abicrasher

11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2
1.
f ′ (x)
= 2 · e −0,5x2 + 2x · e −0,5x2 · (−x)
= 2 · e −0,5x2 − 2x 2 · e −0,5x2
= e −0,5x2 · (2 − 2x 2 )
2.
3.
4.
f ′ (x) e −0,5x2 wird nie null! ·(2 − 2x 2 ) = 0 Setze e-freien Teil = 0
f ′ (x)
2 − 2x 2 = 0
x < −1 −1 < x < 1 x > 1
− 0 + 0 −
x 2 = 1 x 1 = −1; x 2 = +1
y-Wert f(−1) = 2 · e −0,5·(−1)2 f(1) = 2 · e −0,5·12
= −2 · e −0,5 = −2 = − 2 e 0,5 √ e
= 2 · e −0,5 = 2
e 0,5
→ T iP (−1| − √ 2 e
) → HoP (1| √ 2 e
)
= 2 √ e
c) m s = f(0,5)−f(−0,5)
0,5−(−0,5)
1, 76
= △y
△x = 2·0,5·e−0,5(0,5)2 −2(−0,5)·e −0,5(−0,5)2
1
= e − 1 8 +e − 1 8 = 2·e − 1 8 ≈
m t = f ′ (0); aus 1b) f ′ (x) = 2 · e −0,5x2 · (1 − x 2 )
m t = f ′ (0) = 2 · e 0 · (1 − 0 2 ) = 2
Abweichung: mt−ms
m t
· 100% = 2−1,76
2
· 100 ≈ 12%
d) Fläche bestimmen zwischen x-Achse und f(x) und x ≥ 0
A (u) = ∫ u
0 f(x)dx =?
f(x) = 2x · e −0,5x2
F (x) = 2 − 2e −0,5x2 + 4, da
F ′ (x) = −2 · e −0,5x2 · (−x) + 2x · e −0,5x2 = f(x)
→ A (u) = [2 − 2e −0,5x2 ] u 0 = 2 − 2e −0,5u2 − (2 − 2e 0 ) = 2 − 2e −0,5u2
lim 2 − 2e−0,5·(+∞)2 = 2 − 0 = 2 Geometrische Deutung:
u→+∞
Die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Positiven hat
einen endlichen Wert, und zwar 2.
e) Setze:
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
Inhaltsverzeichnis
Seite 189