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11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2 iv. f 4 (x) = 6·e −0,5x +a → 6·e −0,5x +1, 5 d.h. um 1,5 nach oben verschieben y Alle y-Werte mit 1,5 addieren, 8 7 6 · e −0,5x + 1, 5 6 5 4 +1, 5 3 +1, 5 2 +1, 5 6 · e −0,5x +1, 5 1 −2 −1 −1 1 2 3 4 x −2 b) Die Schadstoffmenge der Maschine nimmt stetig ab, unterschreitet aber nie den Grenzwert 1, 5 mg min , denn lim x→+∞ 6·e −0,5x +1, 5 = e −∞ +1, 5 = 1, 5 Grenzwert! siehe auch Zeichnung! c○Alexander Pernsteiner Abi – Crasher Inhaltsverzeichnis Seite 142
11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.4 Analysis Aufgabengruppe II Teil 2 c) Zeichnung: y 8 7 6 5 4 3 2 A 1 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 x −2 → A = ∫ 5 0 f(x) dx = ∫ 5 0 (6 · e−0,5x + 1, 5)dx = Merke: ∫ e kx = 1 k · ekx + c [ 6 · 1 −0,5 · e−0,5x + 1, 5x ] 5 0 = [6 · (−2) · e −0,5x + 1, 5x] 5 0 = (6(−2)e −2,5 + 7, 5) − (6(−2) · e 0 + 0) = −12 · e −2,5 + 7, 5 + 12 = −12 · e −2,5 + 19, 5 ≈ 18, 5 Die Schadstoffmenge, die die Maschine in den ersten 5 Minuten ausstößt beträgt etwa 18,5 mg. c○Alexander Pernsteiner Abi – Crasher Inhaltsverzeichnis Seite 143
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