abicrasher

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11.3 Musterlösungen Abituraufgaben 2013 11.3.7 Geometrie Aufgabengruppe I
1. Bestimme z.B. # » AB =
⎛ ⎞
⎛ ⎞
0
⎜ 10 ⎟
⎝ ⎠ und AD
# » −8
⎜ 0 ⎟, sie spannen die Ebene
⎝ ⎠
0
−6
auf.
Es gehen auch CD # » und CD # » oder BA # » und BC
# »
2. Nun einen Normalenvektor #» n bestimmen
⎛
⎞ ⎛ ⎞
#» # » n = AB × AD # » 10 · 6 − 0 · 0 60
= ⎜ 0 · 8 − 0 · 6 ⎟
⎝
⎠ = ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ : 20
0 · 0 − (−8) · 10 +80
⎛ ⎞
3
→ #» n = ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
+4
3. Nun die Normalenform
E : #» n ◦ ( #» x − #» a ) = 0;
#»
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a ∈ E( Es gehen also auch A,B,C oder D! )
3 x 1 − 28
E : ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ◦ ⎜ x
⎝ 2 − 0 ⎟
⎠ = 3 · (x 1 − 28) + 0 · (x 2 − 0) + 4 · (x 3 − 0) = 0
4 x 3 − 0
E : 3x 1 − 84 + 4x 3 = 0 → 3x 1 + 4x 3 − 84 = 0
⎛ ⎞
0
c) x 1 , x 2 -Ebene #» n = ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
1
x 3
( 0
)
n x1 ,x 2
= 0
1
x 2
x 1
⎛ ⎞
3
n E1 = n ABCD = ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
4
n
Winkel Ebene/Ebene: cos ϕ = # » E1 ◦ n # » E2
SHIFT cos → ϕ = 36, 87 ◦
D
C
A
B ⎛ ⎞
0
n E2 = n x1 ,x 2
= ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 0
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ◦ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
= 4 1
|n E1 |·|n E2 |
√
3 2 +0 2 +4 2·√1
= 4
5·1 = 4 5
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
Inhaltsverzeichnis
Seite 203