) = − ln x<br />
−f(x)+c → Verschiebung in y-Richtung, hier c = +3, also 3 Einheiten nach oben<br />
−f(x) + c → h(x) = − ln x + 3<br />
b) Tangente: y = mx + t P (1|h(1)) → h(1) = − ln 1 + 3 = 3 → P (1|3)<br />
→ Bestimme m = f ′ (1)<br />
→ Setze P (1|3) in y = mx + t ein<br />
Merke:<br />
(ln x) ′ = 1 x<br />
f ′ (x) = − 1 x<br />
m = f ′ (1) = − 1 1 = −1<br />
y = −1x + t<br />
3 = −1 · 1 + t| + 1<br />
→ t = 4<br />
Tangente: y = −1x + 4<br />
4. a) Jede Integralfunktion hat mindestens eine Nullstelle, denn es gilt:<br />
∫ x<br />
a<br />
f(t)dt = 0, wenn x = a gilt<br />
∫ a<br />
a<br />
f(t)dt = 0<br />
die untere Integralgrenze ist also immer eine Nullstelle<br />
Wenn F (x) eine quadratische Funktion ist, kann es zwei Null-<br />
b) ∫ x<br />
−1 f(t)dt<br />
stellen geben.<br />
z.B. f(x) = a · x 2 + c wenn a < 0 ist und c > 0(oder umgekehrt a > 0 ist und<br />
c < 0)<br />
f(x) = −x 2 + 2<br />
→ d.h. f(x) muss eine lineare Funktion sein!<br />
z.B. f ′ (x) = −x oder<br />
∫ x<br />
−1 −tdt = [− t2 2 ]x −1 = −x2<br />
2<br />
+ 1 2<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 168
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
11.2.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
1. a) Funktionsbestimmung:<br />
Vorgabe: Quadratische Funktion → p(x) = ax 2 + bx + c<br />
3 Unbekannte a, b, c → 3 Gleichungen mit 3 Punkten hier A, B und C<br />
A(−2|0)I 0 = a · (−2) 2 + b · (−2) + c; 0 = 4a − 2b + c<br />
B(2|0)II 0 = a · 2 2 + b · 2 + c; 0 = 4a + 2b + c<br />
C(0|5)III 5 = a · 0 2 + b · 0 + c; 5 = c in I und II einsetzen!<br />
II in I 4a − 2b + 5 = 0 I ′ −<br />
III in II 4a + 2b + 5 = 0 II ′<br />
−4b = 0| : (−4)<br />
b = 0 in I oder II<br />
4a + 5 = 0 → 4a = −5 → a = −1, 25<br />
→ p(x) = −1, 25x 2 + 5<br />
b) A(−2|0) ∈ q(x)? −0, 11 · (−2) 4 − 0, 81 · (−2) 2 + 5 = 0 → A ∈ q<br />
B(2|0) ∈ q(x)? −0, 11 · 2 4 − 0, 81 · 2 2 + 5 = 0 → B ∈ q<br />
q(−x) = −0, 11(−x) 4 − 0, 81 · (−x) 2 + 5 = −0, 11x 4 − 0, 81x 2 + 5 = q(x)<br />
→ y-Achsensymmetrie<br />
Merke:<br />
f(−x) = f(x) → y-Achsensymmetrie<br />
f(−x) = −f(x) → Punktsymmetrie zum Ursprung<br />
Extremwertbestimmung: f ′ (x) = 0<br />
q ′ (x) = −0, 44x 3 − 1, 62x = 0<br />
x(−0, 44x 2 − 1, 62) = 0<br />
−0, 44x 2 − 1, 62 = 0<br />
x 1 = 0<br />
−0, 44x 2 = 1, 62<br />
Koordinate: x = 0 in f(0) = 5 → E(0|5)<br />
x 2 = − 1,62<br />
0,44<br />
` keine weiteren Lösungen;<br />
x 1 = 0 ist einziger Extrempunkt<br />
y-<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 169
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
c) Setze z.B. x = −1 oder x = 1 in q oder p ein und ordne den Wert den entsprechenden<br />
Graphen zu!<br />
x = 1<br />
q(1) = −0, 11 · 1 4 − 0, 81 · 1 2 + 5 = −0, 92 + 5 = 4, 08<br />
Das Ablesen zeigt, dass dieser Wert zum durchgezogenen Graphen gehört<br />
x = −1, 5 oder x = 1, 5 geht genauso<br />
Die x-Werte sollten nicht zu nahe bei x = −2, 0 und x = 2 liegen, da sich hier<br />
die y-Werte fast nicht unterscheiden!<br />
d) d(x) maximal bedeutet, dass d ′ (x) = 0 und Maximum(HoP) vorliegen muss!<br />
d(x) = −0, 11x 4 − 0, 81 2 + 5 − (−1, 25x 2 + 5)<br />
1.<br />
= −0, 11x 4 + 0, 44x 2<br />
2. d ′ (x) = −0, 44x 3 + 0, 88x<br />
3. d ′ (x) = 0 x · (−0, 44x 2 + 0, 88) = 0<br />
−0, 44x 2 + 0, 88 = 0<br />
(x 1 = 0)<br />
Monotonie:<br />
−0, 44x 2 = −0, 88<br />
x 2 = 2<br />
x 2 = + √ 2 ∈]0; 2[<br />
(x 3 = − √ 2)<br />
f ′ (x) x < √ 2 x ><br />
+ 0 − → Maximum<br />
d MAX = −0, 11 · ( √ 2) 4 + 0, 44( √ 2) 2 = −0, 44 + 0, 88 = 0, 44<br />
e) A = ∫ 2<br />
−2 q(x)dx = [ −0, 11 · x5<br />
x3<br />
− 0, 81 · + 5 3 5x] 2<br />
−2<br />
y-Symmetrie: → 2 · [<br />
−0, 11 · x5<br />
x3<br />
− 0, 81 · + 5 3 5x] 2<br />
0<br />
2 · [<br />
−0, 11 · 25<br />
5<br />
− 0, 81 · 8<br />
3 + 10] = 14, 27m 2<br />
f) Ich empfehle als untere Fläche A 1 eine Trapezfläche als Näherungsfläche, die<br />
Gesamtfläche haben wir ja aus 1e) das Verhältnis von den oberen.<br />
Fläche A 2 zur unteren A 1 ist A 2<br />
A 1<br />
= A−A 1<br />
A 1<br />
1. A ist also aus 1e) bekannt<br />
2. Die Näherungsfläche des Trapezes bestimmen wir folgendermaßen<br />
A T = a+c<br />
2<br />
· h<br />
3. Nun bestimmen wir A 2 = A − A T<br />
4. Zum Schluss setzen wir alles ein<br />
A 2<br />
A 1<br />
und haben das Verhältnis annähernd!<br />
Abi – Crasher<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 170
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
Beachte: Eine Rechnung ist nicht verlangt!<br />
Nur geeignete Ansätze.<br />
2. a) Zeichnung herauslesen<br />
Hochpunkt: t = 4 Wasserdurchfluss 74 m3<br />
min<br />
Text: Der Wasserdurchfluss ist 4 min nach Öffnen der Schleuse mit 74 m3<br />
min am<br />
größten( an der Beobachtungsstelle!)<br />
Wendepunkt 1 bei t ≈ 2, 5<br />
Text: 2,5 Minuten nach Öffnen der Schleuse steigt die Wasserdurchflussmenge<br />
am stärksten an. Es fließen dabei circa 50 m3 an der Beobachtungsstelle vorbei.<br />
min<br />
Wendepunkte 2 bei t ≈ 5, 5 − 5, 8<br />
Nach circa 5,5-5,8 Minuten nimmt die Wasserdurchflussmenge an der Beobachtungsstelle<br />
am stärksten ab. Es fließen dabei ca. 55 m3<br />
min vorbei!<br />
b) I = ∫ 4<br />
1 f(t)dt :<br />
Jedes Quadrat klein entspricht 0, 5 · 5 m3<br />
min<br />
= 10<br />
m3<br />
min<br />
= 2, 5<br />
m3<br />
min<br />
jedes große Quadrat 1 · 10 m3<br />
min<br />
1. große Quadrat Fläche in A → 4min ˆ= Länge<br />
2. kleine Quadrateflächen<br />
20 m3 ˆ= Breite<br />
min<br />
3 · 20 m3<br />
min<br />
= 60<br />
m3<br />
min<br />
Kästchen abzählen liefert ca. 33-34 ganze Kästchen; 33 · 2, 5 = 82, 5 m3<br />
min oder<br />
34 · 2, 5 = 85 m3<br />
min<br />
→ ∫ 4<br />
m3<br />
1 f(t)dt ≈ 142, 5<br />
min<br />
oder 145 m3<br />
min<br />
Erklärung: In der Minute 1 bis 4 fließen an der Beobachtungsstelle circa 142,5-<br />
145m 3 Wasser vorbei.<br />
oder 1 Minute nach Öffnen der Schleuse ist vorbei. Von da an bis einschließlich<br />
der 4. Minute fließen circa 142,5-145m 3 Wasser an der Beobachtungsstelle<br />
vorbei!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 171
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
c) Mittlere Änderungsrate: Sekantensteigung f(x 2)−f(x 1 )<br />
x 2 −x 1<br />
[2; 4]<br />
x 1 = 2 x 2 = 4<br />
f(2) = 35 f(4) ≈ 74<br />
[2; 3]<br />
x 1 = 2 x 2 = 3<br />
f(2) = 35 f(3) = 63<br />
f(t)−f(2)<br />
lim<br />
t→2 t−2<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ m s = 74−35<br />
4−2<br />
= 19, 5<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ m s = 63−35<br />
3−2<br />
= 28<br />
Lässt man t → 2 laufen, dann wird aus der Sekante( ˆ= mittlere Änderungsrate)<br />
die Tangente.<br />
Dies entspricht der momentanen Änderungsrate des Wasserdurchflusses nach<br />
genau 2 Minuten an besagter Stelle!<br />
P (2|35) → ablesen aus Zeichnung<br />
11.2.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
1. Am besten mit einer Vierfeldertafel oder mit einem Baumdiagramm zu lösen.<br />
→ weibliche Bew. W 3 = 0, 75<br />
4<br />
1<br />
→ männliche Bew. ¯W = 0, 25<br />
4<br />
Verhältnis: 3 : 1 → 3T Weiblich, 1T Männlich; 4 Teile → W 3 → ¯W 1 4 4<br />
Achtung: 80% der weiblichen Bew. le1, 5 ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit<br />
→ P W (≤ 1, 5) = 80% → P (W ∩ ≤ 1, 5) = 0, 8 · 0, 75 = 0, 6<br />
→ P ¯W (≤ 1, 5) = 75% → P ( ¯W ∩ ≤ 1, 5) = 0, 75 · 0, 25 = 0, 1875<br />
nun geht die VFT:<br />
W ¯W = M<br />
≤ 1, 5 0, 6 0, 1875 0, 7875<br />
> 1, 5 0, 15 0, 0625 0, 2125<br />
0, 75 0, 25<br />
Lösung: Alle Bewerber schlechter als 1,5(>1,5) sind 0,2125 bzw. 21,25%<br />
Baumdiagramm: W = 3 4 ⇒ ¯W = 1 4 ; P W (≤ 1, 5) = 0, 8; P ¯W (≤ 1, 5) = 0, 75<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 172
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
0,8 ≤1,5 P(W∩ ≤ 1, 5) = 0, 75 · 0, 8<br />
0,75<br />
W<br />
0,2 >1,5 P(W∩ > 1, 5) = 0, 75 · 0, 2<br />
0<br />
0,25<br />
¯W<br />
0,75 ≤1,5 P( ¯W∩ ≤ 1, 5) = 0, 25 · 0, 75<br />
P W (n > 1, 5)<br />
0,25<br />
>1,5<br />
P( ¯W∩ > 1, 5) = 0, 25 · 0, 25<br />
Lösungszweige: P (> 1, 5) = P (W ∩ > 1, 5) + P ( ¯W ∩ > 1, 5) = 0, 75 · 0, 2 + 0, 25 ·<br />
0, 25 = 0, 2125 → 21, 25%<br />
⎛ ⎞<br />
2. a) Der vorgegene Term ⎝ 15 ⎠ · ( 1 3<br />
5<br />
)5 · ( 2 3 )10 gehört zum Urnenmodell mit zurücklegen!<br />
Da jeder Bewerber höchstens einmal teilnehmen kann bzw. darf funktioniert<br />
dieses Modell nicht.<br />
Die Wahrscheinlichkeit verändert sich von Zug zu Zug, bleit nicht 1 3 bzw. 2 3 .<br />
Deshalb handelt es sich um das Urnenmodell ohne Zurücklegen!<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎝ K ⎠· ⎝ N − K ⎠<br />
k n − k<br />
b) Die Formel dazu lautet: P (x) = ⎛ ⎞<br />
⎝ N n<br />
⎠<br />
hier: N = 30; ⎛ n = ⎞15; ⎛ k = 10; K ⎞= 20⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
⎝ 20 30 − 20<br />
⎠· ⎝ ⎠ ⎝ 20 ⎠· ⎝ 10 ⎠ → 5 aus 10 Jungs<br />
→ P (x) =<br />
10<br />
⎛<br />
15 − 10<br />
⎞ =<br />
10<br />
⎛ ⎞<br />
5<br />
⎝ 30 ⎠<br />
⎝ 30 ⎠ → 15 aus 30 Bewerbern<br />
= 0.30015 =<br />
15<br />
15<br />
30, 02%<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 173
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
3. a) Zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen Wert festlegen:<br />
