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11.1 Musterlösungen Abituraufgaben 2011 11.1.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2
b) P (1, 5|0) Q(x|f(x)) = (x| √ ⎛ ⎞ ⎛ x + 3) ⎞
→ P # Q » = ⎝ x − 1, 5 ⎠ = ⎝√ x − 1, 5 ⎠
f(x) − 0 x + 3 − 0
a
c
√
b
x + 3
P
a
x − 1, 5
·
C
Es gilt Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2
(x − 1, 5) 2 + ( √ x + 3) 2 = c 2 = # » P Q 2
x 2 − 3x + 2, 25 + x + 3 = c 2
x 2 − 2x + 5, 25
d(x) = | # » P Q| = √ x 2 − 2x + 5, 25
√
c) Merke: ( f(x)) ′ =
2
√
f ′ (x)
f(x)
kleinster Abstand: Voraussetzung d ′ (x) = 0, wegen Min/Max und Monotonieverhalten
an der Stelle
(
d ′ 1
(x) =
2·
√x · (2x − 2) = √
2x−2
= √
2 −2x+5,25 2· x 2 −2x+5,25 2·
d ′ (x) = 0 → nur Zähler = 0 setzen → 2x − 2 = 0 → x = 1
2·(X−1)
x 2 −2x+5,25
)
Monotonie bei x = 1
x < 1 1 x > 1
sgn f ′ (x)
− 0 +
bei x = 1 Minimum
y-Wert: f(1) = √ 1 + 3 = 2 → Q = (1|2)
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
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