0 → 2x → 2 6<br />
1 → 3x → 3 6<br />
2 → 1x → 1 6<br />
x 0 1 2 Augenzahl<br />
P (x)<br />
2<br />
6<br />
3<br />
6<br />
1<br />
Wahrscheinlichkeit der Augenzahl<br />
6<br />
Wie kann der Kandidat zwei Aufgaben lösen?<br />
0; 2 → erst keine, dann 2<br />
2; 0 → erst 2, dann keine<br />
1; 1 → jeweils 1<br />
Berechnung: ⎫<br />
0; 2 2 · 1<br />
6 6 ⎪⎬<br />
2; 0 1 · 2 2 · 1 + 1 · 2 + 3 · 3 = 13<br />
6 6 6 6 6 6 6 6 36<br />
1; 1 3 · 3 ⎪⎭<br />
6 6<br />
b) In der Tabelle fehlt nur ein Wert.<br />
Zusammen muß die Wahrscheinlichkeit ja 1 ergeben.<br />
Also gilt: 1 + 1 + 12 + x + 1 = 1 und damit<br />
9 3 36 36<br />
x = 1 − ( 1 + 1 + 12 + 1 ) = 1 9 3 36 36 6<br />
→ P (x = 3) = 1 6<br />
c) Zuerst keine Matheaufgabe zu lösen sind P (x = 0) = 1 9<br />
Hier handelt es sich um ⎛ eine ⎞ Binominalverteilung<br />
Formel: P (x = k) = ⎝ n ⎠ · p k · (1 − p) n−k<br />
k<br />
⎛ ⎞<br />
hier: Genau ein Kandidat → P (x = 1) = ⎝ 10 ⎠·( 1 9<br />
1<br />
)1·( 8 9 )9 = 0, 38493 = 38, 5%<br />
Tabellenwerk Binominalverteilung<br />
d) Das ist eine typische 3x Mindestens Aufgabe<br />
. . . mind. teilnehmen → n gesucht<br />
. . . wenigstens(mindestens) ein Kandidat → P (x ≥ 1)<br />
. . . mehr als 90% (leicht abgewandelt) > 0, 9<br />
(mindestens wäre (≥ 0, 9)) und p = 1 9<br />
Ansatz:<br />
P n 1 (x ≥ 1) > 0, 90<br />
9<br />
Mindestens ein Kandidat, der keine Matheaufgabe lösen kann!<br />
Lösungsweg: Gegenereignis<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 174
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
→ 1 − P n 1 (x = 0) > 0, 9 | − 1<br />
9<br />
−P n 1 (x = 0) > −0, 1 | · (−1)<br />
9<br />
⎛<br />
+P n 1 (x = 0)<br />
⎞ 9<br />
< 0, 1<br />
⎝ n 0<br />
⎠ · ( 1 9 )0 · ( 8 9 )n < 0, 1<br />
→ ( 8 9 )n < 0, 1 | ln<br />
n · ln( 8 9 ) < ln 0, 1 | : ln( 8 9 )<br />
ln 0,1<br />
n > = 19, 55<br />
ln( 8 9 )<br />
Es müssen also mind. 20 Kandidaten teilnehmen!<br />
e) Hier ist ein Baumdiagramm zu empfehlen: Kuvert A und B → P (A) =<br />
1<br />
∧ P (B) = 1(50%)<br />
2 2<br />
A − P (A∩rot/rot) = 1 · 2 · 1<br />
2 5 4<br />
P A(rot1) = 2 5 ; P A(rot2) = 1 4 → P A(rot/rot) = 2 5 · 1<br />
4<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
Ā = B − P (B∩rot/rot) = 1 2 · 2<br />
5 · 1<br />
4<br />
P B (rot1) = 3 5 ; P B(rot2) = 2 4 → P B(rot/rot) = 3 5 · 2<br />
4<br />
P (rot/rot) = 1 2 · 2<br />
5 · 1<br />
4 + 1 2 · 3<br />
5 · 2<br />
4 = 1 5 → 20%<br />
f) Tatsächlich Rot deutet auf eine bedingte Wahrscheinlichkeit hin → P (B∩2rot),<br />
aus dem Baum ersichtlich<br />
Sie ist: 1 · 3 · 2<br />
2 5 4<br />
Wir folgern: P 2rot (B) = P (2rot∩B)<br />
= 1 2 · 3<br />
5 · 2<br />
4<br />
P (2rot) 1<br />
5 (aus e)) = 3 4 ˆ=75%<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.6 Stoachastik Aufgabengruppe II<br />
11.2.6 Stoachastik Aufgabengruppe II<br />
1. Es bietet sich eine Vierfeldertafel an, aus der alle Daten entnommen werden können.<br />
P (¯n) = 0, 88 → P (n) = 1 − 0, 88 = 0, 12<br />
P (v) = 0, 18 → P (¯v) = 1 − 0, 18 = 0, 82<br />
Achtung: P R (v) = 0, 6 ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, also nicht in der VFT!<br />
Es gilt: P R (v) = P (R∩v) → P (R ∩ v) = P<br />
P (R) R (v) · P (R) = 0, 6 · 0, 12 = 0, 072<br />
Jetzt können wir die VFT vervollständigen:<br />
R ¯R<br />
v 0, 072 0, 108 0, 18<br />
¯v 0, 048 0, 772 0, 82<br />
0, 12 0, 88 1<br />
a) „noch nicht gelesen“ ¯R ist Bedingung → P ¯R(v)<br />
→ P ¯R(v) = P ( ¯R∩v)<br />
P ( ¯R) = 0,108 ≈ 0, 12273 ≈ 12, 3%<br />
0,88<br />
b) P ( ¯R∪ ¯v) Eine aus den befragten zufällig ausgewählte Person hat das Buch zum<br />
Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen oder die Verfilmung noch nicht<br />
gesehen.<br />
Berechnung: P ( ¯R ∪ ¯v) = P ( ¯R) + P (¯v) − P ( ¯R ∩ ¯v) VFT!<br />
= 0, 88 + 0, 82 − 0, 772 = 0, 928 = 92, 8%<br />
2. Bestimmung der Entscheidungsregel von einem Signifikanztest<br />
p o ≤ 0, 15<br />
A<br />
Ā<br />
0 . . . k k + 1 . . . 100<br />
→ Annahmebereich von {0 . . . k} = A<br />
rechtsseitiger Test, da der Ablehnungsbereich rechts liegt!<br />
→ Ablehnungsbereich von {k + 1 . . . 100} = Ā<br />
Berechne die irrtümlich Ablehnung der Nullhypothese<br />
P0,15(x 100 ≥ k + 1) ≤ 0, 10 = Signifikanzniveau mit Fehler unter 10%<br />
1 − P0,15(x 100 ≤ k) ≤ 0, 10 | − 1<br />
−P0,1500(x 1 ≤ k) ≤ −0, 9 | · (−1)<br />
P 1 0,1500(x ≤ k) ≥ 0, 9 Tafelwerk kummuliert! Achtung!<br />
k = 20<br />
→ Ā = {21 . . . 100}; A = {0 . . . 20}<br />
Lesen mindestens 21 Jugendliche den Roman, wird die Nullhypothese abgelehnt!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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Seite 176
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.6 Stoachastik Aufgabengruppe II<br />
3. Kombinatorik<br />
α) nicht unterschieden → ohne Rechenfolge/ohne Wiederholung, da jeder nur einen⎛<br />
Platz ⎞ bekommen ⎛ ⎞ kann!<br />
→ ⎝ n ⎠ = ⎝ 8 ⎠ = 56<br />
k 5<br />
8 SHIFT nCr 5<br />
β) Personen werden unterschieden → 8 SHIFT nPr 5<br />
aber keine Wiederholung oder 8 · 7 · 6 · 5 · 4( 8!<br />
⎛ ⎞<br />
(8−5) )<br />
oder ⎝ n ⎠ · k! = 56 · 5! = 6720<br />
k<br />
(1 Gast → ) 8 Möglichkeiten · (2 Gast) 7 Möglichkeiten · (3 Gast) 6 Möglichkeiten<br />
· (4 Gast) 5 Möglichkeiten · (5 Gast) 4 Möglichkeiten<br />
→ gemeinsames Erscheinen von Ehrengästen/Ehepaare/Bekannte<br />
→ Ablehnen eines Platzes<br />
4. a) Binominalverteilungen:<br />
A Vorhang funktioniert ⎛ ⎞ immer n = 15; k = 15; ⎛ p = ⎞0, 9; 1 − p = 0, 1<br />
Bp n (x = k) = ⎝ n ⎠ · p k · (1 − p) n−k = ⎝ 15 ⎠ · 0, 9 15 · 0, 1 0 = 0, 9 15 =<br />
k<br />
15<br />
0, 20589 ≈ 20, 6%<br />
B Vorhang funktioniert ⎛ ⎞ vier mal am Anfang<br />
→ 0, 9 4 → ⎝ n ⎠ fällt weg, da die Stellen 1-4 genau festgelegt sind!<br />
k<br />
⎛dann geht ⎞ er 2 mal nicht aus 11 Versuchen<br />
⎝ 11 ⎠ · 0, 1 2 · 0, 9 9<br />
2<br />
oder<br />
er ⎛ geht ⎞9 mal aus 11 Versuchen<br />
⎝ 11 ⎠ · 0, 9 9 · 0, 1 2<br />
9<br />
⎛ ⎞<br />
⎛<br />
→ 0, 9 4 · 0, 1 2 · 0, 9 9 · ⎝ 11 ⎠ oder 0, 9 4 · 0, 1 2 · 0, 9 9 · ⎝ 11<br />
2<br />
9<br />
13, 98%<br />
⎞<br />
⎠ = 0, 13980 ≈<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.6 Stoachastik Aufgabengruppe II<br />
b) Bedeutung Urnenmodelle: da p = 0, 9 und 1 − p = 0, 1 fest bleiben, kann<br />
es ⎛ sich ⎞ nur um das Urnenmodell mit zurücklegen, mit Reihenfolge handeln:<br />
⎝ n ⎠ · p k · (1 − p) n−k<br />
k<br />
Simulation n = 10 Kugeln, davon sind 9 gleichfarbig und 1 andersfarbig:<br />
→ p = 9<br />
10 → 1 − p = 1<br />
10<br />
p = 0, 9 bedeutet dann, dass der Schließmechanismus funktioniert und 1 − p =<br />
0, 1 es muss mit der Hand gezogen werden.<br />
c) Binominalverteilung: → E = n · p; n = 15; p = 0, 1<br />
= 15 · 0, 1 = 1, 5<br />
√<br />
δ(x) = n · p · (1 − p) = √ 15 · 0, 1 · 0, 9 ≈ 1, 2<br />
Intervall: [M − δ; M + δ] → abweichen um ±δ(Standardabweichung)<br />
[1, 5 − 1, 2; 1, 5 + 1, 2] = [0, 3; 2, 7]<br />
−1, 2 +1, 2<br />
0 x ≥ 3<br />
0, 3 2, 7<br />
3<br />
1, 5<br />
P(x = 0) P(x ≥ 3)<br />
→ mehr als 1 Standardabweichung ist links und rechts vom Intervall<br />
P Gesucht P (x = 0) = 0, 20589 + P (x = 3) + P (x = 4) + . . .<br />
Tabellenwerk +P 15<br />
0,1(x ≥ 3) = 1 − P 15<br />
0,1(x ≤ 2) = 1 − 0, 81594<br />
P Gesucht 0, 20589 + 1 − 0, 81594 = 0, 38995<br />
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Seite 178
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
11.2.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
1. a) Normalenform<br />
1. Vektoren AB # » und AD<br />
# »<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
3 − 0 3<br />
# »<br />
AB = ⎜ 2 − 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 − 3 0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 − 0 0<br />
# »<br />
AD = ⎜ 6 − 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 − 3 −2<br />
2. Vektorprodukt für nE<br />
̸ 3 ̸ 0<br />
⎛<br />
# »<br />
AB × AD # »<br />
0 4<br />
=<br />
0 −2<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
3 0<br />
∣ 0 4 ∣<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
→ nE = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
0(−2) − 0 · 4<br />
0 · 0 − 3 · (−2)<br />
3 · 4 − 0 · 0<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
6<br />
12<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ : 6 = ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
3. Normalenform:<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
E : ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ( #» x − #» a ) = 0<br />
2<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 x 1 − 0<br />
→ ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ x<br />
⎝ 2 − 2 ⎟<br />
⎠ = 0<br />
2 x 3 − 3<br />
0 · (x 1 − 0) + 1 · (x 2 − 2) + 2 · (x 3 − 3) = 0<br />
x 2 − 2 + 2x 3 − 6 = 0<br />
→ E : x 2 + 2x 3 − 8 = 0<br />
b) Abstand/Punkt Ebene<br />
Bestimme Hesseform von E; | # » nE| = √ 0 2 + 1 2 + 2 2 = √ 5<br />
E H :<br />
1 √5 · (x 2 + 2x 3 − 8)<br />
R in E H d(R, E) = ∣ ∣ ∣<br />
1 √5 · (0 + 2 · 0 − 8) ∣ ∣ ∣ =<br />
∣ ∣∣ 1 √5 · 8 ∣ ∣ ∣ =<br />
8 √5 = 8√ 5<br />
5<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 179
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
c) C,H,K verschieben sich jeweils nur um die x 1 -Werte, da die x 2 , x 3 -Werte parallel<br />
zu AD # » und somit zur x 2 , x 3 -Ebene sind!<br />
G(2|4|2) → C(1|4|2)<br />
C(3|6|1) → H(2|6|1) → K(1|6|1)<br />
Fläche Fenster → Rechtecksfläche<br />
A R = l · b b = 1 l = | HG|<br />
# »<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 − 3 0<br />
# »<br />
HG = ⎜ 4 − 6 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ → | HG| # » = √ 0 2 + 2 2 + 1 2 = √ 5<br />
2 − 1 1<br />
→ A R = 1 · √5<br />
= √ 5[m 2 ]<br />
d) Zuerst E bestimmen:<br />
E liegt in der x 1 , x 3 -Koordinatenebene.<br />
D.h. einfachste Form⎛kein⎞x 2 -Wert.<br />
→ x 2 = 0 und nE # » 0<br />
= ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
g in E<br />
⎛<br />
g : #» x = G #» + k · V #» = ⎜<br />
⎝<br />
2<br />
4<br />
2<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ + k · ⎜<br />
⎝<br />
−2<br />
−8<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ nur in die x 2-Koordinate einsetzen!<br />
g : x 2 = 4 − 8t → 4 − 8t = 0 → t = 1 2<br />
t = 1 wieder in g eingesetzt liefert uns S!<br />
2⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 −2 1<br />
#»<br />
S = ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 1 ⎜<br />
2<br />
−8 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟ → S(1|0|1, 5)<br />
⎝ ⎠<br />
2 −1 1, 5<br />
Winkel zwischen Geraden ⎛ g und ⎞ Ebene E: ⎛<br />
−2<br />
Wir brauchen nur vg = ⎜ −8 ⎟<br />
⎝ ⎠ und nE = ⎜<br />
⎝<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 180
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
∣ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣<br />
−2 0<br />
⎜ −8 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
#»<br />
Formel: sin α =<br />
vg◦ nE<br />
# »<br />
∣ | vg|·| #» nE|<br />
# »<br />
∣ = −1 0<br />
∣<br />
√<br />
(−2) 2 +(−8) 2 +(−1) 2·√1<br />
= ∣ √−8<br />
∣∣ 69·1 = √8<br />
69<br />
→ SHIFT sin α<br />
∣<br />
→ α = 74, 4<br />
⎡⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
e) M GH = 1( G+ #» H) #» 2 2<br />
4 2<br />
= 1 ⎢⎜<br />
2 2<br />
4 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ + ⎜ 6 ⎟⎥<br />
⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜<br />
2<br />
10 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ → M # »<br />
GH<br />
(2|5|1, 5)<br />
2 1<br />
3 1, 5<br />
M liegt 1,5 über dem Boden, da x 3 = 1, 5. Wenn MH # » < 1, 5, dann berührt das<br />
Fenster ⎛den Boden⎞nicht!<br />
⎛ ⎞<br />
2 − 2 0<br />
# »<br />
MH = ⎜ 6 − 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ → | # » √<br />
MH| = 0 2 + 1 2 + (−0, 5) 2 = √ 1, 25 ≈<br />
1 − 1, 5 −0, 5<br />
1, 12<br />
| MH| # » = 1, 12 < 1, 5, deshalb kann das Fenster den Boden bei der Drehung<br />
nicht berühren!<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 1<br />
f) k : #» x = ⎜ 5, 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ + λ ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0, 4 0<br />
x 1 = 0 + 1λ⎫<br />
→ k verläuft parallel zur x 1 -Achse und damit auch zu CD ¯<br />
x 2 = 5, 5 ⎬<br />
unabhängig von λ;<br />
x 3 = 0, 4 ⎭<br />
x 2C = x 2D = 6 → Die Tiefe des Möbelstücks ist x 2C − x 2G = 6 − 5, 5 =<br />
0, 5[m] ˆ=50[cm]<br />
g) # » GH verläuft parallel verschoben zur x 2 , x 3 Koordinatenebene, da, G(2|4|2) und<br />
H(2|6|1), gleiche x 1 = 2 Werte haben. Die einfachste Form einer Ebene E wäre<br />
hierfür E : x 1 = 2.<br />
Diese Ebene schneidet die Gerade k in einem Punkt R auf der vorderen Oberkante<br />
des Möbelstücks, wo sich k ja bewegt!<br />
Wenn dann MR # » > MH # » kann das Fenster (immer) geschwenkt werden ohne<br />
das Möbelstück zu berühren!<br />
Rechnung:<br />
E ∩ k ⎛ x 1 = ⎞2 → k ⎛: x 1 ⎞= 0 + ⎛1t → ⎞0 + 1t = 2 → t = 2 in k<br />
0<br />
1 2<br />
k : #» x = ⎜ 5, 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 2 · ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 5, 5 ⎟ → R(2|5, 5|0, 4)<br />
⎝ ⎠<br />
0, 4 0 0, 4<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 181
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
2 − 2<br />
0<br />
# »<br />
MR = ⎜ 5, 5 − 5 ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜ 0, 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ → | # » √<br />
MR| = 0 2 + 0, 5 2 + (−1, 1) 2 = 1, 21<br />
0, 4 − 1, 5 −1, 1<br />
# »<br />
MR > MH # » → 1, 21 > 1, 12 → Das Fenster kann bedenkenlos geschwenkt<br />
werden!<br />
11.2.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
1. a) Besondere Lage ⎫ der Grundfläche ABC<br />
A(10|2|0) ⎪⎬<br />
B(10|8|0) alle drei Punkte haben den x 1 -Wert =10<br />
C(10|4|5)<br />
⎪⎭<br />
d.h. sie unterscheiden sich nur durch die x 2 und x 3 -Werte<br />
→ Sie liegen in der um +10 in x 1 -Richtung verschobenen und parallelen x 2 , x 3 -<br />
Koordinatenebene!<br />
V Prisma = G · W Prisma G = 1gh 2 D g = | AB| # » h D = d(C; AB)<br />
# »<br />
h Prisma = cT # » oder BS # » oder AR<br />
# »<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
g = AB # » 10 − 10 0<br />
= ⎜ 8 − 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 6 ⎟<br />
⎝ ⎠ → | AB| # » = √ 0 2 + 6 2 + 0 2 = 6<br />
0 − 0 0<br />
h D : x 3 -Wert von C, da AB in der x 1 , x 2 -Ebene liegen<br />
x 3 = 3 → h D = 3<br />
G ABC = 1gh = 16 · 3 = 9<br />
2 2<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
h Prisma = CT # » 2 − 10 −8<br />
= ⎜ 4 − 4 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ → | CT # » | =<br />
3 − 3 0<br />
h Prisma = 8<br />
→ V = G · h Prisma = 9 · 8 = 72<br />
√<br />
(−8) 2 + 0 2 + 0 2 = 8 →<br />
oder mit den Vektorformeln<br />
V = 1 AB # » ◦ ( AC # » × AR) # » ∣ 2<br />
∣ oder<br />
1<br />
∣ BA # » ◦ ( BC # » × BS) # » ∣ 2<br />
∣<br />
⎡⎛<br />
⎞ ⎡⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎤⎤<br />
⎡⎛<br />
⎞ ⎡⎛<br />
⎞ ⎛<br />
0 10 − 10 2 − 10<br />
0 0 −8<br />
V = 1 ⎢⎜<br />
2<br />
6 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ ◦ ⎢⎜<br />
4 − 2 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ × ⎜ 2 − 2 ⎟⎥⎥<br />
= 1 ⎢⎜<br />
⎝ ⎠⎦⎦<br />
2<br />
6 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ ◦ ⎢⎜<br />
2 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ × ⎜ 0<br />
⎝<br />
∣ 0 3 − 0 0 − 0 ∣ ∣ 0 3 0<br />
⎡⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
0 0<br />
1<br />
⎢⎜<br />
2<br />
6 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ ◦ ⎜ −24 ⎟⎥<br />
= 1 ⎝ ⎠⎦<br />
|0 − 144 + 0| = 1 |−144| = 72<br />
2 2 ∣ 0 10 ∣<br />
⎞⎤⎤<br />
⎟⎥⎥<br />
=<br />
⎠⎦⎦<br />
∣<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 182
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
b) E aus der Seitenfläche BST C<br />
1. Zwei Vektoren, ⎛ die die ⎞ Ebene ⎛ aufspannen ⎞<br />
z.B. BS # » 2 − 10 −8<br />
= ⎜ 8 − 8 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 − 0 0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
und BC # » 10 − 10 0<br />
= ⎜ 4 − 8 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ −4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 − 0 3<br />
2. Normalenvektor bestimmen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
nE = BS # » × BC # » −8 0<br />
= ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ × ⎜ −4 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
0 3<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
⎜ 24 ⎟<br />
⎝ ⎠ : 8<br />
32<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
→ nE = ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
4<br />
3. Normalenform: E : #» n ◦ ( #» x − #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b ) = 0<br />
0 x ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ 1 − 10<br />
⎜ x<br />
⎝ 2 − 8 ⎟<br />
⎠ = 0<br />
4 x 3 − 0<br />
0 · (x 1 − 10) + 3 · (x 2 − 8) + 4 · (x 3 ) = 0<br />
3x 2 − 24 + 12x 3 = 0<br />
E : 3x 2 + 12x 3 − 24 = 0<br />
c) Winkel zwischen zwei Seitenkanten:<br />
0 · 3 − 0 · (−4)<br />
0 · 0 − (−8) · 3<br />
(−8) · (−4) − 0 · 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
F ormel :<br />
cos ϕ = #» a ◦ #» b<br />
| #» a |·| ⃗ b|<br />
#» a =<br />
# »<br />
CA =<br />
#» b =<br />
# »<br />
CB =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
10 − 10<br />
2 − 4<br />
0 − 3<br />
10 − 10<br />
8 − 4<br />
0 − 3<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−2<br />
−3<br />
0<br />
4<br />
−3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 183
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
cos ϕ =<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 0<br />
⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−3 −3<br />
√<br />
0 2 +(−2) 2 +(−3) 2·<br />
√0 = √ 0−8−9<br />
2 +4 2 +(−3) 13·√ 2 25<br />
= 1<br />
5 √ → ϕ = 86, 13 6◦ (cos ϕ −1 )<br />
d) Der Punkt P muss in der Mitte von A und B liegen.<br />
So teilt er die Grundfläche ABC(da die Höhe h 0 gleich bleibt!) in zwei gleiche<br />
Teile. Die Höhe des Prismas bleibt mit h Prisma = # » CT auch gleich, so teilt die<br />
Ebene F aus den Punkte ⎡⎛<br />
F,C,T ⎞ ⎛in zwei ⎞⎤gleich⎛<br />
große⎞<br />
Volumenkörper!<br />
⎛ ⎞<br />
#»<br />
P = 1( A #» + B) #» 10 10 20 10<br />
= 1 ⎢⎜<br />
2 2<br />
2 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ + ⎜ 8 ⎟⎥<br />
⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜<br />
2<br />
10 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ → P (10|5|0)<br />
0 0<br />
0 0<br />
e) Anmerkung: Es würde ⎛ auch der ⎞ Mittelpunkt ⎛ ⎞ von R und S gehen!<br />
Q = 1( R #» + S #» 2 + 2 2<br />
) = 1 ⎜<br />
2 2<br />
3 + 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟ → Q(2|5|0) 1. Teilkörper: ABCT ist<br />
⎝ ⎠<br />
0 + 0 0<br />
eine dreiseitige Pyramide<br />
V P y = 1 · G · h = 1 · △ABC · | CT # » |<br />
3 3<br />
1<br />
9 · 8 = 24<br />
3<br />
Somit ist schon klar, dass die Volumen nicht gleich sein können, denn V Ges =<br />
72(10)<br />
→ V 2. Teilkörper = 72 − 24 = 48<br />
analog kann man auch mit Teilkörper 2 beginnen<br />
2. Teilkörper: ABRST ist eine vierseitige Pyramide mit Grundfläche ABRS als<br />
Rechtecksfläche und: Höhe h P y = x 3 t = 3<br />
V P y = 1 3 G · h<br />
G = l · b = | # » AB| · | # » BS| = |8 − 2| · |10 − 8| = 6 · 8 = 48<br />
→ V P y = 1 · 48 · 3 = 48<br />
3<br />
V Rest = 72 − 48 = 24<br />
f) 1. W liegt in der Ebene BSCT<br />
2. r = | # » W M|, also der Abstand von M zur Ebene BSCT<br />
3. Bestimme Hesseform von E BSCT<br />
⎛ ⎞<br />
E H : | nE| # » = √ 0 2 + 3 2 + 4 2 = √ 0<br />
25 = 5(nE = ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ )<br />
4<br />
→ E H : 1 · (3x 5 2 + 4x 3 − 24)<br />
Setze M in E H ein d(M, E) = 1 5<br />
1, 5 → M(5|6, 5|3)<br />
· (3 · 6, 5 + 4 · 3 − 24) =<br />
7,5<br />
5 = 1, 5 → r =<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 184
11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
Den Berührpunkt W erhält man als Schnittpunkt von der Lotgeraden l und<br />
der Ebene BSCT<br />
1. Bestimme l: #» h E = #» ⎛ ⎞ v l ; ⎛M ∈⎞l<br />
5<br />
0<br />
l : X = ⎜ 6, 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ + λ · ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ → nE<br />
# »<br />
3<br />
4<br />
2. Schneide l mit E → l ∩ E = {w}<br />
l in E einsetzen<br />
E : 3x 2 + 4x 3 − 24 = 0<br />
3(6, 5 + 3λ) + 4(3 + 4λ) − 24 = 0<br />
19, 5 + 9λ + 12 + 16λ − 24 = 0<br />
25λ + 7, 5 = 0<br />
25λ = −7, 5<br />
λ = −0, 3<br />
3. Setze λ ⎛= −0, 3⎞<br />
in l ein⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
5<br />
0 5<br />
l · #» x = ⎜ 6, 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ − 0, 3 ⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 5, 6 ⎟ → W (5|5, 6|1, 8)<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
4 1, 8<br />
g) Gesucht: | # » MM| ∗<br />
Wir brauchen M ∗<br />
Die Kugel rollt hinab berührt die x 1 , x 2 -Koordinatenebene wenn M ∗ von dieser<br />
Ebene x 1 , x 2 den Abstand r = 1, 5 hat. Da x 1 = x 2 = 0, muss x 3 = 1, 5<br />
Die Gerade auf der sich der Mittelpunkt bewegt lautet: g : #» x = m #» + t · vg #»<br />
vg<br />
#»<br />
ˆ= CB<br />
# »<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
5<br />
0<br />
g : #» x = ⎜ 6, 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ + t · ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠ → x 3 = −3 + 3t = 1, 5<br />
3<br />
−3<br />
t = 0, 5⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
5<br />
0 5<br />
#»<br />
M ∗ = ⎜ 6, 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 0, 5 · ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 8, 5 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
−3 1, 5<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
5 − 5<br />
0<br />
# »<br />
MM ∗ = ⎜ 8, 5 − 6, 5 ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1, 5 − 3 −1, 5<br />
→ | MM # » √<br />
∗ | = 0 2 + 2 2 + (−1, 5) 2 = 2, 5<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 185
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013<br />
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013<br />
11.3.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1<br />
1. a) Definitionsmenge: √ 3x + 9<br />
Der Radikand unter der Wurzel muss größer oder gleich Null sein.<br />
3x + 9 ≥ 0<br />
3x ≥ −9<br />
x ≥ −3<br />
D g [−3; +∞[ oder D g = {x|x ≥ −3}<br />
Nullstelle: g(x) = 0 setzen!<br />
√ 3x + 9 = 0 |<br />
2<br />
b)<br />
3x + 9 = 0<br />
x = −3 N(−3|0)<br />
Merke:<br />
√<br />
| f(x)| ′ = 1f ′ (x)<br />
√<br />
2<br />
f(x)<br />
y = mx + t m = f ′ (x) = 1·3<br />
2 √ ; aus<br />
3x+9<br />
m = f ′ (0) =<br />
2·√0+9 3 = 1 2<br />
Setze P (0|3) ein 3 = 1 · 0 + t 2<br />
t = 3 → y = 1 2 x + 3<br />
2. Funktionsterme bestimmen aus Wertemenge<br />
a)<br />
W f = [2; +∞] D f = R → z.B. Parabeln der Form<br />
f(x) = +x 2 + 2 oder<br />
f(x) = 2x 2 + 2 = 3x 2 + 2 usw.<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 186
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.1 Analysis Aufgabengruppe I Teil 1<br />
b)<br />
W f = [−2; 2] D f = R eine Wertemenge, die zwischen zwei festen Werten liegt,<br />
erfüllen z.B. sin − und cos -Funktionen<br />
hier z.B. f(x) = 2 · sin x oder f(x) = 2 · cos x<br />
Entscheidend dabei ist die Amplitude 2<br />
3. Bei einer Gleichung mit mehreren Faktoren in Klammern setzt du einfach alle Klammern<br />
getrennt Null!<br />
d.h.<br />
ln x − 1 = 0 ; e x − 2 = 0 ;<br />
1<br />
x<br />
ln x = 1|e e x = 2|ln<br />
1<br />
x<br />
x = e 1 e = ln 2 1 = 3x<br />
→ Lösungen:<br />
x 1 = e<br />
N 1 (e|0)<br />
x 2 = ln 2 N 2 (ln 2|0)<br />
x 3 = 1 3<br />
N 3 ( 1 3 |0)<br />
1<br />
= x 3<br />
4. Wichtig: f(x) ist die Steigungsfunktion von F (x), da gilt F ′ (x) = f(x)<br />
aus f(x) können wir herleiten:<br />
1. für x < 0 gilt f(x) > 0 → F (x) steigt von ] − ∞; 0[<br />
2. für x > 0 gilt f(x) < 0 → F (x) fällt bis ca. 2,3 → x ←]0; 2, 3[ F (x) fällt<br />
3. aus 1. und 2. folgt bei x 1 = 0 hat F (x) einen Hochpunkt H(0|?)<br />
4. für x 2 ≈ 2, 3 hat f(x) eine Nullstelle<br />
5. für x > 2, 3 gilt f(x) > 0 → F (x) steigt wieder bis ∞ x ∈]2, 3; +∞[ F (x)<br />
steigt!<br />
6. Da gilt: bis x = 2, 3 fällt F (x) und danach steigt F (x), haben wir bei x ≈ 2, 3<br />
eine Tiefpunkt T(2,3,?)<br />
∫<br />
aus F (x) = x f(t)dt folgern wir:<br />
1<br />
7.<br />
8.<br />
1∫<br />
f(t)dt = 0 obere und untere Intralgrenze ist gleich → Nullstelle bei x = 1<br />
1<br />
1∫<br />
−1,2<br />
f(t)dt = 0 Flächenbilanz ist ca. 0 → bei x = −1, 2 hat F (x) eine weitere<br />
Nullstelle<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 187
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
9.<br />
0∫<br />
f(t)dt : negatives Integral und umgekehrte Integration von rechts nach links<br />
1<br />
→ Integralwert ist positiv!<br />
bei x = 0 ist der Hochpunkt, der Integralwert ist eine Dreickecksfläche mit<br />
A △ = 1 · 1 · 1 = 0, 5 → HoP (0| ≈ 0, 5)<br />
2 ∣ 0∫<br />
∣∣∣∣ 10.<br />
f(t)dt<br />
∣−1,2<br />
∣ = 0∫<br />
f(t)dt<br />
= 0 → bei x = 1 Nullstelle, siehe auch Nr. 8<br />
1 ∣ ∣ ≈2,3<br />
∫<br />
∣∣∣∣ 11.<br />
f(t)dt<br />
∣ 1 ∣ = ≈2,8 ∫<br />
≈2,3∣ → ≈2,8 ∫<br />
f(t)dt = 0 → F (x) hat bei x ≈ 2, 8 die letzte<br />
1<br />
Nullstelle<br />
12. bei x ≈ 2, 3 ist der minimale Wert(Nr. 6) → 2,3 ∫<br />
1<br />
f(t)dt = y-Wert des Tiefpunkts,<br />
der Wert ist negativ und in etwa eine Rechtecksfläche mit b=1,3; l=1<br />
A R = 1, 3 · 1 = 1, 3 → T iP (2, 3| − 1, 3)<br />
y<br />
f(x)<br />
1<br />
F(x)<br />
−2<br />
−1<br />
−1<br />
1 2 3<br />
x<br />
11.3.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
f(x) = 2x · e −0,5x2<br />
1. a) Symmetrie<br />
Setze −, x in f(x) ein<br />
1. f(−x) = f(x) y-Achsensymmetrie<br />
2. f(−x) = −f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung<br />
hier: f(−x) = 2 · (−x) · e −0,5·(−x)2 = −2x · e −0,5·x2 = −f(x)<br />
→ Punktsymmetrie zum Ursprung<br />
lim 2x · e−0,5·(∞)2 = +∞ · 0 + = 0<br />
x→+∞<br />
b) Extremwerte bestimmen<br />
1. f ′ (x) bestimmen<br />
2. f ′ (x) = 0 setzen<br />
3. Monotonieverhalten: HoP, TiP, TeP<br />
4. y-Werte der Extremwerte bestimmen druch einsetzen in f(x)<br />
Abi – Crasher<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 188
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
1.<br />
f ′ (x)<br />
= 2 · e −0,5x2 + 2x · e −0,5x2 · (−x)<br />
= 2 · e −0,5x2 − 2x 2 · e −0,5x2<br />
= e −0,5x2 · (2 − 2x 2 )<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
f ′ (x) e −0,5x2 wird nie null! ·(2 − 2x 2 ) = 0 Setze e-freien Teil = 0<br />
f ′ (x)<br />
2 − 2x 2 = 0<br />
x < −1 −1 < x < 1 x > 1<br />
− 0 + 0 −<br />
x 2 = 1 x 1 = −1; x 2 = +1<br />
y-Wert f(−1) = 2 · e −0,5·(−1)2 f(1) = 2 · e −0,5·12<br />
= −2 · e −0,5 = −2 = − 2 e 0,5 √ e<br />
= 2 · e −0,5 = 2<br />
e 0,5<br />
→ T iP (−1| − √ 2 e<br />
) → HoP (1| √ 2 e<br />
)<br />
= 2 √ e<br />
c) m s = f(0,5)−f(−0,5)<br />
0,5−(−0,5)<br />
1, 76<br />
= △y<br />
△x = 2·0,5·e−0,5(0,5)2 −2(−0,5)·e −0,5(−0,5)2<br />
1<br />
= e − 1 8 +e − 1 8 = 2·e − 1 8 ≈<br />
m t = f ′ (0); aus 1b) f ′ (x) = 2 · e −0,5x2 · (1 − x 2 )<br />
m t = f ′ (0) = 2 · e 0 · (1 − 0 2 ) = 2<br />
Abweichung: mt−ms<br />
m t<br />
· 100% = 2−1,76<br />
2<br />
· 100 ≈ 12%<br />
d) Fläche bestimmen zwischen x-Achse und f(x) und x ≥ 0<br />
A (u) = ∫ u<br />
0 f(x)dx =?<br />
f(x) = 2x · e −0,5x2<br />
F (x) = 2 − 2e −0,5x2 + 4, da<br />
F ′ (x) = −2 · e −0,5x2 · (−x) + 2x · e −0,5x2 = f(x)<br />
→ A (u) = [2 − 2e −0,5x2 ] u 0 = 2 − 2e −0,5u2 − (2 − 2e 0 ) = 2 − 2e −0,5u2<br />
lim 2 − 2e−0,5·(+∞)2 = 2 − 0 = 2 Geometrische Deutung:<br />
u→+∞<br />
Die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Positiven hat<br />
einen endlichen Wert, und zwar 2.<br />
e) Setze:<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 189
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
f(x) = h(x)<br />
2x · e −0,5x2 =<br />
2<br />
· x| − 2 · x<br />
e 2 e 2<br />
2x · e −0,5x2 − 2 · x<br />
e 2 = 0<br />
x(2e −0,5x2 − 2 e 2 ) = 0<br />
Merke:<br />
x 1 = 0; Setze Klammer 2 · e −0,5x2 − 2 e 2 = 0<br />
1<br />
e k<br />
2 · e −0,5x2 = 2 e 2 | : 2<br />
e −0,5x2 = 1 e 2<br />
wenn Basis gleich, setze → −0, 5x 2 = −2<br />
= e −2<br />
= e −k<br />
Exponenten gleich x 2 = 4 → x 2 = 2; x 3 = −2<br />
B = ∣ ∫ 2 ∣ 0 (f(x) − h(x))dx∣ ∣ F (x) − H(x)<br />
A 2 x ≥ 0 → B = ∫ 2<br />
0 (f−h)dx = [ ]<br />
2 − 2e −0,5x2 − ̸2 2<br />
· x2 = [ ] 2<br />
2 − 2e −0,5x2 − x2<br />
e 2 ̸2 0 e<br />
[ 2 0<br />
aus 1d) 2 − 2e −2 − 4 − (2 − 2e 0 − 0) ]<br />
( e 2<br />
2 − 2<br />
2<br />
− 4 − ̸ 2+ ̸ 2 ) = (2 − 6 )<br />
e 2 e 2 e 2<br />
2. a) g c (x) = f(x) + c = 2x · e 0,5x2 + c<br />
g ′ c(x) = f ′ (x) = 0 → g c (x) hat den gleichen x-Wert als Hochpunkt<br />
x H = 1<br />
g c (1) = f(1) + c<br />
1<br />
2 √ + c → HoP(1| 1<br />
e 2 √ + c) e<br />
Abstand lim g c(x) = lim f(x) + c = 0 + c = c<br />
x→+∞ x→+∞<br />
Wenn f(x) gegen +∞ gegen null geht, muss g c (x) logischerweise gegen c gehen!<br />
b) g c (x) = 2x · e −0,5x2 + c HoP von f(x) bei NoP (1| 1<br />
2 √ e )<br />
TiP von f(x) bei T iP (−1| − 1<br />
2 √ e )<br />
α) Wenn c > 1<br />
2 √ e oder c < − 1<br />
2 √ e ist liegt g c(x) komplett oberhalb der x-Achse<br />
→ keine Nullstelle<br />
β) Wenn c = 1<br />
2 √ und c = − 1<br />
e 2 √ e<br />
Nullstelle!<br />
dann berührt g(x) die x-Achse → genau eine<br />
γ) Wenn − 1<br />
2 √ e < c < + 1<br />
2 √ e<br />
c) A 1 = ∫ 3<br />
0 f(x)dx<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
dann gibt es genau zwei Nullstellen<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 190
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2<br />
A 2 = ∫ 3<br />
0 g(x)dx<br />
A 2 besteht aus einer Rechtecksfläche A R = l · b; l = 3; b = c; A R = 3 · c<br />
und der Integralfläche von f(x) von 0 bis 3(nur um c Einheiten noch oben<br />
verschoben).<br />
Zusammen: A 2 = ∫ 3<br />
0 f(x)dx + 3c<br />
3. a) g 1,4 (x) = 2x · e −0,5x2 + 1, 4 siehe Kopie Tabelle eingeben von −3 bis 3 für<br />
x, Werte einzeichnen<br />
Die Zeichnung zeigt, dass die Geburtenziffer zwischen<br />
x ∈ [0, 4; 1, 8]<br />
> 2, 1 Startjahr 1955 ˆ=x = 0 0,1 entspricht einem Jahr<br />
Zeitraum: 1959 − 1973 → 1959; x = 0, 4 +4 Jahre<br />
b) Künftige Entwicklung aufgrund des Modells<br />
→ 1973; x = 1, 8 +18 Jahre<br />
lim g 1,4(x) =?; lim (2 + ∞) ·<br />
x→+∞ x→+∞ e−0,5(+∞)2 + 1, 4 = 1, 4<br />
+∞ · 0 +1, 4<br />
auch aus 2a) ersichtlich,<br />
da<br />
lim f(x) = c; c = 1, 4<br />
x→+∞<br />
Die Geburtenziffer wird sich nach Grundlage des Modells langfristig auf den<br />
Wert 1,4 zu bewegen, aber nicht unterschreiten!<br />
c) Erklärung:<br />
Die statistische Abnahme, d.h. die steilste negative Steigung (statistische Abnahme<br />
der Geburtenziffer)<br />
Diese findet man immer am Wendepunkt!<br />
Danach nimmt die negative Steigung wieder ab, d.h. die Abnahme der Geburtenziffer<br />
wird wieder schwächer!<br />
Lösungsweg rechnerisch zwar nicht erforderlich, aber einfacher und verständlicher!<br />
1.<br />
u · v<br />
f ′ 1,4(x) = f ′ (x) = 2e −0,5x2 · (1 − x 2 ) aus 1a)<br />
u ′ · v + u · v ′<br />
f ′′ (x) = 2e −0,5x2 · (−x) · (1 − x 2 ) + 2e −0,5x2 · (−x) Produktregel:<br />
(u · v) ′ = u ′ · v + u · v ′<br />
= 2e −0,5x2 [(−x) · (1 − x 2 ) + (−2x)]<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 191
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
2e −0,5x2· [−x + x 3 − 2x] = 0<br />
> 0 +x 3 − 3x = 0 Setze e-freien Teil=0<br />
x(x 2 − 3) = 0<br />
2. f(x) ′′ = 0 → x 1 = 0 x 2 − 3 = 0<br />
x 2 = 3<br />
x 2 = √ 3 (x 3 = − √ 3)<br />
Startwert<br />
Krümmungsverhalten:<br />
√<br />
x < 3 x ><br />
f(x) ′′ − W eP +<br />
rechtsgekr. 0 linksgekr.<br />
11.3.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
1. Definitionsmenge:<br />
hier: f(x) = ln(2013x)<br />
Merke: Definitionsmenge<br />
ln f(x) → f(x) > 0<br />
Argument > 0 → 2013 − x > 0 | + x<br />
2013 > x → x < 2013 D f =] − ∞; 2013[ o. {x|x < 2013}<br />
Verhalten an den Rändern:<br />
lim f(x) = ln(2013 − (−∞)) = ln(2013 + ∞) = +∞<br />
x→−∞<br />
Merke:<br />
ln(+∞) = +∞<br />
lim f(x) =<br />
x→2013 ln(0+ ) = −∞<br />
−<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 192
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
Merke:<br />
ln x→0 (x) = −∞<br />
f(x) = 0 → ln(2013 − x) = 0 |e □<br />
2013 − x = e 0<br />
Nullstelle:<br />
−x = 1 − 2013<br />
−x = −2012<br />
x = 2012 N(2012|0)<br />
Schnittpunkt y-Achse<br />
f(0) = ln(2013 − 0) = ln(2013) ≈ 7, 61 y(0| ln 2013)<br />
2. f(x) = x sin x<br />
f ′ (x) = 1 · sin x + x · cos x Produktregel<br />
f ′′ (x) = cos x + 1 · cos x + x · (− sin x) Produktregel<br />
= 2 cos x − x · sin<br />
f ′′ (0) = 2 cos 0 − 0 · sin 0 = 2 positiver Wert → Linkskrümmung<br />
Krümmungsverhalten um x = 0, da f ′′ (x) ≠ 0 kann kein Wendepunkt und somit<br />
auch kein Krümmungswechsel vorliegen.<br />
f ′′ (x) x < 0 0x > 0<br />
+ + +<br />
3. a) Skizze ?<br />
b) d(x) = e −x − x 3 Newtonverfahren x n = x 0 = 1 (vorgegeben!)<br />
Bestimme<br />
d ′ (x) = e −x · (−1) − 3x 2 = −e −x − 3x 2<br />
Setze: x 0 = 1 in d(x) und d ′ (x) ein.<br />
f(x 0 ) = f(1) = e −1 − 1 3 = e −1 − 3<br />
x n+1 = x n − f(xn)<br />
f ′ (x n)<br />
f ′ (x 0 ) = f ′ (1) = −e −1 − 3 · 1 = −e −1 − 3<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 193
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.3 Analysis Aufgabengruppe II Teil 1<br />
Setze alle Werte in die Newtonformel: x 1 = x 0 − f(x 0)<br />
f ′ (x 0 ) = 1 − e−1 −1<br />
−e −1 −3<br />
4. a) Es handelt sich hier um zwei Halbkreisflächen<br />
r = 1; A Kreis = r 2 π → A Halbkreis = 1 2 r2 π = 1 2 12 π = 1 2 π<br />
≈ 0, 81<br />
Nun zu den Integralen<br />
∫<br />
F (x) = x f(t)dt<br />
0<br />
∫<br />
F (0) = − 0 f(t)dt = 0, obere und untere Integralgrenze gleich → Wert ist 0<br />
F (2) = 2 ∫<br />
0<br />
0<br />
f(t)dt = 1 π, siehe Zeichnung: das Integral von 0 bis 2 beschreibt eine<br />
2<br />
komplette Halbkreisfläche mit r=1 und Inhalt 1π<br />
2<br />
F (−2) = −2 ∫<br />
f(t)dt = − 1 π Zeichnung: Integriert wird von rechts nach links, da<br />
2<br />
0<br />
die größere Integralgrenze unten steht → der Integralwert ist negativ.<br />
Der Wert des Integrals beschreibt wiederrum eine komplette Halbkreisfläche<br />
mit r=1 und Wert 1 2 π → − 1 2 π<br />
b) Zeichnung:<br />
−3 −2<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
2 −1<br />
1 −2<br />
(−2| ≈ −1, 57)<br />
(2| ≈ 1, 57)<br />
1 2 3<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 194
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
1 F (−2) = − 1 π ≈ −1, 57, danach steigt die Kurve an, Maximal bis zu F(-1),<br />
2<br />
danach steigt die Kurve zwar weiter aber wieder langsamer!<br />
2 F (0) = 0, siehe a), danach verhält sich die Kurve wie zwischen -2 und 0<br />
3 F (2) = 1 π ≈ 1, 57, siehe a)<br />
2<br />
11.3.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
1. a) Definitionslücke x = −1 → senkrechte Asymptote<br />
schräge oder waagrechte Asymtote über<br />
lim f(x)<br />
x→±∞<br />
lim<br />
x→−∞<br />
lim<br />
x→+∞<br />
1<br />
2 (−∞) − 1 2 + 8<br />
−∞+1 = −∞ − 1 2 + 0 = −∞<br />
1<br />
2 (+∞) − 1 2 + 8<br />
+∞+1 = +∞ − 1 2 + 0 = +∞ ⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪ ⎭<br />
→ kein fester Grenzwert<br />
→ schräge Asymptote<br />
Die schräge Asymtote ist in diesem Fall, der Teil, der nicht gegen 0 läuft also<br />
a(x) = 1 2 x − 1 2 .<br />
Das bedeutet, dass sich der Graph von f bei ganz großen negativen und positiven<br />
Werten an a(x) = 1 2 x − 1 2 annähert!<br />
Rechnerisch zeigen, dass f(x) a(x) nicht schneidet!<br />
f(x) = a(x)<br />
Gleichsetzen:<br />
b) Extremwertbestimmung:<br />
1. f ′ (x) bestimmen<br />
2. f ′ (x) = 0 setzen<br />
3. Monotonieverhalten<br />
1<br />
2 2 x+1<br />
= 1x − 1 2 2<br />
| − 1x − 1 2 2<br />
8<br />
x+1<br />
= 0 | · (x + 1)<br />
8 = 0 `kein Schnittpunkt möglich!<br />
4. y-Wert von Extremwert berechnen<br />
1. f ′ (x) = 1 2 + 0·(x+1)−8·1<br />
(x+1) 2 = 1 2 − 8<br />
(x+1) 2<br />
2. f ′ 1<br />
(x) = 0 − 8<br />
−8<br />
= 0; = − 1|·(−1); 8<br />
= 1 2 (x+1) 2 (x+1) 2 2 (x+1) 2 2<br />
16 = (x + 1) 2 | √ □; ±4 = (x + 1)<br />
x 1 = −5; x 2 = 3<br />
überkreuz multiplizieren ;<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 195
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
3. Monotonietabelle von f ′ (x) = 1 2 − 8<br />
(x+1) 2<br />
4. y-Werte<br />
f(x)<br />
f(−5) = 1 · (−5) − 1 + 8 = − 5 − 1 + 8<br />
2 2 (−5)+1 2 2 (−4)<br />
→ HoP(−5| − 5)<br />
f(3) = 1 2 · 3 − 1 2 + 8<br />
3+1 = 3 2 − 1 2 + 2 = 3<br />
→ TiP(3|3)<br />
2. a) f(x) = 1 2 x − 1 2 + 8<br />
x+1<br />
g(x) : x → x − 1<br />
g(x) → f(x − 1) + 1<br />
x < −5 < x < 3 x > 3<br />
+ 0 − 0 +<br />
HOP<br />
TIP<br />
x = −5 x = 3<br />
= −3 − 2 = −5<br />
→ g(x) = 1 2 (x − 1) − 1 2 + 8<br />
(x−1)+1 + 1 = 1 2 x − 1 2 − 1 2 + 8 x + 1 = 1 2 x− ̸ 1 + 8 x + ̸ 1 =<br />
1<br />
2 x + 8 x = g(x)<br />
Punktsymmetrie zum Ursprung<br />
g(−x) = −g(x)<br />
Einsetzen: g(−x) = 1 2 (−x) + 8<br />
(−x) = − 1 2 x − 8 x = −( 1 2 + 8 x ) = −g(x)<br />
b) f(x) = 1x − 1 + 8 → Merke es gilt: 8·1<br />
2 2 x+1 1x+1<br />
F (x) = 1 · x2 − 1 + 8 · ln |x + 1| + c<br />
2 2 2<br />
8·f ′ (x)<br />
f(x)<br />
→ ∫ 8·f ′ (x)<br />
f(x)<br />
= 8 · ln(f(x))<br />
Also gilt: ∫ 4<br />
0 f(x)dx = [ 1<br />
4 x2 − 1x + 8 · ln |x + 2 1|] 4<br />
0<br />
= 1 · 4 42 − 1 · 4 + 8 · ln |5| − (0 − 0 + 8 · ln 1) = 4 − 2 + 8 · ln 5 = 2 + 8 · ln 5<br />
2<br />
I = ∫ −2<br />
−6 f(x)dx =?<br />
Punktsymmetrie von f(x) zu P (−1| − 1)<br />
x = −1 senkrechte Asymptote<br />
Rechtecksfläche:<br />
l = 4; b = 2 (negativ, da unter x-Achse)<br />
→ I = ∫ −2<br />
−6 f(x)dx = −4·2− ∫ 4<br />
0 f(x)dx = −4·2−(2+8·ln 5) = −8−2−8 ln 5 =<br />
−10 − 8 ln 5<br />
3. a) f(x) = 1x − 1 + 8<br />
2 2 x+1<br />
f(0) = 0 − 1 + 8 = − 1 + 8 = 7, 5 → Bei x = 0, d.h. die Füllhöhe ist Null,<br />
2 0+1 2<br />
keine Flüssigkeit in der Dose, dann liegt der Schwerpunkt 7,5 über dem Boden!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 196
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2<br />
f(15) = 1 · 15 − 1 + 8 = 7, 5 − 1 + 1 = 7, 5 → Bei x = 15, d.h. bei<br />
2 2 15+1 2 2<br />
maximaler Füllhöhe, liegt der Schwerpunkt ebenso 7,5 über dem Dosenboden!<br />
b) V DOSE = r 2 π · h<br />
Bedeutung im Sachzusammenhang T iP (3|3) siehe 1b)<br />
→ Bei einer Füllhöhe von 3cm(x = 3) liegt der Schwerpunkt bei(f(3) = 3)<br />
genau auf gleicher Höhe.<br />
c) x =? f(x) ≤ 5cm<br />
→ 1x − 1 + 8<br />
2 2 x+1<br />
≤ 5<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
x+1<br />
≤ 5, 5 | · (x + 1)<br />
x · (x + 1) + 8 ≤ 5, 5 · (x + 1)<br />
1<br />
2 x2 + 1 x + 8 ≤ 5, 5x + 5, 5 | − 5, 5x − 5, 5<br />
2<br />
1<br />
2 x2 − 5x + 2, 5 ≤ 0<br />
Lösung über 1. Quadratische Ergänzung<br />
1<br />
2 x2 − 5x + 2, 5 ≤ 0 | · 2<br />
x 2 − 10x + 5 ≤ 0<br />
x 2 − 10x + 5 2 − 5 2 + 5 ≤ 0<br />
(x − 5) 2 ≤ 20 | √ □<br />
|x − 5| ≤ √ 20 = 2 √ 5<br />
x 1 ≤ 5 + √ 20 ≈ 9, 47<br />
x 2 ≥ 5 − √ 20 ≈ 0, 57<br />
→ I = [5 − √ 20; 5 + √ 20]<br />
≈ 0, 57 ≈ 9, 47<br />
Näherungswert aus Abbildung 2:<br />
f(6) = 7, 5 = f(15) = f MAX<br />
f(1) = 1 2 − 1 2 + 8 2 ≤ 5 → 4 ≤ 5<br />
ab x = 1 schon kleiner<br />
→ T iP (3|3) → x = 3 am kleinsten!<br />
→ dann wieder aufsteigend, aber langsamer<br />
z.B. Mittelwert zwischen 3 und 15 wählen<br />
x = 3+15<br />
2<br />
= 9 x = 9<br />
I = [1; 9] (genau, durch Berechnung!)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 197
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
11.3.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
1.<br />
a) Binominalverteilung ⎛ ⎞ x ˆ=Anzahl der Blutspender der Blutgruppe A<br />
Formel: ⎝ n ⎠ · p k · (1 − p) n−k P A = 37% + 6% = 43% = 0, 43<br />
k<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
Ges: P0,43(x 25 = 10) = ⎝ 25 ⎠·0, 43 10·(1−0, 43) 25−10 = ⎝ 25 ⎠·0, 43 10·0, 57 15 ≈<br />
10<br />
10<br />
0, 15388 ≈ 15, 4%<br />
b) Bernoullikette x ˆ=Anzahl der Blutgruppe 0 und Rh +<br />
Formel: P n p (x ≥ k) = 1 − P k p (x ≤ k − 1)<br />
P 25<br />
0,35(x ≥ 13) = 1 − P 25<br />
0,35(x ≤ 12)<br />
Tafelwerte n = 25; p = 0, 35, k = 13 kummulativ!<br />
Erläuterung: P 0Rh +<br />
= 35% = 0, 35 Mehr als die Hälfte der Spender 25 :<br />
2 = 12, 5 → 13 Spender<br />
P 25<br />
0,35(x ≥ 13) = 1 − P 25<br />
0,35(x ≤ 12) = 1 − 0, 93956 ≈ 6%<br />
c) Spenderblut für Empfänger Blutgruppe B und Rh- aus Tabelle P BRh− = P 0Rh− +<br />
P BRh− = 6% + 2% = 8% = 0, 08<br />
p = 0, 08, n =?<br />
„Mindestens/Mindestens/Mindestens-Aufgabe“ leicht abgewandelt!<br />
P n 0,08(x ≥ 1) > 0, 95<br />
„mindestens ein Blutspender geeignet“ Wahrscheinlichkeit mehr als (>)<br />
95%<br />
⎛<br />
⎝ n 0<br />
1 − P0,08(x n = 0) > 0, 95 | − 1 Umformung<br />
−P0,08(x n = 0) > −0, 05 | · (−1)<br />
⎞<br />
P0,08(x n = 0) < 0, 05 Ungleichheitszeichen umdrehen<br />
⎠ · 0, 08 0 · (0, 92) n < 0, 05<br />
1 · 1 · 0, 92 n < 0, 05 | ln<br />
n · ln 0, 92 < ln 0, 05 | : ln 0, 92 < 0 Ungleichheitszeichen umdrehen<br />
ln 0,05<br />
n > = 35, 9 → n = 36<br />
ln 0,92<br />
Es müssten mindestens 36 Personen Blut spenden, damit die Kriterien erfüllt<br />
wären!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 198
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.5 Stochastik Aufgabengruppe I<br />
2. Am besten eine Vierfeldertafel aufstellen, wobei hier erst zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten<br />
aufgelöst werden müssen!<br />
VFT in %<br />
S<br />
T 0, 07363 0, 77937 0, 85300<br />
¯T 0, 00037 99, 14663 99, 14700<br />
¯S<br />
0, 07400 99, 92600 100%<br />
„Wenn,dann“ → Bedingte Wahrscheinlichkeiten<br />
P S (T ) = 99, 5% → P S(T ) = P (S∩T )<br />
P (S)<br />
→ P (S∩T ) = P S(T ) ·P (S) = 99, 5%·0, 074% : 100 =<br />
0, 07363%<br />
Erneut eine bedingte Wahrscheinlichkeit<br />
P S(T ) = 0, 078% → P S(T ) = P ( ¯S∩T )<br />
P S<br />
→ P ( ¯S ∩ T ) = P ¯S(T ) · P ¯S = 0, 78 · 99, 926 =<br />
77, 94 : 100 = 0, 7794 (:100 wegen Wahrscheinlichkeiten in %)<br />
a) P (S ∪ T ) Die Stoffwechselkrankheit oder das Testergebnis ist positiv liegen<br />
nicht vor!<br />
P (S ∪ T ) = P (S ∩ T )<br />
Testergenis ist negativ!<br />
Die Stoffwechselkrankheit liegt nicht vor und das<br />
b) aus Tabelle: P (T ) = 0, 85%<br />
P (T ∩S)<br />
P T (S) = = 0,0736 · 100% ≈ 8, 6%<br />
P (T ) 0,853<br />
Wenn das Testergebnis positiv ist, dann haben 8,6% die Stoffwechselkrankheit.<br />
c) P (S ∩ ¯T ) = 0, 00037% · 1Mio = 0, 00037% · 10 6 : 100 = 3, 7<br />
Bei 1 Mio. getesteten Kindern würde man 3,7 Kinder erwarten bei denen die<br />
Stoffwechselkrankheit vorliegt, der Test aber negativ wäre, also man die Krankheit<br />
nicht erkennen würde, obwohl sie vorliegt!<br />
3. a) Baumdiagramm sinnvoll<br />
Urne: 3x rot<br />
3x grün<br />
3x blau<br />
Urnenmodell ohne zurücklegen<br />
0<br />
3<br />
9<br />
3<br />
9<br />
r<br />
g<br />
Gewinnerereignisse: Es interessieren nur Äste mit rrr,ggg,bbb<br />
2<br />
8<br />
2<br />
8<br />
r<br />
g<br />
1<br />
7<br />
r rrr = 3 · 2<br />
9<br />
1<br />
7<br />
b b b<br />
g<br />
· 1<br />
8 7<br />
ggg = 3 9 · 2<br />
8 · 1<br />
7<br />
bbb = 3 9 · 2<br />
8 · 1<br />
7<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
P (gleicher Farben)<br />
⎪⎭<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 199
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.6 Stochastik Aufgabengruppe II<br />
P (gleicher Farben) = 3 9 · 2<br />
8 · 1<br />
7 · 3 = 1<br />
28<br />
Tabelle: Gewinn-Verlust<br />
P(x)<br />
Gewinn<br />
1<br />
28<br />
Verlust<br />
Gewinn/Verlust in Euro x − 2 −2(Einsatz)<br />
Gewinn: xe − 2e(Einsatz)<br />
27<br />
28<br />
b) Erwartungswert:<br />
negativer Erwartungswert für Spiele ˆ= Gewinn für die Betreiber des „Krankenhauses“<br />
beträgt −1, 25<br />
1<br />
27<br />
(x − 2) + (−2) ·<br />
28 28<br />
= −1, 25<br />
1<br />
28 28 28<br />
= − 5 4<br />
1<br />
1<br />
| :<br />
28 4 28 4 28<br />
x = 21<br />
Es müssten 21 e ausbezahlt werden!<br />
11.3.6 Stochastik Aufgabengruppe II<br />
1. a) Vollständige Vierfeldertafel<br />
b)<br />
P (I) = 0, 12 → P (Ī) = 0, 88<br />
P (K) = 0, 44 → P ( ¯K) = 0, 56<br />
P ( ¯K ∩ I) = 0, 56 · 1<br />
7<br />
K ¯K<br />
I 0, 04 0, 08 0, 12<br />
Ī 0, 40 0, 48 0, 88<br />
0, 44 0, 56 1<br />
= 0, 08<br />
P I ( ¯K) P (I∩ ¯K)<br />
= = 0,08 = 2·10 = ⎫<br />
22 ⎬<br />
P (I) 0,12 3·10 33<br />
P Ī ( ¯K) P (Ī∩ ¯K)<br />
= = 0,48 = 6·3 = 18 ⎭ P I( ¯K) = 22 > 33 PĪ ( ¯K)<br />
P (Ī) 0,88 11·3 33<br />
Es ist nicht unbedingt sinnvoll, da nur 12% Jungwähler sind und 88% Altwähler,<br />
d.h. die Gewichtung von Jung zu Alt spricht eindeutig dafür sich (auch)<br />
sehr intensiv um die Altwähler zu kümmern, da sie mehr Potenzial ausmachen!<br />
labels2013 2, 1c<br />
c) P J = 0, 12; n = 48; k = 6 Binominalverteilung B(n, p, k) = Pp n (x = k) =<br />
⎛ ⎞<br />
⎝ n k<br />
⎠ · p k · (1 − p) n−k<br />
hier: P 48<br />
0,12(x = 6) =<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
⎛<br />
⎝ 48<br />
6<br />
⎞<br />
⎠ · 0, 12 6 · 0, 88 42 = 0, 170709 ≈ 17, 1%<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 200
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.6 Stochastik Aufgabengruppe II<br />
labels2013 2, 1d<br />
d) Signifikanztest: Bestimmen der Entscheidungsregel<br />
p ≤ p 0 < 50%<br />
A = {0, . . . , k}<br />
Ā = {k + 1, . . . , 200} rechtsseitiger Test, da der Anlehnungsbereich bzw. kritische<br />
Bereich rechts liegt(größer gleich)<br />
2. a) Rechnung:<br />
P0,5 200 (x ≥ k + 1) ≤ 0, 05<br />
1 − P0,500(x 2 ≤ k) ≤ 0, 05 | − 1<br />
−P0,5 200 (x ≤ k) ≤ −0, 95 | · (−1)<br />
P0,5 200 (x ≤ k) ≥ 0, 95 Tafelwerk<br />
k ≥ 112 → A = {0 . . . 112} → Ā = {113 . . . 200}<br />
b) Die Nullhypothese würde bis 112 Wähler akzeptiert werden, es dürften aber<br />
maximal 99 sein, denn der Kandidat braucht mehr als 55% der Stimmen also<br />
mindestens 100 Wähler!<br />
Es sollte also eine Zusatzkampagne, wie von der Wahlkampfberaterin vorgeschlagen,<br />
gestartet werden!<br />
3. a) P (x = 0) = 4 3 · 3<br />
11 · 2<br />
10 = 1<br />
55<br />
P (x = 1) = 8 · 7 · 6 · 3 = 12<br />
12 11 10 55<br />
mit einer Frau besetzt werden → ·3<br />
(schon angegeben, aber Rechnung zur Erläuterung)<br />
Die erste, zweite oder dritte Stelle kann<br />
P (x = 2) = 8 · 7 · 4 · 3 = 2<br />
12 11 10 55<br />
mit Frau besetzt! → ·3<br />
1. und 2., 2. und 3. oder 1. und 3. Stelle<br />
b) Erwartungswert<br />
x : 0 1 2 3<br />
P (x i )<br />
1<br />
55<br />
12<br />
55<br />
28<br />
55<br />
14<br />
55<br />
E(x) = 0 · 1<br />
55 + 1 · 12<br />
55 + 2 · 28<br />
55 + 3 · 14<br />
= 2 55<br />
V ar(x) = (0−2) 2 ·( 1<br />
55 )+(1−2)2 ·( 12<br />
55 )+(2−2)2 ·( 33<br />
55 )+(3−2)2 ·( 14)<br />
= 6·3 = 18<br />
55 11·3 33<br />
c) E(y) = n · p = 3 · 2 = 2 = E(x)<br />
3<br />
V (y) = n · p · (1 − p) = 3 · 2 · 1 = 2·11 = 22<br />
3 3 3·11 33<br />
→ V ar(y) > V ar(x)<br />
Die Varianz bedeutet ja auch die quadratische Abweichung vom Erwartungswert.<br />
Der Erwartungswert ist zwar gleich, aber P (y = k) hat im Durschnitt<br />
höhere Auschläge.<br />
Abi – Crasher<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Seite 201<br />
Inhaltsverzeichnis
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
Bei beiden Varianzen fällt der P (x = 2) und P (y = 2) aus der Rechnung,<br />
da (2 − 2) 2 · 28 = 0 und (2 − 2) · 0, 42 = 0,<br />
55<br />
da P (Y = 0) und P (Y = 3) größer sind als P (X = 0) und P (X = 3)<br />
P (Y = 1) und P (X = 1) sind nahezu gleich, damit muss V ar(y) > V ar(x)<br />
sein!<br />
11.3.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
1. a) Bestimmung von C durch Vektorrechnung:<br />
D<br />
C<br />
A<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
# »<br />
B OC = OB # » + BC # » = OB # » + AD # » 22 20 − 28<br />
= ⎜ 10 ⎟<br />
⎝ ⎠ + ⎜ 0 − 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ =<br />
0 6 − 0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
28 −8 20<br />
⎜ 10 ⎟<br />
⎝ ⎠ + ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 10 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 6 6<br />
→ C(20|10|6)<br />
Quadrat ABCD<br />
→ alle 4 Seiten⎛<br />
gleich lang⎞<br />
und⎛<br />
vier rechte ⎞ Winkel ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
Seiten: AB # » 28 − 28 0<br />
10 − 28 −8<br />
= ⎜ 10 − 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 10 ⎟<br />
⎝ ⎠ ; # »<br />
BC = ⎜ 10 − 10 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ;<br />
0 − 0 0<br />
6 − 0 6<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
20 − 20 0<br />
# »<br />
CD = ⎜ 0 − 10 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ −10 ⎟<br />
⎝ ⎠ ; DA # » 28 − 20 8<br />
= ⎜ 0 − 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
6 − 6 0<br />
0 − 6 6<br />
Länge: | AB| # » = √ 0 2 + 10 2 + 0 2 = 10; | BC| # » √<br />
= (−8) 2 + 0 2 + 6 2 = 10;<br />
| CD| # » =<br />
√0 2 + (−10) 2 + 0 2 = 10; | DA| # » = √ 8 2 + 0 2 + 6 2 = 10<br />
Es reicht bereits | AB| # » = | AD| # » zu zeigen.<br />
Beweis eines rechten Winkels genügt: z.B. AB # » ⊥ BC<br />
# »<br />
Skalarprodukt: AB # » ◦ BC # » = 0 → AB # » ⊥ BC<br />
# »<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 −8<br />
⎜ 10 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = 0 + 0 + 0 = 0 → AB # » ⊥ BC<br />
# »<br />
0 0<br />
→ ABCD ist ein Quadrat!<br />
b) Normalenform der Ebene ABCD<br />
Abi – Crasher<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 202
•<br />
•<br />
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
1. Bestimme z.B. # » AB =<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
⎜ 10 ⎟<br />
⎝ ⎠ und AD<br />
# » −8<br />
⎜ 0 ⎟, sie spannen die Ebene<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
−6<br />
auf.<br />
Es gehen auch CD # » und CD # » oder BA # » und BC<br />
# »<br />
2. Nun einen Normalenvektor #» n bestimmen<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
#» # » n = AB × AD # » 10 · 6 − 0 · 0 60<br />
= ⎜ 0 · 8 − 0 · 6 ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ : 20<br />
0 · 0 − (−8) · 10 +80<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
→ #» n = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+4<br />
3. Nun die Normalenform<br />
E : #» n ◦ ( #» x − #» a ) = 0;<br />
#»<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a ∈ E( Es gehen also auch A,B,C oder D! )<br />
3 x 1 − 28<br />
E : ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ x<br />
⎝ 2 − 0 ⎟<br />
⎠ = 3 · (x 1 − 28) + 0 · (x 2 − 0) + 4 · (x 3 − 0) = 0<br />
4 x 3 − 0<br />
E : 3x 1 − 84 + 4x 3 = 0 → 3x 1 + 4x 3 − 84 = 0<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
c) x 1 , x 2 -Ebene #» n = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
x 3<br />
( 0<br />
)<br />
n x1 ,x 2<br />
= 0<br />
1<br />
x 2<br />
x 1<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
n E1 = n ABCD = ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
4<br />
n<br />
Winkel Ebene/Ebene: cos ϕ = # » E1 ◦ n # » E2<br />
SHIFT cos → ϕ = 36, 87 ◦<br />
D<br />
C<br />
A<br />
B ⎛ ⎞<br />
0<br />
n E2 = n x1 ,x 2<br />
= ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
3 0<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
= 4 1<br />
|n E1 |·|n E2 |<br />
√<br />
3 2 +0 2 +4 2·√1<br />
= 4<br />
5·1 = 4 5<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 203
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
d) 1. E P QRS hat den gleichen #» n wie E ABCD , da □P QRS|| ABCD<br />
d.h.<br />
F : #» n ◦ ( #» x − #» b ) = 0<br />
2. für b kannst du einen Punkt aus der Ebene PQRS einsetzen, am einfachsten<br />
P(0|0|0)<br />
→ F : 3x 1 + 4x 3 + 0 = 0; 3x 1 + 4x 3 = 0<br />
e) V = G · H Die Grundfläche ABQP ist ein Rechteck(,da A und B<br />
den gleichen x 1 -Wert haben und x 3 ≠ 0 und für P und Q x 1 = 0 ∧ x 3 = 0 gilt!<br />
Außerdem P # Q » ⊥ P # A, » AB # » ⊥ AP # » → ABQP ist Rechteckfläche ˆ=6)<br />
Gehen wir bei C,D,R,Q senkrecht zur Fläche ABQP, was der Ebene x 1 , x 2 entspricht,<br />
so erhalten wir die Höhe des Spats h = 6m(Angabe!)<br />
h = EC ¯ = F ¯ D = RG ¯ = HS ¯<br />
Die Dreicksprismen ABCDEF und PQRSGH sind volumengleich und identisch(kongruent!)<br />
Entnimmt man Dreieckprisma PQRSGH und setzt es umgekehrt auf ABCDEF<br />
so erhält man einen geraden Quader für den V Q = V S = G · h gilt!<br />
f) p = 2, 1 t m = V ·p V = G·h G = l ·b = | AP # » |·| AB|<br />
# »<br />
m 3<br />
h = 6m : 10 = 0, 6m<br />
| AB| # » = 10<br />
# »<br />
AP =<br />
| AP # » | = 28 (nur x 1 -Wert!)<br />
Maßstab 1:10(1 LE ˆ= 0,1m)<br />
# »<br />
AP = 28 : 10m = 2, 8m<br />
# »<br />
AB = 10 : 10m = 1m h = 0, 6m<br />
⎛ ⎞<br />
−28<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ → AP # » =<br />
0<br />
→ V = G · h = 2, 8m · 1m · 0, 6m = 1, 68m 3<br />
m = V · p = 1, 68m 3 · 2, 1 t<br />
m 3<br />
g) Gerade h<br />
≈ 3, 528t<br />
√<br />
(−28) 2 + 0 2 + 0 2<br />
= 28 oder<br />
1. der Richtungsvektor #» v ist die Verbindung aus H zu X( #» X ist der Schnittpunkt<br />
der Diagonale aus A #» und Q #» oder B #» und P #» )<br />
#»<br />
X = 1( B #» + P #» ) = 1( A #» + Q)<br />
#» ⎛2 ⎞ 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
28 + 0 28 + 10 14<br />
→ 1 ⎜<br />
2<br />
10 + 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = 1 ⎜<br />
2<br />
0 + 10 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ → X(14|5|0)<br />
#»<br />
0 + 0<br />
0 + 0 0<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 204
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
#» v =<br />
# »<br />
HX =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
14 − 11<br />
5 − 3<br />
0 − 6<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
3<br />
2<br />
−6<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2. h : H #» + t · #» v oder X #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ t · #» v⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
11 3<br />
14 3<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ + t · ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ oder ⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ + t · ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
6 −6<br />
0 −6<br />
h) Die Kugel liegt in der Ebene DCRS, also um 6 Einheiten in x 3 -Richtung, gegenüber<br />
der Grundebene ABQP verschoben(parallel!)<br />
→ der x 3 -Wert von der Kugel muß deshalb 6 sein, x 1 = k 1 und x 2 = k 2<br />
K(k 1 |k 2 |6) (Punkt auf der Deckfläche)<br />
aus der Zeichnung folgt: M(m 1 |m 2 |m 3 )<br />
→ m 1 = k 1<br />
→ m 2 = k 2<br />
→ m 3 = 6 + 8 = 14<br />
M(k 1 |k 2 |14)<br />
Grundfläche x 1 , x 2 -Ebene → x 3 = 0<br />
M•<br />
⎫<br />
Maßstab<br />
⎪ ⎬<br />
r = 0, 8 · 10 = 8<br />
⎪ ⎭<br />
k<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
6<br />
⎪⎭<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 205
•<br />
•<br />
•<br />
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.7 Geometrie Aufgabengruppe I<br />
Voraussetzungen:<br />
1. | # » XH| = 1, 05<br />
2. d(M, h) = # » BM = 8m<br />
# »<br />
BH ≤ 1, 05<br />
Man muss den Berührpunkt B der Kugel mit der Geraden h bestimmen.<br />
h<br />
X<br />
⎫<br />
M •<br />
⎪⎬<br />
B 1,05m<br />
Deckfläche<br />
H<br />
⎪⎭<br />
Da<br />
¯ BM ⊥ h stehen muss ist B(der Berührpunkt) gleichzeitig das Lot von<br />
M auf h und damit berühren sich Kugel und Stange in B.<br />
| BH| # » muss ≤ 1, 05 sein, denn die Stange ragt nur um diese Länge aus der<br />
Deckfläche heraus!<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 206
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
11.3.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
1. a) Vektorrechnung: Geg.: A,C,D<br />
# »<br />
OB = OA # » + AB # » oder OB # » = OC # » + CB<br />
# »<br />
oder OB # » = OA # » + DC # » oder OB # » = OD # » + DA<br />
# »<br />
# »<br />
AB = DC # » und CB # » = DA<br />
# »<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
→ OB # » 12 9 − 0 12<br />
= ⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ + ⎜ 12 − 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 12 ⎟<br />
⎝ ⎠ oder ⎜<br />
⎝<br />
0 0 − 0 0<br />
⎛ ⎞<br />
12<br />
⎜ 12 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
→ B(12|12|0)<br />
0<br />
12<br />
0<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ + ⎜<br />
⎝<br />
12 − 0<br />
0 − 0<br />
0 − 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
oder direkt rauslesen: B<br />
x 1 = x 1A = 12<br />
x 2 = x 2C = 12<br />
x 3 = kein x 3 -Wert = 0<br />
→ B(12|12|0)<br />
V = 1G · h G = a · a a = AB ¯ = BC ¯ = CD ¯ = DA ¯ = 12<br />
3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
oder AB # » 12 − 12 0<br />
= ⎜ 12 − 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 12 ⎟<br />
⎝ ⎠ → AB # » = √ 0 2 + 12 2 + 0 2 = 12<br />
0 − 0 0<br />
→ G = 12 · 12 = 144[m 2 ]<br />
→ h : x 3 -Wert von S, da nur er aus der x 1 , x 2 -Ebene herausragt → h = 8m<br />
V = 1 3 · 144m2 · 8m = 1 3 · 1152m3 = 384m 3<br />
b) Südliche Außenwand △BCS ⎛ ⎞ ⎛<br />
Ebene aus 3 Punkten: z.B. BC # » 0 − 12 −12<br />
= ⎜ 12 − 12 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 0<br />
⎝<br />
0 − 0 0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
6 − 12 −6<br />
# »<br />
beliebig wählbar BS = ⎜ 6 − 12 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ −6 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
8 − 0 8<br />
z.B. CB, # » CS # » oder SB # » und SC<br />
# »<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Nun ⃗n E bestimmen: Vektorprodukt<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Seite 207
11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
n<br />
# »<br />
E = BC # » × BS # » 0 · 8 − 0 · (−6)<br />
0<br />
= ⎜ 0 · (−6) − (−12) · 8 ⎟<br />
⎝<br />
⎠ = ⎜ 96 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
−12 · (−6) − 0 · (−6) 72<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0<br />
0<br />
n<br />
# » ′ E = ⎜ 96 ⎟<br />
⎝ ⎠ : 32 = ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
72<br />
3<br />
→ E : #» x = ( n # »<br />
E ) ◦ ( #» x − #» ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b ) = 0<br />
0 x 1 − 12<br />
⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ x<br />
⎝ 2 − 12 ⎟<br />
⎠ = 0 → 0(x 1 − 12) + 4(x − 12) + 3(x 3 − 0) = 0<br />
3 x 3 − 0<br />
→ 4x 2 − 48 + 3x 3 = 0 → E : 4x 2 + 3x 3 − 48 = 0<br />
⎡⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
#»<br />
c) 1. M = 1( A+ #» C) #» = 1( B+ #» D) #» 12 0<br />
12 6<br />
= 1 ⎢⎜<br />
2 2 2<br />
0 ⎟<br />
⎣⎝<br />
⎠ + ⎜ 12 ⎟⎥<br />
⎝ ⎠⎦ = 1 ⎜<br />
2<br />
12 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 6 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 0<br />
0 0<br />
2. Bestimme die Gerade l, die 1. durch M geht und 2. senkrecht auf die Ebene<br />
BCS(Außenwand) ⎛ steht! ⎞ ⎛ ⎞<br />
l : M #»<br />
6 0<br />
+ t · n # »<br />
E = ⎜ 6 ⎟<br />
⎝ ⎠ + t · ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 3<br />
3. Schnittpunkt von l mit E ist L. x 3 -Wert von L ist Höhe h.<br />
l in E<br />
x 1 = 6<br />
x 2 = 6 + 4t; x 3 = 3t<br />
E : 4 · (6 + 4t) + 3 · (3t) − 48 = 0<br />
24 + 16t + 9t − 48 = 0<br />
25t = 24 → t = 24<br />
⎛ ⎞25<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
in l: H #» 6 0 6<br />
= ⎜ 6 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 24<br />
⎜<br />
25<br />
4 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 9 · 21<br />
⎟<br />
⎝ 25 ⎠<br />
72<br />
0 3<br />
25<br />
h = x 3 → x 3 = 72 = 2, 88; h = 2, 88<br />
25<br />
d) A △SM1 M 2<br />
⎛<br />
M 1 = 1( S #» + B) #» = 1 ⎜<br />
2 2 ⎝<br />
⎛<br />
M 2 = 1( S #» + #» C) = 1 ⎜<br />
2 2 ⎝<br />
6 + 12<br />
6 + 12<br />
8 + 0<br />
6 + 0<br />
6 + 12<br />
8 + 0<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
9<br />
9<br />
4<br />
3<br />
9<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ → M 1(9|9|4)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ → M 2(3|9|4)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
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11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
Fläche Dreieck:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
| SM # »<br />
2 1 × SM # »<br />
3 −3<br />
21<br />
2 | = 1 ⎜<br />
2<br />
3 ⎟<br />
⎝ ⎠ × ⎜ 3 ⎟<br />
= 1 ⎜<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
24 ⎟<br />
= ⎝ ⎠<br />
2√ 1 212 + 24 2 + 18 2 =<br />
∣ −4 −4 ∣ ∣ 18 ∣<br />
1<br />
2√<br />
900 ≈ 15[m 2 ] Kreuzprodukt/Vektorprodukt<br />
e) Neigungswinkel gegen die Horizontale<br />
→ Schnittwinkel aus 1. E ABCD und 2. E BCS<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
# »<br />
1. einfachste Form von E ABCD : x 3 = 0 → n = ⎜ 0 ⎟ oder über DA× DC # » =<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
#» n bestimmen und dann<br />
#» n ◦ (<br />
#» #» x − d ) = 0; liefert auch x3 = 0<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
2.<br />
#» n BCS = ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
n<br />
Formel: cos ϕ = # » ABCD ◦ n # » BCS<br />
| n # » ABCD |·| n # » BCS |<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 0<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
cos ϕ =<br />
1 3<br />
√<br />
1·√<br />
42+3 2<br />
= 3 5 |−1<br />
→ ϕ = 53, 13 ◦<br />
Schätzung:<br />
⎫<br />
50 ◦ → 98%<br />
60 ◦ → 94% →≈ ⎬<br />
53◦ ≈ 97, 5%<br />
⎭ I =]94◦ ; 98 ◦ [<br />
→ 10 ◦ ˆ=4%<br />
1 ◦ ˆ=0, 4%<br />
3 ◦ ˆ=1, 2% → 98% − 1, 2% = 96, 8% oder 94% + 7 · 0, 4% = 96, 8%<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
Abi – Crasher<br />
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11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
2. a)<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
8 3 −1<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + t ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ + µ · ⎜<br />
⎝<br />
7 2 −9<br />
⎞<br />
1<br />
−2 ⎟<br />
⎠<br />
4<br />
I8 + 3t = −1 + µ → µ = 9 + 3tinIIundIII<br />
II1 + 1t = 5 − 2µ II ′ 1 + t = 5 − 2(9 + 3t)<br />
III7 + 2t = −94µ III ′ 7 + 2t = −9 + 4(9 + 3t)<br />
II ′ 1 + t = 5 − 18 − 6t → 7t = −14 → t = −2<br />
III ′ 7 + 2t = −9 + 36 − 12t → −10t = 20 → t = −2<br />
in I µ = 9 + 3t<br />
µ = 9 − 6 = 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
8 3 2<br />
t = −2 in g : #» x = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ − 2 · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ −1 ⎟ → T (2| − 1|3)<br />
⎝ ⎠<br />
7 2 3<br />
oder<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−1<br />
1 2<br />
µ = 3 in h : #» x = ⎜ 5 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 3 · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ −1 ⎟ → T (2| − 1|3)<br />
⎝ ⎠<br />
−3<br />
4 3<br />
b) Punktspiegelung von P an T!<br />
Wähle z.B. ⎛ t=0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
8 3 8<br />
g : #» x = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + t · ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ → P ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ ∈ g<br />
7 2 7<br />
Q durch von Spiegeln ⎛ von ⎞P an⎛<br />
T! ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
# »<br />
OQ = OT # » + P # T » 2 2 − 8 2 −6 −4<br />
= ⎜ −1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + ⎜ −1 − 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ −1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ −3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 3 − 7 3 −4 −1<br />
oder<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
# »<br />
OQ = OP # » + 2 P # T » 8 −6 8 −12 −4<br />
= ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + 2 · ⎜ −2 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠ + ⎜ −4 ⎟<br />
⎝ ⎠ = ⎜ −3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
7 −4 7 −8 −1<br />
→ Q(−4| − 3| − 1)<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.8 Geometrie Aufgabengruppe II<br />
c) 1. Bestimme | # » T Q| = x<br />
2. Richtungsvektor von h uh # » normieren<br />
d.h. Bestimme uh # » ◦ (Länge 1)<br />
#»<br />
3. T + x · uh # » ◦ = #» u ( oder #» v )<br />
#»<br />
T − x · uh # » ◦ = #» v ( oder #» u )<br />
4. Ordnung des Rechtecks festlegen, d.h. wo liegt #» u , wo liegt #» v<br />
c○Alexander Pernsteiner<br />
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